Формула эйлера

Отношение к тригонометрии

Взаимосвязь между синус, косинус и экспоненциальной функции

Формула Эйлера обеспечивает мощную связь между анализом и тригонометрии , и обеспечивает интерпретацию синуса и косинуса в качестве взвешенных сумм показательной функции:

соз⁡Иксзнак равноре⁡(еяИкс)знак равноеяИкс+е-яИкс2,грех⁡Иксзнак равноЯ⁡(еяИкс)знак равноеяИкс-е-яИкс2я,{\ Displaystyle {\ начинаются {выравненные} \ соз х & = \ OperatorName {Re} \ влево (е ^ {IX} \ справа) = {\ гидроразрыва {е ^ {ие} + е ^ {- IX}} {2} }, \\\ грех х & = \ OperatorName {Im} \ влево (е ^ {IX} \ справа) = {\ гидроразрыва {е ^ {ие} -e ^ {- IX}}. {2i}} \ {конец выровнены}}}

Эти два уравнения выше, могут быть получены путем сложения или вычитания формулы Эйлера:

еяИксзнак равносоз⁡Икс+ягрех⁡Икс,е-яИксзнак равносоз⁡(-Икс)+ягрех⁡(-Икс)знак равносоз⁡Икс-ягрех⁡Икс{\ Displaystyle {\ {начинается выровнено} е ^ {ие} & = \ соз х + I \ ет й, \\ е ^ {- IX} & = \ сова (-x) + I \ sin (-x) = \ соз XI \ грех х \ {конец выровнен}}}

и решение для любого косинуса или синуса.

Эти формулы могут даже служить в качестве определения тригонометрических функций для комплексных аргументов х . Например, позволяя х = IY , мы имеем:

соз⁡(яY)знак равное-Y+еY2знак равносЬ⁡(Y),грех⁡(яY)знак равное-Y-еY2язнак равноя(еY-е-Y2)знак равноязп⁡(Y),{\ Displaystyle {\ BEGIN {выравненные} \ сов (гу) & = {\ гидроразрыва {е ^ {- у} + е ^ {у}} {2}} = \ сп (у), \\\ Sin (гу ) & = {\ гидроразрыва {е ^ {- у} -e ^ {у}} {2i}} = я \ влево ({\ гидроразрыва {е ^ {у} -e ^ {- у}} {2}} \ справа) = я \ зп (у). \ {конец выровнен}}}

Сложный экспонент может упростить тригонометрии, потому что они легче манипулировать, чем их синусоидальные компоненты. Одним из методов являются просто преобразовать синусоиды в эквивалентные выражения в терминах экспонента. После манипуляций, упрощенный результат все равно вещественный. Например:

соз⁡Икс⋅соз⁡Yзнак равноеяИкс+е-яИкс2⋅еяY+е-яY2знак равно12⋅ея(Икс+Y)+ея(Икс-Y)+ея(-Икс+Y)+ея(-Икс-Y)2знак равно12(ея(Икс+Y)+е-я(Икс+Y)2⏟соз⁡(Икс+Y)+ея(Икс-Y)+е-я(Икс-Y)2⏟соз⁡(Икс-Y)),{\ Displaystyle {\ BEGIN {выравненные} \ соз х \ CDOT \ соз у & = {\ гидроразрыва {е ^ {ие} + е ^ {- IX}} {2}} \ CDOT {\ гидроразрыва {е ^ {гу} + е ^ {- гу}} {2}} \\ & = {\ гидроразрыва {1} {2}} \ CDOT {\ гидроразрыва {е ^ {(х + у)} + е ^ {я (х) } + е ^ {я (х + у)} + е ^ {я (-xy)}} {2}} \\ & = {\ гидроразрыва {1} {2}} {\ Bigg (} \ underbrace { \ гидроразрыва {е ^ {(х + у)} + е ^ {- (х + у)}} {2}} _ {\ соз (х + у)} + \ underbrace {\ гидроразрыва {е ^ { я (х)} + е ^ {-. я (х)}} {2}} _ {\ соз (х)} {\ Bigg)} \ {конец выровнен}}}

Другой метод заключается в представлении синусоиды с точки зрения действительной части комплексного выражения и выполнять манипуляции на сложное выражение. Например:

