Арифметическая прогрессия

3. Решение задач на доказанное свойство

1. При некотором значении х числа  являются последовательными членами конечной арифметической прогрессии.

Найдите значения .

Дано: {  } – арифметическая прогрессия.

Найти:.

Решение.

Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии: , .

Ответ: х=1; а1=3; а2=6; а3=9.

2. Даны три функции  .

Найдите значение t, при  котором числа у1, у2, у3 в указанном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.

Дано:   

Найти: 

Решение:

Применим характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Последовательность , если у2, средний член, есть среднее арифметическое соседних, т.е. .

t

Ответ: t=1; у1=7, у2=1, у3=-5.

Задача решена.

3. Дано: числа a, b, c удовлетворяют условиям .

Доказать: числа  в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию.

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся характеристическим свойством.

Три числа в указанном порядке будут образовывать арифметическую прогрессию, если .

 .

Все преобразования равносильные, эквивалентные, если а, в, с ненулевые числа.

Таким образом, мы доказали, что характеристическое свойство имеет место, значит, три числа   образуют арифметическую прогрессию.

Что и требовалось доказать.

Группировка и сумма элементов

Давайте ещё раз вернёмся к числовой оси. Отметим там несколько членов прогрессии, между которыми, возможно. стоит очень много других членов:

На числовой прямой отмечены 6 элементов

Попробуем выразить «левый хвост» через ${{a}_{n}}$ и $d$, а «правый хвост» через ${{a}_{k}}$ и $d$. Это очень просто:

\

А теперь заметим, что равны следующие суммы:

\

Проще говоря, если мы рассмотрим в качестве старта два элемента прогрессии, которые в сумме равны какому-нибудь числу $S$, а затем начнём шагать от этих элементов в противоположные стороны (навстречу друг другу или наоборот на удаление), то суммы элементов, на которые мы будем натыкаться, тоже будут равны $S$. Наиболее наглядно это можно представить графически:

Одинаковые отступы дают равные суммы

Понимание данного факта позволит нам решать задачи принципиально более высокого уровня сложности, нежели те, что мы рассматривали выше. Например, такие:

Члены прогрессии и рекуррентная формула

Поскольку элементы наших последовательностей нельзя менять местами, их можно пронумеровать:

\

Отдельные элементы этого набора называются членами прогрессии. На них так и указывают с помощью номера: первый член, второй член и т.д.

Кроме того, как мы уже знаем, соседние члены прогрессии связаны формулой:

\

Короче говоря, чтобы найти $n$-й член прогрессии, нужно знать $n-1$-й член и разность $d$. Такая формула называется рекуррентной, поскольку с её помощью можно найти любое число, лишь зная предыдущее (а по факту — все предыдущие). Это очень неудобно, поэтому существует более хитрая формула, которая сводит любые вычисления к первому члену и разности:

\

Наверняка вы уже встречались с этой формулой. Её любят давать во всяких справочниках и решебниках. Да и в любом толковом учебнике по математике она идёт одной из первых.

Тем не менее предлагаю немного потренироваться.

Вот и всё! Обратите внимание: наша прогрессия — убывающая. Конечно, $n=1$ можно было и не подставлять — первый член нам и так известен

Впрочем, подставив единицу, мы убедились, что даже для первого члена наша формула работает. В остальных случаях всё свелось к банальной арифметике

Конечно, $n=1$ можно было и не подставлять — первый член нам и так известен. Впрочем, подставив единицу, мы убедились, что даже для первого члена наша формула работает. В остальных случаях всё свелось к банальной арифметике.

Обратите внимание на любопытное свойство прогрессии, которое мы обнаружили: если взять $n$-й и $m$-й члены и вычесть их друг из друга, то мы получим разность прогрессии, умноженную на число $n-m$:

\

Простое, но очень полезное свойство, которое обязательно надо знать — с его помощью можно значительно ускорить решение многих задач по прогрессиям. Вот яркий тому пример:

Вот и всё! Нам не потребовалось составлять какие-то системы уравнений и считать первый член и разность — всё решилось буквально в пару строчек.

