Прогрессии

Возрастающая и убывающая последовательности

Как мы уже сказали, последовательность можно задать как функцию натурального аргумента. Соответственно, для работы с последовательностями нам пригодятся все те навыки, которые мы приобрели при работе с функциями. Кроме того, характеристики функций можно использовать и для описания последовательностей.

Например, возрастающая последовательность – это последовательность, у которой каждый член больше предыдущего:

И наоборот, убывающая последовательность – это последовательность, у которой каждый член меньше предыдущего:

Задание 1. Найти первый отрицательный член последовательности:

Решение.

Член последовательности должен быть отрицательным:

Решаем неравенство:

Переменная – это номер члена последовательности, т. е. натуральное число. Нужно найти первый отрицательный член последовательности, т. е. его номер должен быть наименьшим натуральным числом, которое больше . Это число , тогда:

Ответ: .

Задание 2. Найти номер наименьшего члена последовательности:

Решение.

Чтобы найти наименьшее значение выражения, выделим полный квадрат:

Перепишем последовательность:

Т. к. , то:

Т. е. минимально возможное значение  равно . Но достигается оно при , а  должно быть натуральным числом. Таким образом, член последовательности будет наименьшим при ближайших натуральных значениях :

Проверим:

Получили одинаковые значения, именно они и будут наименьшими.

Ответ: .

Определение предела числовой последовательности

Пример 1

Последовательность . Предел этой последовательности , это означает, что при достаточно больших , все  находятся вблизи от нуля. Может ли быть здесь два предела? Докажем, что если последовательность имеет предел, то он только один.

Вот последовательность  и два предела (рис. 2).

Рис. 2.Последовательность  и два предела

Что значит ? Это означает, что найдется такая малая окрестность точки , что начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся в этой -окрестности.

А что значит ? Это означает, что начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся в -окрестности точки . Но возможно ли это? Между  и  есть некое расстояние (рис. 3).

Рис. 3. Расстояние между  и

Выберем , -окрестности не пересекаются. Начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся в ε-окрестности одной точки и второй точки, но эти ε-окрестности не пересекаются. Таким образом, если у последовательности есть предел, то он один.

Определение: число  называется пределом последовательности , если в любой заранее выбранной -окрестности точки , , содержатся все члены последовательности начиная с некоторого номера (рис. 4).

Рис. 4.

Число  может быть очень малым. Сходящиеся последовательности – те последовательности, которые имеют предел.

Свойства

Доказательство

log⁡(bn)=log⁡(b1qn−1)=log⁡(b1)+(n−1)⋅log⁡(q){\displaystyle \log(b_{n})=\log(b_{1}q^{n-1})=\log(b_{1})+(n-1)\cdot \log(q)}
Формула общего члена арифметической прогрессии:
an=a1+(n−1)⋅d{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d}.
В нашем случаеa1=log⁡(b1){\displaystyle a_{1}=\log(b_{1})},d=log⁡(q){\displaystyle d=\log(q)}.

bn2=bn−ibn+i{\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i}}, если 1in{\displaystyle 1
.

Доказательство

bn2=bnbn=b1qn−1b1qn−1=b1qn−1−ib1qn−1+i=bn−ibn+i{\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}}

Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

Pn=(b1⋅bn)n2{\displaystyle P_{n}=(b_{1}\cdot b_{n})^{\frac {n}{2}}}.

