Обратные тригонометрические функции

Вычисления значений аркфункций

Начнем с вычисления значений аркфункций.

Задача №1. Вычислить 

Как видим все аргументы аркфункций положительные и табличные, а это значит, что мы можем восстановить значение углов по первой части таблицы значений тригонометрических функций для углов от  до . Этот диапазон углов входит в область значений каждой из аркфункций, поэтому просто пользуемся таблицей, находим в ней значение тригонометрической функции и восстанавливаем, какому углу оно соответствует.

а)

б)

в)

г)

Далее будем работать с углами в радианах, т.к. это чаще используется в современной науке.

Ответ. .

Задача №2. Вычислить

.

В данном примере мы уже видим отрицательные аргументы. Типичная ошибка в данном случае – это просто вынести минус из-под функции и просто свести задачу к предыдущей. Однако это делать можно не во всех случаях. Вспомним, как в теоретической части урока мы оговаривали четность всех аркфункций. Нечетными из них являются арксинус и арктангенс, т.е. из них выносится минус, а арккосинус и арккотангенс – это функции общего вида, для упрощения минуса в аргументе у них имеются специальные формулы. После расчета во избежание ошибок проверяем, чтобы результат входил в область значений.

а)

б)

в)

г)

Когда аргументы функций упрощены до положительной формы, выписываем из таблицы соответствующие им значения углов.

Ответ. .

Может возникнуть вопрос, почему бы не выписывать значение угла, соответствующего, например,  сразу из таблицы? Во-первых, потому что таблицу до  запомнить тяжелее, чем до , во-вторых, потому что отрицательных значений синуса в ней нет, а отрицательные значения тангенса дадут по таблице неверный угол. Лучше иметь универсальный подход к решению, чем запутаться в множестве различных подходов.

Задача №3. Вычислить .

а) Типичная ошибка в данном случае – это начать выносить минус и что-то упрощать. Первое, что необходимо заметить, это то, что аргумент арксинуса не входит в область определения

.

Следовательно, данная запись не имеет значения, и вычислить арксинус нельзя.

б) Стандартная ошибка в данном случае заключается в том, что путают местами значения аргумента и функции и дают ответ . Это неверно! Конечно, возникает мысль, что в таблице косинусу  соответствует значение , но в таком случае перепутано то, что вычисляются аркфункции не от углов, а от значений тригонометрических функций. Т.е. , а не .

Кроме того, поскольку мы выяснили, что  является именно аргументом арккосинуса, то необходимо проверить, чтобы он входил в область определения. Для этого вспомним, что , т.е. , а значит арккосинус не имеет смысла и вычислить его нельзя.

Кстати, например, выражение  имеет смысл, т.к. , но поскольку значение косинуса, равное  не является табличным, то и вычислить арккосинус с помощью таблицы нельзя.

Ответ. Выражения не имеют смысла.

В данном примере мы не рассматриваем арктангенс и арккотангенс, т.к. у них не ограничена область определения и значения функций будут для любых аргументов.

Задача №4. Вычислить .

По сути дела задача сводится к самой первой, просто нам необходимо отдельно вычислить значения двух функций, а потом подставить их в исходное выражение.

Аргумент арктангенса табличный  и результат принадлежит области значений.

Аргумент арккосинуса не табличный, но нас это не должно пугать, т.к. чему бы не был равен арккосинус, его значение при умножении на ноль даст в результате ноль

Осталось одно важное замечание: необходимо проверить принадлежит ли аргумент арккосинуса области определения, поскольку если это не так, то все выражение не будет иметь смысла в независимости от того, что в нем присутствует умножение на ноль. Но , поэтому мы можем утверждать, что  имеет смысл и в ответе получаем ноль

Ответ. 0.

Приведем еще пример, в котором необходимо уметь вычислить одну аркфункцию, зная значение другой.

Задача №5. Вычислить , если известно, что .

Может показаться, что необходимо из указанного уравнения вычислить сначала значение икса, а затем подставить его в искомое выражение, т.е. в арккотангенс, но этого делать не нужно.

Вспомним, по какой формуле связаны между собой указанные функции:

И выразим из нее то, что нам нужно:

Для уверенности можете проверить, что результат лежит в области значений арккотангенса.

Ответ: .