Теперь рассмотрим другой вид задач — на поиск отрицательных и положительных членов прогрессии. Не секрет, что если прогрессия возрастает, при этом первый член у неё отрицательный, то рано или поздно в ней появятся положительные члены. И напротив: члены убывающей прогрессии рано или поздно станут отрицательными.

При этом далеко не всегда можно нащупать этот момент «в лоб», последовательно перебирая элементы. Зачастую задачи составлены так, что без знания формул вычисления заняли бы несколько листов — мы просто уснули бы, пока нашли ответ. Поэтому попробуем решить эти задачи более быстрым способом.

Последняя строчка требует пояснения. Итак, нам известно, что $n \lt 15\frac{7}{27}$. С другой стороны, нас устроят лишь целые значения номера (более того: $n\in \mathbb{N}$), поэтому наибольший допустимый номер — это именно $n=15$, а ни в коем случае не 16.

Обратите внимание: в последнем задании всё свелось к строгому неравенству, поэтому вариант $n=55$ нас не устроит. Теперь, когда мы научились решать простые задачи, перейдём к более сложным

Но для начала давайте изучим ещё одно очень полезное свойство арифметических прогрессий, которое в будущем сэкономит нам кучу времени и неравных клеток.:)

Теперь, когда мы научились решать простые задачи, перейдём к более сложным. Но для начала давайте изучим ещё одно очень полезное свойство арифметических прогрессий, которое в будущем сэкономит нам кучу времени и неравных клеток.:)

Примеры задач с решением

Рассмотрим как решать задачи на заданную тему.

Пример 1

Требуется вычислить 574 член в ряду арифметической прогрессии, первые три члена которой «8, 15, 22…».

Вариант рассуждений по примеру 1. Для нахождения любого конкретного элемента ряда нам необходима информация о значении первого члена (a1) и о разности (d). Чтобы вычислить разность, вычитаем из второго члена ряда первый (15 – 8) и получаем d = 7. Теперь мы можем считать по формуле:

Подставляя полученные значения, получим выражение вида a574 = 8 + (574-1) * 7.

После вычисления получаем ответ: a574 = 4019.

Пример 2

Требуется вычислить 544 член ряда, являющийся арифметической прогрессией, при условии, что 154-ый член равен 17, а разность (d) равна 8.

Вариант рассуждений по примеру 2. Пользоваться в данной ситуации мы будем формулой из предыдущего примера:

Подставляя известные значения, получаем выражение – а544 = 17 + (544 — 1) * 8.

Вычисляя, получаем ответ а544 = 4361.

Пример 3

Для подготовки к экзамену по биологии студенту Смирнову необходимо выучить 730 вопросов (включая загадки). Известно, что он весьма обеспокоен и по мере приближения даты экзамена учит ежедневно на 27 вопросов больше, чем в предыдущий день. Друг Смирнова выяснил, что тот в первый день выучил всего 17 вопросов.

Требуется выяснить, сколько времени у студента ушло на подготовку.

Вариант рассуждений по примеру 3. Очевидно, что случай с подготовкой студента к экзамену решается через формулы арифметической прогрессией (поскольку присутствует фиксированная разность d = 17). Производим подстановку известных данных:

После подстановки получаем выражение: 730 = 17 + (n — 1) * 27.

После вычислений определяем ответ – 27 дней.

Арифметическая прогрессия является наиболее простой из всех числовых зависимостей. Использование описанных формул позволит намного ускорить вычисления в задачах, где это требуется.

Кроме этого, для упрощения можно использовать онлайн калькулятор. В школе данную тему изучают в программе за 9 класс, а основные задания касаются нахождения членов и сумм.

Презентация на тему: » Арифметическая прогрессия 1.Определение арифметической прогрессии. 2.Формула n-го члена. 3.Основное свойство. 4.Формула суммы первых n членов арифметической.» — Транскрипт:

1

Арифметическая прогрессия 1.Определение арифметической прогрессии. 2.Формула n-го члена. 3.Основное свойство. 4.Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

2

Определение арифметической прогрессии. В жизни часто бывает так, что величины изменяются с течением времени на одно и то же их значение. Когда поезд едет со скоростью 80 км/ч, он за каждый час увеличивает пройденный путь на одно и то же количество километров. Верблюд, идущий по пустыне, ежедневно уменьшает свои запасы воды в горбах на одну и ту же величину.

