Суммы тригонометрических функций: формулы

I группа. Основные тождества

sin2α + cos2α = 1;

tgα = ____sinαcosα ;     ctgα = ____cosαsinα ;

tgα·ctgα = 1;

1 + tg2α = _____   1cos2α;     1 + ctg2α = _____   1sin2α .

Эта группа содержит самые простые и самые востребованные формулы. Большинство учащихся их знает. Но если всё-таки есть трудности, то чтобы запомнить первые три формулы, мысленно представьте себе прямоугольный треугольник с гипотенузой равной единице. Тогда его катеты будут равны, соответственно, sinα по определению синуса (отношение противолежащего катета к гипотенузе) и cosα по определению косинуса (отношение прилежащего катета к гипотенузе).

Первая формула представляет собой теорему Пифагора для такого треугольника — сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы (12 = 1), вторая и третья — это определения тангенса (отношение противолежащего катета к прилежащему) и котангенса (отношение прилежащего катета к противолежащему). Произведение тангенса на котангенс равно 1 потому, что котангенс, записанный в виде дроби (формула третья) есть перевернутый тангенс (формула вторая). Последнее соображение, кстати, позволяет исключить из числа формул, которые необходимо обязательно заучить, все последующие длинные формулы с котангенсом. Если в каком-либо сложном задании Вам встретится ctgα, просто замените его на дробь ___  1tgα и пользуйтесь формулами для тангенса.

Последние две формулы можно не запоминать досимвольно. Они встречаются реже. И если потребуются, то Вы всегда сможете вывести их на черновике заново. Для этого достаточно подставить вместо тангенса или контангенса их определения через дробь (формулы вторая и третья, соответственно) и привести выражение к общему знаменателю

Но важно помнить, что такие формулы, которые связывают квадраты тангенса и косинуса, и квадраты котангенса и синуса существуют. Иначе, Вы можете не догадаться, какие преобразования необходимы для решения той или иной конкретной задачи

Если рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы убрать «лишние» формулы.

АЛГЕБРА Уроки для 10 классов

УРОК 15

Тема. Формулы суммы (разности) одноименных тригонометрических функций. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Цель урока: изучение формул суммы и разности одноименных тригонометрических функций и формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Формирование умений учащихся применять изученные формулы для упрощения выражений и вычислений.

Оборудование. Таблица «Формулы преобразования суммы в произведение (произведения в сумму)».

И. Проверка домашнего задания

1. Два ученика на доске решают № 26 (1) и 26 (2). Один ученик в это время комментирует решения № 52 (12).

2. Решения аналогичных упражнений. Упростите выражения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Ответ: а) соs2 α; б) ; в) 1; г) tgα.

II. Сообщение темы и задач урока

III. Восприятие и осознание нового материала

Демонстрируется таблица 7.

Таблица 7

; .

Объяснение учителя

1. Выведем формулу преобразования суммы синусов в произведение.

Обозначим , , тогда α + β = x, α – β = y, и поэтому

1) sinx + siny = sin(α + β) + sin(α — β) = sinα · соsβ + соsα · sиnβ + sinα · cosβ – cosα · sиnβ = 2sиnα · соsβ = 2sиnсоs.

Следовательно, сумма синусов равна удвоенному произведению синуса половину суммы на косинус піврізниці.

Для суммы косинусов имеем:

2) соsх + соsу = соs(α + β) + соs(α – β) = соsα соsβ – sиnαsinβ + соsα соsβ + sиnα sиnβ = 2 соsα соsβ = 2 соsсоs.

Следовательно, сумма косинусов равна удвоенному произведению косинуса половину суммы на косинус піврізниці.

Для разности косинусов имеем:

3) соsх – соsу = соs(α + β) – соs(α – β) = соsα соsβ — sиnαsinβ – cosα соsβ – sиnαsиnβ = – 2 sinαsinβ = 2 sinsin.

Следовательно, разность косинусов равна числу, противоположному удвоенному произведению синуса половину суммы на синус піврізниці.

4) sin x – sin y = sin х + sin(-y) = 2 sinсоs .

Следовательно, разность синусов равна удвоенному произведению синуса піврізниці на косинус половину суммы.

