Производная тригонометрических, обратных тригонометрических функций

Синтаксис описания формул

В описании функции допускается использование одной переменной (обозначается как x), скобок, числа пи (pi), экспоненты (e), математических операций: + — сложение, — — вычитание, * — умножение, — деление, ^ — возведение в степень.
Допускаются также следующие функции: sqrt — квадратный корень, exp — e в указанной степени, lb — логарифм по основанию 2, lg — логарифм по основанию 10, ln — натуральный логарифм (по основанию e), sin — синус, cos — косинус, tg — тангенс, ctg — котангенс, sec — секанс, cosec — косеканс, arcsin — арксинус, arccos — арккосинус, arctg — арктангенс, arcctg — арккотангенс, arcsec — арксеканс, arccosec — арккосеканс, versin — версинус, vercos — коверсинус, haversin — гаверсинус, exsec— экссеканс, excsc — экскосеканс, sh — гиперболический синус, ch — гиперболический косинус, th — гиперболический тангенс, cth — гиперболический котангенс, sech — гиперболический секанс, csch — гиперболический косеканс, abs — абсолютное значение (модуль), sgn — сигнум (знак), logP — логарифм по основанию P, например log7(x) — логарифм по основанию 7, rootP — корень степени P, например root3(x) — кубический корень.

Таблица синтаксиса математических выражений

ГруппаКонстанты и переменныеОперацииТригонометрические функцииОбратные тригонометрические функцииГиперболические функции

Рассчитать

save Сохранить extension Виджет

Вычисление производной

Вычисление производной — дело нехитрое, достаточно знать несколько простых правил и формулы дифференцирования простых функций; сложнее в этом онлайн калькуляторе было сделать интерпретатор математических выражений и алгоритм упрощения полученного результата, но об этом как-нибудь в другой раз…

Правила дифференцирования

1) производная суммы:
2) производная произведения:
3) производная частного:
4) производная сложной функции равна произведению производных:

Таблица производных

Производная степенной функции:
Производная показательной функции:
Производная экспонециальной функции:
Производная логарифмической функции:
Производные тригонометрических функций:,,,
Производные обратных тригонометрических функций:,,,
Производные гиперболических функций:

Представление тригонометрических функций в виде степенных рядов и бесконечных произведений.

Все тригонометрические функции допускают разложение в степенные ряды. При этом функции sin x b cos x представляются рядами. сходящимися для всех значений x:

Эти ряды можно использовать для получения приближенных выражений sin x и cos x при малых значениях x:

при |x| p/2;

при 0 x| p

(Bn – числа Бернулли).

Функции sin x и cos x могут быть представлены в виде бесконечных произведений:

(эта формула была получена Эйлером в 1740);

Тригонометрическая система 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ¼, cos nx, sin nx, ¼, образует на отрезке [–pp] ортогональную систему функций, что дает возможность представления функций в виде тригонометрических рядов.

Формулы приведения.

По этим формулам значение тригонометрической функции аргумента a, где p/2 a p, можно привести к значению функции аргумента a, где 0 a p/2, как той же, так и дополнительной к ней.

Аргумент b

Функция

a + a pa p + a + a + a 2pa
sin b cos a cos a sin a –sin a –cos a –cos a –sin a
cos b sin a –sin a –cos a –cos a –sin a sin a cos a

Поэтому в таблицах тригонометрических функций даются значения только для острых углов, причем достаточно ограничиться, например, синусом и тангенсом. В таблице даны только наиболее употребительные формулы для синуса и косинуса. Из них легко получить формулы для тангенса и котангенса. При приведении функции от аргумента вида kp/2 ± a, где k – целое число, к функции от аргумента a:

1) название функции сохраняется, если k четное, и меняется на «дополнительное», если k нечетное;

2) знак в правой части совпадает со знаком приводимой функции в точке kp/2 ± a, если угол a острый.

Например, при приведении ctg (ap/2) убеждаемся, что ap/2 при 0 a p/2 лежит в четвертом квадранте, где котангенс отрицателен, и, по правилу 1, меняем название функции: ctg (ap/2) = –tg a.

Решение уравнений и неравенств с производной

Задача 3. Дано:

а) Решить уравнение

б) решить неравенство

Решение:

Находим производную функции:

а)

Ответ:

б)

Решим двумя способами:

1-й способ.

