Формулы сокращенного умножения

Квадрат разности

Выше мы нашли формулу для суммы одночленов. Давайте теперь найдем формулу для разности, то есть, для \((a-b)^2\):

В более краткой записи имеем:

Квадрат разности: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

Применяется она также, как и предыдущая.

Пример. Упростите выражение \((2a-3)^2-4(a^2-a)\) и найдите его значение при \(a=\frac{17}{8}\).

Решение:

\((2a-3)^2-4(a^2-a)=\)

               

Если сразу подставить дробь в выражение – придется возводить ее в квадрат и вообще делать объемные вычисления. Попробуем сначала упростить выражение, воспользовавшись формулой выше и раскрыв скобки.

\(=4a^2-12a+9-4a^2+4a=\)

 

Теперь приведем подобные слагаемые.

\(=-8a+9=\)

 

Вот теперь подставляем и наслаждаемся простотой вычислений.

\(=-8·\frac{17}{8}+9=-17+9=8\)

 

Пишем ответ.

Ответ: \(8\).

Решение различных типовых задач на применение формул квадрата суммы и разности

Перейдем к решению уравнений:

Пример 10:

;

;

;

;

;

.

Комментарий: для решения данного уравнения нужно упростить левую часть, применяя формулу разности квадратов и квадрата разности, после этого привести подобные члены. После этого перенести все неизвестные в левую часть, а свободный член в правую и решить элементарное линейное уравнение.

Пример 11:

Вычислить: .

Комментарий: для решения данного примера нужно применить формулы разности квадратов и квадрата суммы, после этого сократить полученную дробь.

Пример 12:

Доказать равенство:

.

Разложим на множители :

.

Из каждого множителя вынесем минус единицу за скобки:

.

Мы доказали равенство (a — b)2 = (b — a)2.

Данное равенство является очень полезным при упрощении выражений. Рассмотрим пример.

Пример 13:

Разложить на множители: .

Пример 14:

Докажите, что квадрат всякого нечетного числа, уменьшенный на единицу, делится на восемь.

Представим произвольное нечетное число как , а его квадрат, соответственно, как . Запишем выражение согласно условию:

.

Упростим полученное выражение:

.

Чтобы доказать, что полученное выражение кратно восьми, нам нужно доказать, что оно делится на 2 и на 4. Очевидно, что выражение кратно четырем, так как в нем есть множитель 4. Поэтому нам нужно доказать, что  делится на 2.

Запись  – это произведение двух последовательных чисел, а оно всегда кратно двум, так как из двух последовательных чисел одно всегда будет четным, а второе, соответственно, нечетным, а произведение четного числа на нечетное кратно двум, значит, выражение  кратно восьми. Итак, мы доказали, что квадрат всякого нечетного числа, уменьшенный на единицу, делится на восемь.

Теорема Пифагора, формула

Теорема

Теорема Пифагора – в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов (

) равна квадрату гипотенузы (
). Это одна из основополагающих теорем эвклидовой геометрии.

Формула: 

Как уже говорилось, есть много разнообразных доказательств теоремы с разносторонними математическими подходами. Однако, более часто используют теоремы, связанные с площадями.

Построим на треугольнике квадраты (синий, зеленый, красный)

То есть сумма площадей квадратов, построенных на катетах равняется площади квадрата, построенном на гипотенузе. Соответственно, площади этих квадратов равны –
. Это и есть геометрическое объяснение Пифагора.

Рассмотрим примеры работы калькулятора

Разложение на квадраты

Зачем складывать квадраты целых чисел? Почему бы не складывать их кубы или 33-е степени? Эти вопросы встают перед каждым математиком, занимающимся теорией чисел. Разложение целых чисел на сумму двух квадратов — классическая задача теории чисел, за которой стоит исследование делимости. В целом задача эта обратна теме данной статьи: вопрос ставится таким образом, что математик должен вычислить, раскладывается ли данное число на сумму двух квадратов. Некоторые ученые идут дальше и пытаются раскладывать числа на суммы квадратов последовательных чисел. Мы же просто попробуем сложить некоторые квадраты и посмотрим, что получится в результате. Итак, введем в калькулятор следующие пары чисел:

  • 5 и 0 = 25;
  • 1 и 4 = 25;
  • 8 и 1 = 64;
  • 4 и 7 = 64.

