Сведение тригонометрических уравнений к квадратному или кубическому уравнению

Введение дополнительного угла

Этот метод применяется для уравнений вида . Он присутствует в школьных учебниках. Правда, в них рассматриваются только частные случаи — когда числа a и b являются значениями синуса и косинуса углов в 30°, 45° или 60°.

1. Рассмотрим уравнениеДелим обе части на 2:Замечаем, что  :
В левой части получили синус суммы:,
откуда и

2. Другой пример:Делим обе части на Сделаем теперь для разнообразия в левой части косинус разности:3. Рассмотрим теперь общий случай — уравнениеДелим обе части на :

(4)

Для чего мы выполнили это деление? Всё дело в получившихся коэффициентах при косинусе и синусе. Легко видеть, что сумма их квадратов равна единице:
Это означает, что данные коэффициенты сами являются косинусом и синусом некоторого угла :
Соотношение () тогда приобретает вид:,
или
Исходное уравнение сведено к простейшему. Теперь понятно, почему рассматриваемый метод называется введением дополнительного угла. Этим дополнительным углом как раз и является угол .

4. Снова решим уравнениеДелим обе части на :Существует угол такой, что . Например, . Получаем:,,,,
В предыдущем разделе мы решили это уравнение, сведя его к однородному, и получили в качестве ответа выражение (). Сравните с полученным только что выражением. А ведь это одно и то же множество решений!

Специальные приёмы

В этом разделе рассматриваются некоторые типы уравнений, приёмы решения которых нужно знать обязательно.

1. Рассмотрим уравнение
Это сравнительно редкий случай, когда используется исходная формула косинуса двойного угла:,,,
Каждое из уравнений полученной совокупности мы решать умеем.

2. Теперь рассмотрим такое уравнение:

Метод решения будет совсем другим. Сделаем замену . Как выразить  через t? Имеем:,
откуда . Получаем:,,,
Как действовать дальше, мы знаем.

3. Надо обязательно помнить формулы косинуса и синуса тройного угла (чтобы не изобретать их на экзамене):,

Вот, например, уравнение:
Оно сводится к уравнению относительно :,,
Дальше всё понятно.

4. Как бороться с суммой четвёртых степеней синуса и косинуса? Рассмотрим уравнение
Выделяем полный квадрат!,,,,,,

5. А как быть с суммой шестых степеней? Рассмотрим такое уравнение:
Раскладываем левую часть на множители как сумму кубов: .
Получим:,
С суммой четвёртых степеней вы уже умеете обращаться.

Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений. Знать их нужно обязательно, это — необходимая база.

В более сложных и нестандартных задачах нужно ещё догадаться, как использовать те или иные методы. Это приходит только с опытом. Именно этому мы и учим на наших занятиях.

Однородные уравнения

Рассмотрим уравнение:Степень каждого слагаемого в левой части равна двум. Точно так же, как в обычном многочленестепень каждого слагаемого равна двум (степень одночлена — это сумма степеней входящих в него сомножителей).
Поскольку степени всех слагаемых одинаковы, такое уравнение называют однородным. Для однородных уравнений существует стандартный приём решения — деление обеих его частей на . Возможность этого деления, однако, должна быть обоснована: а что, если косинус равен нулю?

Следующий абзац предлагаем выучить наизусть и всегда прописывать его при решении однородных уравнений.

Предположим, что . Тогда в силу уравнения и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое решение данного уравнения удовлетворяет условию , и мы можем поделить обе его части на .

В результате деления приходим к равносильному квадратному уравнению относительно тангенса:

и дальнейший ход решения трудностей не представляет

1. Рассмотрим уравнениеЕсли бы в правой части стоял нуль, уравнение было бы однородным. Мы поправим ситуацию изящным приёмом: заменим число 3 на выражение :и дело сделано.

2. Неожиданным образом сводится к однородному следующее уравнение:Казалось бы, где тут однородность? Переходим к половинному углу!откуда

Универсальная тригонометрическая подстановка

Универсальную тригонометрическую подстановку можно
применять в случаях, когда подынтегральное выражение не подпадает под случаи, разобранные в предыдущих
параграфах. В основном, когда синус или косинус (или и то, и другое) находятся в знаменателе дроби. Доказано, что синус и косинус
можно заменить другим выражением, содержащим тангенс половины исходного угла следующим образом:

где .

Тогда .

Но заметим, что универсальная тригонометрическая подстановка часто влечёт за собой
довольно сложные алгебраические преобразования, поэтому её лучше применять, когда никакой другой метод
не работает. Разберём примеры, когда вместе с универсальной тригонометрической подстановкой используются
подведение под знак дифференциала и метод неопределённых коэффициентов.

Пример 12. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда.