3

Человек с каждым годом жизни увеличивает свой возраст на одно и то же время. А так же, уменьшает за каждый прожитый год на одну и ту же величину время, которое ему суждено прожить на этом свете. И даже толстяк, безуспешно применяющий модные диеты, каждые сутки изменяет свой вес на одну и ту же величину — на нуль килограммов. Всё это — примеры числовых последовательностей — примеры арифметической прогрессии.

4

Определение Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

5

То есть, последовательность является арифметической прогрессией, если выполняется условие: a n+1 = a n +d, где d — некоторое число.

6

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна, т.е. при любом натуральном n верно равенство: d = a n+1 – a n. Число d называется разностью арифметической прогрессии. Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно узнать ее первый член и разность.

7

Рассмотрим примеры 1. Если a 1 =1 и d=1, то получим арифметическую прогрессию 1; 2; 3; 4; 5;…, члены которой – последовательные натуральны числа. 2. Если a 1 =1 и d=2, то получим арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7; 9;…, которая является последовательностью положительных нечетных чисел.

8

3. Если a 1 =-2 и d=-2, то получим арифметическую прогрессию -2; -4; -6; -8; -10;…, которая является последовательностью отрицательных четных чисел. 4. Если a 1 =7 и d=0, то имеем арифметическую прогрессию 7; 7; 7; 7; 7;…, все члены которой равны между собой.

9

На заметку! Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и т.д. члены. Однако для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ неудобен. Постараемся отыскать способ, требующий меньшей вычислительной работы.

10

Вывод формулы n – го члена: Исходя из определения арифметической прогрессии: a 2 =a 1 +d, a 3 =a 2 +d=(a 1 +d)+d=a 1 +2d, a 4 =a 3 +d=(a 1 +2d)+d=a 1 +3d, a 5 =a 4 +d=(a 1 +3d)+d=a 1 +4d. Точно так же находим, что a 6 = a 1 +5d, и вообще, чтобы найти a n, нужно к a 1 прибавить (n- 1 )d, т.е. a n =a 1 +(n- 1 )d. Получили формулу n-го члена арифметической прогрессии.

11

Рассмотрим примеры решения задач с использованием формулы n-го члена арифметической прогрессии Дано: (a n ) — арифметическая прогрессия a 1 =0,62, d=0,24 Найти:a 50 Решение: a n =a 1 +(n- 1 )d. a 50 =0,62+0,24 ·(50-1)=12,38. Ответ: a 50 = 12,38.

12

Задача, в которой надо определить, является ли некоторое число членом арифметической прогрессии. 2.Дано: 23; 17,2; 11,4; 5,6;… — арифметическая прогрессия, a n = -122 Найти: n — ? Решение: a 1 =23, d=a 2 -a 1 =17,2-23=-5,8. a n =a 1 +(n-1)d = ,8·(n-1) = 28,8-5,8n, так как a n = -122 решаем уравнение 28,8-5,8n = -122, 5,8n=150,8, n=26 N Ответ: число -122 является 26-м членом данной арифметической прогрессии.

13

Рассмотрим важное свойство арифметической прогрессии. d = a n+1 – a n, d = a n – a n-1 a n – a n-1 = a n+1 – a n 2a n = a n-1 + a n+1, ( a n-1 + a n+1 ) a n = 2

14

Основное свойство: Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.

15

Обратное утверждение: Если в последовательности каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией.

16

Формулу n-го члена арифметической прогрессии a n =a 1 +(n-1)d можно записать иначе: a n =dn+(a 1 -d). Отсюда ясно, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида a n =kn+b, где k и b — некоторые числа.

17

Верно и обратное: последовательность (a n ), заданная формулой вида a n =kn+b, где k и b — некоторые числа, является арифметической прогрессией.