соз⁡(NИкс)знак равноре⁡(еяNИкс)знак равноре⁡(ея(N-1)Икс⋅еяИкс)знак равноре⁡(ея(N-1)Икс⋅(еяИкс+е-яИкс⏟2соз⁡Икс-е-яИкс))знак равноре⁡(ея(N-1)Икс⋅2соз⁡Икс-ея(N-2)Икс)знак равносоз⁡(N-1)Икс⋅2соз⁡(Икс)-соз⁡(N-2)Икс,{\ Displaystyle {\ BEGIN {выравненные} \ соз (пх) & = \ OperatorName {Re} \ влево (е ^ {INX} \ справа) \\ & = \ OperatorName {Re} \ влево (е ^ {я (п -1) х} \ CD е ^ {IX} \ справа) \\ & = \ OperatorName {Re} {\ большой (} е ^ {я (п-1) х} \ CD {\ большой (} \ underbrace { е ^ {ие} + е ^ {- IX}} _ {2 \ соз х} -e ^ {- IX} {\ большой)} {\ Big)} \\ & = \ OperatorName {Re} \ влево (е ^ {я (п-1) х} \ CDOT 2 \ соз х ^ {я (п-2) х} \ справа) \\ & = \ соз \ CDOT -. \ соз \ {конец выровнен}}}

Эта формула используется для генерации рекурсивной из сов ой для целочисленных значений п и произвольных х (в радианах).

Применение

Сумма степеней

Вычислим сумму степеней ∑a⩽kbkm−1{\displaystyle \sum \limits _{a\leqslant k. Положим f(x)=xm−1{\displaystyle f(x)=x^{m-1}}, тогда f(m)(x)={\displaystyle f^{(m)}(x)=0} и Rm={\displaystyle R_{m}=0}, вычисляя интегралы, получаем:

∑a⩽kbkm−1=1m∑k=m(mk)Bk(bm−k−am−k).{\displaystyle \sum \limits _{a\leqslant k

Сумма обратных квадратов

Основная статья: Ряд обратных квадратов

Вычислить сумму

1+14+19+116⋯=∑n=1∞1n2.{\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}

Эйлер вычислил эту сумму до 20 десятичных знаков с помощью небольшого числа членов формулы Эйлера-Маклорена в 1735. Это, вероятно, убедило его в том, что эта сумма равна π26{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}, что и было им доказано в том же году.

Численное интегрирование

Формула Эйлера-Маклорена также может быть использована для детального анализа ошибок численных методов интегрирования. Она объясняет высокую производительность метода трапеций на гладких периодических функциях и используется в определенных методах экстраполяции. Clenshaw–Curtis quadrature существенно изменяет переменные, выражая произвольный интеграл в терминах интегралов периодических функций, для которых приближение Эйлера-Маклорена особенно точно (в этом частном случае формула Эйлера-Маклорена берется в форме дискретного косинус-преобразования). Эта техника называется преобразованием к периодической функции.

Асимптотическое выражение для суммы

Для вычисления асимптотического выражения суммы или ряда обычно чаще всего используется следующая форма формулы Эйлера-Маклорена:

∑n=abf(n)∼∫abf(x)dx+f(a)+f(b)2+∑k=1+∞B2k(2k)!(f(2k−1)(b)−f(2k−1)(a)),{\displaystyle \sum \limits _{n=a}^{b}f(n)\sim \int \limits _{a}^{b}f(x)dx+{\frac {f(a)+f(b)}{2}}+\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right),}

где a,b — целые. Часто формула остается справедливой и при расширении пределов a→−∞{\displaystyle a\to -\infty } или b→+∞{\displaystyle b\to +\infty }, или обоих. Во многих случаях интеграл в правой части может быть вычислен замкнутой форме в терминах элементарных функций, даже если сумма в левой части так не может быть выражена. Тогда все члены асимптотического ряда могут быть выражены в терминах элементарных функций. Например,

∑k=∞1(z+k)2∼∫+∞1(z+k)2dk⏟=1z+12z2+∑t=1+∞B2tz2t+1.{\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\sim \underbrace {\int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}dk} _{=1/z}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum \limits _{t=1}^{+\infty }{\frac {B_{2t}}{z^{2t+1}}}.}

Здесь левая часть равна ψ(1)(z){\displaystyle \psi ^{(1)}(z)}, называемая полигамма-функцией первого порядка, определяемая как ψ(1)(z)=d2dz2ln⁡Γ(z){\displaystyle \psi ^{(1)}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)}; гамма-функция Γ(z){\displaystyle \Gamma (z)} равна (z−1)!{\displaystyle (z-1)!}, если z натуральное. Полученный результат есть асимптотическое разложение ψ(1)(z){\displaystyle \psi ^{(1)}(z)}. Это выражение используется как отправной пункт для получения оценки точной ошибки формулы Стирлинга для факториала.

