Куб суммы: формула и примеры

Формула квадрата суммы и неполного квадрата суммы

Также легко, как и в предыдущем случае, выводится эта формула:

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов каждого из них плюс их удвоенное произведение:

Многие школьники, начинающие знакомиться с этим материалом, часто теряют двойку во втором слагаемом правой части, получая

Однако, в этом случае, возникает неполный квадрат суммы (или разности), который на множестве действительных чисел не раскладывается на множители.

Обе формулы применяются не только для раскрытия скобок, но и для разложения на множители, что в свою очередь упрощает приведение к одному знаменателю, сокращение дробей, решение уравнений высоких степеней.

Примеры задач с решением

Задача №3

Преобразовать трёхчлен в квадрат двучлена:

28xy + 49×2 + 4y2

Решение.

Поскольку квадраты находятся на втором и третьем местах, поменяем слагаемые между собой и подготовим выражение для применения формулы:

Ответ: (7x + 2y)2. 

Возведение во вторую степень суммы трёх и более слагаемых выполняется аналогично: необходимо возвести в квадрат каждый элемент, записать все возможные удвоенные произведения и сложить полученные результаты.

Правила возведения в степени более высоких порядков возникают, когда выполняется умножение одинаковых многочленов несколько раз.

Возможность выполнять возведение в квадрат больших чисел, не используя калькулятор, является одним из преимуществ сокращённого умножения.

Нужна помощь в подготовке к ЕГЭ по математике? Наши профессиональные репетиторы помогут вам сдать ЕГЭ на 80+ баллов!
Узнать стоимость

Задача №4

Выполнить раскрытие скобок и упростить:

(x2 + 3x – 4y)2 – x4 – 9×2 – 16y2

Решение.

Наибольший общий делитель – правила, алгоритмы и примеры нахождения НОД

Ответ: 6×3 – 8×2 – 24xy.

Задача №5

Вычислить:

1032 + 1972

Решение.

Для каждого слагаемого применяется одно из правил возведения в квадрат, затем производится суммирование результатов:

Решая квадратные уравнения, вместо поиска дискриминанта выделяют полный (точный) квадрат среди слагаемых, расположенных в левой части. В правую сторону собираются оставшиеся элементы.

Задача №6

Решить уравнение:

x2 – 4x – 5 = 0

Решение.

Первые два слагаемых левой части полностью удовлетворяют формуле квадрата суммы. Соотнеся их с соответствующими элементами правила, определяют, прибавляют и вычитают третье, затем сворачивают в точный квадрат, остальные члены алгебраической суммы переносят в правую сторону:

Решениями исходного уравнения являются корни уравнений

Ответ: x = 5 или x = -1.

Доказательство формулы бинома Ньютона

Формула бинома Ньютона позволяет возводить сумму двух слагаемых в любую степень.

Попробуем раскрыть скобки. Выберем из каждой скобки . Получим . Предположим, что из  скобки выбрать , а из одной скобки выбрать , получим . Но получится такое произведение не один раз, как и в случае с формулами квадрата суммы и куба суммы. Ведь  можно выбрать из 1-й скобки, из 2-й скобки и так далее. Количество вариантов выбрать. получим 

Предположим, что из  скобок выберем число , а из оставшихся  скобок выберем число . Получим .

Сколько способов из  скобок выбрать число ? То есть из  скобок выбрать  скобок, из которых выбрать число .  Это в точности сочетание: выбрать  объектов из  без учёта порядка, а это . Получаем

Подставляя все возможные k от 0 до n, получим формулу бинома Ньютона:

Перепишем формулу. Заметим, что в формуле есть  и .

 – это количество способов выбрать из  объектов один. Таких способов . Поэтому в формуле можно заменить на , а можно заменить на так как количество способов выбрать из  объектов один равно количеству способов выбрать из  объектов . Ведь выбрать  – то же самое, что не выбрать .

Получим:

Формула бинома Ньютона: =.

Выводы по уроку и домашнее задание

Вывод: на данном уроке мы вывели формулу разности квадратов и решили много различных примеров, а именно уравнения, вычислительные задачи, задания на прямое и обратное использование выведенной формулы и другие. Кроме того, решили несколько задач на комплексное применение нескольких формул.

Список литературы

  1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.
  2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ. 
  3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 – М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

  1. Упростить: ; Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 358, с. 130.
  2. Разложить на множители: ; Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 354, с. 129.
  3. Вычислить: ; Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 360, с. 130.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Школьный помощник (Источник).
  2. Портал естественных наук (Источник).
  3. Интернет-портал Studyport.ru (Источник).
Ссылка на основную публикацию