Тригонометрические формулы. их вывод

Тригонометрические формулы сложения углов

cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α 

sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α 
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β 

Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:

Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой — сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель — единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.

Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель — единице плюс произведение тангенсов этих углов.

Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.

Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой — произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.

Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.

Универсальная тригонометрическая подстановка

Обзор основных формул тригонометрии завершаем формулами, выражающими тригонометрические функции через тангенс половинного угла. Такая замена получила название универсальной тригонометрической подстановки. Ее удобство заключается в том, что все тригонометрические функции выражаются через тангенс половинного угла рационально без корней.

Для более полной информации смотрите статью универсальная тригонометрическая подстановка.

Список литературы.

  • Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
  • Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
  • Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Некогда разбираться?

Формулы двойного и половинного аргумента

Теперь перейдем к формулам двойного аргумента и следствиям из них. Напомним:

Получить формулы для тангенса и котангенса двойного угла очень просто. Этот прием мы уже неоднократно использовали сегодня  в уроке. Расписываем по определению:

По сути, мы получили формулу для тангенса двойного угла. Ее можно преобразовать и к другому виду, разделив числитель и знаменатель на :

Получилась многоэтажная дробь, разберем ее числитель и знаменатель отдельно:

В итоге тангенс двойного угла мы выразили только через тангенс одинарного.

Аналогичным образом можно поступить и с котангенсом.

Задание 7. Найти , если .

Решение

Обратим внимание, что аргументы отличаются в 2 раза. Значит, нам понадобятся формулы двойного угла или же следствия из них – формулы половинного угла

Способ 1. Попробуем использовать формулы двойного угла:

По условию, это выражение равно :

Тут у нас косинус квадрат и синус квадрат. Для них мы знаем еще одно соотношение – основное тригонометрическое тождество:

Из этих двух соотношений мы можем найти значения  и . Сложив их, получим:

Тогда:

Требуется найти . Как обычно, расписываем по определению:

Способ 2. Можно использовать формулы половинного аргумента. Тогда  и  можно сразу выразить:

Ответ: .

Вторым способом получилось быстрее, но нужно помнить больше формул. Каждый сам может выбрать более удобный для себя способ решения: больше запоминать, но быстрее решать или же запоминать меньше, но тогда решение может оказаться длиннее.

Уметь применять формулы двойных аргументов нужно как слева направо, так и справа налево. Слева направо это сделать проще, а вот справа налево их нужно «увидеть». Вспомните: похожая ситуация была с формулами сокращенного умножения. Найти выражение вида  просто: увидел – применил формулу. А вот в обратную сторону выражение вида  нужно еще заметить.

Итак, посмотрим на правые части формул двойных аргументов и подумаем, на что же нам обращать внимание

Для синусов справа стоит произведение синуса и косинуса с одинаковыми аргументами

Именно на это мы будет обращать внимание. Умножить и разделить выражение на  – это не проблема

Для косинусов справа стоит разность квадратов. Не путайте с основным тригонометрическим тождеством – там сумма квадратов.

Задание 8. Найти значение выражения:

Решение

Видим произведение косинуса и синуса одного аргумента. Это показатель того, что нужно применить формулу синуса двойного угла. Не хватает двойки перед выражением. Поэтому умножим и разделим выражение на :

Теперь можем применить формулу:

Далее нужно применить формулы приведения. Можете самостоятельно потренироваться это делать. В итоге вы должны получить ответ . Если ответ не совпал, смотрите решение ниже.

Ответ: .

Использование формул приведения

Выделим в дроби целую часть:  

Тогда:  

У нас по-прежнему в аргументе не острый угол. Попробуем еще раз выделить :

Осталось применить формулу приведения для отрицательных углов и найти значение по таблице:

Тогда:  

Задания для самостоятельного решения

Базовый уровень

1)Упростите выражение .

2)Упростите выражение .

3)Упростите выражение .

4)Упростите .

5)Вычислите без калькулятора  

6)Вычислите без калькулятора .

7)Упростите выражение .