Аппроксимация для гармонических чисел

Полагаем f(x)=x−1{\displaystyle f(x)=x^{-1}}, тогда f(m)(x)=(−1)mm!x−m−1=O(x−m−1){\displaystyle f^{(m)}(x)=(-1)^{m}m!x^{-m-1}=O(x^{-m-1})} и тогда получаем

∑k=1n1k=ln⁡n+γ+12n−∑k=1mB2k2kn2k−θm,nB2m+2(2m+2)n2m+2,{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}-\theta _{m,n}{\frac {B_{2m+2}}{(2m+2)n^{2m+2}}},}

где θm,n1{\displaystyle 0
. Отсюда можно относительно быстро вычислить постоянную Эйлера γ{\displaystyle \gamma }.

Аппроксимация Стирлинга для факториала

Полагаем f(x)=ln⁡x{\displaystyle f(x)=\ln x}, тогда f′(x)=x−1,f(m+1)(x)=(−1)mm!x−m−1{\displaystyle f'(x)=x^{-1},f^{(m+1)}(x)=(-1)^{m}m!x^{-m-1}} и тогда получаем

∑k=1nln⁡k=nln⁡n−n+σ−ln⁡n2+∑k=1mB2k2k(2k−1)n2k−1−ϕm,nB2m+2(2m+1)(2m+2)n2m+1,{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\ln k=n\ln n-n+\sigma -{\frac {\ln n}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}}}-\phi _{m,n}{\frac {B_{2m+2}}{(2m+1)(2m+2)n^{2m+1}}},}

где на самом деле σ=ln⁡2π{\displaystyle \sigma =\ln {\sqrt {2\pi }}}. Взяв экспоненту от обеих частей, получим формулу Стирлинга.

Приближения

  • Число можно запомнить как 2, 7 и повторяющиеся 18, 28, 18, 28.
  • Мнемоническое правило: два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного (45, 90 и 45 градусов). Стихотворная мнемофраза, иллюстрирующая часть этого правила: «Экспоненту помнить способ есть простой: два и семь десятых, дважды Лев Толстой»
  • Мнемоническое стихотворение, позволяющее запомнить первые 12 знаков после запятой (длины слов кодируют цифры числа e): Мы порхали и блистали, / Но застряли в перевале: / Не признали наши крали / Авторалли.[значимость факта?]
  • С точностью до 10−7{\displaystyle 10^{-7}}: e≈3−563,{\displaystyle e\,\approx \,3-{\sqrt {\frac {5}{63}}}\,\,\,,}[значимость факта?] с точностью 10−9→e≈2,7+182899990,{\displaystyle 10^{-9}\to e\approx 2,7+{\frac {1828}{99990}},}[значимость факта?] а с точностью 4,6⋅10−10→e≈3−9394337{\displaystyle 4,6\,\cdot \,10^{-10}\,\,\to \,\,e\,\approx \,3-{\frac {93}{94}}{\sqrt {\frac {3}{37}}}}[значимость факта?]
  • 1e≈(1−1106)106{\displaystyle 1/e\approx (1-{\frac {1}{10^{6}}})^{10^{6}}}, с точностью 0,000001;

В соответствии с теорией непрерывных дробей наилучшими рациональными приближениями числа e{\displaystyle e} будут подходящие дроби разложение числа e{\displaystyle e} в непрерывную дробь.

Число 19/7 превосходит число e менее чем на 0,004;
Число 87/32 превосходит число e менее чем на 0,0005;
Число 193/71 превосходит число e менее чем на 0,00003;
Число 1264/465 превосходит число e менее чем на 0,000003;
Число 2721/1001 превосходит число e менее чем на 0,0000002;
Число 23225/8544 превосходит число e менее чем на 0,00000001.