2. Для получения формул преобразования произведения в сумму выпишем подряд четыре формулы:

sin(x +у) =sinxcosу +cosxsinу; (1)

sin(x –у) =sinxcosу –cosxsinу; (2)

cos(x +у) =cosxcosу –sinxsinу; (3)

cos(x –у) =cosxcosу +sinxsinу. (4)

Вычитая почленно из равенства (4) равенство (3), получим:

cos(x – у) – cos(x + у) = 2 sinxsinили sinxsinу = (cos(х – у) – cos(x + y))

Произведение синусов двух чисел равно піврізниці косинуса разности и косинуса суммы этих чисел.

Прибавив почленно равенства (4) и (3), имеем:

соs(x – у) + соs(х + у) = 2 соsх соsв или cosxcosу = (cos(x – у) + cos(х + у))

Произведение косинусов двух чисел равно полусумме косинуса разности и косинуса суммы этих чисел.

Прибавив почленно равенства (1) и (2), получим

sin(x – у) + sin(х + у) = 2 sinxcosили sinxcosу = (sin(x – у) + sin(x + у))

Произведение синуса одного числа на косинус второго числа равна полусумме синуса разности и синуса суммы этих чисел.

Выполнение упражнений

1. Упростите выражения:

а) – ;

б) – ;

в) sиnα· ;

г) +.

Ответ: а) sinβ; б) sin 2α; в) ; г) соsα.

2. Вычислите:

а) соs 22° – соs 38°;

б) sin 5° + sin 55°.

Ответ: а) sиn 8°; б) соs 25°.

3. Преобразуйте в произведение:

а) соs 2α + соs 14α + соs 6α + соs 10α;

б) sin 4β + sin 10β + sin 22β + sin 16β .

Ответ: а) 4соs 2α соs 4α соs 8α; б) 4 соs 3β соs 6βsиn 13β.

4. Докажите тождество:

а) ; б) .

IV. Подведение итогов урока

V. Домашнее задание

Раздел И § 10 (5, 6). Вопросы и задания для повторения раздела И № 69-70. Упражнения № 52 (8; 15), № 53 (8; 15; 16)

Тригонометрические функции и их свойства

Мы с вами уже многократно применяли термин «тригонометрическая функция». Еще на первом уроке этой темы мы определили их с помощью прямоугольного треугольника и единичной тригонометрической окружности. Используя такие способы задания тригонометрических функций, мы уже можем сделать вывод, что для них одному значению аргумента (или угла) соответствует строго одно значение функции, т.е. мы вправе называть синус, косинус, тангенс и котангенс именно функциями.

На этом уроке самое время попробовать абстрагироваться от рассмотренных ранее способов вычисления значений тригонометрических функций. Сегодня мы перейдем к привычному алгебраическому подходу работы с функциями, мы рассмотрим их свойства и изобразим графики.

Что касается свойств тригонометрических функций, то особое внимание следует обратить на:

— область определения и область значений, т.к. для синуса и косинуса есть ограничения по области значений, а для тангенса и котангенса ограничения по области определения;

— периодичность всех тригонометрических функций, т.к. мы уже отмечали наличие наименьшего ненулевого аргумента, добавление которого не меняет значение функции. Такой аргумент называют периодом функции и обозначают буквой . Для синуса/косинуса и тангенса/котангенса эти периоды различны.

Нахождение значений тригонометрических функций

Тригонометрические функции имеют широкое применение.

Во-первых, они помогают решать геометрические задачи – рассчитывать треугольники и более сложные фигуры. Кроме того, их можно использовать и в быту, например чтобы понять, пролезет ли кровать в дверной проем или нет (до того, как совершить покупку). Или для того, чтобы оценить высоту дома или дерева, ширину реки.

Но чаще тригонометрические функции применяют для решения технических задач: построения чертежей деталей, зданий, расчета нагрузок на составные части механизма, просчета траектории движения и прочее.

Наконец, с помощью тригонометрических функций можно описывать колебания и волны. Об этих понятиях вы уже знаете из курса физики (урок «Механические колебания», урок «Механические волны. Звук»). Именно с помощью синусов и косинусов можно создать математическую модель различных колебаний: от механических до электромагнитных (урок «Электромагнитные волны и свет»).

Это основные сферы применения тригонометрических функций. Те же, кто собрался посвятить свою жизнь технической профессии, увидят и другие применения этого математического инструмента.