При  неравенство принимает вид 

1) строим график функции  на наименьшем периоде

2) строим график функции

3) находим точки пересечения графиков;

4) записываем решения на промежутке  и учитываем периодичность (рис. 1).

Рис. 1.

Ответ:

2-й способ.

Построим единичную окружность, число  отметим на оси ординат (оси синусов), получим на окружности числа  и  (рис. 2), промежуток на оси синусов, на котором значения синуса больше , отметим синим цветом, наконец, соответствующую этим значениям дугу отметим зеленым цветом.

Рис. 2.

Числа на дуге можно описать таким двойным неравенством:

Ответ:

Задача 4. Дано:

Решить уравнение:

Решение:

1) вычисляем производную функции:

2) решаем тригонометрическое уравнение:

Построим единичную окружность и отметим число  на оси абсцисс (оси косинусов для аргумента ), найдем соответствующие точки на окружности (рис. 3) и запишем множество решений для аргумента .

 

Рис. 3.

Ответ:

Производные высших порядков

Далее мы приводим некоторые соотношения и выражения для производных высших порядков от обратных тригонометрических функций. Полное изложение вывода формул производных высших порядков представлено на страницах Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса и Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса.

Производные арксинуса

Пусть. Производную первого порядка от арксинуса мы уже нашли:. Дифференцируя, находим производную второго порядка:;. Ее также можно записать в следующем виде:. Отсюда получаем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют производные арксинуса первого и второго порядков:.

Дифференцируя это уравнение, можно найти производные высших порядков.

Производная арксинуса n-го порядка

Производная арксинуса n-го порядка имеет следующий вид:, где – многочлен степени . Он определяется по формулам:;. Здесь .

Многочлен удовлетворяет дифференциальному уравнению:.

См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса > > >

Производная арккосинуса n-го порядка

Производные для арккосинуса получаются из производных для арксинуса с помощью тригонометрической формулы:. Поэтому производные этих функций отличаются только знаком:.

Производные арктангенса

Пусть . Мы нашли производную арккотангенса первого порядка:.

Разложим дробь на простейшие:. Здесь – мнимая единица, .

Дифференцируем раз и приводим дробь к общему знаменателю:.

Подставляя , получим:.

Производная арктангенса n-го порядка

Таким образом, производную арктангенса n-го порядка можно представить несколькими способами:;.

См. Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса > > >

Производные арккотангенса

Пусть теперь . Применим формулу, связывающей обратные тригонометрические функции:. Тогда производная n-го порядка от арккотангенса отличаются только знаком от производной арктангенса:.

Подставив , найдем:.

Использованная литература: Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Четность и периодичность.

Функция называется четной, если f(–x) = f(x). Функции косинус и секанс – четные, а синус, тангенс, котангенс и косеканс – функции нечетные:

sin (–α) = – sin α tg (–α) = – tg α
cos (–α) = cos α ctg (–α) = – ctg α
sec (–α) = sec α cosec (–α) = – cosec α

Свойства четности вытекают из симметричности точек Pa и Рa(рис. 14) относительно оси х.При такой симметрии ордината точки меняет знак ((х; у)переходит в (х; –у)). Все функции – периодические, синус, косинус, секанс и косеканс имеют период 2p,а тангенс и котангенс – p:

sin (α + 2) = sin α cos (α + 2) = cos α
tg (α + ) = tg α ctg (α + ) = ctg α
sec (α + 2) = sec α cosec (α + 2) = cosec α

Периодичность синуса и косинуса следует из того, что все точки Pa + 2kp, где k = 0, ±1, ±2,…, совпадают, а периодичность тангенса и котангенса – из того, что точки Pa + kpпоочередно попадают в две диаметрально противоположные точки окружности, дающие одну и ту же точку на оси тангенсов.