18

d = a n+ 1 – a n. a n =a 1 +(n- 1 )d. Ѕ = а 1 + a n 2 n

Числовая последовательность

Мы будем изучать числовые последовательности, т. е. последовательности, элементами которых являются числа.

Номер телефона можно считать числовой последовательностью: . Пин-код кредитной карты или телефона тоже примеры числовых последовательностей: .

Это действительно последовательности, а не наборы чисел – если поменять местами цифры в номере телефона, то получится совершенно другой номер. А введя нужные цифры пин-кода, но в неправильном порядке, вы не разблокируете смартфон.

Приведенные выше примеры числовых последовательностей – это конечные последовательности, ведь они содержат конечное количество элементов. Могут быть и бесконечные последовательности. Ряд натуральных чисел – это простейший пример бесконечной числовой последовательности:

Поскольку одна из функций натуральных чисел – это задание порядка, то логично, что именно натуральные числа мы будем использовать для нумерации других последовательностей.

Например, последовательность простых чисел:

Первое простое число – , второе простое число – , третье –  и т. д. Для удобства записи принято обозначать элементы последовательности латинскими буквами, а их номер указывать индексом. Например, в последовательности простых чисел :

При этом элементы числовой последовательности принято называть членами последовательности.

Возрастающая и убывающая последовательности

Как мы уже сказали, последовательность можно задать как функцию натурального аргумента. Соответственно, для работы с последовательностями нам пригодятся все те навыки, которые мы приобрели при работе с функциями. Кроме того, характеристики функций можно использовать и для описания последовательностей.

Например, возрастающая последовательность – это последовательность, у которой каждый член больше предыдущего:

И наоборот, убывающая последовательность – это последовательность, у которой каждый член меньше предыдущего:

Задание 1. Найти первый отрицательный член последовательности:

Решение.

Член последовательности должен быть отрицательным:

Решаем неравенство:

Переменная – это номер члена последовательности, т. е. натуральное число. Нужно найти первый отрицательный член последовательности, т. е. его номер должен быть наименьшим натуральным числом, которое больше . Это число , тогда:

Ответ: .

Задание 2. Найти номер наименьшего члена последовательности:

Решение.

Чтобы найти наименьшее значение выражения, выделим полный квадрат:

Перепишем последовательность:

Т. к. , то:

Т. е. минимально возможное значение  равно . Но достигается оно при , а  должно быть натуральным числом. Таким образом, член последовательности будет наименьшим при ближайших натуральных значениях :

Проверим:

Получили одинаковые значения, именно они и будут наименьшими.

Ответ: .

Последовательность как математический инструмент

Математика создает инструменты, которые помогают описывать и структурировать различные вещи, которые нас окружают. Одним из таких инструментов является числовая последовательность.

Само слово «последовательность» мы часто используем в обычной жизни. Чем последовательность отличается от произвольного набора? Тем, что в последовательности важен порядок ее элементов. Например, мы говорим про алгоритм, т. е

про последовательность действий, когда нам важно, что нужно сделать первым, что вторым и т. д

Так, мы сначала надеваем рубашку, потом – пиджак. А вот разницы, какой носок сначала надеть – левый или правый – для нас обычно нет. График дежурств по школе определяет последовательность, в которой классы должны убирать и следить за порядком в школе (см. рис. 1).

Рис. 1. График дежурств по школе определяет последовательность

А вот алфавит – это набор букв. Да, мы договорились об определенном порядке:  – первая буква алфавита,  – вторая и т. д., так нам удобно его запоминать и работать с ним. Но, по сути, никакого значения этот порядок не имеет. С таким же успехом можно было считать первой буквой алфавита букву  или .

Что же такое последовательность как математический инструмент? Обратите внимание, что поскольку для последовательности важен порядок элементов, то для их нумерации можно использовать числа –  и т. д

Например,  класс дежурит каждую пятую неделю: в первую, шестую и т. д. (см. рис. 2).