Вы уже знаете различные соотношения для тригонометрических функций, с помощью которых можно вычислить их значения и упростить выражение, которое содержит такие функции. На этом уроке мы займемся отработкой навыков упрощения и вычисления.

Прежде чем начать, вспомним, что для углов существуют две основные единицы измерения: градусы и радианы. Все вычисления вы должны уметь делать как в одних, так и в других единицах измерения. Основное соотношение:  радиан. Соответственно, в два раза больший угол:  радиан; а в два раза меньший –  радиан. Эти соотношения желательно держать в голове, остальные углы можно перевести из градусов в радианы с помощью пропорции:

Задание 1.

Известно, что:

Определить значения синуса, тангенса и котангенса , если .

Решение

Зная значение одной тригонометрической функции, всегда можно найти значение всех остальных с точностью до знака. Для этого понадобится основное тригонометрическое тождество:

А также определения тангенса и котангенса для произвольного угла:

Используем эти инструменты. Подставим значение косинуса в основное тригонометрическое тождество:

Упростив, получим:

Тогда:

Мы получили два возможных значения синуса: положительное и отрицательное. Зная дополнительную информацию , мы можем однозначно выбрать знак. Отмечаем на окружности точки, соответствующие углам  и . Угол  находится между ними, т. е. ему соответствуют точки верхней полуокружности (см. рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к заданию 1

Ординаты всех этих точек положительны, значит, и . Еще говорят так: «угол  лежит в первой или второй четверти. В этих четвертях синус положительный»:

Осталось найти тангенс и котангенс по определению:

Ответ: ; ; .

Задание 2. Найти значение выражения:

Решение

Идея решения подобных заданий следующая: преобразовать выражение так, чтобы получить острый угол. А затем найти значение функции по таблице:

Градусы

Радианы

cos

sin

Для преобразования понадобятся формулы приведения:

В задании угол отрицательный , поэтому начинаем с формул для :

Теперь убираем из аргумента периоды (добавление и вычитание целого числа периодов не меняет значение функции):

По таблице находим:

Подставляем в выражение:

Ответ: .

Отметим, что период  (или ) для синусов и косинусов мы можем выделять не один раз. Поэтому для больших значений угла удобно его сразу представить в виде  (или  в радианах), где  – некоторое целое число. А для этого следует разделить с остатком значение угла на .

Например, найдем . Делим с остатком  на :

Получаем:

У тангенсов и котангенсов период равен  (или ). Соответственно, угол представляем в виде  (или  в радианах).

Например, вычислим :

Для этого угла можем уже воспользоваться таблицей:

Пример задачи на использование формул тригонометрии

sin5x·cos3x − sin8x·cos6x = 0.

Имеем две разные функции sin() и cos() и четыре! разных аргумента 5x, 3x, 8x и 6x. Без предварительных преобразований свести к простейшим типам тригонометрических уравнений не получится. Поэтому сначала пробуем заменить произведения на суммы или разности функций. Делаем это так же, как в примере выше (см. раздел ).

sin(5x + 3x) + sin(5x − 3x) = 2·sin5x·cos3x
sin8x + sin2x = 2·sin5x·cos3x

sin(8x + 6x) + sin(8x − 6x) = 2·sin8x·cos6x
sin14x + sin2x = 2·sin8x·cos6x

(sin8x + sin2x)/2 − (sin14x + sin2x )/2 = 0.

xxxxxx

Уравнение значительно упростилось, но решать его так sin8x = sin14x, следовательно 8x = 14x + T, где Т — период, неверно, так как мы не знаем значения этого периода. Поэтому воспользуемся тем, что в правой части равенства стоит 0, с которым легко сравнивать множители в любом выражении.
Чтобы разложить sin8x − sin14x на множители, нужно перейти от разности к произведению. Для этого можно воспользоваться формулой разности синусов, или снова формулой суммы синусов и нечётностью функции синус (см. пример в разделе ).

sin8x − sin14x = sin8x + sin(−14x) = 2·sin 8x + (−14x)__________   2·cos 8x − (−14x)__________   2  = sin(−3x)·cos11x = −sin3x·cos11x.

