Сумма кубов

Решение примеров на прямое применение формулы

Пример 2:

.

Комментарий: если возникают затруднения, можно, аналогично предыдущему примеру, заменить одно из выражений на а, а второе на b, чтобы легче было увидеть нужную формулу.

Пример 3:

.

Комментарий: в данном примере следует быть внимательными и не допустить типовую ошибку, описанную выше. Для этого удобно в первой скобке поменять слагаемые местами.

Перейдем к задачам на обратное применение формулы – разложение на множители.

Пример 4:

.

Комментарий: пример решен из определения разности квадратов. Нужно только определить, квадратом какого выражения является первый одночлен и второй.

Пример 5:

.

Пример 6:

Комментарий: в данном примере нужно несколько раз применить изучаемую формулу. Может быть задано из полученной в конце длинной формулы получить стандартный вид многочлена, тогда нужно постепенно перемножать скобки между собой и сворачивать выражение до простейшего.

Алгебра

36. Разложение на множители суммы и разности кубов

Для разложения на множители суммы кубов используется тождество

а3 + b3 = (а + b)(а2 — аb + b2), (1)

которое называют формулой суммы кубов.

Чтобы доказать тождество (1), умножим двучлен а + b на трёхчлен а2 — аb + b2:

(а + b)(а2 — аb + b2) =
= а3 — a2b + ab2 + a2b — ab2 + b3 = а3 + b

Множитель а2 — ab + b2 в правой части формулы (1) напоминает трёхчлен а2 — 2ab + b2, который равен квадрату разности а и b. Однако вместо удвоенного произведения а и b в нём стоит просто их произведение. Трёхчлен a2 — ab + b2 называют неполным, квадратом, разности а и b. Итак,

сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

Пример 1. Разложим на множители многочлен 27х3 + у3.

Решение: Данный многочлен можно представить в виде суммы кубов двух выражений:

27х3 + у2 = (Зх)3 + у2.

Применив формулу (1), получим

(Зх)3 + у3 = (Зх + у)(9х2 — 3ху + у2).

Итак

27х3 + у3 = (Зх + у)(9х2 — Зхy + у2).

Для разложения на множители разности кубов используется тождество

а2 — b2 = (а — b)(а2 + аb + b2), (2)

которое называют (рормулой разности кубов.

Чтобы доказать тождество (2), преобразуем произведение двучлена а — b и трёхчлена а2 + аb + b2, который называют неполным квадратом суммы а и b:

(а — b)(а2 + аb + b2) =
= а3 + a2b + ab2 — а2b — ab2 — b3 = а3 — b3.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

Пример 2. Разложим на множители многочлен m6 — n3.

Решение: Представим данный многочлен в виде разности кубов двух выражений и применим формулу (2). Получим

m6 — n3 = (m2)3 — n3 — (m2 — n)(m4 + m2n + n2).

Упражнения

  1. Разложите на множители многочлен:

  2. Примените формулу суммы кубов или формулу разности кубов:

  3. Представьте выражение в виде суммы или разности кубов и разложите его на множители:

  4. Разложите на множители:

  5. Запишите в виде произведения выражение:

  6. Разложите на множители:

  7. Запишите в виде произведения:

  8. Представьте в виде произведения:

  9. Докажите, что значение выражения:

  10. Делится ли значение выражения:

  11. Представьте в виде многочлена:

  12. Докажите, что равенство не является тождеством:

  13. Решите уравнение:

Контрольные вопросы и задания

  1. Чему равно произведение разности двух выражений и их суммы? Напишите соответствующую формулу и докажите её.

  2. Чему равна разность квадратов двух выражений? Напишите соответствующую формулу.

  3. Напишите формулу суммы кубов. Проведите доказательство.

  4. Напишите формулу разности кубов. Проведите доказательство.

  5. Разложите на множители многочлен 16t2 — 1; р3 + 8; m3 — 27.

Сферы применения формул сокращенного умножения (фсу) и примеры

Основное предназначение формул сокращенного умножения (фсу) объясняется их названием, то есть, оно состоит в кратком умножении выражений. Однако сфера применения ФСУ намного шире, и не ограничивается кратким умножением. Перечислим основные направления.

Несомненно, центральное приложение формулы сокращенного умножения нашли в выполнении тождественных преобразований выражений. Наиболее часто эти формулы используются в процессе упрощения выражений.

Пример.

Упростите выражение 9·y−(1+3·y)2.

Решение.

В данном выражении возведение в квадрат можно выполнить сокращенно, имеем 9·y−(1+3·y)2=9·y−(12+2·1·3·y+(3·y)2). Остается лишь раскрыть скобки и привести подобные члены: 9·y−(12+2·1·3·y+(3·y)2)=9·y−1−6·y−9·y2=3·y−1−9·y2.

Ответ:

9·y−(1+3·y)2=3·y−1−9·y2.

И если в 7 классе речь идет о преобразовании целых выражений с помощью формул сокращенного умножения, то в старших классах можно будет видеть применение ФСУ к преобразованию выражений всех других видов – дробных, иррациональных, логарифмических, тригонометрических и других. К примеру, тождества сокращенного умножения с переставленными частями позволяют представлять выражения в виде степеней или произведений, в частности, выполнять разложение многочленов на множители. Это очень полезно, к примеру, при сокращении алгебраических дробей.

Пример.

Сократите дробь .

Решение.

В числителе выражение представляет собой разность кубов двух выражений 2·x и z2, а в знаменателе – разность квадратов этих выражений. После применения соответствующих формул исходная дробь примет вид . Теперь можно сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе: .

Оформим все решение кратко:

Ответ:

.

Формулы сокращенного умножения иногда позволяют рационально вычислять значения выражений. В качестве примера покажем, как можно возвести число 79 в квадрат с помощью формулы квадрата разности: 792=(80−1)2=802−2·80·1+12=6 400−160+1=6 241. Такой подход позволяет выполнять подобные вычисления даже устно.

В заключение скажем еще про одно важное преобразование – выделение квадрата двучлена, в основе которого лежит формула сокращенного умножения квадрат суммы. Например, выражение 4·x2+4·x−3 может быть преобразовано к виду (2·x)2+2·2·x·1+12−4, и первые три слагаемых заменяются с использованием формулы квадратом суммы

Так что выражение принимает вид (2·x+1)2−4. Подобные преобразования широко используются, например, при интегрировании.

Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / ; под ред. С. А. Теляковского. — 17-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 240 с. : ил. — ISBN 978-5-09-019315-3.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 13-е изд., испр. — М.: Мнемозина, 2009. — 160 с.: ил. ISBN 978-5-346-01198-9.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Некогда разбираться?

Ссылка на основную публикацию