Дроби в числителе и знаменателе умножаем на ,
а двойку выносим и ставим перед знаком интеграла. Тогда

Чтобы в результате преобразований прийти к табличному интегралу, попытаемся получить в
знаменателе полный квадрат. Для этого умножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на 2.
Применяем интегрирование подведением под знак дифференциала. Получим

К полученному результату преобразований можем теперь применить
. В результате
получаем окончательное решение:

.

Пример 13. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда.

Дроби в числителе и знаменателе умножаем на ,
а двойку выносим и ставим перед знаком интеграла. Тогда

.

Чтобы в результате преобразований прийти к табличному интегралу, попытаемся получить в
знаменателе полный квадрат. Для этого умножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на 3.
Применяем интегрирование подведением под знак дифференциала. Получим

К полученному результату преобразований можем теперь применить
. В результате
получаем окончательное решение:

.

Пример 14. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда

Используем метод неопределённых коэффициентов. Получим следующее подынтегральное выражение:

Чтобы найти коэффициенты, решим систему уравнений:

Теперь получаем:

Используем подведение под знак дифференциала:

К последнему слагаемому применяем замену переменной ,
тогда .
Получаем:

Преобразуем и вернём на место первоначальную переменную и окончательно получим решение:

Начало темы «Интеграл»

Продолжение темы «Интеграл»

Универсальная подстановка

Запомним две важные формулы:
Их ценность в том, что они позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию — тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили название универсальной подстановки. Единственная неприятность, о которой не надо забывать: правые части этих формул не определены при . Поэтому если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно проверить непосредственно.

1. Решим уравнениеВыражаем , используя универсальную подстановку:Делаем замену :Получаем кубическое уравнение:Оно имеет единственный корень . Стало быть, , откуда .
Сужения ОДЗ в данном случае не было, так как уравнение с самого начала содержало .

2. Рассмотрим уравнениеА вот здесь использование универсальной подстановки сужает ОДЗ. Поэтому сначала непосредственно подставляем в уравнение и убеждаемся, что это — решение.
Теперь обозначаем  и применяем универсальную подстановку:После простых алгебраических преобразований приходим к уравнению:Следовательно, и .
Ответ: .

Метод оценок

В некоторых уравнениях на помощь приходят оценки .

3

Рассмотрим уравнениеТак как оба синуса не превосходят единицы, данное равенство может быть выполнено лишь в
том случае, когда они равны единице одновременно:Таким образом, должны одновременно выполняться следующие равенства:Обратите внимание, что сейчас речь идёт о пересечении множества решений (а не об их объединении, как это было в случае разложения на множители). Нам ещё предстоит понять, какие значения x удовлетворяют обоим равенствам

Имеем:Умножаем обе части на 90 и сокращаем на π:Правая часть, как видим, должна делиться на 5. Число n при делении на 5 может давать остатки от 0 до 4; иначе говоря, число n может иметь один из следующих пяти видов: 5n, 5m + 1, 5m + 2, 5m + 3 и 5m + 4, где. Для того, чтобы 9n+ 1 делилось на 5, годится лишь n = 5m + 1.

Искать k, в принципе, уже не нужно. Сразу находим x:

Ответ: .

4. Рассмотрим уравнениеЯсно, что данное равенство может выполняться лишь в двух случаях: когда оба синуса одновременно равны 1 или −1. Действуя так, мы должны были бы поочерёдно рассмотреть две системы уравнений.

Лучше поступить по-другому: умножим обе части на 2 и преобразуем левую часть в разность косинусов:Тем самым мы сокращаем работу вдвое, получая лишь одну систему:Имеем:Ищем пересечение:Умножаем на 21 и сокращаем на π:Данное равенство невозможно, так как в левой части стоит чётное число, а в правой — нечётное.
Ответ: решений нет.

5. Страшное с виду уравнениетакже решается методом оценок. В самом деле, из неравенств следует, что . Следовательно, , причём равенство возможно в том и только в том случае, когдаОстаётся решить полученную систему. Это не сложно.

Корень -ной степени

Корень -ной степени из числа  — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

Например,

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

По определению,

в общем случае .

Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

Например,

Выражение по определению равно .

При этом также выполняется условие, что больше 0.

Например,

Запомним правила действий со степенями:

— при перемножении степеней показатели складываются

— при делении степени на степень показатели вычитаются

— при возведении степени в степень показатели перемножаются

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

1.

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

2.

3.

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.

Разложение на множители.

Этот метод рассмотрим на примерах.

    П р и м е р  1.  Решить уравнение:  sinx + cosx = 1 .

    Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения влево:

                                                               sin x + cos x – 1 = 0 ,

                               преобразуем и разложим на множители выражение в

                               левой части уравнения:

                             

П р и м е р   2.   Решить уравнение:  cos 2x + sin x · cos x = 1.