Итак, уравнение sin8x − sin14x = 0 равносильно уравнению sin3x·cos11x = 0, которое, в свою очередь, равносильно совокупности двух простейших уравнений sin3x = 0 и cos11x = 0. Решая последние, получаем две серии ответовx1 = πn/3, nϵZx2 = π/22 + πk/11, kϵZ

Если Вы обнаружили ошибку или опечатку в тексте, сообщите о ней, пожалуйста, на электронный адрес mathematichka@yandex.ru. Буду весьма признательна.

 Перейти  на главную страницу сайта.

Есть вопросы?   пожелания?  замечания? Обращайтесь —
  mathematichka@yandex.ru

Внимание, mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено

Ставьте ссылки.

Перечень литературы

Основная литература:

  1. Ш.А. Алимов «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс, «Просвещение», Москва 2014 г.

  2. А.Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа» 9-10класс, «Просвещение», Москва 2014 г.

Дополнительная литература:

  1. В.Т. Лисичкин «Математика», «Высшая школа», Москва 1991 г.

  2. Н. В. Богомолов «Сборник дидактических заданий по математике», «Высшая школа», Москва 2013 г.

  3. В.А. Подольский, А. М. Суходский. «Сборник задач по математике». Москва.: «Высшая школа»., 1978.-352 с.

  4. И. Л. Зайцев. «Курс высшей математики для техникумов». Москва.: Гос. издат. физико-математич. литературы., 1961.-372 с.

  5. А. Ю. Ключарев, Л. А. Андреева. Тригонометрия. Астрахань.: АГТУ., 2006.-76с.

  6. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа 10-11 класс: М., Просвещение, 2014.

  7. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике, Изд-во «Высшая школа», 2008

Контрольная работа

Тема: «Тригонометрия»

Цель работы: «отработать практические навыки в применении тригонометрических формул для преобразования тригонометрических выражений, в решении тригонометрических уравнений и неравенств, в применении преобразований графиков для построения графиков тригонометрических функций».

Задание №1.

Упростите выражение:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  9. ;

  10. ;

  11. ;

  12. ;

  13. ;

  14. ;

  15. ;

  16. ;

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  9. ;

  10. ;

  11. ;

  12. ;

  13. ;

  14. .

Задание №2.

Вычислите значения всех тригонометрических функций угла α, если известно, что

  1. ;

  2. sin a=, ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  9. ;

  10. ;

  11. ;

  12. ;

  13. ;

  14. ;

  15. ;

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  9. ;

  10. sin a=, ;

  11. ;

  12. ;

  13. ;

  14. ;

  15. .

Задание №3.

Вычислите, применяя таблицу значений:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  9. ;

  10. ;

  11. ;

  12. ;

  13. ;

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  9. ;

  10. ;

  11. .

Задание №4.

Определите знак выражения:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  9. ;

  10. ;

  11. ;

  12. ;

  13. ;

  14. ;

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  9. ;

  10. ;

  11. ;

  12. ;

  13. ;

  14. ;

  15. .

Задание №5.

Упростите, применяя формулы приведения:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  9. ;

  10. ;

  11. ;

  12. ;

  13. ;

  14. ;

  15. ;

  16. ;

  17. ;

  18. ;

  19. ;

  20. ;

  21. ;

  22. ;

  23. ;

  24. ;

  25. ;

  26. ;

  27. ;

  28. ;

  29. .

Задание №6.

Найдите:

  1. , если — угол III четверти;

  2. , если — угол II четверти;

  3. , если — угол III четверти;

  4. ;

  5. , если — угол III четверти.

  6. , если ;

  7. , если ;

  8. , если ;

  9. , если ;

  10. , если α — угол I четверти, β – угол I четверти;

  11. , если , ;

  12. , ;

  13. , ;

  14. ;

  15. , ;

  16. , ;

  17. , если ;

  18. , ;

  19. , ;

  20. , если α — угол I четверти, β – угол I четверти;

  21. , если , ;

  22. , если ;

  23. ;

  24. , если ;

  25. , если — угол III четверти;

  26. ;

  27. , если ;

  28. , если α — угол I четверти, β – угол I четверти;

  29. .

Задание №7.

Вычислите без помощи калькулятора:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  9. ;

  10. ;

  11. ;

  12. ;

  13. ;

  14. ;

  15. ;

  16. ;

  17. ;

  18. ;

  19. ;

  20. ;

  21. ;

  22. ;

  23. ;

  24. ;

  25. ;

  26. ;

  27. ;

  28. ;

  29. .