Площадь поверхности квадратной пирамиды, у которой боковые грани правильные треугольники с длиной ребра 1 (точность 0,005).

Задача на нахождение наименьшего значения функции

Пример 4.

Найти наименьшее значение функции.

Решение.

Имеем производную произведения:

Приравниваем производную к нулю и убеждаемся, что , так как по свойству показательной функции всегда больше нуля.

Итак, имеем единственную критическую точку (рис. 7).

Рис. 7. Критическая точка

Если , то и функция убывает. Если , то .

Мы уже говорили, что  – единственная критическая точка. Посчитаем значение функции в ней:

Рис. 8. Точка наименьшего значения функции

И получаем ответ: наименьшее значение функции достигается в точке . Рис. 8.

Ответ:

Итак, мы познакомились с числом , показательной функцией с основанием . На следующем уроке мы рассмотрим логарифмическую функцию с основанием .

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Uztest.ru (Источник).
  2. Schoolife.ru (Источник).
  3. Terver.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Найти производные функция в указанных точках:

а) ;

б) .

2. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции  в точке с абсциссой :

а) ;

б) .

3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 1616, 1618, 1621, 1624.

Свойства[править]

  • \( \frac{de^x }{dx} = e^x.\)Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения \(\frac{df(x)}{dx} = f(x)\) является функция \(\!f(x) = c e^x\), где c — произвольная константа.
  • Число e иррационально и даже трансцендентно. Это первое число, которое не было выведено как трансцендентное специально, его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e — нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.
  • \(\!e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)\), см. формула Эйлера, в частности\(e^{i\pi} + 1 = 0. \,\!\)
  • Ещё одна формула, связывающая числа е и π, т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»: \(\int\limits_{-\infty}^{\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}\)
  • Соотношение между \( \pi \, \) и \( e \, \) выражается через бесконечное произведение:\(\frac {\pi}{2e} = \prod \limits _{n=1}^{\infty }\left \)
  • То же через интегральное соотношение:\(\frac {\pi}{2e} = \int \limits _{0}^{\infty }\ \frac {x \cdot \sin ( x ) }{x^2+1}{dx} \)
  • Для любого комплексного числа z верны следующие равенства:\(e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}z^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n \)
  • Число e разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом:\(e = \,\), то есть\(e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{8 + \ldots}}}}}}}}}}} \)
  • \(e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt{n!}}.\)
  • Представление Каталана:\(e=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdots\)

Некоторые значения функции

Первые 143 значений (последовательность A000010 в OEIS ) приведены в таблице и графике ниже:

График первых 100 значений

φ ( п ) для 1 ≤ N ≤ 143
+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
N / A 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10
12 4 12 6 8 8 16 6 18 8 12 10 22
24 8 20 12 18 12 28 8 30 16 20 16 24
36 12 36 18 24 16 40 12 42 20 24 22 46
48 16 42 20 32 24 52 18 40 24 36 28 58
60 16 60 30 36 32 48 20 66 32 44 24 70
72 24 72 36 40 36 60 24 78 32 54 40 82
84 24 64 42 56 40 88 24 72 44 60 46 72
96 32 96 42 60 40 100 32 102 48 48 52 106
108 36 108 40 72 48 112 36 88 56 72 58 96
120 32 110 60 80 60 100 36 126 64 84 48 130
132 40 108 66 72 64 136 44 138 48 92 70 120

Верхняя линия на графике, у = п — 1 , является истинной верхней границей . Это достигается , когда п является простым. Не Там будет не нижняя граница , которая является прямой линией положительного наклона; независимо от того , как нежного наклона линии, там будет в конечном счете быть точки участка ниже линии. Точнее, нижний предел графика пропорционален плог войти п а не линейно.

Приложения

циклотомия

В последнем разделе Disquisitiones Гаусс доказывает , что регулярное п — угольник можно построить циркулем и линейкой , если φ ( п ) является степенью 2. Если п есть степень нечетного простого числа формула для totient говорит его totient может быть степенью двойки только тогда , когда п является первой мощности и п — 1 является степенью 2. штрихи , которые являются одним больше , чем степень 2 называются Ферма простые числа , и известны только пять: 3, 5, 17, 257 и 65537. Ферма и Гаусс знали о них. Никто не смог доказать , есть ли какие — либо еще.