Рис. 2. Расписание дежурств

Алгоритм можно расписать по пунктам:

  1. надеть рубашку;
  2. надеть пиджак;

Геометрическая прогрессия

Вернемся к примеру с начислением процентов. Предположим, банк начисляет  годовых не только на сумму первоначального вклада, но и на всю сумму денег на счету (в том числе и на уже начисленные проценты). Такая схема называется сложными процентами.

Тогда через год на сумму в  рублей при ставке  начислится  рублей процентов, в результате будет:

На следующий год будет:

Еще через год:

Т. е. каждый год сумма вклада будет увеличиваться в одно и то же количество раз.

Такая последовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же ненулевое число, называется геометрической прогрессией. О названии, опять же, чуть позже.

Чтобы задать геометрическую прогрессию, нужно задать первый член последовательности  и число , на которое будем умножать. Получим:

Число называют знаменателем геометрической прогрессии, поскольку это частное соседних членов прогрессии:

Теперь мы можем сказать, почему прогрессия называется геометрической.

Рассмотрим три последовательных члена этой прогрессии:

Мы знаем, что:

Тогда:

Или, если мы рассмотрим прогрессию из положительных членов (:

Т. е. любой член прогрессии является средним геометрическим своих соседей. Отсюда и название – геометрическая прогрессия.

Среднее геометрическое

Почему средним геометрическим двух положительных чисел называется квадратный корень из их произведения? Это название связано со свойствами прямоугольных треугольников. Как мы знаем, высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу (см. рис. 18), равна среднему геометрическому проекций катетов, а каждый катет равен среднему геометрическому между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу:

Рис. 18. Прямоугольный треугольник  с высотой , проведенной к гипотенузе

Это несложно доказать, используя тот факт, что высота прямоугольного треугольника разбивает его на два прямоугольных треугольника, которые подобны друг другу и исходному треугольнику:

Это дает геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков, как на диаметре, тогда высота, восстановленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину (см. рис. 19).

Рис. 19. Построили окружность на сумме двух отрезков  и , как на диаметре, тогда высота, восстановленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, дает искомую величину

Другое название среднего геометрического – среднее пропорциональное:

1. Определение арифметической прогрессии

Вспомним, что числовая последовательность – частный случай функции, функции, определенной на множестве натуральных чисел. Арифметическая прогрессия – частный случай числовой последовательности.

Рассмотрим примеры, дающие представление об арифметической прогрессии.

1. Задана последовательность чисел:

Закономерность образования данной последовательности: каждый последующий член больше предыдущего на 4 (обозначим это число буквой d), т.е.  Данную последовательность можно задать рекуррентно: . Заметим, что эта последовательность является возрастающей  () .

2. Задана последовательность чисел:  В этой последовательности все числа равны между собой, .

3. Задана последовательность чисел:

Закономерность образования данной последовательности: каждый последующий член меньше предыдущего на 2. Чтобы получить последующий член надо к предыдущему прибавить число (-2), т.е.  Данную последовательность можно задать рекуррентно: . Заметим, что эта последовательность является убывающей () .

Дадим определение  арифметической прогрессии.

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называется арифметической прогрессией, число d называется ее разностью. 

Арифметическая прогрессия обозначается следующим образом:.

Арифметическая прогрессия может быть задана рекуррентно:  

Непосредственно из определения арифметической прогрессии следуют такие свойства:

— если , то арифметическая прогрессия — возрастающая;

— если , то арифметическая прогрессия — убывающая.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Задание

Решите несколько бытовых задач:

1. По рекомендации санаторного врача, отдыхающим было рекомендовано начинать принимать загар с пяти минут, увеличивая ежедневно время пребывание на солнце, еще на пять минут. Сколько дней будет длиться путевка в санатории, если время загара увеличится до 30 минут?

2. Спортсмен за час пробегает расстояние в 10 км. Каждый следующий час бега его расстояние уменьшается на 0,5 км, чем предыдущий. За сколько времени он пробежит 50 км?

3. В театре сидячие места расположены так, что в каждом следующем ряду количество кресел на четыре больше, чем в предыдущем, а всего в зале насчитывается 1050 мест. Назовите количество рядов в зале, если первый ряд насчитывает десять кресел?

Ссылка на основную публикацию