Задание №8.

Выполните задания, используя формулы двойного и половинного угла:

  1. Доказать тождество ;

  2. Упростите ;

  3. Вычислить ;

  4. Найти значение выражения ;

  5. Найдите ;

  6. Вычислить, не используя калькулятора ;

  7. Доказать тождество ;

  8. Вычислить ;

  9. Упростите ;

  10. Вычислить ;

  11. Преобразовать выражение ;

  12. Упростить ;

  13. Вычислите ;

  14. Упростите ;

  15. Найдите ;

  16. Упростите ;

  17. Вычислить ;

  18. Упростите выражение ;

  19. Доказать тождество ;

  20. Упростите ;

  21. Вычислить ;

  22. Найти значение выражения ;

  23. Найдите ;

  24. Вычислить, не используя калькулятора ;

  25. Доказать тождество ;

  26. Вычислить ;

  27. Упростите ;

  28. Преобразовать выражение ;

  29. Вычислите ;

  30. Упростите .

Задание №9.

Выполните задания, используя формулы преобразования суммы одноименных тригонометрических функций в произведение и формулы преобразования произведения в сумму:

  1. Верно ли равенство ;

  2. Вычислить если ;

  3. Упростите выражение ;

  4. Вычислить ;

  5. Преобразуйте в произведение и вычислите: ;

  6. Доказать тождество ;

  7. Преобразовать в произведение: ;

  8. Вычислить ;

  9. Упростите ;

  10. Найдите значение выражения ;

  11. Верно ли равенство ;

  12. Доказать, что ;

  13. Преобразуйте в произведение ;

  14. Вычислить ;

  15. Найдите значение выражения: ;

  16. Упростите выражение ;

  17. Вычислить ;

  18. Верно ли равенство ;

  19. Доказать, что ;

  20. Упростите выражение

  21. Вычислить: ;

  22. Преобразовать в произведение: ;

  23. Доказать тождество ;

  24. Вычислить ;

  25. Упростите выражение ;

  26. Проверить, что ;

  27. Верно ли равенство ;

  28. Доказать, что ;

  29. Верно ли равенство ;

  30. Разложите на множители .

Задание №10.

Постройте графики тригонометрических функций:

  1. а) ; б).

  1. а) ; б).

  2. а) ; б)

  3. а) б)

  4. а) б)

  5. а) б)

  6. а) б)

  7. а) б)

  8. а) б)

  9. а) б)

  10. а) б)

  11. а) б)

  12. а) б)

  13. а) б)

  14. а) б)

  15. а) б)

  16. а) б)

  17. а) б)

  18. а) б)

  19. а) б)

  20. а) б)

  21. а) б)

  22. а) б)

  23. а) б)

  24. а) б)

  25. а) б)

  26. а) б)

  27. а) б)

  28. а) б)

  29. а) б)

Задание №11.

Вычислить:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  9. ;

  10. ;

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  9. ;

  10. .

Задание №12.

Найти значение выражения:

  1. ;

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  1. ;

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  1. ;

  1. ;

  1. ;

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  1. ;

  2. ;

  1. ;

Задание №13.

Решите тригонометрическое уравнение:

  1. cos x – 2 = 0 ;

  2. cos 2x = -;

  3. ;

  4. 2sin x + = 0;

  5. ;

  6. 2;

  7. sin 3x = 0;

  8. 3tg 4x — = 0;

  9. ;

  10. ;

  11. cos x + 2 = 0;

  1. 2cos x + 1= 0;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. sin x + 2 = 0

  6. 2cos x — = 0;

  7. ;

  8. cos 5x = 0;

  1. ;

  2. tg 2x + 1 = 0;

  3. sin 3x = — ;

  4. ;

  5. tg 2x + 1 = 0;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  9. sin 2x = 0;

Задание №14.

Решите простейшее тригонометрическое уравнение:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. sin = — ;

  8. ;

  9. ;

  10. ;

  11. ;

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  9. ;

  10. ;

  11. ;

Задание №15.

Решите тригонометрическое уравнение, проводимое к квадратному:

  1. 3tgx — tg 2x = 0;

  2. ;

  3. ;

  4. 5cos — 6cos x + 1 = 0;

  5. ;

  6. cos2x — sin2x = — 1;

  7. cos2x — sin2x = 0;

  8. ;

  9. 3sinx + sin x — 2 = 0;

  10. ;

  11. 2cos x + sin x +1 = 0;

  12. ;

  13. ;

  14. ;

  15. ;

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. 3tgx — tg 2x = 0;

  9. ;

  10. ;

  11. ;

  12. .

