Логарифмическая функция

Логарифм произведения трех положительных чисел

Обобщим выведенную формулу для произведения трех положительных чисел.

Доказать:

Здесь

Доказательство:

Применим дважды выведенную формулу, на первом шаге будем считать произведение bc за единое число:

Теперь раскроем первый логарифм по той же формуле:

Что и требовалось доказать.

Перейдем к следующей формуле.

Дано:

Доказать:

Представим числа b и с с помощью основного логарифмического тождества:

Тогда:

Согласно свойству степени, при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются. Получаем:

По определению логарифма имеем:

Что и требовалось доказать.

Пример 2 – вычислить:

а)

Разновидности логарифмов

Классическое определение носит название вещественный логарифм и фактически является решением уравнения ax = b. Вариант a = 1 является пограничным и не представляет интереса

Внимание: 1 в любой степени равно 1

Вещественное значение логарифма определено только при основании и аргументе больше 0, при этом основание не должно равняться 1.

Особое место в области математики играют логарифмы, которые будут называться в зависимости от величины их основания:

  • Двоичные с основанием a = 2, нашли своё применение во многих разделах дискретной математики, информатике, а также теории информации; записываются как lb (b).
  • Десятичные с основанием a = 10; записываются как lg (b).
  • Натуральные с основанием a = e, где математическая константа e = 2,71828 — иррациональное и трансцендентное число, называемое Постоянная Эйлера; записываются как ln (b).

Задача на область значений функции

Пример 7 – найти область значений функции: 

Изучим функцию

Это квадратичная функция,

Теперь задача сводится к нахождению области значений следующей функции:

Данная функция нам знакома, мы знаем, что логарифмическая функция с основанием 2 монотонно возрастает, исходя из этого, нам достаточно найти значение функции при :

Ответ:

Итак, мы достаточно подробно изучили логарифмическую функцию, ее совйства и графики, научились решать основные типовые задачи. Далее мы перейдем к рассмотрению свойств логаримфа.

Список рекомендованной литературы.1) Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. М.: Мнемозина2) Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. М.: Дрофа. 3) Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. М.: Просвещение.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет:

1) Интернет-сайт «ГлавСправ» (Источник)

2) Интернет-сайт Nado5.ru (Источник)

3) Интернет-сайт UzTest.ru (Источник)

Рекомендованное домашнее задание.

1. Алгебра и начала анализа, 10—11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, №502,503,507;

2. Найдите область значений функции:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

3. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

Функция десятичного логарифма

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию десятичного логарифма: y=lgx.{\displaystyle y=\lg \,x.} Она определена при всех x>{\displaystyle x>0.} Область значений: E(y)=(−∞;+∞){\displaystyle E(y)=(-\infty ;+\infty )}. График этой кривой часто называется логарифмикой.

Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:

ddxlgx=lgex{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\lg \,x={\frac {\lg \,e}{x}}}

Ось ординат (x=){\displaystyle (x=0)} является вертикальной асимптотой, поскольку:

limx→+lgx=−∞{\displaystyle \lim _{x\to 0+0}\lg \,x=-\infty }

Уравнения и неравенства

Для решения различных уравнений и неравенств с использованием логарифмов применяются следующие формулы:

  • Переход от одного основания к другому: lоg a(b) = log c(b) / log c(a);
  • Как следствие предыдущего варианта: lоg a(b) = 1 / log b(a).

Для решения неравенств полезно знать:

  • Значение логарифма будет положительным только в том случае, когда основание и аргумент одновременно больше или меньше единицы; если хотя бы одно условие нарушено, значение логарифма будет отрицательным.
  • Если функция логарифма применяется к правой и левой части неравенства, и основание логарифма больше единицы, то знак неравенства сохраняется; в противном случае он меняется.

Примеры задач

Рассмотрим несколько вариантов применения логарифмов и их свойства. Примеры с решением уравнений:

  • Задача 1. Решить уравнение log 2(2x-1) = 4. Решение: по определению 2х — 1 = 24 , или 2х — 1 = 16, далее 2х = 17, получаем х = 8,5. Ответ: при значении х = 8,5 уравнение действительно.
  • Задача 2. Вычислить log 6(30) / log 30(6) — log 6(180) / log5(6). Решение: приведём к одному основанию 6. Следующим действием раскрываем скобки и вместо логарифма 6 по основанию 6 подставляем его значение 1. Таким образом, log 6(30) * lоg 6(30) — log 6(180) * log 6(5). Разложим числа на простые множители log 6(5*6) * log 6(5*6) — lоg 6(5*6*6) * log 6(5) и заменяем логарифм 5 по основанию 6 на t. Тогда (t +1) * (t +1) — (t +2) * t. Раскрываем скобки t2 + t + t +1 — t 2 — 2t. Приводим подобные члены и получаем 1. Ответ: значение выражения равно 1.

