Формулы тригонометрии

Тригонометрические функции суммы и разности

Перейдем к применению формул косинусов и синусов суммы и разности. Они не так часто применяются при упрощениях и вычислениях, как следствия из них – формулы двойных углов. Но несколько полезных применений все же есть.

Во-первых, с помощью них можно получить аналогичные формулы для тангенсов:

Выводятся они точно так же, как и формулы для тангенса двойного угла. Можете самостоятельно попробовать их получить. Проверить себя можно ниже.

Вывод формул тангенса суммы и разности

По определению:

Применяем формулы косинусов и синусов суммы:

Разделим числитель и знаменатель на . В числителе получим:

В знаменателе:

В итоге:

Чтобы получить формулу разности, запишем:

С учетом формул приведения:

Как и другие формулы, формулы косинусов и синусов суммы и разности могут помочь при упрощении выражений.

Задание 9. Упростить выражение:

Решение.

Применяем формулы косинуса суммы и разности:

Ответ: .

У формулы синуса суммы есть еще один, совсем не очевидный способ применения.

Задание 10. Упростить выражение:

Решение.

Казалось бы: куда же еще упрощать, тут всего 4 операции для вычисления? Но это можно сделать. Вынесем за скобку число. Да, в выражении его нет. Но это не мешает нам каждое слагаемое умножить и поделить на :

Пока не проще. Но подождите:  – это значения косинусов и синусов из таблицы. Например:

Тогда наше выражение равно:

В скобках мы видим синус суммы. Получаем ответ:

Ответ: .

Это выражение действительно проще – в нем всего 3 операции: сложение, вычисление синуса, умножение.

Данный прием может пригодиться не только при упрощении выражений, но и при решении уравнений, оценке значений, построении графиков. В общем виде его можно представить так.

Пусть имеется выражение вида:

Выносим за скобки выражение :

При этом всегда можно найти такой угол , что:

Тогда получим:

О том, почему всегда найдется такой угол , смотрите ниже.

Условия, что два числа являются косинусом и синусом некоторого угла

Найдем условия того, что два числа являются косинусом и синусом некоторого угла.

Для произвольного угла мы давали определение его синуса и косинуса – это координаты соответствующей точки на единичной окружности (см. рис. 1).

Рис. 1. Синус и косинус произвольного угла – это координаты соответствующей точки на единичной окружности

Верно и обратное: если мы возьмем точку на единичной окружности, то ее координаты – это будут синус и косинус соответствующего угла. Точнее, многих углов – с точностью до периода. Значит, если пара чисел – это координаты точки на единичной окружности, то эти числа будут косинусом и синусом некоторого угла .

А какое условие, что точка лежит на единичной окружности? Сумма квадратов ее координат должна равняться  (уравнение окружности: ). Вот и получили условие. Проверим его для выражений  и :

Возводим в квадрат:

Равенство верное. Значит, всегда найдется такой угол , что:

Естественно, это не случайность – мы специально так выбрали выражения, чтобы сумма их квадратов была равна 1.

Представление тригонометрических функций в комплексной форме

Основная статья: Формула Эйлера

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x{\displaystyle x} выполнено следующее равенство:

eix=cos⁡x+isin⁡x,{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}

где e{\displaystyle e} — основание натурального логарифма,

i{\displaystyle i} — мнимая единица.

При помощи формулы Эйлера можно определить функции sin⁡x{\displaystyle \sin x} и cos⁡x{\displaystyle \cos x} следующим образом :

sin⁡x=eix−e−ix2i,cos⁡x=eix+e−ix2.{\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.}

Отсюда следует, что

tgx=−ieix−e−ixeix+e−ix,ctgx=ieix+e−ixeix−e−ix,{\displaystyle \operatorname {tg} \,x=-i{\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}},\qquad \qquad \operatorname {ctg} \,x=i{\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{e^{ix}-e^{-ix}}},}
sec⁡x=2eix+e−ix,cosecx=2ieix−e−ix.{\displaystyle \sec x={\frac {2}{e^{ix}+e^{-ix}}},\qquad \qquad \operatorname {cosec} \,x={\frac {2i}{e^{ix}-e^{-ix}}}.}

Мнемоническое правило

Как мы уже упоминали выше, формулы приведения заучивать наизусть необязательно. Если внимательно на них посмотреть, то можно выявить закономерности, из которых можно получить правило, позволяющее получить любую из формул приведения. Его называют мнемоническим правилом (мнемоника – искусство запоминания).

