Чему равна разность квадратов двух выражений? приведите пример

Пример задачи с решением

Задача №7

Сократить дробь:

Решение.

В числителе записан квадрат разности, а в знаменателе – разность квадратов двух выражений. Применяя соответствующие формулы, получается искомый результат:

Ответ:

В большинстве случаев разницы, как сворачивать квадрат двучлена, не существует. Однако в данной ситуации, благодаря выражению в знаменателе, на первое место лучше поставить

Онлайн калькуляторы помогают выполнять преобразования. Однако, поскольку формулы сокращённого умножения являются базовым материалом школьного курса, то лучше не просто получить результат, но и понять, каким образом к нему пришли.

Предыдущая
МатематикаДесятичный логарифм в математике — свойства, условия и примеры вычислений
Следующая
МатематикаПризнаки делимости чисел — правила и примеры решений

Квадрат суммы

Пусть у нас возводиться в квадрат сумма двух одночленов, вот так: \((a+b)^2\). Возведение в квадрат – это умножение числа или выражения само на себя, то есть, \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\). Теперь мы можем просто раскрыть скобки, перемножив их как делали это здесь, и привести подобные слагаемые. Получаем:

А если мы опустим промежуточные вычисления и запишем только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:

Квадрат суммы: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

Большинство учеников учат ее наизусть. А вы теперь знаете, как эту формулу вывести, и если вдруг забудете – всегда можете это сделать.
Хорошо, но как ей пользоваться и зачем эта формула нужна? Квадрат суммы позволяет быстро писать результат возведения суммы двух слагаемых в квадрат. Давайте посмотрим на примере.

Пример. Раскрыть скобки: \((x+5)^2\)Решение:

Обратите внимание, насколько быстрее и меньшими усилиями получен результат во втором случае. А когда вы эту и другие формулы освоите до автоматизма – будет еще быстрее: вы сможете просто сразу же писать ответ

Поэтому они и называются формулы СОКРАЩЕННОГО умножения. Так что, знать их и научиться применять – точно стоит.

На всякий случай отметим, что в качестве \(a\) и \(b\) могут быть любые выражения – принцип остается тем же. Например:

Если вы вдруг не поняли какие-то преобразования в двух последних примерах – повторите свойства степеней и тему приведения одночлена к стандартному виду.

Пример. Преобразуйте выражение \((1+5x)^2-12x-1 \) в многочлен стандартного вида.

Решение:

\((1+5x)^2-12x-1= \)

               

Раскроем скобки, воспользовавшись формулой квадрата суммы…

\(=1+10x+25x^2-12x-1=\)

 

…и приведем подобные слагаемые.

\(=25x^2-2x\)

 

Готово.

Ответ: \(25x^2-2x\).

Важно! Необходимо научиться пользоваться формулами не только в «прямом», но и в «обратном» направлении.

Пример. Вычислите значение выражения \((368)^2+2·368·132+(132)^2\) без калькулятора.

Решение:

\((368)^2+2·368·132+(132)^2=\)

               

Мда… возводить в квадрат трехзначные числа, перемножить их же, а потом все это складывать – удовольствие ниже среднего

Давайте искать другой путь: обратите внимание, что данное нам числовое выражение очень похоже на правую часть формулы. Применим ее в обратную сторону: \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)

\(=(368+132)^2=\)

 

Вот теперь вычислять гораздо приятнее!

\(=(500)^2=250 000.\)

 

Готово.

Ответ: \(250 000\).

Разность квадратов

Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:

Получили формулу:

Разность квадратов \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

Эта формула одна из наиболее часто применяемых при разложении на множители и работе с алгебраическими дробями. 

Пример. Сократите дробь \(\frac{x^2-9}{x-3}\).

Решение:

\(\frac{x^2-9}{x-3}\)\(=\)

               

Да, я знаю, что рука так и тянется сократить иксы и девятку с тройкой – однако так делать ни в коем случае нельзя, ведь и в числителе, и в знаменателе стоит минус!
Попробуем воспользоваться формулой.

\(=\) \(\frac{x^2-3^2}{x-3}\)\(=\)\(\frac{(x+3)(x-3)}{x-3}\)\(=\)

 

Вот теперь все плюсы и минусы попрятались в скобки, и значит без проблем можем сокращать одинаковые скобки.

\(=x+3\)

 

Готов ответ.

Ответ: \(x+3\).

Пример.Разложите на множители \(25x^4-m^{10} t^6\). Решение:

\(25x^4-m^{10} t^6\)

               

Воспользуемся формулами степеней: \((a^n )^m=a^{nm}\) и \(a^n b^n=(ab)^n\).