8)Упростите выражение .

9)Упростите .

10) Упростите выражение .

11) Найдите tg2x+ctg2x, если tgx+ctgx=2.

12) Найдите значение выражения 2,5sin2x, если .

13) Вычислите .

14) Упростите выражение .

15) Найдите sin 390.

16) Найдите значение выражения .

17) Упростить выражение .

18) Упростить выражение .

19) Вычислить .

20) Упростить .

21) Упростить .

22) Вычислить: 

23)Найти значение выражения .

24)Найти значение выражения .

25)Вычислить .

26)Вычислить .

27)Найти .

28)Вычислить .

29)Найти решение уравнения принадлежащие интервалу 1800.

30)Решите уравнение .

31)Решите уравнение  и найдите сумму его решений на отрезке .

32)Найдите корни уравнения sin2x-cosx=1 из промежутка .

33)Решите уравнение .

34)Решите уравнение сos 5x – cos 3x = sin 4x.

35)Решите уравнение .

36)Решите уравнение .

37)Решите уравнение .

38)Решите уравнение cos2x + sinx + 1 = 0.

39)Решите уравнение . 

40)Вычислите .

41)Найдите значение выражения .

42)Вычислить: 

    .

43)Вычислить: 

    .

44)Вычислить: 

    .

Повышенный уровень

45) Упростить .

46) Упростите .

47) Найдите значение выражения . 

48) Вычислить .

49) .

50) Вычислите .

51) Решите уравнение . 

52) Найти все решения уравнения .

53) Найдите наименьший положительный корень уравнения 4cos 6x ∙ cos 2x + 2sin24x – 4 = 0.

54) Сколько корней имеет уравнение ?

55) Сколько решений имеет уравнение 

56) Решите уравнение (x2-4x+1)•arccosx=0.

57) Решите уравнение 

58) Решите уравнение arcsin(1-cos2x)=x.

Формулы половинного угла.

  1. Синус половинного угла. Примечание: Знак перед корнем выбирается в зависимости от квадранта, в который попадает угол α/2 в левой части.

    Данное правило справедливо также для других формул, приведенных ниже. 

  2. Косинус половинного угла:

  3. Тангенс половинного угла:

  4. Котангенс половинного угла:  

  5. Выражение синуса через тангенс половинного угла:  

  6. Выражение косинуса через тангенс половинного угла:  

  7. Выражение тангенса через тангенс половинного угла:    

  8. Выражение котангенса через тангенс половинного угла: 

Формулы приведения.

Функция / угол в рад.

π/2 – α

π/2 + α

π – α

π + α

3π/2 – α

3π/2 + α

2π – α

2π + α

sin

cos α

cos α

sin α

– sin α

– cos α

– cos α

– sin α

sin α

cos

sin α

– sin α

– cos α

– cos α

– sin α

sin α

cos α

cos α

tg

ctg α

– ctg α

– tg α

tg α

ctg α

– ctg α

– tg α

tg α

ctg

tg α

– tg α

– ctg α

ctg α

tg α

– tg α

– ctg α

ctg α

Функция / угол в °

90° – α

90° + α

180° – α

180° + α

270° – α

270° + α

360° – α

360° + α

Подробное описание формул приведения.

Основные тригонометрические формулы.

Основное тригонометрическое тождество:

sin2α+cos2α=1 

Данное тождество − результат применения теоремы Пифагора к треугольнику в единичном тригонометрическом круге.

Соотношение между косинусом и тангенсом:

1/cos2α−tan2α=1 или sec2α−tan2α=1. 

Данная формула является следствием основного тригонометрического тождества и получается из него делением левой и правой части на cos2α. Предполагается, что α≠π/2+πn,n∈Z.

Соотношение между синусом и котангенсом:

1/sin2α−cot2α=1 или csc2α−cot2α=1. 

Эта формула также следует из основного тригонометрического тождества (получается из него делением левой и правой части на sin2α. Здесь предполагается, что α≠πn,n∈Z.

tanα=sinα/cosα, 

где α≠π/2+πn,n∈Z.

cotα=cosα/sinα, 

где α≠πn,n∈Z.

tanα⋅cotα=1, 

где α≠πn/2,n∈Z.