Рассмотрим вариант размещения логарифма в степени:

Задача 3. Вычислить 25^log 5(3). Решение: в условиях задачи запись аналогична следующей (5^2)^log5(3) или 5^(2 * log 5(3)). Запишем по-другому: 5^log 5(3*2), или квадрат числа в качестве аргумента функции можно записать как квадрат самой функции (5^log 5(3))^2. Используя свойства логарифмов, это выражение равно 3^2. Ответ: в результате вычисления получаем 9.

Основные свойства логарифмической функции:

1. Областью определения логарифмической функции будет являться все множество положительных действительных чисел. Для краткости его еще обозначаютR+. Очевидное свойство, так как каждое положительное число имеет логарифм по основанию а.D(f)=R+

2. Областью значения логарифмической функции будет являться все множество действительных чисел.E(f)= (-∞; +∞)

3. График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0).

4.Ллогарифмическая функция возрастает при а>1, и убывает при 0

5. Функция не является четной или нечетной. Логарифмическая функция – функция общего вида.

6. Функция не имеет точек максимума и минимума, в области определения непрерывна.

На следующем рисунке представлен график убывающей логарифмической функции — (0

Если построить в одной оси координат показательную и логарифмическую функции с одинаковыми основаниями, то графики этих функций будут симметричны относительно прямой y = x. Данное утверждение показано на следующем рисунке.

Изложенное выше утверждение будет справедливо, как для возрастающих, так и для убывающих логарифмических и показательных функций.

Рассмотрим пример: найти область определения логарифмической функции f(x) = log8(4 — 5x).

Исходя из свойств логарифмической функции, областью определения является все множество положительных действительных чисел R+. Тогда заданная функция будет определена для таких х, при которых 4 — 5x>0. Решаем это неравенство и получаем x8(4 — 5*x) будет являться промежуток (-∞;0.8)

Графики логарифмической функции в программе GeoGebra

Графики логарифмической функции1) натуральный логарифм y = ln (x)2) десятичный логарифм y = lg (x)3) логарифм по основанию 2 y = ld (x)

V. Закрепление темы

Применяя полученные свойства логарифмической функции решим следующие задания:

1. Найти область определения функции: у=log8(4-5x);у= log0,5(2х+8);.

3. Схематично построить графики функций:у=log2(х+2) -3 у= log2(х) +2

Подводятся итоги урока: Рефлексия в форме диалога:

«На уроке я работал активно / пассивно»

«Совей работой на уроке я доволен / не доволен»

«Урок мне показался коротким / длинным»

«Я не достиг хорошего результата потому, что …»

«Материал урока мне был понятен / не понятен»

«Моё настроение стало лучше / хуже».

Вопросы диктанта

Логарифмическая функция у = logax определена при любом х. (^)

  1. Функция у = logax логарифмическая при а>0, а ≠ 1, х>0. ( _ )

  2. Областью определения логарифмической функции является множество действительных чисел. (^)

  3. Областью значений логарифмической функции является множество действительных чисел. ( _ )

  4. Логарифмическая функция – четная. (^)

  5. Логарифмическая функция – нечетная. (^)

  6. Функция у = logax (при основании большем 1) – возрастающая.( _ )

  7. Функция у = logax при положительном, но меньшем единицы основании, — возрастающая. (^)

  8. Логарифмическая функция имеет экстемум в точке (1; 0). (^)

  9. График функции у = logax пересекается с осью Ох. ( _ )

  10. График логарифмической функции находится в верхней полуплоскости. (^)

  11. График логарифмической функции симметричен относительно Ох. (^)

  12. График логарифмической функции всегда находится в I и IV четвертях. ( _ )

  13. График логарифмической функции всегда пересекает Ох в точке (1; 0). ( _ )

  14. Существует логарифм отрицательного числа. (^)

  15. Существует логарифм дробного положительного числа.( _ )

  16. График логарифмической функции проходит через точку (0; 0). (^)

2. На каком из рисунков изображен график функции .

Укажите этот рисунок.

2)

3)

4)

Монотонность логарифмической функции

Мы многократно указывали на монотонность логарифмической функции, но никогда не доказывали этот факт. Рассмотрим на конкретном примере и тогда станет понятно, как для любой логарифмической функции доказать факт ее монотонного возрастания или убывания.

Задача:

Доказать, что функция  монотонно возрастает.

