Тригонометрия

Формулы двойного и половинного аргумента

Теперь перейдем к формулам двойного аргумента и следствиям из них. Напомним:

Получить формулы для тангенса и котангенса двойного угла очень просто. Этот прием мы уже неоднократно использовали сегодня  в уроке. Расписываем по определению:

По сути, мы получили формулу для тангенса двойного угла. Ее можно преобразовать и к другому виду, разделив числитель и знаменатель на :

Получилась многоэтажная дробь, разберем ее числитель и знаменатель отдельно:

В итоге тангенс двойного угла мы выразили только через тангенс одинарного.

Аналогичным образом можно поступить и с котангенсом.

Задание 7. Найти , если .

Решение

Обратим внимание, что аргументы отличаются в 2 раза. Значит, нам понадобятся формулы двойного угла или же следствия из них – формулы половинного угла

Способ 1. Попробуем использовать формулы двойного угла:

По условию, это выражение равно :

Тут у нас косинус квадрат и синус квадрат. Для них мы знаем еще одно соотношение – основное тригонометрическое тождество:

Из этих двух соотношений мы можем найти значения  и . Сложив их, получим:

Тогда:

Требуется найти . Как обычно, расписываем по определению:

Способ 2. Можно использовать формулы половинного аргумента. Тогда  и  можно сразу выразить:

Ответ: .

Вторым способом получилось быстрее, но нужно помнить больше формул. Каждый сам может выбрать более удобный для себя способ решения: больше запоминать, но быстрее решать или же запоминать меньше, но тогда решение может оказаться длиннее.

Уметь применять формулы двойных аргументов нужно как слева направо, так и справа налево. Слева направо это сделать проще, а вот справа налево их нужно «увидеть». Вспомните: похожая ситуация была с формулами сокращенного умножения. Найти выражение вида  просто: увидел – применил формулу. А вот в обратную сторону выражение вида  нужно еще заметить.

Итак, посмотрим на правые части формул двойных аргументов и подумаем, на что же нам обращать внимание

Для синусов справа стоит произведение синуса и косинуса с одинаковыми аргументами

Именно на это мы будет обращать внимание. Умножить и разделить выражение на  – это не проблема

Для косинусов справа стоит разность квадратов. Не путайте с основным тригонометрическим тождеством – там сумма квадратов.

Задание 8. Найти значение выражения:

Решение

Видим произведение косинуса и синуса одного аргумента. Это показатель того, что нужно применить формулу синуса двойного угла. Не хватает двойки перед выражением. Поэтому умножим и разделим выражение на :

Теперь можем применить формулу:

Далее нужно применить формулы приведения. Можете самостоятельно потренироваться это делать. В итоге вы должны получить ответ . Если ответ не совпал, смотрите решение ниже.

Ответ: .

Использование формул приведения

Выделим в дроби целую часть:  

Тогда:  

У нас по-прежнему в аргументе не острый угол. Попробуем еще раз выделить :

Осталось применить формулу приведения для отрицательных углов и найти значение по таблице:

Тогда:  

Примеры использования

Разберем несколько примеров использования формул суммы синусов и косинусов, а также разности синусов и косинусов.

Для примера проверим справедливость формулы суммы синусов вида , взяв и . Чтобы это сделать, вычислим значения левой и правой частей формулы для данных углов. Так как и (при необходимости смотрите ), то . При и имеем и , тогда . Таким образом, значения левой и правой частей формулы суммы синусов для и совпадают, что подтверждает справедливость этой формулы.

В некоторых случаях использование формул суммы и разности синусов и косинусов позволяет вычислять значения тригонометрических выражений, когда углы отличны от основных углов (). Приведем решение примера, подтверждающего эту мысль.

Пример.

Вычислите точное значение разности синусов 165 и 75 градусов.

Решение.

Точных значений синусов 165 и 75 градусов мы не знаем, поэтому непосредственно вычислить значение заданной разности мы не можем. Но ответить на вопрос задачи нам позволяет формула разности синусов . Действительно, полусумма углов 165 и 75 градусов равна 120, а полуразность равна 45, а точные значения синуса 45 градусов и косинуса 120 градусов известны.

Таким образом, имеем

Ответ:

.

Несомненно, главная ценность формул суммы и разности синусов и косинусов заключается в том, что они позволяют перейти от суммы и разности к произведению тригонометрических функций (по этой причине эти формулы часто называют формулами перехода от суммы к произведению тригонометрических функций). А это в свою очередь может быть полезно, например, при преобразовании тригонометрических выражений или при решении тригонометрический уравнений. Но эти темы требуют отдельного разговора.

Список литературы.

  • Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
  • Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
  • Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Некогда разбираться?

Тригонометрические функции суммы и разности

Перейдем к применению формул косинусов и синусов суммы и разности. Они не так часто применяются при упрощениях и вычислениях, как следствия из них – формулы двойных углов. Но несколько полезных применений все же есть.

Во-первых, с помощью них можно получить аналогичные формулы для тангенсов:

Выводятся они точно так же, как и формулы для тангенса двойного угла. Можете самостоятельно попробовать их получить. Проверить себя можно ниже.

Вывод формул тангенса суммы и разности

По определению:

Применяем формулы косинусов и синусов суммы:

Разделим числитель и знаменатель на . В числителе получим:

В знаменателе:

В итоге:

Чтобы получить формулу разности, запишем:

С учетом формул приведения:

Как и другие формулы, формулы косинусов и синусов суммы и разности могут помочь при упрощении выражений.

Задание 9. Упростить выражение:

Решение.

Применяем формулы косинуса суммы и разности:

Ответ: .

У формулы синуса суммы есть еще один, совсем не очевидный способ применения.

Задание 10. Упростить выражение:

Решение.

Казалось бы: куда же еще упрощать, тут всего 4 операции для вычисления? Но это можно сделать. Вынесем за скобку число. Да, в выражении его нет. Но это не мешает нам каждое слагаемое умножить и поделить на :

Пока не проще. Но подождите:  – это значения косинусов и синусов из таблицы. Например:

Тогда наше выражение равно:

В скобках мы видим синус суммы. Получаем ответ:

Ответ: .

Это выражение действительно проще – в нем всего 3 операции: сложение, вычисление синуса, умножение.

Данный прием может пригодиться не только при упрощении выражений, но и при решении уравнений, оценке значений, построении графиков. В общем виде его можно представить так.

Пусть имеется выражение вида:

Выносим за скобки выражение :

При этом всегда можно найти такой угол , что:

Тогда получим:

О том, почему всегда найдется такой угол , смотрите ниже.

Условия, что два числа являются косинусом и синусом некоторого угла

Найдем условия того, что два числа являются косинусом и синусом некоторого угла.

Для произвольного угла мы давали определение его синуса и косинуса – это координаты соответствующей точки на единичной окружности (см. рис. 1).

Рис. 1. Синус и косинус произвольного угла – это координаты соответствующей точки на единичной окружности

Верно и обратное: если мы возьмем точку на единичной окружности, то ее координаты – это будут синус и косинус соответствующего угла. Точнее, многих углов – с точностью до периода. Значит, если пара чисел – это координаты точки на единичной окружности, то эти числа будут косинусом и синусом некоторого угла .

А какое условие, что точка лежит на единичной окружности? Сумма квадратов ее координат должна равняться  (уравнение окружности: ). Вот и получили условие. Проверим его для выражений  и :

Возводим в квадрат:

Равенство верное. Значит, всегда найдется такой угол , что:

Естественно, это не случайность – мы специально так выбрали выражения, чтобы сумма их квадратов была равна 1.

Ссылка на основную публикацию