Мнемоническое правило содержит три этапа:

Сначала аргумент исходной функции представляется в виде или , причем угол должен быть от до 90 градусов (от до пи пополам радиан)

Это замечание про угол альфа очень важно, так как для других мнемоническое правило может приводить к неверным результатам, что мы покажем на примере ниже.

Дальше определяется знак, который имеет исходная функция. Функция в правой части записываемой формулы приведения будет иметь такой же знак.

Наконец, для углов и название исходной функции сохраняется, а для углов и название исходной функции меняется на «кофункцию» (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс).

Сразу стоит сказать, что для применения мнемонического правила нужно очень хорошо уметь определять , так как делать это придется постоянно.

Разберем применение мнемонического правила на примерах.

Пример.

Используя мнемоническое правило, запишите формулы приведения для и , считая угол углом первой четверти.

Решение.

Первый шаг правила нам делать не придется, так как углы под знаками тригонометрических функций уже записаны в нужном виде.

Определим знак функций и . При условии, что — угол первой четверти, угол тоже является углом первой четверти, а угол — углом второй четверти. Косинус в первой четверти имеет знак плюс, а тангенс во второй четверти имеет знак минус. На этом этапе искомые формулы будут иметь вид и . Со знаками разобрались, можно переходить к заключительному шагу мнемонического правила.

Так как аргумент функции косинус имеет вид , то название функции нужно поменять на кофункцию, то есть, на синус. А аргумент тангенса имеет вид , следовательно, название функции нужно оставить прежним.

В итоге имеем и . Можно заглянуть в таблицу формул приведения, чтобы убедиться в правильности полученных результатов.

Ответ:

и .

Для закрепления материала рассмотрим решение примера с конкретными углами.

Пример.

Используя мнемоническое правило, приведите к тригонометрическим функциям острого угла.

Решение.

Для начала представим угол 777 градусов в виде, необходимом для применения мнемонического правила. Это можно сделать двумя способами: или .

Исходный угол является углом первой четверти, синус для этого угла имеет знак плюс.

Для представления название синуса нужно оставить прежним, а для представления вида синус придется поменять на косинус.

В итоге имеем и .

Ответ:

и .

В заключение этого пункта рассмотрим пример, иллюстрирующий важность правильного представления угла под знаком тригонометрических функций для применения мнемонического правила: угол должен быть острым!!!

Вычислим тангенс угла . В принципе, обратившись к материалу статьи значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, мы можем сразу дать ответ на вопрос задачи: .

Если мы представим угол как или как , то можно воспользоваться мнемоническим правилом: и , что приводит нас к тому же результату.

А вот что может получиться, если взять представление угла , например, вида . При этом мнемоническое правило приведет нас к такому результату . Этот результат неверен, а объясняется это тем, что для представления мы не имели права применять мнемоническое правило, так как угол не является острым.

Формулы общего вида

(1)  Формула понижения nй четной степени синуса
(2)  Формула понижения nй четной степени косинуса
(3)  Формула понижения nй нечетной степени синуса
(4)  Формула понижения nй нечетной степени косинуса

— версия для печати

Определения
Синус угла α (обозн. sin(α)) — отношение противолежащего от угла α катета к гипотенузе.
Косинус угла α (обозн. cos(α)) — отношение прилежащего к углу α катета к гипотенузе.
Тангенс угла α (обозн. tg(α)) — отношение противолежащего к углу α катета к прилежащему. Эквивалентное определение — отношение синуса угла α к косинусу того же угла — sin(α)/cos(α).
Котангенс угла α (обозн. ctg(α)) — отношение прилежащего к углу α катета к противолежащему. Эквивалентное определение — отношение косинуса угла α к синусу того же угла — cos(α)/sin(α).
Другие тригонометрические функции: секанс — sec(α) = 1/cos(α); косеканс — cosec(α) = 1/sin(α).
Примечание
Мы специально не пишем знак * (умножить), — там, где две функции записаны подряд, без пробела, он подразумевается.
Подсказка
Для вывода формул косинуса, синуса, тангенса или котангенса кратных (4+) углов, достаточно расписать их по формулам соотв. косинуса, синуса, тангенса или котангенса суммы, либо сводить к предыдущим случаям, сводя до формул тройных и двойных углов.
Дополнение
Таблица производных
Если у вас есть мысли по поводу данной страницы или предложение по созданию математической (см. раздел «Математика») вспомогательной памятки, мы обязательно рассмотрим ваше предложение. Просто воспользуйтесь обратной связью.

