Объемы фигур. объем параллелепипеда

Как перевести единицы объема?

Часто нам нужно перевести одну единицу объема в другую. Например, кубометры в кубические дециметры. Тяжело запомнить все эти соотношения. Но этого и не нужно делать. Достаточно понять общий принцип.

Например, сколько кубических сантиметров в кубическом метре?

Давайте посмотрим, сколько кубиков со стороной 1 сантиметр поместится в куб со стороной 1 м. (Рис. 11.)

Рис. 11. Куб

В один ряд укладывается 100 штук (ведь в одном метре 100 см).

В один слой укладывается 100 рядов или  кубиков.

Всего помещается 100 слоев.

Всего

Таким образом,

То есть если линейные величины связаны соотношением «в одном метре 100 см», то чтобы получить соотношение для кубических величин, нужно возвести 100 в 3 степень (). И не нужно каждый раз чертить кубы.

Заодно мы увидели соотношение и для единиц площади. В одном квадратном метре  квадратных сантиметров. В одном слое у нас было 10 000 кубиков.

Сколько в одном кубическом километре кубических метров?

Ответ: 1 млрд м3.

Каждый кубометр воды весит 1 т. Значит, кубический километр воды весит 1 млрд тонн. Такими единицами пользуются при измерении количества воды в морях и океанах.

Какова масса одного кубического сантиметра воды?

Мы знаем массу одного литра, это 1 кг, но 1 литр – это кубический дециметр.

Так как , то . Но это значит, что 1  весит:

Для одной тысячной существует приставка «милли-» (помним, что миллиметр – это одна тысячная метра), эту приставку используют и здесь.

То есть иными словами мы можем сказать, что один миллилитр воды имеет массу 1 г.

Параллелепипед: определение, виды и свойства

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании которой находится параллелограмм. Для чего же может потребоваться формула нахождения объема фигуры? Подобную форму имеют книги, упаковочные коробки и еще множество вещей из повседневной жизни. Комнаты в жилых и офисных домах, как правило, являются прямоугольными параллелепипедами. Для установки вентиляции, кондиционеров и определение количества обогревательных элементов в комнате необходимо рассчитать объем помещения.

У фигуры 6 граней – параллелограммов и 12 ребер, две произвольно выбранные грани называют основаниями. Параллелепипед может быть нескольких видов. Различия обусловлены углами между смежными ребрами. Формулы для нахождения V-ов различных многоугольников немного отличаются.

Если 6 граней геометрической фигуры представляют собой прямоугольники, то ее тоже называют прямоугольной. Куб – это частный случай параллелепипеда, в котором все 6 граней представляют собой равные квадраты. В этом случае, чтобы найти V, нужно узнать длину только одной стороны и возвести ее в третью степень.

Для решения задач понадобятся знания не только готовых формул, но свойств фигуры. Перечень основных свойств прямоугольной призмы невелик и очень прост для понимания:

  1. Противолежащие грани фигуры равны и параллельны. Это значит, что ребра расположенные напротив одинаковы по длине и углу наклона.
  2. Все боковые грани прямого параллелепипеда – прямоугольники.
  3. Четыре главные диагонали геометрической фигуры пересекаются в одной точкой, и делятся ею пополам.
  4. Квадрат диагонали параллелепипеда равен суме квадратов измерений фигуры (следует из теоремы Пифагора).

Теорема Пифагора
гласит, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади треугольника, построенного на гипотенузе того же треугольника.

Доказательство последнего свойства можно разобрать на изображении представленном ниже. Ход решения поставленной задачи прост и не требует подробных объяснений.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Вопрос: если нужно склеить такой параллелепипед из бумаги, то сколько бумаги необходимо? И как необходимо клеить прямоугольный параллелепипед или другой многогранник?

Сначала нужно сделать развертку прямоугольного параллелепипеда (рис. 8).

Рис. 8. Развертка прямоугольного параллелепипеда

Уже видно на ней 6 граней, попарно равных друг другу. Если согнуть ее по линиям, то получится прямоугольный параллелепипед.

Площадь этой развертки – это то количество бумаги, которое необходимо. Она называется площадью поверхности. Очевидно, она равна сумме площадей всех шести граней.

Теперь можно вывести формулу площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Три ребра, исходящих из одной вершины, могут иметь разную длину. Пусть они будут обозначены , , и . (Рис. 9.)

Рис. 9. Прямоугольный параллелепипед со сторонами , , и

Все остальные ребра равны какому-нибудь из этих значений. Необходимо найти площади всех граней и сложить.

Площадь нижней грани равна , так это прямоугольник. Верхняя грань точно такая же, ее площадь тоже равна . Правая и левая грани имеют площади  каждая. Передняя и задняя –  каждая.

Складывая все эти площади, получаем площадь поверхности:

Объем параллелепипеда

Важным свойством любого геометрического тела является его вместимость, то есть объем фигуры. Объем — это характеристика объекта, которая показывает, сколько единичных кубов он способен вместить. В общем случае объем любой призматической фигуры рассчитывается по формуле:

V = So × h,

где So – площадь основания фигуры, а h – ее высота.

