Тригонометрия. обратные тригонометрические функции. арккотангенс

Графики обратных тригонометрических функций

Ключевые слова: обратная тригонометрическая функция, арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс

Обратные тригонометрические функцииОбратные тригонометрические функции это математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

  • арксинус (обозначение: arcsin)
  • арккосинус (обозначение: arccos)
  • арктангенс (обозначение: arctg)
  • арккотангенс (обозначение: arcctg)
  • арксеканс (обозначение: arcsec)
  • арккосеканс (обозначение: arccosec)

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arc — дуга).
Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку.

Функция y = arcsin x
Дана функция y = sin x.
На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y = arcsin x функцией
не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго
возрастает и принимает все значения области значений — $$ \left $$. Так как для функции y = sin x
на интервале $$ \left $$
каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции,
то на этом отрезке существует обратная функция y = arcsin x, график которой симметричен графику функции y = sin x на отрезке $$\left $$ относительно прямой y = x.
Функция y = arccos x
Дана функция y = cos x.
На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y = arccos x функцией
не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго
возрастает и принимает все свои значения — . На этом отрезке y = cos x строго монотонно убывает и принимает все свои значения только один раз, а значит, на отрезке существует обратная функция y = arccosx, график которой симметричен графику y = cos x на отрезке относительно прямой y = x.

Функция y = arctg x
Дана функция y = tg x.
На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y = arctgx функцией
не является. Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго
возрастает и принимает все свои значения только один раз —
$$\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$$. На этом отрезке y = tg x
строго монотонно возрастает и принимает все свои значения только один
раз, следовательно, на интервале $$\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}
\right)$$ существует обратная функция y = arctg x, график которой симметричен графику y = tgx на отрезке $$\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$$ относительно прямой y = x.

Функция y = arcctg x
Дана функция y = ctg x.
На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y = arcctg x
функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго
возрастает и принимает все свои значения только один раз — (0;$$\pi$$). На
этом отрезке y = ctg x строго возрастает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале (0;$$\pi$$) существует обратная функция y = arcctg x, график которой симметричен графику y = ctg x на отрезке (0;$$\pi$$) относительно прямой y = x.
$$\alpha$$ $$\frac{\pi}{6}$$ $$\frac{\pi}{4}$$ $$\frac{\pi}{3}$$ $$\frac{2\pi}{3}$$ $$\frac{2\pi}{3}$$ $$\frac{3\pi}{4}$$ $$\frac{5\pi}{6}$$ $$\pi$$
arcsin$$\alpha$$ $$\frac{1}{2}$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 1 нет нет нет нет
arccos$$\alpha$$ 1 $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\frac{1}{2}$$ $$-\frac{1}{2}$$ $$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$-\frac{\sqrt{3}}{2}$$ -1
arctg$$\alpha$$ $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$ 1 $$\sqrt{3}$$ нет нет нет нет нет
arcctg$$\alpha$$ нет $$\sqrt{3}$$ 1 $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$ $$-\frac{1}{\sqrt{3}}$$ -1 $$-\sqrt{3}$$ нет

См. также:Обратные тригонометрические функции, Определение тригонометрических функций, Таблица значений, Формулы обратных триг функций

Вычисление значения арктангенса

Арктангенс является тригонометрическим выражением. Он исчисляется в виде угла в радианах, тангенс которого равен числу аргумента арктангенса.

Для вычисления данного значения в Экселе используется оператор ATAN, который входит в группу математических функций. Единственным его аргументом является число или ссылка на ячейку, в которой содержится числовое выражение. Синтаксис принимает следующую форму:

Способ 1: ручной ввод функции

Для опытного пользователя, ввиду простоты синтаксиса данной функции, легче и быстрее всего произвести её ручной ввод.

  1. Выделяем ячейку, в которой должен находиться результат расчета, и записываем формулу типа:

    Вместо аргумента «Число», естественно, подставляем конкретное числовое значение. Так арктангенс четырех будет вычисляться по следующей формуле:

    Если числовое значение находится в какой-то определенной ячейке, то аргументом функции может служить её адрес.

Для вывода результатов расчета на экран нажимаем на кнопку Enter.

Способ 2: вычисление при помощи Мастера функций

Но для тех пользователей, которые ещё не полностью овладели приемами ручного ввода формул или просто привыкли с ними работать исключительно через графический интерфейс, больше подойдет выполнение расчета с помощью Мастера функций.

  1. Выделяем ячейку для вывода результата обработки данных. Жмем на кнопку «Вставить функцию», размещенную слева от строки формул.

Происходит открытие Мастера функций. В категории «Математические» или «Полный алфавитный перечень» следует найти наименование «ATAN». Для запуска окна аргументов выделяем его и жмем на кнопку «OK».

После выполнения указанных действий откроется окно аргументов оператора. В нем имеется только одно поле – «Число». В него нужно ввести то число, арктангенс которого следует рассчитать. После этого жмем на кнопку «OK».

Также в качестве аргумента можно использовать ссылку на ячейку, в которой находится это число. В этом случае проще не вводить координаты вручную, а установить курсор в область поля и просто выделить на листе тот элемент, в котором расположено нужное значение. После этих действий адрес этой ячейки отобразится в окне аргументов. Затем, как и в предыдущем варианте, жмем на кнопку «OK».

После выполнения действий по вышеуказанному алгоритму в предварительно обозначенной ячейке отобразится значение арктангенса в радианах того числа, которое было задано в функции.

Урок: Мастер функций в Excel

Как видим, нахождение из числа арктангенса в Экселе не является проблемой. Это можно сделать с помощью специального оператора ATAN с довольно простым синтаксисом. Использовать данную формулу можно как путем ручного ввода, так и через интерфейс Мастера функций.

Опишите, что у вас не получилось.
Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.

Ссылка на основную публикацию