Школяр. Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2016

Формулы приведения для котангенса

ctg(π/2-α) = tg(α)
ctg(π/2+α) = -tg(α)
ctg(π-α) = -ctg(α)
ctg(π+α) = ctg(α)
ctg(3π/2-α) = tg(α)
ctg(3π/2+α) = -tg(α)
ctg(2π-α) = -ctg(α)
ctg(2π+α) = ctg(α)

Запомнить все формулы приведения достаточно непросто, ибо в них не прослеживается какой-либо явной закономерности.

Однако, это можно сделать, если понять принцип по которому в приведенной формуле происходит или не происходит смена функции на кофункцию и смена или не смена знака функции.

Когда надо менять название функции в формуле приведения?

Смена или не смена функции в формуле приведения зависит от того, к какому диаметру тригонометрического круга прилежит угол α в формуле приведения.

π/2±α и 3π/2±α — это вертикальный диаметр тригонометрического круга (ось Y), поскольку точки π/2 и π3/2 лежат на оси Y. Если помотать головой вверх-вниз, как бы скользя взглядом по оси ординат, то автоматически получим ответ на вопрос «надо ли менять название функции в формуле приведения?» — да, надо.

π±α и 2π±α — это горизонтальный диаметр тригонометрического круга (ось X), поскольку точки π и 2π лежат на оси Х. Если помотать головой влево-вправо, как бы скользя взглядом по оси абсцисс, то автоматически получим ответ на вопрос «надо ли менять название функции в формуле приведения?» — нет, не надо.

Когда надо менять знак функции в формуле приведения?

Для ответа на этот вопрос надо знать знаки функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса в каждом квадранте тригонометрического круга.

Для синуса и косинуса — это просто, если помнить, что синус — это ордината (Y), а косинус — абсцисса (X):

  • sin — это ось Y или вертикальная ось, поэтому, все, что лежит выше оси абсцисс — это «плюс» (I, II квадранты), что лежит ниже — «минус» (III, IV квадранты);
  • cos — это ось X или горизонтальная ось, поэтому, все, что лежит правее оси ординат — это «плюс» (I, IV квадранты), что лежит левее — «минус» (II, III квадранты);
  • tg и ctg — это отношение синуса и косинуса, поэтому, тангенс и котангенс будут положительны в тех квадрантах, в которых синус и косинус имеют одинаковый знак — это нечетные квадранты (I, III); соответственно, в четных квадрантах тангенс и котангенс будут отрицательны.

Знак функции в формуле приведения ставится по квадранту исходного угла, при этом считаем, что сам угол α является острым.

Например, для угла π-α получается, что угол находится во II квадранте, т.к., π-α будет лежать в пределах от 90° до 180° (см. рисунок выше). Во втором квадранте синус положителен, поэтому, в формуле приведения надо будет ставить знак, идентичный знаку исходной функции, т. е., «плюс». Поскольку угол π-α прилежит к горизонтальному диаметру, то сама функция не меняется. Получается, что sin(π-α) = sin(α).

Для косинуса надо будет сменить знак, т.к., во втором квадранте косинус отрицателен: cos(π-α) = -cos(α).

Для тангенса и котангенса: в четном квадранте — знак «минус», а функция остается прежней: tg(π-α) = -tg(α); ctg(π-α) = -сtg(α).

Для угла π+α получается, что угол находится во III квадранте, т.к., π+α будет лежать в пределах от 180° до 270° (см. рисунок). В третьем квадранте синус отрицателен, поэтому, в формуле приведения надо будет сменить знак. Поскольку угол π+α прилежит к горизонтальному диаметру, то функция не меняется. Получается, что sin(π+α) = -sin(α). Аналогично для косинуса: cos(π+α) = -cos(α).

Для тангенса и котангенса: в нечетном квадранте — знак «плюс», а функция остается прежней: tg(π+α) = tg(α); ctg(π+α) = сtg(α).