Определение косеканса:

cscα=1/sinα,α≠πn,n∈Z

Тригонометрические неравенства.

Простейшие тригонометрические неравенства:

sinx > a, sinx ≥ a, sinx

cosx > a, cosx ≥ a, cosx

tanx > a, tanx ≥ a, tanx

cotx > a, cotx ≥ a, cotx

Функция у = cos х.

Если построить единичную окружность с центром в начале координат, и задать произвольное значение аргумента xи отсчитать от оси Ox угол x0,то этому углу на единичной окружности соответствует некоторая точка A (рис. 1)а ее проекцией на ось Ох будет точка М.Длина отрезка ОМ равна абсолютной величине абсциссы точки A. Данному значению аргумента xсопоставлено значение функции y =cos xкак абсциссы точки А.Соответственно точка В (x; у)принадлежит графику функции у = cos х (рис. 2).Если точка А находится правее оси Оу,токосинус будет положителен, если же левее – отрицателен. Но в любом случае точка А не может покинуть окружность. Поэтому косинус лежит в пределах от –1 до 1:

–1 = cos x = 1.

Дополнительный поворот на любой угол, кратный 2p, возвращает точку A на то же место. Поэтому функция у = cos x периодическая, ее период равен 2p:

cos (x + 2p) = cos x.

Если взять два значения аргумента, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку, x и –x,найти на окружности соответствующие точки Ax и А-x.Как видно на рис. 3их проекцией на ось Ох является одна и та же точка М.Поэтому

cos (–x) = cos (x),

т.е. косинус – четная функция, f(–x) = f(x).

Значит, можно исследовать свойства функции y = cos х на отрезке [0, p], а затем учесть ее четность и периодичность.

При х = 0 точка А лежит на оси Ох,ее абсцисса равна 1, а потому cos 0 = 1. С увеличением х точка А передвигается по окружности вверх и влево, ее проекция, естественно, только влево, и при х = p/2 косинус становится равен 0. Точка A в этот момент поднимается на максимальную высоту, а затем продолжает двигаться влево, но уже снижаясь. Ее абсцисса все убывает, пока не достигнет наименьшего значения, равного –1 при х = p. Таким образом, на отрезке [0, p] функция у = cos х монотонно убывает от 1 до –1 (рис. 4, 5).

Из четности косинуса следует, что на отрезке [–p, 0] функция монотонно возрастает от –1 до 1, принимая нулевое значение при х = p/2. Если взять несколько периодов, получится волнообразная кривая (рис. 6).

Итак, функция y = cos x принимает нулевые значения в точках х = p/2 + kp,где k – любое целое число. Максимумы, равные 1, достигаются в точках х = 2kp, т.е. с шагом 2p, а минимумы, равные –1, в точках х = p + 2kp.

Системы тригонометрических уравнений и методы их решения

Кроме решения тригонометрических уравнений необходимо уметь решать и их системы.

Наиболее часто встречаются системы следующих типов:

1) В которых одно из уравнений степенное, например, ;

2) Системы из простейших тригонометрических уравнений, например, .

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели основные тригонометрические функции, их свойства и графики. А также познакомились с общими формулами решения простейших тригонометрических уравнений, указали основные типы таких уравнений и их систем.

В практической части урока мы разберем методы решения тригонометрических уравнений и их систем.

Вставка 1. Решение частных случаев простейших тригонометрических уравнений.

Как мы уже говорили в основной части урока частные случаи тригонометрических уравнений с синусом и косинусом вида:

 и

имеют более простые решения, чем дают формулы общих решений.

Для этого используется тригонометрическая окружность. Разберем метод их решения на примере уравнения .

Изобразим на тригонометрической окружности точку, в которой значение косинуса равно нулю, оно же является координатой по оси абсцисс. Как видим, таких точек две. Наша задача указать чему равен угол, который соответствует этим точкам на окружности.