Таким образом, регулярный п — угольник имеет конструкцию стрэйтэдж-и-компас , если п является произведением различных простых чисел Ферма и любой степень 2. Первым несколько такого п являются

2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, … (последовательность A003401 в OEIS ).

RSA криптосистемы

Настройка системы RSA включает выбор большого простых чисел р и д , вычислительный п = PQ и K = ф ( п ) , а также найти два номера е и д такого , что Ed = 1 ( по модулю K ) . Числа п и е ( «ключ шифрования») выпускаются для общественности, и d (далее «ключ дешифрования») является приватным.

Сообщение, представленное на целое м , где 0 т п , шифруется с помощью вычисления S = м е ( по модулю п ) .

Это дешифруется путем вычисления т = S д ( по модулю п ) . Теорема Эйлера может быть использована , чтобы показать , что если 0 т п , то т = т .

Безопасность системы RSA будет нарушена , если число п может быть разложен или если ф ( п ) может быть вычислена без факторингового п .

История

Формула Эйлера впервые была приведена в статье английского математика Роджера Котса (помощника Ньютона) «Логометрия» (лат. Logometria), опубликованной в журнале «Философские труды Королевского общества» в 1714 году и перепечатана в книге «Гармония мер» (лат. Harmonia mensurarum), которая была издана в 1722 году, уже после смерти автора. Котс привёл её как небольшое предложение среди множества геометрических построений, которое после перевода на современный математический язык и исправления ошибки в знаке, имеет вид:

ln⁡(cos⁡x+isin⁡x)=ix{\displaystyle \ln(\cos x+i\sin x)=ix}.

Эйлер опубликовал формулу в её привычном виде в статье 1740 года и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» (лат. Introductio in analysin infinitorum) (), построив доказательство на равенстве бесконечных разложений в степенные ряды правой и левой частей. Ни Эйлер, ни Котс не представляли себе геометрической интерпретации формулы: представление о комплексных числах как точках на комплексной плоскости появилось примерно 50 лет спустя у К. Весселя.

История

Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x{\displaystyle x} был равен 107⋅log1e⁡(x107){\displaystyle 10^{7}\cdot \,\log _{1/e}\left({\frac {x}{10^{7}}}\right)}.

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует.

Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.

Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода.
Он обнаружил, что если исходная сумма $1{\displaystyle \$1} и начисляется 100%{\displaystyle 100\%} годовых один раз в конце года, то итоговая сумма будет $2{\displaystyle \$2}. Но если те же самые проценты начислять два раза в год, то $1{\displaystyle \$1} умножается на 1,5{\displaystyle 1{,}5} дважды, получая $1,00⋅1,52=$2,25{\displaystyle \$1{,}00\cdot 1{,}5^{2}=\$2{,}25}. Начисления процентов раз в квартал приводит к $1,00⋅1,254=$2,44140625{\displaystyle \$1{,}00\cdot 1{,}25^{4}=\$2{,}44140625}, и так далее.
Бернулли показал, что если частоту начисления процентов бесконечно увеличивать, то процентный доход в случае сложного процента имеет предел:
limn→∞(1+1n)n.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.} и этот предел равен числу e (≈2,71828){\displaystyle e~(\approx 2{,}71828)}.

$1,00⋅(1+112)12=$2,613035…{\displaystyle \$1{,}00\cdot \left(1+{\frac {1}{12}}\right)^{12}=\$2{,}613035…}

$1,00⋅(1+1365)365=$2,714567…{\displaystyle \$1{,}00\cdot \left(1+{\frac {1}{365}}\right)^{365}=\$2{,}714567…}

Таким образом, константа e{\displaystyle e} означает максимально возможную годовую прибыль при 100%{\displaystyle 100\%} годовых и максимальной частоте капитализации процентов.

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b{\displaystyle b}, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, —1691 годы.

Букву e{\displaystyle e} начал использовать Эйлер в 1727 году, впервые она встречается в письме Эйлера немецкому математику Гольдбаху от 25 ноября 1731 года, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически», 1736 год. Соответственно, e{\displaystyle e} обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c{\displaystyle c}, буква e{\displaystyle e} применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

В языках программирования символу e{\displaystyle e} в экспоненциальной записи чисел соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания и использования языка FORTRAN для математических вычислений.