Основные свойства тригонометрических функций могут быть сведены в таблицу:

Функция Область определения Множество значений Четность Участки монотонности (k = 0, ± 1, ± 2,…)
sin x Ґ x Ґ нечетная возрастает при x О ((4k – 1) p /2, (4k + 1) p /2),убывает при x О ((4k + 1) p /2, (4k + 3) p/2)
cos x Ґ x Ґ четная Возрастает приx О ((2k – 1) p, 2kp),убывает приx О (2kp, (2k + 1) p)
tg x x p/2 + pk (–Ґ, +Ґ) нечетная возрастает приx О ((2k – 1) p /2, (2k + 1) p /2)
ctg x x pk (–Ґ, +Ґ) нечетная убывает приx О (kp, (k + 1) p)
sec x x p/2 + pk (–Ґ, –1] И [+1, +Ґ) четная Возрастает приx О (2kp, (2k + 1) p),убывает приx О ((2k – 1) p, 2kp)
cosec x x pk (–Ґ, –1] И [+1, +Ґ) нечетная возрастает приx О ((4k + 1) p /2, (4k + 3) p/2),убывает приx О ((4k – 1) p /2, (4k + 1) p /2)

Производные тригонометрических функций и их invertant

ddИксгрех⁡(Икс)знак равносоз⁡(Икс){\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d} {дх}} \ Sin (х) = \ соз (х)}
ddИкссоз⁡(Икс)знак равно-грех⁡(Икс){\ Displaystyle {\ гидроразрыва {D} {дх}} \ соз (х) = — \ Sin (х)}
ddИксзагар⁡(Икс)знак равно(грех⁡(Икс)соз⁡(Икс))’знак равносоз2⁡(Икс)+грех2⁡(Икс)соз2⁡(Икс)знак равно1+загар2⁡(Икс)знак равносек2⁡(Икс){\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d} {дх}} \ тангенс (х) = \ влево ({\ гидроразрыва {\ Sin (х)} {\ соз (х)}} \ справа) ‘= {\ гидроразрыва {\ сов ^ {2} (х) + \ грех ^ {2} (х)} {\ соз ^ {2} (х)}} = 1+ \ тангенса ^ {2} (х) = \ сек ^ {2} (Икс)}
ddИксдетская кроватка⁡(Икс)знак равно(соз⁡(Икс)грех⁡(Икс))’знак равно-грех2⁡(Икс)-соз2⁡(Икс)грех2⁡(Икс)знак равно-(1+детская кроватка2⁡(Икс))знак равно-косеканс2⁡(Икс){\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d} {дх}} \ кроватка (х) = \ влево ({\ гидроразрыва {\ соз (х)} {\ Sin (х)}} \ справа) ‘= {\ гидроразрыва {- \ грех ^ {2} (х) — \ соз ^ {2} (х)} {\ грех ^ {2} (х)}} = — (1+ \ раскладушка ^ {2} (х)) = — \ CSC ^ {2} (х)}
ddИкссек⁡(Икс)знак равно(1соз⁡(Икс))’знак равногрех⁡(Икс)соз2⁡(Икс)знак равно1соз⁡(Икс)⋅грех⁡(Икс)соз⁡(Икс)знак равносек⁡(Икс)загар⁡(Икс){\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d} {дх}} \ с (х) = \ влево ({\ гидроразрыва {1} {\ соз (х)}} \ справа) ‘= {\ гидроразрыва {\ Sin (х) } {\ соз ^ {2} (х)}} = {\ гидроразрыва {1} {\ соз (х)}} \ CDOT {\ гидроразрыва {\ Sin (х)} {\ соз (х)}} = \ с (х) \ тангенс (х)}
ddИкскосеканс⁡(Икс)знак равно(1грех⁡(Икс))’знак равно-соз⁡(Икс)грех2⁡(Икс)знак равно-соз⁡(Икс)грех⁡(Икс)⋅1грех⁡(Икс)знак равно-детская кроватка⁡(Икс)косеканс⁡(Икс){\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d} {дх}} \ CSC (х) = \ влево ({\ гидроразрыва {1} {\ Sin (х)}} \ справа) ‘= — {\ гидроразрыва {\ соз (х )} {\ грех ^ {2} (х)}} = — {\ гидроразрыва {\ соз (х)} {\ Sin (х)}} \ CDOT {\ гидроразрыва {1} {\ Sin (х)}} = — \ кроватка (х) \ CSC (х)}
ddИксагсзш⁡(Икс)знак равно11-Икс2{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d} {дх}} \ агсзш (х) = {\ гидроразрыва {1} {\ SQRT {1-х ^ {2}}}}}
ddИксагссоз⁡(Икс)знак равно-11-Икс2{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d} {дх}} \ агссоз (х) = {\ гидроразрыва {-1} {\ SQRT {1-х ^ {2}}}}}
ddИксагс⁡(Икс)знак равно11+Икс2{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d} {дх}} \ агс (х) = {\ гидроразрыва {1} {1 + х ^ {2}}}}
ddИксarccot(Икс)знак равно-11+Икс2{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d} {дх}} {\ Mbox {arccot}} (х) = {\ гидроразрыва {-1} {1 + х ^ {2}}}}
ddИксугл.сек(Икс)знак равно1|Икс|Икс2-1{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d} {дх}} {\ Mbox {угл.сек}} (х) = {\ гидроразрыва {1} {| х | {\ SQRT {х ^ {2} -1}}}}}
ddИксarccsc(Икс)знак равно-1|Икс|Икс2-1{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d} {дх}} {\ Mbox {arccsc}} (х) = {\ гидроразрыва {-1} {| х | {\ SQRT {х ^ {2} -1}}}} }