 
 

Начинаем отсчет от положительного направления оси абсцисс (оси косинусов) и при откладывании угла  попадаем в первую изображенную точку, т.е. одним из решений будет это значение угла. Но нас же еще устраивает угол, который соответствует второй точке. Как попасть в нее?

Для этого необходимо к уже отложенному углу добавить развернутый угол . Второй угол, который является решением уравнения, равен . Но нельзя забывать, что это еще не все, т.к. мы можем построить угол больший полного круга, и он еще раз попадет в первую точку и также будет решением нашего уравнения. Для этого необходимо прибавить ко второму вычисленному углу еще раз , и получим значение . Продолжать эти действия можно бесконечное количество раз.

Если выписать первые три полученных нами корня уравнения, то можно увидеть закономерность:

, , , …и выписать формулу для всех корней:

Как видим, эта формула действительно выглядит проще общего решения уравнения с косинусом, хотя бы потому, что в ней отсутствует «». Однако это не значит, что общая формула даст неверное решение.

Аналогично можно получить решения для всех остальных указанных частных случаев тригонометрических уравнений.

Полезные ссылки:

1)  Алгебра 9 класс: «Функция y=sinx, её свойства и график» 

2)  Алгебра 9 класс: «Функция y=cosx. Её свойства и график» 

3)  Алгебра 9 класс: «Функция y=cos t, её свойства и график» 

4)  Алгебра 9 класс: «Простейшие тригонометрические уравнения и сопутствующие задачи» 

5)  Алгебра 9 класс: «Элементы теории тригонометрических функций. Функция y=sinx» 

6)  Алгебра 9 класс: «Элементы теории тригонометрических функций. Функция y=cosx» 

7)  Алгебра 10 класс: «Функция y=sinx, ее основные свойства и график» 

8)  Алгебра 10 класс: «Функция y=sinx, её свойства, график и типовые задачи» 

9)  Алгебра 10 класс: «Функция y=cos t, её основные свойства и график» 

10) Алгебра 10 класс: «Функция y=cos t, её свойства, график и типовые задачи» 

11) Алгебра 10 класс: «Периодичность функций y=sin t, y=cos t» 

12) Алгебра 10 класс: «Как построить график функции y=m*f(x), если известен график функции y=f(x)» 

13) Алгебра 10 класс: «Как построить график функции y=f(kx), если известен график функции y=f(x)» 

14) Алгебра 10 класс: «Как построить график функции y=f(kx), если известен график функции y=f(x). Примеры построения» 

15) Алгебра 10 класс: «График гармонического колебания» 

16) Алгебра 10 класс: «Функция y=tgx, ее свойства и график» 

17) Алгебра 10 класс: «Функция y=сtgx, ее свойства и график» 

18) Алгебра 10 класс: «Первые представления о решении тригонометрических уравнений» 

19) Алгебра 10 класс: «Простейшие тригонометрические уравнения» 

Нахождение значений тригонометрических функций

Тригонометрические функции имеют широкое применение.

Во-первых, они помогают решать геометрические задачи – рассчитывать треугольники и более сложные фигуры. Кроме того, их можно использовать и в быту, например чтобы понять, пролезет ли кровать в дверной проем или нет (до того, как совершить покупку). Или для того, чтобы оценить высоту дома или дерева, ширину реки.

Но чаще тригонометрические функции применяют для решения технических задач: построения чертежей деталей, зданий, расчета нагрузок на составные части механизма, просчета траектории движения и прочее.

Наконец, с помощью тригонометрических функций можно описывать колебания и волны. Об этих понятиях вы уже знаете из курса физики (урок «Механические колебания», урок «Механические волны. Звук»). Именно с помощью синусов и косинусов можно создать математическую модель различных колебаний: от механических до электромагнитных (урок «Электромагнитные волны и свет»).

Это основные сферы применения тригонометрических функций. Те же, кто собрался посвятить свою жизнь технической профессии, увидят и другие применения этого математического инструмента.