\(=(5x^2 )^2-(m^5 t^3 )^2=\)

 

Ну, а теперь пользуемся формулой \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), где \(a=5x^2\) и \(b=m^5 t^3\).

\(=(5x^2-m^5 t^3 )(5x^2+m^5 t^3 )\)

 

Готов ответ.

Это три основные формулы, знать которые нужно обязательно! Есть еще формулы с кубами (см. выше), их тоже желательно помнить либо уметь быстро вывести. Отметим также, что в практике часто встречаются сразу несколько таких формул в одной задаче – это нормально. Просто приучайтесь замечать формулы и аккуратно применяйте их, и все будет хорошо.

Пример (повышенной сложности!).Сократите дробь \(\frac{x^2-4xy-9+4y^2}{x-2y+3}\) . Решение:

\(\frac{x^2-4xy-9+4y^2}{x-2y+3}\)\(=\)

               

На первый взгляд тут тихий ужас и сделать с ним ничего нельзя (вариант «лечь и помереть» всерьез не рассматриваем).
Однако давайте попробуем поменять два последних слагаемых числителя местами и добавим скобки (просто для наглядности).

\(\frac{(x^2-4xy+4y^2)-9}{x-2y+3}\)\(=\)

 

Теперь немного преобразуем слагаемые в скобке:
\(4xy\) запишем как \(2·x·2y\),
а \(4y^2\) как \((2y)^2\).

\(\frac{(x^2-4xy+(2y)^2)-9}{x-2y+3}\)\(=\)

 

Теперь приглядимся – и заметим, что в скобке у нас получилась формула квадрата разности, у которой \(a=x\), \(b=2y\). Сворачиваем по ней к виду скобки в квадрате. И одновременно представляем девятку как \(3\) в квадрате.

\(\frac{(x-2y)^2-3^2}{x-2y+3}\)\(=\)

 

Еще раз внимательно смотрим на числитель… думаем… думаем… и замечаем формулу разности квадратов, у которой \(a=(x-2y)\), \(b=3\). Раскладываем по ней к произведению двух скобок.

\(\frac{(x-2y-3)(x-2y+3)}{x-2y+3}\)\(=\)

 

И вот теперь сокращаем вторую скобку числителя и весь знаменатель.

\(x-2y-3\)

 

Готов ответ.

Доказательство

Сейчас самое время остановиться на доказательстве формул сокращенного умножения. Доказать их достаточно легко – для этого нужно лишь выполнить возведение в степень или умножение выражений, находящихся в левых частях формул, основываясь на свойствах умножения.

Для примера докажем формулу квадрата разности (a−b)2=a2−2·a·b+b2. Возведем разность a−b во вторую степень. Для этого степень заменяем умножением, и выполняем это действие:
(a−b)2=(a−b)·(a−b)=
=a·(a−b)−b·(a−b)=a·a+a·(−b)−b·a−b·(−b)=
=a2−a·b−b·a+b·b=a2−a·b−a·b+b2=
=a2−2·a·b+b2.

Абсолютно аналогично доказывается любая другая из 7 основных формул сокращенного умножения.

Доказательство дополнительных ФСУ можно провести с использованием метода наименьших квадратов.

Квадрат разности

Выше мы нашли формулу для суммы одночленов. Давайте теперь найдем формулу для разности, то есть, для \((a-b)^2\):

В более краткой записи имеем:

Квадрат разности: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

Применяется она также, как и предыдущая.

Пример. Упростите выражение \((2a-3)^2-4(a^2-a)\) и найдите его значение при \(a=\frac{17}{8}\).

Решение:

\((2a-3)^2-4(a^2-a)=\)

               

Если сразу подставить дробь в выражение – придется возводить ее в квадрат и вообще делать объемные вычисления. Попробуем сначала упростить выражение, воспользовавшись формулой выше и раскрыв скобки.

\(=4a^2-12a+9-4a^2+4a=\)

 

Теперь приведем подобные слагаемые.

\(=-8a+9=\)

 

Вот теперь подставляем и наслаждаемся простотой вычислений.

\(=-8·\frac{17}{8}+9=-17+9=8\)

 

Пишем ответ.

Ответ: \(8\).

Решение примеров на прямое применение формулы

Пример 2:

.

Комментарий: если возникают затруднения, можно, аналогично предыдущему примеру, заменить одно из выражений на а, а второе на b, чтобы легче было увидеть нужную формулу.

Пример 3:

.

Комментарий: в данном примере следует быть внимательными и не допустить типовую ошибку, описанную выше. Для этого удобно в первой скобке поменять слагаемые местами.