Формулы обратных тригонометрических функций

Обратные тригонометрические функции выражаются через натуральные логарифмы следующим образом:

Здесь стоит подчеркнуть, что все эти функции многозначны и обозначают всю совокупность значений в целом. Везде подразумевается, что квадратный корень имеет два знака: «+» и «–», а логарифм имеет бесконечное множество значений, отличающихся на , где — целое. То есть, например, под арксинусом имеется в виду вся совокупность значений:. Такое правило распространяется на все многозначные функции комплексного переменного и их названия начинаются с большой буквы. Названия с маленькой буквы означают однозначную ветвь функции, заданной на определенной области Римановой поверхности.

Ниже приводится вывод этих формул.

Свойства тригонометрических функций ASIN и ASINH в Excel

Функция ASIN имеет следующую синтаксическую запись:

=ASIN(число)

число – единственный аргумент (обязательный), принимающий числовое значение из диапазона , для которого будет определен угол в радианах.

Примечания:

  1. Если аргумент функции указан в виде ссылки на пустую ячейку, пустое значение будет преобразовано к числовому 0 и функция вернет арксинус 0, то есть число 0. Аналогичный результат будет возвращен при указании логического ЛОЖЬ в качестве аргумента ASIN. Логическое ИСТИНА будет преобразовано к числу 1.
  2. Если в качестве аргумента число переданы данные, которые не могут быть преобразованы к числовым значениям, рассматриваемая функция вернет код ошибки #ЗНАЧ!
  3. Если аргумент указан числом, не входящим в диапазон допустимых значений (), функция ASIN вернет код ошибки #ЧИСЛО!

Функция ASINH имеет следующий синтаксис:

=ASINH(число)

число – обязательный для заполнения, принимает значение, для которого нужно определить значение ареа-синуса.

Примечание:

Аргумент функции может быть указан любым вещественным числом. При вводе данных, не преобразуемых к числовым значениям, функция ASINH будет возвращать код ошибки #ЗНАЧ!

Зачем нужен арксинус? Решение уравнения \(\sin x=a\)

Чтобы понять зачем придумали арксинус, давайте решим уравнение: \(\sin ⁡x=\frac{1}{2}\).

Это не вызывает затруднений:

\( \left[ \begin{gathered}x=\frac{π}{6}+2πn, n∈Z\\ x=\frac{5π}{6}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)

Внимание! Если вдруг затруднения всё же были, то почитайте здесь о решении простейших уравнений с синусом.

А теперь решите уравнение: \(\sin ⁡x=\frac{1}{3}\).

Что тут будет ответом? Не \(\frac{π}{6}\), не \(\frac{π}{4}\), даже не \(\frac{π}{7}\) — вообще никакие привычные числа не подходят, однако при этом очевидно, что решения есть. Но как их записать?

Вот тут-то на помощь и приходит арксинус! Значение правой точки равно \(\arcsin⁡\frac{1}{3}\), потому что известно, что синус равен \(\frac{1}{3}\). Длина дуги от \(0\) до правой точки тогда тоже будет равна \(\arcsin⁡\frac{1}{3}\). Тогда чему равно значение второй точки? С учетом того, что правая точка находится на расстоянии равному \(\arcsin⁡\frac{1}{3}\) от \(π\), то её значение составляет \(π- \arcsin⁡\frac{1}{3}\).

Ок, значение этих двух точек нашли. Теперь запишем полный ответ: \( \left[ \begin{gathered}x=\arcsin \frac{1}{3}+2πn, n∈Z\\ x=π-\arcsin \frac{1}{3}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\) Без арксинусов решить уравнение \(\sin ⁡x=\frac{1}{3}\) не получилось бы. Как и уравнение \(\sin ⁡x=0,125\), \(\sin ⁡x=-\frac{1}{9}\), \(\sin⁡ x=\frac{1}{\sqrt{3}}\) и многие другие. Фактически без арксинуса мы можем решать только \(9\) простейших уравнений с синусом:

С арксинусом – бесконечное количество.