Вы уже знаете различные соотношения для тригонометрических функций, с помощью которых можно вычислить их значения и упростить выражение, которое содержит такие функции. На этом уроке мы займемся отработкой навыков упрощения и вычисления.

Прежде чем начать, вспомним, что для углов существуют две основные единицы измерения: градусы и радианы. Все вычисления вы должны уметь делать как в одних, так и в других единицах измерения. Основное соотношение:  радиан. Соответственно, в два раза больший угол:  радиан; а в два раза меньший –  радиан. Эти соотношения желательно держать в голове, остальные углы можно перевести из градусов в радианы с помощью пропорции:

Задание 1.

Известно, что:

Определить значения синуса, тангенса и котангенса , если .

Решение

Зная значение одной тригонометрической функции, всегда можно найти значение всех остальных с точностью до знака. Для этого понадобится основное тригонометрическое тождество:

А также определения тангенса и котангенса для произвольного угла:

Используем эти инструменты. Подставим значение косинуса в основное тригонометрическое тождество:

Упростив, получим:

Тогда:

Мы получили два возможных значения синуса: положительное и отрицательное. Зная дополнительную информацию , мы можем однозначно выбрать знак. Отмечаем на окружности точки, соответствующие углам  и . Угол  находится между ними, т. е. ему соответствуют точки верхней полуокружности (см. рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к заданию 1

Ординаты всех этих точек положительны, значит, и . Еще говорят так: «угол  лежит в первой или второй четверти. В этих четвертях синус положительный»:

Осталось найти тангенс и котангенс по определению:

Ответ: ; ; .

Задание 2. Найти значение выражения:

Решение

Идея решения подобных заданий следующая: преобразовать выражение так, чтобы получить острый угол. А затем найти значение функции по таблице:

Градусы

Радианы

cos

sin

Для преобразования понадобятся формулы приведения:

В задании угол отрицательный , поэтому начинаем с формул для :

Теперь убираем из аргумента периоды (добавление и вычитание целого числа периодов не меняет значение функции):

По таблице находим:

Подставляем в выражение:

Ответ: .

Отметим, что период  (или ) для синусов и косинусов мы можем выделять не один раз. Поэтому для больших значений угла удобно его сразу представить в виде  (или  в радианах), где  – некоторое целое число. А для этого следует разделить с остатком значение угла на .

Например, найдем . Делим с остатком  на :

Получаем:

У тангенсов и котангенсов период равен  (или ). Соответственно, угол представляем в виде  (или  в радианах).

Например, вычислим :

Для этого угла можем уже воспользоваться таблицей:

Пример задачи на использование формул тригонометрии

sin5x·cos3x − sin8x·cos6x = 0.

Имеем две разные функции sin() и cos() и четыре! разных аргумента 5x, 3x, 8x и 6x. Без предварительных преобразований свести к простейшим типам тригонометрических уравнений не получится. Поэтому сначала пробуем заменить произведения на суммы или разности функций. Делаем это так же, как в примере выше (см. раздел ).

sin(5x + 3x) + sin(5x − 3x) = 2·sin5x·cos3x
sin8x + sin2x = 2·sin5x·cos3x

sin(8x + 6x) + sin(8x − 6x) = 2·sin8x·cos6x
sin14x + sin2x = 2·sin8x·cos6x

(sin8x + sin2x)/2 − (sin14x + sin2x )/2 = 0.

xxxxxx

Уравнение значительно упростилось, но решать его так sin8x = sin14x, следовательно 8x = 14x + T, где Т — период, неверно, так как мы не знаем значения этого периода. Поэтому воспользуемся тем, что в правой части равенства стоит 0, с которым легко сравнивать множители в любом выражении.
Чтобы разложить sin8x − sin14x на множители, нужно перейти от разности к произведению. Для этого можно воспользоваться формулой разности синусов, или снова формулой суммы синусов и нечётностью функции синус (см. пример в разделе ).

sin8x − sin14x = sin8x + sin(−14x) = 2·sin 8x + (−14x)__________   2·cos 8x − (−14x)__________   2  = sin(−3x)·cos11x = −sin3x·cos11x.