Доказательство

Pn=∏i=1nbi=∏i=1nb1qi−1=b1n∏i=1nqi−1=b1n2b1n2∏i=1nqi−1{\displaystyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}b_{i}=\prod _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}^{n}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}}
Раскроем произведение ∏i=1nqi−1{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}q^{i-1}}:
∏i=1nqi−1=q⋅q1⋅q2⋅…⋅qi−1=q+1+2+…+(i−1){\displaystyle \prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=q^{0}\cdot q^{1}\cdot q^{2}\cdot …\cdot q^{i-1}=q^{0+1+2+…+(i-1)}}
Выражение +1+2+…+(n−1){\displaystyle 0+1+2+…+(n-1)} представляет собой арифметическую прогрессию с a1={\displaystyle a_{1}=0} и шагом 1. Сумма первых n членов прогрессии равна Sn=n⋅a1+an2=n⋅+(n−1)2{\displaystyle S_{n}=n\cdot {\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}=n\cdot {\frac {0+(n-1)}{2}}}.
Откуда
Pn=b1n2b1n2∏i=1nqi−1=b1n2b1n2qn(+(n−1))2=(b1b1qn−1)n2=(b1bn)n2{\displaystyle P_{n}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}q^{\frac {n(0+(n-1))}{2}}=(b_{1}b_{1}q^{n-1})^{\frac {n}{2}}=(b_{1}b_{n})^{\frac {n}{2}}}

Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле

Pk,n=PnPk−1{\displaystyle P_{k,n}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}}.

Доказательство

Pk,n=∏i=knbi=∏i=1nbi∏j=1k−1bj=PnPk−1{\displaystyle P_{k,n}=\prod _{i=k}^{n}b_{i}={\frac {\prod _{i=1}^{n}b_{i}}{\prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}}

Сумма n{\displaystyle n} первых членов геометрической прогрессии:
Sn={∑i=1nbi=b1−b1qn1−q=b1(1−qn)1−q,if q≠1nb1,if q=1{\displaystyle S_{n}={\begin{cases}\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}={\frac {b_{1}(1-q^{n})}{1-q}},&{\mbox{if }}q\neq 1\\\\nb_{1},&{\mbox{if }}q=1\end{cases}}}

Доказательство

  • Через сумму:
    Sn=∑i=1nb1qi−1=b1+∑i=2nb1qi−1=b1+q∑i=2nb1qi−2=b1+q∑i=1n−1b1qi−1=b1+q∑i=1nb1qi−1−b1qn{\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-2}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n-1}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}-b_{1}q^{n}}
    То есть ∑i=1nb1qi−1=b1+q∑i=1nb1qi−1−b1qn{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}-b_{1}q^{n}} или
    (1−q)∑i=1nb1qi−1=b1−b1qn{\displaystyle (1-q)\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}-b_{1}q^{n}}.
    Откуда ∑i=1nb1qi−1=b1−b1qn1−q=b11−qn1−q{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}}
  • Индукцией по n{\displaystyle n}:

    n=1S1=∑i=11bi=b1=b11−q11−q{\displaystyle n=1:S_{1}=\sum _{i=1}^{1}b_{i}=b_{1}=b_{1}{\frac {1-q^{1}}{1-q}}}
    n→n+1Sn+1=∑i=1n+1bi=∑i=1nbi+bn+1=b11−qn1−q+b1qn=b1(1−qn1−q+qn)=b1(1−qn+qn−qn+11−q)=b11−qn+11−q{\displaystyle n\rightarrow n+1:S_{n+1}=\sum _{i=1}^{n+1}b_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}+b_{n+1}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}+b_{1}q^{n}=b_{1}({\frac {1-q^{n}}{1-q}}+q^{n})=b_{1}({\frac {1-q^{n}+q^{n}-q^{n+1}}{1-q}})=b_{1}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}}

Если |q|1{\displaystyle \left|q\right|
, то bn→0{\displaystyle b_{n}\to 0} при n→+∞{\displaystyle n\to +\infty }, и

Sn→b11−q{\displaystyle S_{n}\to {b_{1} \over 1-q}} при n→+∞{\displaystyle n\to +\infty }.

6. Итог урока

На уроке мы познакомились с арифметической прогрессией и ее свойствами. вывели формулу n-го члена арифметической прогрессии. На следующем уроке рассмотрим формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Список рекомендованной литературы

1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А.Г.  Алгебра 9  класс, учебник  для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А.Г. , Мишутина  Т.Н.,  Тульчинская Е.Е. Алгебра 9  класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.  

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. № 346, 348, 354, 360 (Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс).

2. № 12.83 (Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).

Ссылка на основную публикацию