Показательная форма комплексного числа

Показательная и тригонометрические формы комплексных чисел связаны между собой формулой Эйлера.

Пусть комплексное число z{\displaystyle z} в тригонометрической форме имеет вид z=r(cos⁡φ+isin⁡φ){\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )} . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим:

z=reiφ{\displaystyle z=re^{i\varphi }}

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь r=|z|{\displaystyle r=|z|}, φ=arg⁡z{\displaystyle \varphi =\arg z}.

темп роста

По словам Харди и Райт, порядок ф ( п ) «всегда» почти п .»

Первый

Итвирφ(N)Nзнак равно1,{\ Displaystyle \ Нт \ вир {\ гидроразрыва {\ varphi (п)} {п}} = 1,}

но , как п стремится к бесконечности, при всех δ > 0

φ(N)N1-δ→∞,{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ varphi (п)} {п ^ {1- \ дельта}}} \ RightArrow \ infty.}

Эти две формулы можно доказать, используя немного больше , чем формулы для ф ( п ) и функции делителем суммы сг ( п ) .

В самом деле, при доказательстве второй формулы, неравенство

6π2φ(N)σ(N)N21,{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {6} {\ Pi ^ {2}}}

верно для п > 1 , доказана.

У нас также есть

Итинфφ(N)Nжурнал⁡журнал⁡Nзнак равное-γ,{\ Displaystyle \ Нт \ Inf {\ гидроразрыва {\ varphi (п)} {п}} \ Журнал \ Журнал п = е ^ {-. \ Gamma}}

Здесь γ является постоянная Эйлера , γ = 0,577215665 … , поэтому е γ = 1,7810724 … и е γ = 0,56145948 … .

Доказывая это не совсем требуете теорем простого числа . Так как журнал журнал ( п ) стремится к бесконечности, то эта формула показывает , что

Итинфφ(N)Nзнак равно{\ Displaystyle \ Нт \ {инф \ гидроразрыва {\ varphi (п)} {п}} = 0.}

На самом деле, более верно.

φ(N)>Nеγжурнал⁡журнал⁡N+3журнал⁡журнал⁡Nза N>2{\ Displaystyle \ varphi (п)> {\ гидроразрыва {п} {е ^ {\ Gamma} \; \ войти \ Log п + {\ гидроразрыва {3} {\ войти \ Log N}}}} \ четырехъядерных {\ текст {}} для п> 2}

а также

φ(N)Nеγжурнал⁡журнал⁡Nдля бесконечно многих N,{\ Displaystyle \ varphi (п)

Второе неравенство показал Жан-Луи Николя . Ribenboim говорит : «Метод доказательства Интересно, что неравенство показан первый в предположении , что гипотеза Римана верна, во- вторых при предположении противного».

Для среднего порядка, мы имеем

φ(1)+φ(2)+⋯+φ(N)знак равно3N2π2+О(N(журнал⁡N)23(журнал⁡журнал⁡N)43)как N→∞,{\ Displaystyle \ varphi (1) + \ varphi (2) + \ cdots + \ varphi (п) = {\ гидроразрыва {3n ^ {2}} {\ Pi ^ {2}}} + O \ влево (п ( \ войти п) ^ {\ гидроразрыва {2} {3}} (\ войти \ Log N) ^ {\ гидроразрыва {4} {3}} \ справа) \ четырехъядерных {\ текст {а}} п \ RightArrow \ infty }

в связи с Арнольдом Вальфиша , его доказательство эксплуататорского оценки на экспоненциальных сумм в связи с И. М. Виноградова и Н. М. Коробов (это в настоящее время самая известная оценка этого типа). «Большой O » обозначает количество, которое ограничена константой времени функции п внутри скобок (которое мало по сравнению с п 2 ).

Этот результат может быть использован , чтобы доказать , что вероятность двух случайно выбранных чисел является взаимно простым является 6 π 2 .

