Площадь треугольника

Пример задачи на формулу Герона

Условие. У некоторого треугольника известны стороны. Они равны 3, 5 и 6 см. Необходимо узнать его площадь.

Решение. Первым делом полагается сосчитать полупериметр треугольника. Составить сумму всех трех, данных в задаче, чисел и разделить ее на два. Простые вычисления приводят к числу 7. Это значение полупериметра.

Теперь можно вычислять площадь треугольника по указанной выше формуле. Под квадратным корнем оказывается произведение четырех чисел: 7, 4, 2 и 1. То есть площадь равна √(4 * 14) = 2 √(14).

Если не требуется большая точность, то можно извлечь квадратный корень из 14. Он равен 3,74. Тогда площадь будет равна 7,48.

Ответ. S = 2 √14 см2 или 7,48 см2.

Общие для всех треугольников формулы, в которых используются длины сторон или высот

Обозначения, принятые в них: стороны — а, в, с; высоты на соответствующие стороны на, нв, нс.

1. Площадь треугольника вычисляется, как произведение ½, стороны и высоты, опущенной на нее. S = ½ * а * на. Аналогично следует записать формулы для двух остальных сторон.

2. Формула Герона, в которой фигурирует полупериметр (его принято обозначать маленькой буквой р, в отличии от полного периметра). Полупериметр необходимо сосчитать так: сложить все стороны и разделить их на 2. Формула полупериметра: р = (а+в+с) / 2. Тогда равенство для площади фигуры выглядит так: S = √ (р * (р — а) * (р — в) * (р — с)).

3. Если не хочется использовать полупериметр, то пригодится такая формула, в которой присутствуют только длины сторон: S = ¼ * √ ((а + в + с) * (в + с — а) * (а + с — в) * (а + в — с)). Она несколько длиннее предыдущей, но выручит, если забылось, как находить полупериметр.

Определение

Правильным треугольником называют часть плоскости, ограниченную тремя одинаковыми отрезками. Их соединяют точки, которые не принадлежат одной прямой. Здесь все три угла одинаковые и равняются по 60 градусов. Поэтому для определения площади правильного треугольника можно будет пользоваться упрощенными формулами.

Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.

Значение площади правильного треугольника вычисляется путем подстановки параметров фигуры в классическую формулу.

Рис. 1. Правильный треугольник.

Нахождение площади правильного треугольника

  • Первая формула площади правильного треугольника стандартна. Площадь равна половине произведения основания на высоту: $S= {1\over2}h*a$.
  • Существует формула нахождения площади через сторону, которая проистекает из первой, но характерна только для правильных треугольников. В правильном треугольнике АВС проведем высоту АМ, которая будет являться так же медианой и биссектрисой.

Это свойство характерно для равнобедренных треугольников, но любой правильный треугольник и будет равнобедренным, просто любая из его сторон может считаться основанием, так как две другие стороны в любом случае будут равны.

В результате треугольник делиться на два, равных между собой прямоугольных треугольника. Теперь найдем значение высоты, подставим его в классическую формулу площади треугольника и получим формулу для правильного треугольника.

Рис. 2. Рисунок к доказательству.

В прямоугольном треугольнике АВМ катет АМ можно выразить через синус угла АВМ. Этот угол известен и равен 60 градусам, значит, известны и значения синуса и косинуса для этого угла. Катет АМ противолежащий, значит, для его нахождения необходимо воспользоваться формулой синуса.

$$Sin(ABM)={AM\over AB}$$

С другой стороны синус 60 градусов заранее известнее и равен $$\sqrt{3} \over 2$$ . Значит, можно выразить значение АМ:

$$АМ=АВ*sin(ABM)=AB* {\sqrt{3}\over 2}$$

Все стороны треугольника между собой равны, поэтому для удобства обозначим их через букву а.

AB=AC=BC=a

Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

$$АМ=а*{\sqrt{3}\over2}$$

Теперь вспомним классическую формулу площади треугольника:

$S= {1\over2}h*a$, где а это основание треугольника, h – высота, проведенная к этому основанию. Формула площади равностороннего треугольника будет выглядеть следующим образом:

$$S={1\over2}*BC*AM={1\over2}*a*a*{\sqrt{3}\over2}=a^2*{\sqrt{3}\over4}$$

ВС заменили на а, так как все стороны равны между собой, а значение высоты мы находили ранее. Получившаяся формула гораздо проще классических в плане количества необходимых параметров. Для нахождения площади правильного треугольника необходимо знать только значение одной из его сторон. Это возможно за счет равенства углов в таком треугольнике.

Только в правильном треугольнике возможно нахождение площади через сторону.