Как видите, разные пары чисел дают один и тот же результат. Кроме того, сами числа 25 и 64 являются квадратами 5 и 8 соответственно. Магия теории чисел, которую трудно применить в каких-нибудь бытовых расчетах.

Гипотенуза 5-мерного тетраэдра

Представим еще менее реальную задачу. Пятимерный тетраэдр или 5-мерный симплекс — это обобщение треугольника для пятимерного пространства. Такие причудливые идеи используются в квантовой физике, теории относительности и барицентрическом исчислении, но для решения некоторых задач от вас не потребуется глубоких знаний высшей математики. К примеру, гипотенуза пятимерного тетраэдра рассчитывается по достаточно простой формуле:

f2 = a2 + b2 + c2 + d2,

где a, b, c, d – стороны симплекса.

Для решения такой задачки достаточно ввести четыре значения в форму онлайн калькулятора и вычислить квадратный корень из результата. Допустим, стороны симплекса в условных единицах имеют следующие значения: 1, 2.3, 3/5, 0,85. Введем этим данные в ячейку через пробел и получим 7,3725. Теперь вычислим квадратный корень и выясним, что гипотенуза пятимерного симплекса равна 2,715.

Квадрат суммы

Пусть у нас возводиться в квадрат сумма двух одночленов, вот так: \((a+b)^2\). Возведение в квадрат – это умножение числа или выражения само на себя, то есть, \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\). Теперь мы можем просто раскрыть скобки, перемножив их как делали это здесь, и привести подобные слагаемые. Получаем:

А если мы опустим промежуточные вычисления и запишем только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:

Квадрат суммы: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

Большинство учеников учат ее наизусть. А вы теперь знаете, как эту формулу вывести, и если вдруг забудете – всегда можете это сделать.
Хорошо, но как ей пользоваться и зачем эта формула нужна? Квадрат суммы позволяет быстро писать результат возведения суммы двух слагаемых в квадрат. Давайте посмотрим на примере.

Пример. Раскрыть скобки: \((x+5)^2\)Решение:

Обратите внимание, насколько быстрее и меньшими усилиями получен результат во втором случае. А когда вы эту и другие формулы освоите до автоматизма – будет еще быстрее: вы сможете просто сразу же писать ответ

Поэтому они и называются формулы СОКРАЩЕННОГО умножения. Так что, знать их и научиться применять – точно стоит.

На всякий случай отметим, что в качестве \(a\) и \(b\) могут быть любые выражения – принцип остается тем же. Например:

Если вы вдруг не поняли какие-то преобразования в двух последних примерах – повторите свойства степеней и тему приведения одночлена к стандартному виду.

Пример. Преобразуйте выражение \((1+5x)^2-12x-1 \) в многочлен стандартного вида.

Решение:

\((1+5x)^2-12x-1= \)

               

Раскроем скобки, воспользовавшись формулой квадрата суммы…

\(=1+10x+25x^2-12x-1=\)

 

…и приведем подобные слагаемые.

\(=25x^2-2x\)

 

Готово.

Ответ: \(25x^2-2x\).

Важно! Необходимо научиться пользоваться формулами не только в «прямом», но и в «обратном» направлении.

Пример. Вычислите значение выражения \((368)^2+2·368·132+(132)^2\) без калькулятора.

Решение:

\((368)^2+2·368·132+(132)^2=\)

               

Мда… возводить в квадрат трехзначные числа, перемножить их же, а потом все это складывать – удовольствие ниже среднего

Давайте искать другой путь: обратите внимание, что данное нам числовое выражение очень похоже на правую часть формулы. Применим ее в обратную сторону: \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)

\(=(368+132)^2=\)

 

Вот теперь вычислять гораздо приятнее!

\(=(500)^2=250 000.\)

 

Готово.

Ответ: \(250 000\).

Разность квадратов

Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:

Получили формулу:

Разность квадратов \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

Эта формула одна из наиболее часто применяемых при разложении на множители и работе с алгебраическими дробями. 

Пример. Сократите дробь \(\frac{x^2-9}{x-3}\).

Решение:

\(\frac{x^2-9}{x-3}\)\(=\)

               

Да, я знаю, что рука так и тянется сократить иксы и девятку с тройкой – однако так делать ни в коем случае нельзя, ведь и в числителе, и в знаменателе стоит минус!
Попробуем воспользоваться формулой.