Производная степенной функции.

Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени p – любое действительное число.

Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …

Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле бинома Ньютона:

Следовательно,

Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.

При доказательстве формулы для любого действительного p, отличного от нуля, воспользуемся логарифмической производной (не путайте с производной логарифмической функции). Для понимания процесса, рекомендуем сначала ознакомиться с , а также разобраться с разделами теории производная неявно заданной функции и производная сложной функции.

Следует рассмотреть два случая: при положительных x и отрицательных x.

Сначала будем полагать . В этом случае . Выполним логарифмирование равенства по основанию e и применим свойство логарифма:

Пришли к неявно заданной функции. Находим ее производную:

Осталось провести доказательство для отрицательных x.

Когда показатель p представляет собой четное число, то степенная функция определена и при , причем является четной (смотрите раздел основные элементарные функции, их свойства и графики). То есть, . В этом случае и также можно использовать доказательство через логарифмическую производную.

Когда показатель p представляет собой нечетное число, то степенная функция определена и при , причем является нечетной. То есть, . В этом случае и логарифмическую производную использовать нельзя. Для доказательства формулы в этом случае можно воспользоваться правилами дифференцирования и правилом нахождения производной сложной функции:

Последний переход возможен в силу того, что если p — нечетное число, то p-1 либо четное число, либо нуль (при p=1), поэтому, для отрицательных x справедливо равенство .

Таким образом, формула производной степенной функции доказана для любого действительного p.

Пример.

Найти производные функций .

Решение.

Первую и третью функцию приведем к табличному виду , используя свойства степени, и применим формулу производной степенной функции:

Тригонометрические функции комплексного аргумента

определяются как аналитические продолжения соответствующих тригонометрических функций действительного аргумента в комплексную плоскость. Так, sin z и cos z могут быть определены с помощью рядов для sin x и cos x,если вместо x поставить z:

,

.

Эти ряды сходятся по всей плоскости, поэтому sin z и cos z – целые функции.

Тангенс и котангенс определяются формулами:

,

.

Функции tg z и ctg z – мероморфные функции. Полюсы tg z и sec z – простые (1-го порядка) и находятся в точках z = p/2 + pn, полюсы ctg z и cosec z – также простые и находятся в точках z = pn, n = 0, ±1, ±2,…

Все формулы, справедливые для тригонометрических функций действительного аргумента, справедливы и для комплексного. В частности,

sin (–z) = –sin z,

cos (–z) = cos z,

tg (–z) = –tg z,

ctg (–z) = –ctg z,

т.е. четность и нечетность сохраняются. Сохраняются и формулы

sin (z + 2p) = sin z, (z + 2p) = cos z, (z + p) = tg z, (z + p) = ctg z,

т.е. периодичность также сохраняется, причем периоды такие же, как и для функций действительного аргумента.

Тригонометрические функции могут быть выражены через показательную функцию от чисто мнимого аргумента:

;

;

.

Обратно, eiz выражается через cos z и sin z по формуле:

eiz = cos z + i sin z

Эти формулы носят название формул Эйлера. Леонард Эйлер вывел их в 1743.

Тригонометрические функции также можно выразить через гиперболические функции:

z = –i sh iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.