По той же причине нельзя использовать эту формулу для равнобедренного или произвольного треугольника. Прежде чем использовать эту формулу необходимо доказать, что треугольник правильный или убедиться, что это условие прописано в исходных данных задачи.

Рис. 3. Произвольный треугольник.

Что мы узнали?

Площадь правильного треугольника можно вычислить через сторону, поскольку речь идет о фигуре с одинаковыми параметрами, или через высоту по классической формуле. Здесь углы также будут одинаковыми. При решении некоторых задач по геометрии стоит помнить о том, что высоты данной плоской фигуры, ограниченной тремя сторонами, равны между собой.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник характеризуется наличием прямого угла. Две его стороны, образующие этот угол носят название катетов. Противоположная прямому углу сторона треугольника именуется гипотенузой.

Прямоугольный треугольник

Основная формула расчета площади прямоугольного треугольника основывается на значениях катетов фигуры.

Формула:

где a, b – катеты треугольника.

Расчет:

  1. Перемножаются величины двух катетов.
  2. Полученное значение делится на два.

Вычислить площадь прямоугольного треугольника можно по другой формуле, где за основу берется величина гипотенузы и высота, проведенная к ней.

Формула:

где c – гипотенуза, hc – высота, проведенная к гипотенузе.

Расчет:

  1. Умножается длина гипотенуза на величину высоты, идущей от противоположной вершины.
  2. Полученное значение уменьшается вдвое.

Треугольник: определение и виды фигуры

Из курса геометрии известно, что треугольник представляет собой многоугольную фигуру, которая имеет три лежащие на разных линиях точки, соединенные между собой отрезками. Размер площади треугольника выражается количеством заключенных в ней квадратных единиц и представляет собой положительное число, которое показывает размер фигуры, в части поверхности, ограниченной тремя отрезками в замкнутый контур.

Треугольник

В зависимости от длины сторон и величины угла выделяется несколько разновидностей треугольников:

  • прямоугольный, имеющий один прямой угол;
  • остроугольный, все углы которого острые, то есть меньше 90 градусов;
  • тупоугольный, содержащий один тупой угол в диапазоне от 90 до 180 градусов;
  • равнобедренный, имеющий две равные по длине боковые стороны;
  • равносторонний, у которого все три стороны имеют одинаковое значение.

Для расчета площади каждого типа треугольной фигуры используется специальная формула.

Задачи на нахождение площади, если треугольник изображен на клетчатой бумаге

Самой простой является ситуация, когда прямоугольный треугольник начерчен так, что его катеты совпадают с линиями бумаги. Тогда требуется просто посчитать число клеточек, укладывающихся в катеты. Потом перемножить их и разделить на два.

Когда треугольник остроугольный или тупоугольный, его нужно дорисовать до прямоугольника. Тогда в получившейся фигуре будет 3 треугольника. Один — тот что дан в задаче. А два других — вспомогательные и прямоугольные. Определить площади двух последних нужно по описанному выше способу. Потом сосчитать площадь прямоугольника и вычесть из него те, что вычислены для вспомогательных. Площадь треугольника определена.

Гораздо сложнее оказывается ситуация, в которой ни одна из сторон треугольника не совпадает с линиями бумаги. Тогда его нужно вписать в прямоугольник так, чтобы вершины исходной фигуры лежали на его сторонах. В этом случае вспомогательных прямоугольных треугольников будет три.

Известны радиус описанной окружности и периметр

Треугольник называется описанным вокруг окружности, если его стороны соприкасаются с кругом, а сам он находится снаружи. Площадь треугольника определяется как половина произведения периметра треугольника и радиуса описанной окружности.

Треугольник, вписанный в окружность

Формула:

где r – радиус описанной окружности, a, b, c – стороны треугольника.

Расчет:

  1. Определяется периметр треугольника как сумма всех его сторон.
  2. Умножается величина радиуса описанной окружности на величину периметра треугольника.
  3. Полученный результат делится пополам.

Знание формул вычисления площади треугольника поможет при определении площади объемных фигур, в основе граней которых лежат треугольные фигуры, таких, как например, пирамида.

Формулы площади треугольника

Пояснения к формулам: a, b, c — длины сторон треугольника, площадь которого мы хотим найти r — радиус вписанной в треугольник окружности R — радиус описанной вокруг треугольника окружности h — высота треугольника, опущенная на сторону p — полупериметр треугольника, 1/2 суммы его сторон (периметра) α — угол, противолежащий стороне a треугольника β — угол, противолежащий стороне b треугольника γ — угол, противолежащий стороне c треугольника hahb, h— высота треугольника, опущенная на сторону a, b, c

Обратите внимание, что приведенные обозначения соответствуют рисунку, который находится выше, чтобы при решении реальной задачи по геометрии Вам визуально было легче подставить в нужные места формулы правильные значения.