    Р е ш е н и е .     cos 2x + sin x · cos x – sin 2x – cos 2x = 0 ,

                                            sin x · cos x – sin 2x = 0 ,

                                            sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

  П р и м е р   3.   Решить уравнение:  cos 2x– cos 8x + cos 6x = 1.

 Р е ш е н и е .    cos 2x+ cos 6x = 1 + cos 8x,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

                               cos 4x · ( cos 2x –  cos 4x ) = 0 ,

                               cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

                              1).  cos 4x = 0 ,               2).  sin 3x = 0 ,          3). sin x = 0 ,

                           

3. Приведениекоднородному уравнению. Уравнениеназывается однородным относительноsinиcos, если все егочленыоднойитойже степениотносительно sin и cosодногоитогожеугла.Чтобырешитьоднородноеуравнение,надо:    а)  перенести все его члены в левую часть;    б)  вынести все общие множители за скобки;    в)  приравнять все множители и скобки нулю; г)  скобки, приравненныенулю, даютоднородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на  cos ( или sin ) в старшей степени;     д)  решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .      П р и м е р .   Решить уравнение:  3sin2x + 4 sinx· cosx + 5 cos2x = 2.     Р е ш е н и е .  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2x ,                              sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,                              tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 ,  отсюда  y2 + 4y +3 = 0 ,                              корни этого уравнения:  y1 = -1,  y2 = -3,  отсюда                              1)   tan x = –1,                2)   tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

Рассмотрим этот метод на примере:

    П р и м е р .  Решить уравнение:  3 sinx – 5 cosx = 7.

    Р е ш е н и е .  6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

                                                                         = 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

                             2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

                             tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

                                     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .

5. Введение вспомогательного угла.

Рассмотрим уравнение вида

                                           a sin x + b cos x = c ,

    где  a, b, c – коэффициенты;  x – неизвестное.

Теперькоэффициентыуравненияобладаютсвойствамисинусаикосинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого изних не больше1,а сумма их квадратов равна 1. Тогда можнообозначитьих соответственно как cosи sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), инаше уравнение принимает вид:

 

 

6. Преобразование произведения в сумму.

Здесь используются соответствующие формулы.

    Пример .  Решить уравнение:  2 sin x·sin 3x = cos 4x.

    Р е ш е н и е .  Преобразуем левую часть в сумму:

cos 4x – cos 8x = cos 4x ,

                                                 cos 8x = 0 ,

                                                 8x = p / 2 + pk ,

                                               x = p / 16 + pk / 8 .

Функция четвёртой степени

Рассмотрим функции четвёртой степени.

Функция:  

Свойства: ; число корней: 0, 1, 2, 3, 4.

Возьмём

Одним из главных отличий функций третьей и четвёртой степени является то, что при третьей степени у мог принимать любое значение, а при четвёртой степени у принимает значения из некоторого луча. И уравнение третьей степени должно иметь хотя бы один корень, а уравнение четвёртой степени может не иметь корней.

Рассмотрим график функции четвёртой степени. При  ветви на бесконечностях направлены вверх (рис. 5).

Рис. 5. При  ветви на бесконечностях направлены вверх

В случае, если нет корней, и при  график может иметь следующий вид (рис. 6). Например:

Рис. 6. График, если нет корней и при

Рассмотрим примеры.

Пример исследования функции четвертой степени

Пример 2

Решим задачу на функцию четвёртой степени.

Дана функция: . Найти множество значений функции — .

Решение.

Рассмотрим сначала решение без применения производной. Выделим интервалы знакопостоянства.

1.

Определим знак функции на каждом интервале и построим график функции в окрестностях каждого корня. Выясняем, что 0 – точка максимума. Учитывая чётность функции, получаем симметричные точки минимума. Найдём наименьшее значение функции и получим.

Рис. 10. Иллюстрация к примеру

2. Найдём производную, выделим её интервалы знакопостоянства.

Находим критические точки:

Интервалы знака постоянства производной (интервалы монотонности для функции) (рис. 11):

Рис. 11. Интервалы знакопостоянства

Точка 5 – точка минимума.

3. Вычислим значение функции в точке минимума:

Задача решена.

Ответ: .

Список литературы

1. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

Домашнее задание

1. Исследовать функции:

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Uztest.ru  (Источник).
2. Интернет-портал Uztest.ru  (Источник).
3. Интернет-портал Uztest.ru  (Источник).

Итог урока

На уроке рассматривались формулы понижения степени и их использование при решении задач.

На следующем уроке будут рассмотрены формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал exponenta.ru (Источник). 

Сделай дома

№№ 21.20(а, б), 21.22(а), 21.23 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)