Итак, уравнение sin8x − sin14x = 0 равносильно уравнению sin3x·cos11x = 0, которое, в свою очередь, равносильно совокупности двух простейших уравнений sin3x = 0 и cos11x = 0. Решая последние, получаем две серии ответовx1 = πn/3, nϵZx2 = π/22 + πk/11, kϵZ

Если Вы обнаружили ошибку или опечатку в тексте, сообщите о ней, пожалуйста, на электронный адрес mathematichka@yandex.ru. Буду весьма признательна.

 Перейти  на главную страницу сайта.

Есть вопросы?   пожелания?  замечания? Обращайтесь —
  mathematichka@yandex.ru

Внимание, mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено

Ставьте ссылки.

Формулы тригонометрии

Также очень распространенные формулы, связывающие синус и косинус с тангенсом и котангенсом:

\

\

Из двух последних формул можно вывести еще одно тригометрическое тождество, связывающее на этот раз тангенс и котангенс:

\

Теперь давайте посмотрим, как эти формулы действуют на практике.

ПРИМЕР 1. Упростить выражение: а) \( 1+ \tan^2 \; t \), б) \( 1+ \cot^2 \; t \)

а) В первую очередь распишем тангенс, сохраняя квадрат:

\

Далее нам нужно избавиться от единицы, а это по основному тригонометрическому тождеству:

\

Теперь введем все под общий знаменатель, и получаем:

\

Ну и наконец, как мы видим числитель можно по основному тригонометрическому тождеству сократить до единицы, в итоге получаем:\

б) С котангенсом выполняем все те же самые действия, только в знаменателе будет уже не косинус, а синус и ответ получится таким:

\

Выполнив данное задание мы вывели еще две очень важные формулы, связывающие наши функции, которые тоже нужно знать, как свои пять пальцев:

\

\

I группа. Основные тождества

sin2α + cos2α = 1;

tgα = ____sinαcosα ;     ctgα = ____cosαsinα ;

tgα·ctgα = 1;

1 + tg2α = _____   1cos2α;     1 + ctg2α = _____   1sin2α .

Эта группа содержит самые простые и самые востребованные формулы. Большинство учащихся их знает. Но если всё-таки есть трудности, то чтобы запомнить первые три формулы, мысленно представьте себе прямоугольный треугольник с гипотенузой равной единице. Тогда его катеты будут равны, соответственно, sinα по определению синуса (отношение противолежащего катета к гипотенузе) и cosα по определению косинуса (отношение прилежащего катета к гипотенузе).

Первая формула представляет собой теорему Пифагора для такого треугольника — сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы (12 = 1), вторая и третья — это определения тангенса (отношение противолежащего катета к прилежащему) и котангенса (отношение прилежащего катета к противолежащему). Произведение тангенса на котангенс равно 1 потому, что котангенс, записанный в виде дроби (формула третья) есть перевернутый тангенс (формула вторая). Последнее соображение, кстати, позволяет исключить из числа формул, которые необходимо обязательно заучить, все последующие длинные формулы с котангенсом. Если в каком-либо сложном задании Вам встретится ctgα, просто замените его на дробь ___  1tgα и пользуйтесь формулами для тангенса.

Последние две формулы можно не запоминать досимвольно. Они встречаются реже. И если потребуются, то Вы всегда сможете вывести их на черновике заново. Для этого достаточно подставить вместо тангенса или контангенса их определения через дробь (формулы вторая и третья, соответственно) и привести выражение к общему знаменателю

Но важно помнить, что такие формулы, которые связывают квадраты тангенса и косинуса, и квадраты котангенса и синуса существуют. Иначе, Вы можете не догадаться, какие преобразования необходимы для решения той или иной конкретной задачи

Если рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы убрать «лишние» формулы.

Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и наоборот

В конце нашего занятия мы поговорим о формулах преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и наоборот. Как и все предыдущие, они также применяются для упрощения выражений. Конечно, у вас может возникнуть вопрос: «Во что преобразовывать, чтобы упростить выражение: в сумму или в произведение?». Если у вас такой вопрос возник, вспомните, как поступать в таких же ситуациях с рациональными выражениями: когда раскладывать на множители, а когда – раскрывать скобки.

Задание 11.Упростить выражение:

Решение.

Упростить дробь – значит ее сократить. Для сокращения дроби нужно разложить числитель и знаменатель на множители. То есть нужно преобразовать сумму в произведение. Тут у нас по 3 слагаемых, какие же складывать? Возможны различные варианты, но начинать всегда лучше с симметричных. То есть со сложения  и  и аналогичных синусов:

Подставим в исходное выражение:

Теперь тут есть общие множители, которые можно вынести за скобки:

Ответ: .

Задание 12.  Доказать тождество:

Решение.

Для доказательства упростим левую часть равенства и покажем, что она всегда равна правой. Здесь по порядку действия стоит сначала умножение, затем – сложение. Поэтому сначала можем преобразовать только произведение в сумму:

Подставив в левую часть равенства, получим:

Видим, что после упрощения левая часть равенства тождественно равна правой.

Доказано.

Список литературы

  1. «Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Базовый и углубленный уровни. Учебник. ФГОС», АО «Издательство «Просвещение» Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачева М.В. и др. 10–11.
  2. «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа». 10-11 классы. Учебник для общеобразовательных организаций (базовый уровень). В 2 ч., ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА» Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г. 10–11.
  3. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс, АО «Издательство «Просвещение» Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др. 10.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Ин­тер­нет-пор­тал yaklass.​ru
  2. Ин­тер­нет-пор­тал cleverstudents.ru
  3. Ин­тер­нет-пор­тал math24.ru

 Домашнее задание

  1.  Доказать тождество: 
  2. Упростить выражение: 
  3. Преобразовать в произведение: 

Функция тангенс и ее график

Перейдем к функции:

Основные свойства этой функции:

1) Область определения  кроме , где . Мы уже указывали в предыдущих уроках, что  не существует. Это утверждение можно обобщить, учитывая период тангенса;

2) Область значений , т.е. значения тангенса не ограничены;

3) Функция нечетная ;

4) Функция монотонно возрастает в пределах своих так называемых веток тангенса, которые мы сейчас увидим на рисунке;

5) Функция периодична с периодом 

Построим график функции . При этом удобно начинать построение с изображения вертикальных асимптот графика в точках, которые не входят в область определения, т.е.  и т.д. Далее изображаем ветки тангенса внутри каждой из образованных асимптотами полосок, прижимая их к левой асимптоте и к правой. При этом не забываем, что каждая ветка монотонно возрастает. Все ветки изображаем одинаково, т.к. функция имеет период, равный . Это видно по тому, что каждая ветка получается смещением соседней на  вдоль оси абсцисс.

Функция y = sin х.

На единичной окружности углу x соответствует точка А (рис. 7),а ее проекцией на ось Оу будет точка N. Значение функции у= sin xопределяется как ордината точки А.Точка В (угол x, у)принадлежит графику функции y = sin x (рис. 8).Ясно, что функция y = sin x периодическая, ее период равен 2p:

sin (x + 2p) = sin (x).

Для двух значений аргумента, х и – ,проекции соответствующих им точек Аx и А-x на ось Оу расположены симметрично относительно точки О. Поэтому

sin (–x) = –sin (x),

т.е. синус – функция нечетная, f(–x) = –f(x)(рис. 9).

Если точку A повернуть относительно точки О на угол p/2 против часовой стрелки (другими словами, если угол х увеличить на p/2), то ее ордината в новом положении будет равна абсциссе в старом. А значит,

sin (x + p/2) = cos x.

Иначе, синус – это косинус, «запоздавший» на p/2, поскольку любое значение косинуса «повторится» в синусе, когда аргумент возрастет на p/2. И чтобы построить график синуса, достаточно сдвинуть график косинуса на p/2 вправо (рис. 10)

Чрезвычайно важное свойство синуса выражается равенством

.