где sh, ch и th – гиперболические синус, косинус и тангенс.

Тригонометрические функции комплексного аргумента z = x + iy, где x и y – действительные числа, можно выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительных аргументов, например:

sin (x + iy) = sin x ch y + i cos x sh y;

cos (x + iy) = cos x ch y + i sin x sh y.

Синус и косинус комплексного аргумента могут принимать действительные значения, превосходящие 1 по абсолютной величине. Например:

Если неизвестный угол входит в уравнение как аргумент тригонометрических функций, то уравнение называется тригонометрическим.Такие уравнения настолько часто встречаются, что методы ихрешения очень подробно и тщательно разработаны. С помощью различных приемов и формул тригонометрические уравнения сводят к уравнениям вида f(x) = a, где f – какая-либо из простейших тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс или котангенс. Затем выражают аргумент x этой функции через ее известное значение а.

Поскольку тригонометрические функции периодичны, одному и тому же а из области значений отвечает бесконечно много значений аргумента, и решения уравнения нельзя записать в виде одной функции от а.Поэтому в области определения каждой из основных тригонометрических функций выделяют участок, на котором она принимает все свои значения, причем каждое только один раз, и находят функцию, обратную ей на этом участке. Такие функции обозначают, приписывая приставку агс (дуга) к названию исходной функции, и называют обратными тригонометрическимифункциями или просто аркфункциями.

Функция y = sin х.

На единичной окружности углу x соответствует точка А (рис. 7),а ее проекцией на ось Оу будет точка N. Значение функции у= sin xопределяется как ордината точки А.Точка В (угол x, у)принадлежит графику функции y = sin x (рис. 8).Ясно, что функция y = sin x периодическая, ее период равен 2p:

sin (x + 2p) = sin (x).

Для двух значений аргумента, х и – ,проекции соответствующих им точек Аx и А-x на ось Оу расположены симметрично относительно точки О. Поэтому

sin (–x) = –sin (x),

т.е. синус – функция нечетная, f(–x) = –f(x)(рис. 9).

Если точку A повернуть относительно точки О на угол p/2 против часовой стрелки (другими словами, если угол х увеличить на p/2), то ее ордината в новом положении будет равна абсциссе в старом. А значит,

sin (x + p/2) = cos x.

Иначе, синус – это косинус, «запоздавший» на p/2, поскольку любое значение косинуса «повторится» в синусе, когда аргумент возрастет на p/2. И чтобы построить график синуса, достаточно сдвинуть график косинуса на p/2 вправо (рис. 10)

Чрезвычайно важное свойство синуса выражается равенством

.

Геометрический смысл равенства виден из рис. 11. Здесь х – это половина дуги АВ,а sin х – половина соответствующей хорды. Очевидно, что по мере сближения точек А и В длина хорды все точнее приближается к длине дуги. Из того же рисунка несложно извлечь неравенство

|sin x| x|, верное при любом х.

Формулу (*) математики называют замечательным пределом. Из нее, в частности, следует, что sin х х при малых х.

Функции у = tg х, у = ctg х.Две другие тригонометрические функции – тангенс и котангенс проще всего определить как отношения уже известных нам синуса и косинуса:

Как синус и косинус, тангенс и котангенс – функции периодические, но их периоды равны p, т.е. они вдвое меньше, чем у синуса и косинуса. Причина этого понятна: если синус и косинус оба поменяют знаки, то их отношение не изменится.

Поскольку в знаменателе тангенса находится косинус, то тангенс не определен в тех точках, где косинус равен 0, – когда х = p/2 + kp.Во всех остальных точках он монотонно возрастает. Прямые х = p/2 + kp для тангенса являются вертикальными асимптотами. В точках kp тангенс и угловой коэффициент составляют 0 и 1 соответственно (рис. 12).

Котангенс не определен там, где синус равен 0 (когда х = kp).В остальных точках он монотонно убывает, а прямые х = kp его вертикальные асимптоты. В точках х = p/2 + kp котангенс обращается в 0, а угловой коэффициент в этих точках равен –1 (рис. 13).

Итог урока

На уроке были рассмотрены примеры решения задач и уравнений с использованием производных функций, содержащих тригонометрические функции.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).

Сделай дома

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 42.10, 42.24.

Ссылка на основную публикацию