Десятиминутный ролик на ЮТуб, посмотрев который, вы навсегда запомните, как легко и просто приводить углы в тригонометрических функциях:

Пример решения уравнения с помощью формул приведения:

√2·sin(13π/4)
√2·sin(3π+π/4)
√2·sin(π+π/4)
sin(π+π/4)=-sin(π4)=-√2/2
√2·(-√2/2)=-1

Решение простых тригонометрических уравнений

Если |a|>1{\displaystyle |a|>1} — вещественных решений нет.
Если |a|⩽1{\displaystyle |a|\leqslant 1} — решением является число вида x=(−1)narcsin⁡a+πn; n∈Z.{\displaystyle x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} .}

cos⁡x=a.{\displaystyle \cos x=a.}

Если |a|>1{\displaystyle |a|>1} — вещественных решений нет.
Если |a|⩽1{\displaystyle |a|\leqslant 1} — решением является число вида x=±arccos⁡a+2πn; n∈Z.{\displaystyle x=\pm \arccos a+2\pi n;\ n\in \mathbb {Z} .}

tgx=a.{\displaystyle \operatorname {tg} \,x=a.}

Решением является число вида x=arctga+πn; n∈Z.{\displaystyle x=\operatorname {arctg} \,a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} .}

ctgx=a.{\displaystyle \operatorname {ctg} \,x=a.}

Решением является число вида x=arcctga+πn; n∈Z.{\displaystyle x=\operatorname {arcctg} \,a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} .}

Вспомогательный аргумент (формулы сложения гармонических колебаний)

Сумма двух гармонических колебаний с одинаковой частотой будет вновь гармоническим колебанием. В частности,

asin⁡x+bcos⁡x=a2+b2sin⁡(x+φ){\displaystyle a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\varphi )}

где a,b∈R{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }, a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} не равны нулю одновременно, φ{\displaystyle \varphi } — это угол, называемый вспомогательным аргументом, который может быть найден из системы уравнений:

{sin⁡φ=ba2+b2,cos⁡φ=aa2+b2.{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\sin \varphi ={\dfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},\\\cos \varphi ={\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.\end{matrix}}\right.}

Примечание. Из вышеприведённой системы следует, что tgφ=ba{\displaystyle \mathrm {tg} \,\varphi \,=\,{\tfrac {b}{a}}}, однако нельзя всегда считать, что φ=arctgba{\displaystyle \varphi \,=\,\mathrm {arctg} \,{\tfrac {b}{a}}}. Нужно учитывать знаки a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} для определения, к какой четверти принадлежит угол φ{\displaystyle \varphi }.

Формулы преобразования суммы функций

Формулы преобразования суммы функций
7.1 sin⁡α±sin⁡β=2sin⁡α±β2cos⁡α∓β2{\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}}
7.2 cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2{\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
7.3 cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2{\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
7.4 tg⁡α±tg⁡β=sin⁡(α±β)cos⁡αcos⁡β{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}}
7.5 ctg⁡α±ctg⁡β=sin⁡(β±α)sin⁡αsin⁡β{\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}}

Вывод формул преобразования суммы функций

Формулы преобразования суммы функций выводятся из формул преобразования произведений функций (6.1)—(6.3) с помощью подстановки:

α=α′+β′2{\displaystyle \alpha ={\frac {\alpha ‘+\beta ‘}{2}}}

и

β=α′−β′2{\displaystyle \beta ={\frac {\alpha ‘-\beta ‘}{2}}}.

Подставим эти выражения в формулу (6.1):

sin⁡α′+β′2sin⁡α′−β′2=cos⁡β′−cos⁡α′2{\displaystyle \sin {\frac {\alpha ‘+\beta ‘}{2}}\sin {\frac {\alpha ‘-\beta ‘}{2}}={\frac {\cos \beta ‘-\cos \alpha ‘}{2}}}, то есть
cos⁡α′−cos⁡β′=−2sin⁡α′+β′2sin⁡α′−β′2{\displaystyle \cos \alpha ‘-\cos \beta ‘=-2\sin {\frac {\alpha ‘+\beta ‘}{2}}\sin {\frac {\alpha ‘-\beta ‘}{2}}}    — опуская штрихи, получаем формулу (7.3).

Остальные формулы преобразования суммы синуса и косинуса выводятся аналогично.
Из формулы (2.3) следует:

tg⁡α+tg⁡β=tg⁡(α+β)(1−tg⁡(α)tg⁡(β))={\displaystyle \operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta =\operatorname {tg} (\alpha +\beta )(1-\operatorname {tg} (\alpha )\operatorname {tg} (\beta ))=}
=sin⁡(α+β)cos⁡(α+β)⋅cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡β{\displaystyle ={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}\cdot {\frac {\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}
=sin⁡(α+β)cos⁡(α+β)⋅cos⁡(α+β)cos⁡αcos⁡β{\displaystyle ={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}\cdot {\frac {\cos(\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}}, то есть
tg⁡α±tg⁡β=sin⁡(α±β)cos⁡αcos⁡β{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}\qquad \qquad }   — формула (7.4).