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: \(\sin ⁡x=\frac{1}{\sqrt{3}}\). Решение:

Ответ:   \( \left[ \begin{gathered}x=\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2πn, n∈Z\\ x=π-\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: \(\sin ⁡x=\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Решение:
Кто поторопился написать ответ \( \left[ \begin{gathered}x=\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}+2πn, n∈Z\\ x=π-\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\), тот на ЕГЭ потеряет 2 балла. Дело в том, что в отличии от прошлых примеров \(\arcsin⁡ \frac{1}{\sqrt{2}}\) — вычислимое значение, но чтобы это стало очевидно нужно избавиться от иррациональности в знаменателе аргумента. Для этого умножим и числитель и знаменатель дробь на корень из двух \(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}}{2}\). Таким образом, получаем:

\(\arcsin⁡ \frac{1}{\sqrt{2}} = \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{π}{4}\)

Значит в ответе вместо арксинусов нужно написать \(\frac{π}{4}\).

Ответ:   \( \left[ \begin{gathered}x=\frac{π}{4}+2πn, n∈Z\\ x=\frac{3π}{4}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: \(\sin ⁡x=\frac{7}{6}\).

Решение:
И вновь тот, кто поторопился написать \( \left[ \begin{gathered}x= \arcsin \frac{7}{6}+2πn, n∈Z\\ x=π- \arcsin\frac{7}{6}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\) на ЕГЭ потеряет \(2\) балла. Что не так? – спросите вы. Ведь точно не табличное значение, почему нельзя написать \(\arcsin⁡\frac{7}{6}\)? Пролистайте до самого верха, туда, где было определение арксинуса. Там написана маленькая, но очень важная деталь – аргумент арксинуса должен быть меньше или равен \(1\) и больше или равен \(-1\). Ведь синус не может выходить за эти пределы! И если решить уравнение с помощью круга, а не бездумно пользоваться готовыми формулами, то станет очевидно, что у такого уравнения решений нет.

Ответ:   решений нет.

Думаю, вы уловили закономерность.

Если \(\sin ⁡x\) равен не табличному значению между \(1\) и \(-1\), то решения будут выглядеть как: \( \left[ \begin{gathered}x= \arcsin a +2πn, n∈Z\\ x=π- \arcsin a +2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)

Определение тригонометрических функций ASIN и ASINH в Excel

Синус угла характеризует отношение противолежащего (к острому углу прямоугольного треугольника) катета к гипотенузе этого треугольника и является безразмерной величиной, на основе которой можно определить размер данного угла в радианах или градусах. Функция ASIN возвращает радианы. Для перевода полученного значения в градусы можно умножить полученное значение на 180/ПИ или использовать функцию ГРАДУСЫ.

Для нахождения ареа-синуса некоторого числа x по функции ASINH используется формула:

Пример 1. В таблице указаны синусы некоторых углов, образованных радиусами и центральной точкой окружности. Определить эти углы в градусах, а также соответствующие им длины дуг, если радиус окружности равен 10 м.

Вид таблицы данных:

Для нахождения значений углов в градусах используем следующую формулу:

=ОКРУГЛ(ГРАДУСЫ(ASIN(B2));0)

Для перевода радиан в градусы используем функцию ГРАДУСЫ, округляем полученные числа до целых с помощью функции ОКРУГЛ:

Длина окружности определяется как произведение размера угла в радианах и радиуса окружности. Для определения используем следующую формулу:

=ОКРУГЛ(ASIN(B2)*$A$2;2)

Полученные результаты:

В результате вычисления формул мы получили соответственные значения тригонометрических функций в Excel.

Арксинус

Пусть   .

Чтобы выразить через элементарные функции, решаем уравнение: Выразим   через комплексные переменные: Умножим на Решаем квадратное уравнение Логарифмируем Умножаем на

На рисунке изображена главная ветвь арксинуса. Остальные ветви получились бы, если продлить перевернутую синусоиду вверх и вниз.

Далее следует разобраться со знаком ±. С точки зрения комплексных переменных, квадратный корень всегда имеет два значения, различающихся знаком плюс и минус. Поэтому корень всегда подразумевает неоднозначность. Выберем такой знак, чтобы формула была справедлива для главного значения арксинуса. То есть для действительных значения арксинуса должны находится в интервале

Рассмотрим знак +. Положим . То есть знак + соответствует главному значению арксинуса, которое имеет множество значений при

Если мы возьмем знак , то То есть знак соответствует ветви арксинуса, которая имеет множество значений при

Остальные ветви получаются вследствие многозначности логарифма. Выразим выражение под знаком логарифма через модуль и аргумент где — целое. Тогда То есть многозначность логарифма дает ветви, которые отстоят друг от друга на величину , что соответствует периоду синуса.

Итак,

Ссылка на основную публикацию