Задание №16

Решите тригонометрическое уравнение, разложением левой части на множители:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  9. ;

  10. ;

  11. ;

  12. ;

  13. ;

  14. ;

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  9. ;

  10. ;

  11. ;

  12. ;

  13. ;

  14. ;

  15. .

Задание №17.

Решите однородное тригонометрическое уравнение:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  9. ;

  10. ;

  11. ;

  12. ;

  13. ;

  14. ;

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  9. ;

  10. ;

  11. ;

  12. .

Задание №18.

Решите уравнение преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение или преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  9. ;

  10. ;

  11. ;

  12. ;

  13. ;

  14. ;

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  9. ;

  10. ;

  11. ;

  12. ;

  13. ;

  14. .

Задание №19.

Решите уравнение с использованием тригонометрических формул:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. cos2x+sinx=0;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  9. ;

  10. ;

  11. ;

  12. ;

  13. ;

  14. 2sin2x=3cos2x;

  15. ;

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  9. ;

  10. ;

  11. ;

  12. ;

  13. ;

  14. .

Задание №20.

Решите неравенство:

  1. а) ;

  2. а) ;

  3. а) ;

  4. а) ;

  5. а) ;

  6. а) ;

  7. а) ;

  8. а) ;

  9. а) ;

  10. а) ;

  11. а) ;

  12. а) ;

  13. а) ;

  14. а) ;

  15. а) ;

  16. а) ;

  17. а) ;

  18. а) ;

  19. а) ;

  20. а) ;

  21. а) ;

  22. а) ;

  23. а) ;

  24. а) ;

  25. а) ;

  26. а) ;

  27. а) ;

  28. а) ;

  29. а) ;

  30. а) .

  1. б)

  2. б) ;

  3. б)

  4. б) ;

  5. б) ;

  6. б) ;

  7. б) ;

  8. б)

  9. б) ;

  10. б) ;

  11. б) ;

  12. б) ;

  13. б) ;

  14. б)

  15. б) ;

  16. б)

  17. б)

  18. б) ;

  19. б) ;

  20. б) ;

  21. б) ;

  22. б)

  23. б) ;

  24. б) ;

  25. б) ;

  26. б)

  27. б)

  28. б)

  29. б) ;

  30. б) .

Системы тригонометрических уравнений и методы их решения

Кроме решения тригонометрических уравнений необходимо уметь решать и их системы.

Наиболее часто встречаются системы следующих типов:

1) В которых одно из уравнений степенное, например, ;

2) Системы из простейших тригонометрических уравнений, например, .

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели основные тригонометрические функции, их свойства и графики. А также познакомились с общими формулами решения простейших тригонометрических уравнений, указали основные типы таких уравнений и их систем.

В практической части урока мы разберем методы решения тригонометрических уравнений и их систем.

Вставка 1. Решение частных случаев простейших тригонометрических уравнений.

Как мы уже говорили в основной части урока частные случаи тригонометрических уравнений с синусом и косинусом вида:

 и

имеют более простые решения, чем дают формулы общих решений.

Для этого используется тригонометрическая окружность. Разберем метод их решения на примере уравнения .

Изобразим на тригонометрической окружности точку, в которой значение косинуса равно нулю, оно же является координатой по оси абсцисс. Как видим, таких точек две. Наша задача указать чему равен угол, который соответствует этим точкам на окружности.

 
 

Начинаем отсчет от положительного направления оси абсцисс (оси косинусов) и при откладывании угла  попадаем в первую изображенную точку, т.е. одним из решений будет это значение угла. Но нас же еще устраивает угол, который соответствует второй точке. Как попасть в нее?

Для этого необходимо к уже отложенному углу добавить развернутый угол . Второй угол, который является решением уравнения, равен . Но нельзя забывать, что это еще не все, т.к. мы можем построить угол больший полного круга, и он еще раз попадет в первую точку и также будет решением нашего уравнения. Для этого необходимо прибавить ко второму вычисленному углу еще раз , и получим значение . Продолжать эти действия можно бесконечное количество раз.