\(=\) \(\frac{x^2-3^2}{x-3}\)\(=\)\(\frac{(x+3)(x-3)}{x-3}\)\(=\)

 

Вот теперь все плюсы и минусы попрятались в скобки, и значит без проблем можем сокращать одинаковые скобки.

\(=x+3\)

 

Готов ответ.

Ответ: \(x+3\).

Пример.Разложите на множители \(25x^4-m^{10} t^6\). Решение:

\(25x^4-m^{10} t^6\)

               

Воспользуемся формулами степеней: \((a^n )^m=a^{nm}\) и \(a^n b^n=(ab)^n\).

\(=(5x^2 )^2-(m^5 t^3 )^2=\)

 

Ну, а теперь пользуемся формулой \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), где \(a=5x^2\) и \(b=m^5 t^3\).

\(=(5x^2-m^5 t^3 )(5x^2+m^5 t^3 )\)

 

Готов ответ.

Это три основные формулы, знать которые нужно обязательно! Есть еще формулы с кубами (см. выше), их тоже желательно помнить либо уметь быстро вывести. Отметим также, что в практике часто встречаются сразу несколько таких формул в одной задаче – это нормально. Просто приучайтесь замечать формулы и аккуратно применяйте их, и все будет хорошо.

Пример (повышенной сложности!).Сократите дробь \(\frac{x^2-4xy-9+4y^2}{x-2y+3}\) . Решение:

\(\frac{x^2-4xy-9+4y^2}{x-2y+3}\)\(=\)

               

На первый взгляд тут тихий ужас и сделать с ним ничего нельзя (вариант «лечь и помереть» всерьез не рассматриваем).
Однако давайте попробуем поменять два последних слагаемых числителя местами и добавим скобки (просто для наглядности).

\(\frac{(x^2-4xy+4y^2)-9}{x-2y+3}\)\(=\)

 

Теперь немного преобразуем слагаемые в скобке:
\(4xy\) запишем как \(2·x·2y\),
а \(4y^2\) как \((2y)^2\).

\(\frac{(x^2-4xy+(2y)^2)-9}{x-2y+3}\)\(=\)

 

Теперь приглядимся – и заметим, что в скобке у нас получилась формула квадрата разности, у которой \(a=x\), \(b=2y\). Сворачиваем по ней к виду скобки в квадрате. И одновременно представляем девятку как \(3\) в квадрате.

\(\frac{(x-2y)^2-3^2}{x-2y+3}\)\(=\)

 

Еще раз внимательно смотрим на числитель… думаем… думаем… и замечаем формулу разности квадратов, у которой \(a=(x-2y)\), \(b=3\). Раскладываем по ней к произведению двух скобок.

\(\frac{(x-2y-3)(x-2y+3)}{x-2y+3}\)\(=\)

 

И вот теперь сокращаем вторую скобку числителя и весь знаменатель.

\(x-2y-3\)

 

Готов ответ.

Дополнительные формулы

В таблицу формул сокращенного умножения не помешает добавить еще несколько тождеств.

Во-первых, полезной будет формула бинома Ньютона вида , где — биномиальные коэффициенты, стоящие в строке под номером n в треугольнике Паскаля. С ее помощью можно сокращенно возводить сумму двух выражений в любую натуральную степень. Кстати, ФСУ квадрата и куба суммы и разности являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3.

Во-вторых, полезной бывает формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и большего количества слагаемых вида(a1+a2+…+an)2=a12+a22+…+an−12+an2+
+2·a1·a2+2·a1·a3+2·a1·a4+…+
+2·a1·an−1+2·a1·an+
+2·a2·a3+2·a2·a4+…+2·a2·an−1+2·a2·an+
+…+
+2·an−1·an.

Она читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых. Для примера возведем в квадрат с использованием этой формулы сумму трех слагаемых a, b и c, имеем (a+b+c)2=a2+b2+c2+2·a·b+2·a·c+2·b·c. В частном случае при n=2 эта формула становится уже известной нам формулой квадрата суммы двух слагаемых.

И еще не помешает держать перед глазами формулу разности n-ых степеней двух слагаемых вида an−bn=
=(a−b)·(an−1+an−2·b+an−3·b2+…+a·bn−2+bn−1), которую обычно представляют раздельно для четных и нечетных показателей. Для четных показателей 2·m она имеет вид a2·m−b2·m=
=(a2−b2)·(a2·m−2+a2·m−4·b2+a2·m−6·b4+…+b2·m−2), а для нечетных показателей 2·m+1 – вид a2·m+1−b2·m+1=
=(a−b)·(a2·m+a2·m−1·b+a2·m−2·b2+…+b2·m). Частными случаями этой формулы являются формулы разность квадратов (при n=2), разность кубов (при n=3) и сумма кубов (при n=3 и если b заменить на −b).

