Методическое пособие по теме «тригонометрия»

Основные тригонометрические формулы.

Основное тригонометрическое тождество:

sin2α+cos2α=1 

Данное тождество − результат применения теоремы Пифагора к треугольнику в единичном тригонометрическом круге.

Соотношение между косинусом и тангенсом:

1/cos2α−tan2α=1 или sec2α−tan2α=1. 

Данная формула является следствием основного тригонометрического тождества и получается из него делением левой и правой части на cos2α. Предполагается, что α≠π/2+πn,n∈Z.

Соотношение между синусом и котангенсом:

1/sin2α−cot2α=1 или csc2α−cot2α=1. 

Эта формула также следует из основного тригонометрического тождества (получается из него делением левой и правой части на sin2α. Здесь предполагается, что α≠πn,n∈Z.

tanα=sinα/cosα, 

где α≠π/2+πn,n∈Z.

cotα=cosα/sinα, 

где α≠πn,n∈Z.

tanα⋅cotα=1, 

где α≠πn/2,n∈Z.

Формулы понижения степени

Если нам необходимо узнать косинус угла, который вдвое больше табличного, мы используем ф-лу:

соs 2α = соs2α – sin2α

А что делать, если нам надо вычислить косинус угла, который вдвое меньше известного? Попробуем преобразовать ф-лу косинуса двойного угла:

В результате нам удалось получить тождество, позволяющее по косинусу удвоенного угла найти косинус самого угла! Однако значительно чаще в тригонометрии это равенство записывают в обратном порядке:

и называют ф-лой понижения степени. Действительно, в левой части стоит косинус в квадрате, а справа – косинус без квадрата, но вычисляется он от угла 2α, а не α.

Попробуем получить аналогичную ф-лу и для синуса. Для этого используем основное тригон-кое тождество:

С помощью этих ф-л можно вычислять тригон-кие ф-ции для некоторых малых углов. Так, ранее мы с использованием ф-лу разности синусов определили, что

При этом мы представляли угол 15° как разность 45° – 30°. Но как посчитать соs 7,5°? Этот угол невозможно представить как разницу или сумму известных нам табличных углов (0°, 30°; 45°; 60° и 90°). Однако поможет ф-ла понижения степени. Действительно, ведь 2•7,5° = 15°. Тогда можно записать:

Мы нашли соs2 7,5°. Чтобы узнать соs 7,5°, необходимо извлечь квадратный корень:

Так как угол 7,5° принадлежит I четверти, то его косинус должен быть положительным, поэтому можно записать:

Видно, что получается довольно громоздкое выражение. Используя ф-лу понижения степени, можно найти косинус и угла, который ещё вдвое меньше, то есть равен 3,75°, но в результате получится ещё более громоздкое выражение.

Задание. Вычислите sinπ/8.

Решение. Угол π/4 является табличным (его градусная мера составляет 45°). Поэтому можно записать:

Эти примеры показывают, что тригон-кие ф-ции многих нестандартных углов можно выразить, используя квадратные корни. Возникает вопрос – а любую ли тригонометрическую ф-цию можно выразить таким способом? Оказывается, что нет. Например, sin 10° невозможно найти ни в одной, даже самой подробной тригонометрической таблице. Мы не будем это доказывать, но эту величину невозможно представить в виде выражения, используя арифметические операции и корни. Однако существуют приближенные методы, позволяющие с любой наперед заданной точностью вычислять значение тригонометрических ф-ций.

Ш группа. Формулы кратных аргументов

sin2α = 2·sinα·cosα ;

cos2α = cos2α − sin2α ;

tg2α =   2tgα_______1 − tg2α ;

sin3α = 3sinα − 4sin3α ;

cos3α = 4cos3α − 3cosα .

Необходимость в использовании формул для синуса и косинуса двойного угла возникает очень часто, для тангенса тоже нередко. Эти формулы следует знать наизусть. Тем более, что трудностей в их заучивании нет. Во-первых, формулы короткие. Во-вторых, их легко контролировать по формулам предыдущей группы, исходя из того, что
2α = α + α.Например:
sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ;
sin(α + α) = sinα·cosα + cosα·sinα;
sin2α = 2sinα·cosα.

Например, если нужна формула косинуса суммы двух углов:
1) вспоминаем формулу для косинуса двойного угла:
cos2x = cos2x − sin2x;
2) расписываем её длинно:
cos(x + x) = cosx·cosx − sinx·sinx;
3) заменяем один х на α, второй на β:
cos(α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ.

Потренируйтесь аналогично восстанавливать формулы для синуса суммы и тангенса суммы. В ответственных случаях, таких как например ЕГЭ, проверяйте точность восстановленных формул по известным первой четверти: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.

α = 60°, β = 30°, α + β = 90°,cos(α + β) = cos90° = 0, cosα = cos60° = 1/2, cosβ = cos30° = √3_/2, sinα = sin60° = √3_/2, sinβ = sin30° = 1/2; 0 = (1/2)·(√3_/2) − (√3_/2)·(1/2);0 ≡ 0, ошибок не обнаружено.

Формулы для тройного угла, на мой взгляд, специально «зубрить» не нужно. Они достаточно редко встречаются на экзаменах типа ЕГЭ. Они легко выводятся из формул, которые были выше, т.к. sin3α = sin(2α + α)

А тем учащимся, которым по каким-то причинам всё же потребуется выучить эти формулы наизусть, советую обратить внимание на их некоторую «симметричность» и запоминать не сами формулы, а мнемонические правила. Например, порядок в котором расположены числа в двух формулах «33433433» и т.п

Если ВСЕ рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы убрать «лишние» формулы и оценить необходимые усилия на заучивание оставшихся.