Если выписать первые три полученных нами корня уравнения, то можно увидеть закономерность:

, , , …и выписать формулу для всех корней:

Как видим, эта формула действительно выглядит проще общего решения уравнения с косинусом, хотя бы потому, что в ней отсутствует «». Однако это не значит, что общая формула даст неверное решение.

Аналогично можно получить решения для всех остальных указанных частных случаев тригонометрических уравнений.

Полезные ссылки:

1)  Алгебра 9 класс: «Функция y=sinx, её свойства и график» 

2)  Алгебра 9 класс: «Функция y=cosx. Её свойства и график» 

3)  Алгебра 9 класс: «Функция y=cos t, её свойства и график» 

4)  Алгебра 9 класс: «Простейшие тригонометрические уравнения и сопутствующие задачи» 

5)  Алгебра 9 класс: «Элементы теории тригонометрических функций. Функция y=sinx» 

6)  Алгебра 9 класс: «Элементы теории тригонометрических функций. Функция y=cosx» 

7)  Алгебра 10 класс: «Функция y=sinx, ее основные свойства и график» 

8)  Алгебра 10 класс: «Функция y=sinx, её свойства, график и типовые задачи» 

9)  Алгебра 10 класс: «Функция y=cos t, её основные свойства и график» 

10) Алгебра 10 класс: «Функция y=cos t, её свойства, график и типовые задачи» 

11) Алгебра 10 класс: «Периодичность функций y=sin t, y=cos t» 

12) Алгебра 10 класс: «Как построить график функции y=m*f(x), если известен график функции y=f(x)» 

13) Алгебра 10 класс: «Как построить график функции y=f(kx), если известен график функции y=f(x)» 

14) Алгебра 10 класс: «Как построить график функции y=f(kx), если известен график функции y=f(x). Примеры построения» 

15) Алгебра 10 класс: «График гармонического колебания» 

16) Алгебра 10 класс: «Функция y=tgx, ее свойства и график» 

17) Алгебра 10 класс: «Функция y=сtgx, ее свойства и график» 

18) Алгебра 10 класс: «Первые представления о решении тригонометрических уравнений» 

19) Алгебра 10 класс: «Простейшие тригонометрические уравнения» 

Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и наоборот

В конце нашего занятия мы поговорим о формулах преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и наоборот. Как и все предыдущие, они также применяются для упрощения выражений. Конечно, у вас может возникнуть вопрос: «Во что преобразовывать, чтобы упростить выражение: в сумму или в произведение?». Если у вас такой вопрос возник, вспомните, как поступать в таких же ситуациях с рациональными выражениями: когда раскладывать на множители, а когда – раскрывать скобки.

Задание 11.Упростить выражение:

Решение.

Упростить дробь – значит ее сократить. Для сокращения дроби нужно разложить числитель и знаменатель на множители. То есть нужно преобразовать сумму в произведение. Тут у нас по 3 слагаемых, какие же складывать? Возможны различные варианты, но начинать всегда лучше с симметричных. То есть со сложения  и  и аналогичных синусов:

Подставим в исходное выражение:

Теперь тут есть общие множители, которые можно вынести за скобки:

Ответ: .

Задание 12.  Доказать тождество:

Решение.

Для доказательства упростим левую часть равенства и покажем, что она всегда равна правой. Здесь по порядку действия стоит сначала умножение, затем – сложение. Поэтому сначала можем преобразовать только произведение в сумму:

Подставив в левую часть равенства, получим:

Видим, что после упрощения левая часть равенства тождественно равна правой.

Доказано.

Список литературы

  1. «Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Базовый и углубленный уровни. Учебник. ФГОС», АО «Издательство «Просвещение» Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачева М.В. и др. 10–11.
  2. «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа». 10-11 классы. Учебник для общеобразовательных организаций (базовый уровень). В 2 ч., ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА» Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г. 10–11.
  3. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс, АО «Издательство «Просвещение» Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др. 10.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Ин­тер­нет-пор­тал yaklass.​ru
  2. Ин­тер­нет-пор­тал cleverstudents.ru
  3. Ин­тер­нет-пор­тал math24.ru

 Домашнее задание

  1.  Доказать тождество: 
  2. Упростить выражение: 
  3. Преобразовать в произведение: 
Ссылка на основную публикацию