Доказательство:

Напомним, что  (выражение 1) является корнем уравнения  (выражение 2). Подставим значение  из выражения 1 вместо  в выражение 2 и получим основное логарифмическое тождество:

Напомним, что здесь , ,

Утверждение, что функция монотонно возрастает, означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции: . Запишем  и  с помощью основного логарифмического тождества:

,

Мы выбрали  и  из области определения, то есть оба эти числа положительны, так, что :

Имеем:

Получили показательное неравенство, в котором основания степеней равны и больше единицы, значит, имеем право сравнить показатели, сохранив при этом знак неравенства:

Что и требовалось доказать.

Практическое применение

Являясь исключительно математическим инструментом, кажется далёким от реальной жизни, что логарифм неожиданно приобрёл большое значение для описания объектов реального мира. Трудно найти науку, где его не применяют. Это в полной мере относится не только к естественным, но и гуманитарным областям знаний.

Логарифмические зависимости

Приведём несколько примеров числовых зависимостей:

  • Число простых чисел на интервале от 1 до n приблизительно равно n / ln (n).
  • Для поиска k-го простого числа можно пользоваться формулой k * ln (k).
  • Логарифмическое распределение часто используется для оценки вероятностных событий в генетике и физике.
  • В информатике известно, что для хранения в памяти компьютера натурального числа N потребуется log 2(N) + 1 бит памяти.

Механика и физика

Исторически механика и физика всегда развивались с использованием математических методов исследования и одновременно служили стимулом для развития математики, в том числе логарифмов. Теория большинства законов физики написана языком математики. Приведём только два примера описания физических законов с использованием логарифма.

Решать задачу расчёта такой сложной величины как скорость ракеты можно, применяя формулу Циолковского, которая положила начало теории освоения космоса:

V = I * ln (M1/M2), где

  • V – конечная скорость летательного аппарата.
  • I – удельный импульс двигателя.
  • M 1 – начальная масса ракеты.
  • M 2 – конечная масса.

Другой важный пример — это использование в формуле другого великого учёного Макса Планка, которая служит для оценки равновесного состояния в термодинамике.

S = k * ln (Ω), где

  • S – термодинамическое свойство.
  • k – постоянная Больцмана.
  • Ω – статистический вес разных состояний.

Химия

Менее очевидным будет использования формул в химии, содержащих отношение логарифмов. Приведём тоже только два примера:

  • Уравнение Нернста, условие окислительно-восстановительного потенциала среды по отношению к активности веществ и константой равновесия.
  • Расчёт таких констант, как показатель автопролиза и кислотность раствора тоже не обходятся без нашей функции.

Психология и биология

И уж совсем непонятно при чём здесь психология. Оказывается, сила ощущения хорошо описывается этой функцией как обратное отношение значения интенсивности раздражителя к нижнему значению интенсивности.

После вышеприведённых примеров уже не удивляет, что и в биологии широко используется тема логарифмов. Про биологические формы, соответствующие логарифмическим спиралям, можно писать целые тома.

Другие области

Кажется, невозможно существование мира без связи с этой функцией, и она правит всеми законами. Особенно, когда законы природы связаны с геометрической прогрессией. Стоит обратиться к сайту МатПрофи, и таких примеров найдётся множество в следующих сферах деятельности:

  • Теории акустики.
  • Радиотехнике и электросвязи.
  • Астрономии.
  • Сейсмологии.
  • Оптике.
  • Фотографии.
  • Сельском хозяйстве.
  • Теории управления.

Список может быть бесконечным. Освоив основные закономерности этой функции, можно окунуться в мир бесконечной мудрости.

Исторический очерк

Возрождение Европы в XVI веке стимулировало и развитие механики. Требовался большой объем вычисления, связанных с умножением и делением многозначных чисел. Древние таблицы оказали большую услугу. Они позволяли заменять сложные операции на более простые – сложение и вычитание. Большим шагом вперёд стала работа математика Михаэля Штифеля, опубликованная в 1544 году, в которой он реализовал идею многих математиков. Что позволило использовать таблицы не только для степеней в виде простых чисел, но и для произвольных рациональных.

В 1614 году шотландец Джон Непер, развивая эти идеи, впервые ввёл новый термин «логарифм числа». Были составлены новые сложные таблицы для расчёта логарифмов синусов и косинусов, а также тангенсов. Это сильно сократило труд астрономов.

Стали появляться новые таблицы, которые успешно использовались учёными на протяжении трёх веков. Прошло немало времени, прежде чем новая операция в алгебре приобрела свой законченный вид. Было дано определение логарифма, и его свойства были изучены.