Задача 4 на нахождение синуса и сравнение чисел с помощью формул косинуса и синуса разности аргументов

Задача 4.

Дано

Найти: a) и

Решение:

а) Рассмотрим тригонометрическую окружность (рис.1):

Рис. 1. Тригонометрическая окружность

Числом t является длина выделенной дуги.

а) =

Все величины, кроменам известны.

======

Недостающее число найдено.

 ==,

Т. е.

б) Сравнить поможет , если он отрицательный, число находится во второй четверти, если положительный – в первой (справа от  (рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Все величины нам известны:

==

=

Это величина отрицательная, следовательно, и косинус отрицательный (расположен во второй четверти):

t.

Иногда приходится применять две формулы сразу в одной задаче.

Нахождение угла между двумя произвольными прямыми

Дано: ; .

Найти угол  – см. рис. 1.

Рис. 1. Чертеж к задаче

Мы знаем, что коэффициент перед  в уравнении наклонной прямой есть тангенс ее наклона к оси абсцисс:

;

Также мы знаем, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

По формуле тангенса разности аргументов:

Подчеркнем: считаем, что .

Угол между прямыми – это наименьший угол, образованный при их пересечении, поэтому ответ: .

Рассмотрим частный случай, когда прямые перпендикулярны, см. рис. 2.

Рис. 2. Частный случай

;

Что есть условие перпендикулярности прямых.

Пример

Найти , см. рис. 3.

Рис. 3. Пример

;

Тангенсы углов  и  существуют.

 – прямые не перпендикулярны, и искомый тангенс существует. По формуле:

Формулы суммы и разности углов тригонометрических функций − теория, доказательство, примеры

Выведем формулы суммы и разности углов тригонометрических функций. Начнем с формулы

Как мы знаем, угол между векторами не может быть больше 180° (π). На рисунке Рис.1 угол между векторами и равен . На рисунке Рис.2 угол между векторами и равен .

Рассмотрим, теперь косинусы этих углов. Из формул приведения мы знаем (подпрбнее о формулах приведения смотрите на странице Формулы приведения тригонометрических функций онлайн):

Cкалярное произведение векторов и равно:

Так как точка имеет координаты , а имеет координаты (смотрите статью на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор), то скалярное произведения векторов и по координатам равно:

Поскольку левые части формул (2) и (3) равны, то равны и правые части этих формул. Следовательно выполнено равенство (1).

Докажем, далее, справедливость следующей формулы

Представим косинус суммы углов α и β в виде косинуса разности двух углов и воспользуемся формулой (1) и тем, что косинус четная функция а синус нечетная функция:

Перейдем к доказательству формул синусов суммы и разности углов:

Для доказательства формулы (5) воспользуемся формулами приведения тригонометрических функций и формулой (1):

Для доказательства формулы (6), представим разность углов в виде суммы и воспользуемся тем, что косинус четная функция а синус нечетная функция:

Формулы тангенса суммы и разности углов имееют следующий вид:

Докажем формулу (7):

Разделим числитель и знаменатель дроби в правой части уравнения (9) на (, ):

Для доказательства формулы (9) представим разность углов в виде суммы, воспользуемся формулой (8) и учтем, что тангенс нечетная функция:

Формулы котангенса суммы и разности углов имееют следующий вид:

Докажем формулу (10):

Разделим числитель и знаменатель дроби в правой части уравнения (12) на (, ):

Для доказательства формулы (11), представим разность углов α и β в виде суммы и учтем, что котангенс нечетная функция:

Умножив числитель и знаменатель в правой части уравнения (13) на −1, получим формулу (11).

Примеры использования формул суммы и разности углов тригонометрических функций

Пример 1. Найти точное значение .

Решение:

Ответ:

Пример 2. Найти косинус для угла 15°.

Решение:

Ответ:

Пример 3. Найти точное значение тангенса для угла 15° .

Решение:

Тангенсы для углов 45° и 15° известны. Подставим эти значения в (14):

Дробь в правой части уравнения (15) можно упростить, умножив числитель и знаменатель дроби на :

Ответ:

Формулы двойного угла

Что будет, если формулу синуса суммы подставить не два различных угла α и β, а два одинаковых угла α и α? Получится ф-ла для синуса двойного угла:

Аналогично можно составить ф-лу и для косинуса двойного угла:

Итак, справедливы следующие ф-лы:

Задание. Вычислите sin 120° и соs 120°.

Решение.

Задание. Упростите выражение

соs2t– соs 2t

Решение.

соs2t – соs 2t = соs2t – (соs2 t – sin2t) = соs2t – соs2 t + sin2t = sin2t

Ответ: sin2t.

Задание. Докажите, что функция

является периодической и имеет период, равный π.

Решение. Используем ф-лу :

Таким образом, исходную ф-цию можно переписать в виде

у = 1 + sin 2x

По определению, ф-ция является периодической с периодом Т, если выполняется условие у(х + Т) = у(х). Поэтому подставим в нашу ф-цию величину х + π:

Получили, что у(х + π) = y(x), то есть ф-ция имеет период, равный π.

Задание. Выведите формулы синуса и косинуса тройного угла.

Решение. Для их получения следует использовать ф-лу синуса суммы углов, в которую подставляют вместо β величину 2α:

Аналогично можно получить и ф-лу для косинуса тройного угла:

Эффективно подготовиться к ЕГЭ по математике помогут тщательно продуманные онлайн-курсы

Ссылка на основную публикацию