Соотношение последовательных значений

В 1950 году Somayajulu доказал

Итинфφ(N+1)φ(N)знак равноа такжеИтвирφ(N+1)φ(N)знак равно∞,{\ Displaystyle {\ {начинаются выровнены} \ Нт \ {инф \ гидроразрыва {\ varphi (п + 1)} {\ varphi (п)}} & = 0 \ четырехъядерных {\ текст {и}} \\ \ Нт \ вир {\ гидроразрыва {\ varphi (п + 1)} {\ varphi (п)}} & = \ infty. \ {конец выровнен}}}

В 1954 Шинцель и Серпинского укрепил это, доказывая , что множество

{φ(N+1)φ(N),Nзнак равно1,2,⋯}{\ Displaystyle \ влево \ {{\ гидроразрыва {\ varphi (п + 1)} {\ varphi (п)}}, \; \; п = 1,2, \ cdots \ право \}}

является плотным в положительных действительных чисел. Они также доказали , что множество

{φ(N)N,Nзнак равно1,2,⋯}{\ Displaystyle \ влево \ {{\ гидроразрыва {\ varphi (п)} {п}}, \; \; п = 1,2, \ cdots \ право \}}

плотно в интервале (0,1).

Применение в теории чисел

Основная статья: Метод тригонометрических сумм

В аналитической теории чисел часто рассматриваются специальные суммы вида ∑x∈Xe2πif(x){\displaystyle \sum \limits _{x\in X}{e^{2\pi if(x)}}}, где X{\displaystyle X} — некоторое множество рассматриваемых объектов, а f X→R{\displaystyle f:\ X\to {\mathbb {R} }} — функция, отражающая изучаемые свойства объектов.

Для теории чисел, изучающей целые числа, имеют значение прежде всего выводимые из формулы Эйлера индикаторные тождества, касающиеся произвольного целого числа n{\displaystyle n}.

∑k=1pe2πnkpi=pp|n={p,n≡(modp),n≢(modp){\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{p}{e^{2\pi {\frac {nk}{p}}i}}=p=\left\{{\begin{matrix}p,&n\equiv 0{\pmod {p}}\\0,&n\not \equiv 0{\pmod {p}}\end{matrix}}\right.}
∫1e2πnαi=n=={1,n=,n≠{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{e^{2\pi n\alpha i}}==\left\{{\begin{matrix}1,&n=0\\0,&n\not =0\end{matrix}}\right.}

Приглядимся поближе

Наша формула предполагает, что прирост происходит дискретными шагами. Наши бактерии ждут, ждут, а потом бац!, и в последнюю минуту они удваиваются в количестве. Наша прибыль по процентам от депозита магическим образом появляется ровно через 1 год. На основе формулы, написанной выше, прибыль растет ступенчато. Зеленые точки появляются внезапно.

Но мир не всегда таков. Если мы увеличим картинку, мы увидим, что наши друзья-бактерии делятся постоянно:

Зеленый малый не возникает из ничего: он медленно вырастает из синего родителя. После 1 периода времени (24 часа в нашем случае), зеленый друг уже полностью созрел. Повзрослев, он стает полноценным синим членом стада и может создавать новые зеленые клеточки сам.

Эта информация как-то изменит наше уравнение?

Не-а. В случае с бактериями, полусформированные зеленые клетки все же не могут ничего делать, пока не вырастут и совсем не отделятся от своих синих родителей. Так что уравнение справедливо.

В следующий статье мы посмотрим на пример экспоненциального роста ваших денег.

Вывод формулы производной экспоненты

Рассмотрим экспоненту, в степени . Эта функция определена для всех . Найдем ее производную по переменной . По определению, производная является следующим пределом:(3)   .

Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам понадобятся следующие факты:А) Свойство экспоненты:(4)   ;Б) Свойство логарифма:(5)   ;В) Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:(6)   . Здесь – некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.Г) Значение второго замечательного предела:(7)   .

Применяем эти факты к нашему пределу (3). Используем свойство (4):;.

Сделаем подстановку   . Тогда   ; . В силу непрерывности экспоненты,. Поэтому при , . В результате получаем:.

Сделаем подстановку . Тогда . При , . И мы имеем:.

Применим свойство логарифма (5):. Тогда.

Применим свойство (6). Поскольку существует положительный предел и логарифм непрерывен, то:. Здесь мы также воспользовались вторым замечательным пределом (7). Тогда.

Тем самым мы получили формулу (1) производной экспоненты.

Ссылка на основную публикацию