История теоремы

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Однако название получено в честь учёного только по той причине, что он первый и, даже единственный человек, который смог доказать теорему.

Немецкий историк математики Кантор утверждал, что о теореме было известно ещё египтянами приблизительно в 2300 году до н. э. Он считал, раньше строили прямые углы благодаря прямоугольным треугольникам со сторонами 3, 4 и 5.

Известный учёный Кеплер говорил, что у геометрии есть незаменимое сокровище – это теорема Пифагора, благодаря которой можно вывести большинство теорем в геометрии.

Раньше теорему Пифагора называли “теоремой невесты” или “теоремой нимфы”. А всё дело в том, что её чертёж был очень похож на бабочку или нимфу. Арабы же, когда переводили текст теоремы, решили, что нимфа означает невеста. Так и появилось интересное название у теоремы.

Доказательство теоремы методом площадей: 1 способ

Докажем, что
.

Рассмотрим всё тот же треугольник с катетами a, b и гипотенузой c.

  1. Достраиваем прямоугольный треугольник до квадрата. От катета “а” продолжаем линию вверх на расстояние катета “b” (красная линия).
  2. Далее ведём линию нового катета “а” вправо (зелёная линия).
  3. Два катета соединяем гипотенузой “с”.

Получается такой же треугольник, только перевёрнутый.

Аналогично строим и с другой стороны: от катета “а” проводим линию катета “b” и вниз “а” и “b” А снизу от катета “b” проводим линию катета “а”. В центре от каждого катета провели гипотенузы “с”. Таким образом гипотенузы образовали квадрат в центре.

Этот квадрат состоит из 4-х одинаковых треугольников. А площадь каждого прямоугольного треугольника = половина произведения его катетов. Соответственно,
. А площадь квадрата в центре =
, так как все 4 гипотенузы со стороной
.  Стороны четырёхугольника равны, а углы прямые. Как нам доказать, что углы прямые? Очень просто. Возьмём всё тот же квадрат:

Мы знаем, что эти два угла, показаны на рисунке, являются 90 градусам. Так как треугольники равны, значит следующий угол катета “b” равен предыдущему катету “b”:

Сумма этих двух углов = 90 градусов. Соответственно, предыдущий угол тоже 90 градусов. Конечно же, аналогично и с другой стороны. Соответственно, у нас действительно квадрат с прямыми углами.

Так как  острые углы прямоугольного треугольника в общей сложности равняются 90 градусам, то угол четырёхугольника так же будет равен 90 градусов, ведь 3 угла в сумме = 180 градусов.

Соответственно, площадь квадрата складывается из четырёх площадей одинаковых прямоугольных треугольников и площади квадрата, который образован гипотенузами.

Таким образом, получили квадрат со стороной
. Мы знаем, что площадь квадрата со стороной
– это будет квадрат его стороны. То есть
. Этот квадрат состоит из четырёх одинаковых треугольников.

  1. Запишем:
    .
  2. Далее смотрим, что площадь прямоугольного треугольника – это половина произведения его катетов. Поэтому дальше записываем:т
  3. Также надо прибавить площадь квадрата, который находится в центре между треугольниками со стороной “с”. И теперь получим: 
  1. Раскрываем скобки и получаем: 
  2. Сокращаем
    . Получается:

И это значит, что мы доказали теорему Пифагора.

Выводы по уроку и домашнее задание

Вывод: на данном уроке мы вывели формулу разности квадратов и решили много различных примеров, а именно уравнения, вычислительные задачи, задания на прямое и обратное использование выведенной формулы и другие. Кроме того, решили несколько задач на комплексное применение нескольких формул.

Список литературы

  1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.
  2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ. 
  3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 – М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

  1. Упростить: ; Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 358, с. 130.
  2. Разложить на множители: ; Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 354, с. 129.
  3. Вычислить: ; Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 360, с. 130.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Школьный помощник (Источник).
  2. Портал естественных наук (Источник).
  3. Интернет-портал Studyport.ru (Источник).
Ссылка на основную публикацию