Площадь треугольника равна половине произведения высоты треугольника на длину стороны на которую эта высота опущена (Формула 1). Правильность этой формулы можно понять логически. Высота, опущенная на основание, разобьет произвольный треугольник на  два прямоугольных. Если достроить каждый из них до прямоугольника с размерами b и h, то, очевидно, площадь данных треугольников будет равна ровно половине площади прямоугольника (Sпр = bh)
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними (Формула 2 ) (см. пример решения задачи с использованием этой формулы ниже). Несмотря на то, что она кажется непохожей на предыдущую, она легко может быть в нее преобразована. Если из угла B опустить высоту на сторону b, окажется, что произведение стороны a на синус угла γ по свойствам синуса в прямоугольном треугольнике равно проведенной нами высоте треугольника, что и даст нам предыдущую формулу
Площадь произвольного треугольника может быть найдена через произведение половины радиуса вписанной в него окружности на сумму длин всех его сторон (Формула 3), проще говоря, нужно полупериметр треугольника умножить на радиус вписанной окружности (так легче запомнить)
Площадь произвольного треугольника можно найти, разделив произведение всех его сторон на 4 радиуса описанной вокруг него окружности (Формула 4)
Формула 5 представляет собой нахождение площади треугольника через длины его сторон и его полупериметр (половину суммы всех его сторон)

Формула Герона (6) — это представление той же самой формулы без использования понятия полупериметра, только через длины сторон
Площадь произвольного треугольника равна произведению квадрата стороны треугольника на синусы прилежащих к этой стороне углов деленного на двойной синус противолежащего этой стороне угла (Формула 7)
Площадь произвольного треугольника можно найти как произведение двух квадратов описанной вокруг него окружности на синусы каждого из его углов. (Формула 8)
Если известна длина одной стороны и величины двух прилежащих к ней углов, то площадь треугольника может быть найдена как квадрат этой стороны, деленный на двойную сумму котангенсов этих углов (Формула 9)
Если известна только длина каждой из высот треугольника (Формула 10), то площадь такого треугольника обратно пропорциональна длинам этих высот, как по Формуле Герона
Формула 11 позволяет вычислить площадь треугольника по координатам его вершин, которые заданы в виде значений (x;y) для каждой из вершин

Обратите внимание, что получившееся значение необходимо взять по модулю, так как координаты отдельных (или даже всех) вершин могут находиться в области отрицательных значений

См. также площадь равнобедренного треугольника.

Примечание. Далее приведены примеры решения задач по геометрии на нахождение площади треугольника. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, похожей на которую здесь нет — пишите об этом в форуме. В решениях вместо символа «квадратный корень» может применяться функция sqrt(), в которой sqrt — символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Иногда для простых подкоренных выражений может использоваться символ √

Заключение

В завершение урока давайте посмотрим на все формулы сразу.

Первые три формулы используют элементы самого треугольника (стороны, углы, высоты). В частности, формула Герона позволяет нам находить площадь по трем сторонам треугольника. Формула с синусом – по двум сторонам и углу между ними. Если нам известна сторона и два угла, то можно применить теорему синусов, чтобы найти еще одну сторону, а дальше задача сводится к предыдущей – мы знаем уже две стороны и угол между ними. Оставшиеся две формулы мы чаще будем использовать не для нахождения площади треугольника, а для вычисления радиусов вписанной и описанной окружности.

Нужно ли все их запоминать? Конечно, желательно, ведь каждая из них может быть полезна в той или иной задаче, в зависимости от исходных данных

Вместе с тем важно помнить: треугольник почти всегда однозначно задается любыми тремя своими элементами. Поэтому, используя различные свойства треугольника, а также теоремы синусов, косинусов, можно найти недостающие элементы треугольника и применить именно ту формулу, которую вы помните

Так, если вы не уверены в формуле Герона, то, используя теорему косинусов и основное тригонометрическое тождество, можете найти синус одного из углов и воспользоваться формулой с двумя сторонами и синусом угла между ними.

Список литературы

Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал yaklass.ru (Источник)

Интернет-портал 100formul.ru (Источник)

Интернет-портал ru.onlinemschool.com (Источник)

Домашнее задание

В треугольнике  угол , , а высота  делит сторону  на отрезки , . Найти площадь треугольника  и длину высоты, проведенной к стороне .

Найти площадь треугольника, две стороны которого равны  и , а градусная мера угла между ними равна .

Найти радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной .

Ссылка на основную публикацию