Только в XX веке с появлением калькулятора и компьютера человечество отказалось от древних таблиц, успешно работавших на протяжении XIII веков.

Правила и ограничения

Основополагающим свойством логарифмов является правило: логарифм произведения равен логарифмической сумме. log abp = lоg a(b) + log a(p).

Как вариант этого утверждения будет: log с(b/p) = lоg с(b) — log с(p), функция частного равна разности функций.

Из предыдущих двух правил легко видно, что: lоg a(bp) = p * log a(b).

Среди других свойств можно выделить:

  • Правило тождественности, когда aloga(b) = b, следствием этого правила является следующее утверждение: если aloga(b) = aloga(c), то b = c.
  • Замечательные значения отражены в двух формулах: логарифм единицы всегда равен нулю log a(1) = 0 и логарифм числа, равного основанию, равен единице log a(a) = 1.
  • При использовании отрицательных чисел можно применить формулу, справедливую для модуля чисел: log c|ab| = log c|a| + log c|b|.

Замечание. Не надо делать распространённую ошибку — логарифм суммы не равен сумме логарифмов.

История

Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже — с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Но в этих и в последующих изданиях таблиц обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги () появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремикера, Carl Bremiker).

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов:

  1. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
  2. Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений.

Алгебраические свойства

В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны:

Формула Пример
Произведение lg⁡(xy)=lg⁡(x)+lg⁡(y){\displaystyle \lg(xy)=\lg(x)+\lg(y)} lg⁡(10000)=lg⁡(100⋅100)=lg⁡(100)+lg⁡(100)=2+2=4{\displaystyle \lg(10000)=\lg(100\cdot 100)=\lg(100)+\lg(100)=2+2=4}
Частное от деления lg(xy)=lg⁡(x)−lg⁡(y){\displaystyle \lg \!\left({\frac {x}{y}}\right)=\lg(x)-\lg(y)} lg⁡(11000)=lg⁡(1)−lg⁡(1000)=−3=−3{\displaystyle \lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3}
Степень lg⁡(xp)=plg⁡(x){\displaystyle \lg(x^{p})=p\lg(x)} lg⁡(10000000)=lg⁡(107)=7lg⁡(10)=7{\displaystyle \lg(10000000)=\lg(10^{7})=7\lg(10)=7}
Корень lg⁡xp=lg⁡(x)p{\displaystyle \lg {\sqrt{x}}={\frac {\lg(x)}{p}}} lg⁡1000=12lg⁡1000=32=1,5{\displaystyle \lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1{,}5}

Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:

lg⁡|xy|=lg⁡(|x|)+lg⁡(|y|),{\displaystyle \lg |xy|=\lg(|x|)+\lg(|y|),}
lg|xy|=lg⁡(|x|)−lg⁡(|y|),{\displaystyle \lg \!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\lg(|x|)-\lg(|y|),}

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

lg⁡(x1x2…xn)=lg⁡(x1)+lg⁡(x2)+⋯+lg⁡(xn){\displaystyle \lg(x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\lg(x_{1})+\lg(x_{2})+\dots +\lg(x_{n})}

Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел x,y{\displaystyle x,y} с помощью логарифмических таблиц производилось по следующему алгоритму:

  1. Найти в таблицах логарифмы чисел x,y{\displaystyle x,y}.
  2. Сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения x⋅y{\displaystyle x\cdot y}.
  3. По логарифму произведения найти в таблицах само произведение.

Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня.

Связь десятичного и натурального логарифмов:

ln⁡x≈2,30259 lg⁡x;lg⁡x≈0,43429 ln⁡x{\displaystyle \ln x\approx 2{,}30259\ \lg x;\quad \lg x\approx 0{,}43429\ \ln x}

Знак логарифма зависит от логарифмируемого числа: если оно больше 1, логарифм положителен, если оно между 0 и 1, то отрицателен. Пример:

lg0,012=lg(10−2×1,2)=−2+lg1,2≈−2+0,079181=−1,920819{\displaystyle \lg \,0{,}012=\lg \,(10^{-2}\times 1{,}2)=-2+\lg \,1{,}2\approx -2+0{,}079181=-1{,}920819}

Чтобы унифицировать действия с положительными и отрицательными логарифмами, у последних целая часть (характеристика) надчёркивалась сверху:

lg0,012≈−2+0,079181=2¯,079181{\displaystyle \lg \,0{,}012\approx -2+0{,}079181={\bar {2}}{,}079181}

Мантисса логарифма, выбираемая из таблиц, при таком подходе всегда положительна.

Ссылка на основную публикацию