Геометрический смысл равенства виден из рис. 11. Здесь х – это половина дуги АВ,а sin х – половина соответствующей хорды. Очевидно, что по мере сближения точек А и В длина хорды все точнее приближается к длине дуги. Из того же рисунка несложно извлечь неравенство

|sin x| x|, верное при любом х.

Формулу (*) математики называют замечательным пределом. Из нее, в частности, следует, что sin х х при малых х.

Функции у = tg х, у = ctg х.Две другие тригонометрические функции – тангенс и котангенс проще всего определить как отношения уже известных нам синуса и косинуса:

Как синус и косинус, тангенс и котангенс – функции периодические, но их периоды равны p, т.е. они вдвое меньше, чем у синуса и косинуса. Причина этого понятна: если синус и косинус оба поменяют знаки, то их отношение не изменится.

Поскольку в знаменателе тангенса находится косинус, то тангенс не определен в тех точках, где косинус равен 0, – когда х = p/2 + kp.Во всех остальных точках он монотонно возрастает. Прямые х = p/2 + kp для тангенса являются вертикальными асимптотами. В точках kp тангенс и угловой коэффициент составляют 0 и 1 соответственно (рис. 12).

Котангенс не определен там, где синус равен 0 (когда х = kp).В остальных точках он монотонно убывает, а прямые х = kp его вертикальные асимптоты. В точках х = p/2 + kp котангенс обращается в 0, а угловой коэффициент в этих точках равен –1 (рис. 13).

Четность и периодичность.

Функция называется четной, если f(–x) = f(x). Функции косинус и секанс – четные, а синус, тангенс, котангенс и косеканс – функции нечетные:

sin (–α) = – sin α tg (–α) = – tg α
cos (–α) = cos α ctg (–α) = – ctg α
sec (–α) = sec α cosec (–α) = – cosec α

Свойства четности вытекают из симметричности точек Pa и Рa(рис. 14) относительно оси х.При такой симметрии ордината точки меняет знак ((х; у)переходит в (х; –у)). Все функции – периодические, синус, косинус, секанс и косеканс имеют период 2p,а тангенс и котангенс – p:

sin (α + 2) = sin α cos (α + 2) = cos α
tg (α + ) = tg α ctg (α + ) = ctg α
sec (α + 2) = sec α cosec (α + 2) = cosec α

Периодичность синуса и косинуса следует из того, что все точки Pa + 2kp, где k = 0, ±1, ±2,…, совпадают, а периодичность тангенса и котангенса – из того, что точки Pa + kpпоочередно попадают в две диаметрально противоположные точки окружности, дающие одну и ту же точку на оси тангенсов.

Основные свойства тригонометрических функций могут быть сведены в таблицу:

Функция Область определения Множество значений Четность Участки монотонности (k = 0, ± 1, ± 2,…)
sin x Ґ x Ґ нечетная возрастает при x О ((4k – 1) p /2, (4k + 1) p /2),убывает при x О ((4k + 1) p /2, (4k + 3) p/2)
cos x Ґ x Ґ четная Возрастает приx О ((2k – 1) p, 2kp),убывает приx О (2kp, (2k + 1) p)
tg x x p/2 + pk (–Ґ, +Ґ) нечетная возрастает приx О ((2k – 1) p /2, (2k + 1) p /2)
ctg x x pk (–Ґ, +Ґ) нечетная убывает приx О (kp, (k + 1) p)
sec x x p/2 + pk (–Ґ, –1] И [+1, +Ґ) четная Возрастает приx О (2kp, (2k + 1) p),убывает приx О ((2k – 1) p, 2kp)
cosec x x pk (–Ґ, –1] И [+1, +Ґ) нечетная возрастает приx О ((4k + 1) p /2, (4k + 3) p/2),убывает приx О ((4k – 1) p /2, (4k + 1) p /2)
Ссылка на основную публикацию