Преобразование суммы синусов 3-x разных углов в произведение при :α +β +γ =360∘{\displaystyle \alpha \ +\beta \ +\gamma \ =360^{\circ }} :

sin⁡α+sin⁡β+sin⁡γ=4sin⁡α2 sin⁡β2 sin⁡γ2{\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\ \sin {\frac {\beta }{2}}\ \sin {\frac {\gamma }{2}}} (7.6)

Формулы сложения и вычитания аргументов

Формулы сложения и вычитания аргументов
2.1 sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β{\displaystyle \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }
2.2 cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β{\displaystyle \cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }
2.3 tg⁡(α±β)=tg⁡α±tg⁡β1∓tg⁡αtg⁡β{\displaystyle \operatorname {tg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta }{1\mp \operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta }}}
2.4 ctg⁡(α±β)=ctg⁡αctg⁡β∓1ctg⁡β±ctg⁡α{\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \beta \mp 1}{\operatorname {ctg} \beta \pm \operatorname {ctg} \alpha }}}

Формула (2.3) получается при делении (2.1) на (2.2). А формула (2.4) — при делении (2.2) на (2.1).

Вывод формул для sin⁡(α+β), cos⁡(α+β){\displaystyle \sin(\alpha +\beta ),\ \cos(\alpha +\beta )}
Рис 1. К доказательству вывода формулы

На Рис. 1 изображены четыре прямоугольных треугольника: ABC, ABD, AOC, BOD.

Принято, что AB=1,∠DAC=α,∠DAB=β;{\displaystyle AB=1,\angle DAC=\alpha ,\angle DAB=\beta ;}

По построению: ∠ABC=90−α−β;∠ABD=90−β;{\displaystyle \angle ABC=90-\alpha -\beta ;\angle ABD=90-\beta ;}

Тогда: ∠OBD=∠ABD−∠ABO=α;{\displaystyle \angle OBD=\angle ABD-\angle ABO=\alpha ;}

Из треугольника ABD:

BD=sin⁡β;AD=cos⁡β;{\displaystyle BD=\sin \beta ;AD=\cos \beta ;}

Из треугольника BOD:

OB=BDcos⁡α=sin⁡βcos⁡α;{\displaystyle OB={\frac {BD}{\cos \alpha }}={\frac {\sin \beta }{\cos \alpha }};}
OD=OB⋅sin⁡α=sin⁡α⋅sin⁡βcos⁡α{\displaystyle OD=OB\cdot \sin \alpha ={\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha }}}

Так как O лежит на отрезке AD:

AO=AD−OD=cos⁡β−sin⁡α⋅sin⁡βcos⁡α=cos⁡α⋅cos⁡β−sin⁡α⋅sin⁡βcos⁡α{\displaystyle AO=AD-OD=\cos \beta -{\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha }}={\frac {\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha }}}

Тогда сразу:

cos⁡(α+β)=AC=AO⋅cos⁡α=cos⁡α⋅cos⁡β−sin⁡α⋅sin⁡β{\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=AC=AO\cdot \cos \alpha =\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta }

Из треугольника AOC:

OC=AO⋅sin⁡α=sin⁡α⋅(cos⁡α⋅cos⁡β−sin⁡α⋅sin⁡β)cos⁡α{\displaystyle OC=AO\cdot \sin \alpha ={\frac {\sin \alpha \cdot (\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta )}{\cos \alpha }}}

Следовательно:

sin⁡(α+β)=BC=OB+OC=sin⁡βcos⁡α+sin⁡α⋅(cos⁡α⋅cos⁡β−sin⁡α⋅sin⁡β)cos⁡α={\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=BC=OB+OC={\frac {\sin \beta }{\cos \alpha }}+{\frac {\sin \alpha \cdot (\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta )}{\cos \alpha }}=}
sin⁡α⋅cos⁡β+sin⁡β⋅(1−sin2⁡α)cos⁡α=sin⁡α⋅cos⁡β+cos⁡α⋅sin⁡β{\displaystyle \sin \alpha \cdot \cos \beta +{\frac {\sin \beta \cdot (1-\sin ^{2}\alpha )}{\cos \alpha }}=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta }

Что и требовалось доказать[источник не указан 1513 дней].

Итог урока

На уроке рассматривались формулы двойного аргумента и их использование при решении задач.

На следующем уроке будут рассмотрены формулы понижения степени.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал exponenta.ru (Источник).

Сделай дома

№№ 21.3(а, б), 21.4(а, б), 21.6(а) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)

Ссылка на основную публикацию