Перейдем к задачам на обратное применение формулы – разложение на множители.

Пример 4:

.

Комментарий: пример решен из определения разности квадратов. Нужно только определить, квадратом какого выражения является первый одночлен и второй.

Пример 5:

.

Пример 6:

Комментарий: в данном примере нужно несколько раз применить изучаемую формулу. Может быть задано из полученной в конце длинной формулы получить стандартный вид многочлена, тогда нужно постепенно перемножать скобки между собой и сворачивать выражение до простейшего.

Алгебра

34. Умножение разности двух выражений на их сумму

Рассмотрим ещё одну формулу сокращённого умножения. Умножим разность а — b на сумму а + b:

(а — b)(а + b) = а2 + ab — аb — b2 = а2 — b2.

Значит,

(а — b)(а + b) = а2 — b2. (1)

Тождество (1) позволяет сокращённо выполнять умножение разности любых двух выражений на их сумму:

произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Приведём примеры применения формулы (1).

Пример 1. Умножим разность Зх — 7у на сумму Зх + 7у.

Решение: Воспользовавшись тождеством (1), получим

(Зх — 7у)(3х + 7у) = (Зх)2 — (7y)2 = 9х2 — 49у2.

Пример 2. Представим в виде многочлена произведение

(5а2 — b3) (5а2 + b3).

Решение: Применив тождество (1), получим

(5а2 — b3) (5а2 + b3) = (5а2)2 — (b3)2 = 25а4 — b6.

Пример 3. Представим в виде многочлена произведение

(-2а — 9с) (2а — 9с).

Решение: Вынесем в выражении -2а — 9с за скобки -1, тогда

(-2а — 9с)(2а — 9с) = (-1)(2а + 9с) (2а — 9с) =
= -((2а)2 — (9с)2) = -(4а2 — 81с2) = -4а2 + 81с2.

Преобразование можно выполнить иначе:

(-9с — 2а) (-9с + 2а) = (-9с)2 — (2а)2 = 81с2 — 4а2.

Пример 4. Упростим выражение 6,5х2 — (2х + 0,8)(2х — 0,8).

Решение: Имеем

6,5х2 — (2х + 0,8)(2х — 0,8) = 6,5х2 — (4х2 — 0,64) =
= 6,5х2 — 4х2 + 0,64 = 2,5х2 + 0,64.

Упражнения

  1. Выполните умножение многочленов:

  2. Выполните умножение:

  3. С помощью рисунка 72 разъясните геометрический смысл формулы (а — b)(а + b) = а2 — b2 для положительных а и b, удовлетворяющих условию а > b.

    Рис. 72

  4. Представьте в виде многочлена произведение:

  5. Впишите вместо знака * одночлен так, чтобы получилось тождество:

  6. Представьте в виде многочлена:

  7. Найдите значение выражения:

  8. Найдите значение произведения:

  9. Представьте выражение в виде многочлена, используя соответствующую формулу сокращённого умножения:

  10. Представьте в виде многочлена:

  11. Выполните умножение:

  12. Найдите наибольшее значение выражения:

  13. Найдите наибольшее или наименьшее значение выражения, если такое значение существует:

  14. Представьте в виде многочлена:

  15. Представьте выражение в виде многочлена:

  16. Выполните умножение:

  17. Упростите выражение:

    871. Упростите:

  18. Докажите, что квадрат любого целого числа на единицу больше произведения предыдущего и последующего целых чисел.

  19. Упростите выражение:

  20. (Для работы в парах.) Докажите, что сумма произведения трёх последовательных целых чисел и среднего из них равна кубу среднего числа.

    1) Проверьте утверждение на примере чисел 19, 20, 21.
    2) Составьте выражение, обозначив через р одно из этих чисел, и выполните преобразование составленного выражения. Одному учащемуся рекомендуем обозначить через р наименьшее из чисел, а другому — среднее из чисел.
    3) Проверьте друг у друга правильность преобразований и сравните их сложность.

  21. Упростите выражение:

  22. Решите уравнение:

  23. Найдите корень уравнения:

  24. Представьте выражение в виде квадрата двучлена:

  25. Докажите тождество:

  26. Разложите на множители:

  27. Решите уравнение:

  28. Со станций М и N, расстояние между которыми 380 км, одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Скорость поезда, отправившегося со станции N, была больше скорости другого поезда на 5 км/ч. Через 2 ч после отправления поездам оставалось пройти до встречи 30 км. Найдите скорость поездов.
Ссылка на основную публикацию