Данная формула легко иллюстрируется следующим примером. Представьте, что у вас есть один лист бумаги А4. Это обычный прямоугольник, который характеризуется строго определенной площадью. Грубо говоря, лист — это плоскость. Теперь представьте стандартную пачку бумаги из 500 листов формата А4. Это уже объемная фигура, имеющая форму параллелепипеда. Узнать ее объем легко, достаточно перемножить площадь листа, лежащего в основании, на их количество, то есть, на высоту призмы.

Параллелепипед — это частный случай призмы, в основании которой лежит прямоугольник. Площадь прямоугольника представляет собой простое произведение его сторон, следовательно, для параллелепипеда:

So = a × b

Для определения объема достаточно умножить So на высоту фигуры. Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда считается по простой формуле, представляющей перемножение трех сторон тела:

V = a × b × h,

где a – длина, b – ширина, h – высота геометрической фигуры.

Для определения объема прямоугольного параллелепипеда вам достаточно замерить три этих параметра и просто перемножить их. Если вы не хотите постоянно держать в голове формулы определения объемов и площадей геометрических фигур, то воспользуйтесь нашим каталогом онлайн-калькуляторов: каждый инструмент подскажет вам, какие параметры вы должны замерить и мгновенно вычислит результат. Рассмотрим пару примеров, когда вам может понадобиться определить объем параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Если наполнить формочку влажным песком и потом перевернуть, то получим объемную фигуру, которая характеризуется объемом. Если сделать таких фигур несколько с помощью одной и той же формочки, то получатся фигуры, которые имеют одинаковый объем. Если наполнить формочку водой, то объем воды и объем фигуры из песка также будут равными.

Рисунок 5.

Сравнить объемы двух сосудов можно, наполнив один водой и перелив ее во второй сосуд. Если второй сосуд окажется полностью заполненным, то сосуды имеют равные объемы. Если при этом в первой вода останется, то объем первого сосуда больше объема второго. Если при переливании воды из первого сосуда не удается полностью заполнить второй сосуд, значит объем первого сосуда меньше объема второго.

Объем измеряется с помощью следующих единиц:

$мм^3$ — миллиметр кубический,

$см^3$ — сантиметр кубический,

$дм^3$ — дециметр кубический,

$м^3$ — метр кубический,

$км^3$ — километр кубический.

Вычисление объема прямоугольного параллелепипеда

Итак, вы знаете, что нужно рассчитать объем, но не забывайте, что обязательно нужно уточнить о какой именно фигуре идет речь: объем куба, или же объемного прямоугольника. Ведь расчет этих, казалось бы, одинаковых фигур, абсолютно разный.

Для начала рассмотрим само понятие объемного прямоугольника. Это параллелепипед. В его основании находится параллелограмм. Так как таковых у него шесть, следовательно все параллелограммы являются гранями параллелепипеда.

Что касается его граней, они могут отличаться, то есть, если прямые боковые грани представляют собой прямоугольники, тогда это прямой параллелепипед, ну, а если все шесть граней являются прямоугольниками, то перед нами прямоугольный параллелепипед.

  1. После прочтения задачи, нужно определить что именно следует найти; длину фигуры, объем или же площадь.
  2. Какая именно часть фигуры рассматривается в задаче — ребро, вершина, грань, сторона, а может быть, вся фигура целиком?

Определив все поставленные задачи, можно переходить непосредственно к вычислениям. Для этого нам понадобятся специальные формулы. Итак, для того чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда перемножается между собой длина, ширина и высота (то есть толщина фигуры). Формула вычисления объема прямоугольного параллелепипеда следующая:

V=a*b*h,

V является объемом параллелепипеда, где a — его длина b — ширина и h — высота соответственно.

Важно! Перед началом перевести все измерения в одну единицу исчисления. Ответ должен получится непременно в кубических единицах

Пример первый

Определим объем бака для спирта, при следующих размерах:

  • длина три метра;
  • ширина два метра пятьдесят сантиметров;
  • высота триста сантиметров.

Для начала обязательно согласовываем единицы измерения и перемножаем их:

3*2.5*3.

Перемножив данные, мы получим ответ в кубических метрах, то есть 3*2.5*3= 22.5 метра в кубе.

Пример второй

Шкаф имеет высоту четыре метра, ширину семьдесят сантиметров и глубину 80 сантиметров.

Зная формулу вычисления можно произвести умножение. Но не стоит торопиться, как и было сказано вначале, следует согласовать между собой единицы, то есть при желании вычислять в сантиметрах перевести все исчисления в сантиметры, ежели в метрах, то в метры. Сделаем оба варианта.

Итак, начнем с сантиметров. Переводим метры в сантиметры:

V = 400 * 70 * 80;

V = 2240000 сантиметров в кубе.

Теперь метры:

V = 4* 0.7 * 0.8;

V = 2.24 метра в кубе.

Исходя из вышеперечисленных манипуляции, очевидно, что работа с кубическими метрами более легка и понятна.

Пример третий

Дана комната, объем которой должен быть вычислен. Длина этой комнаты равна пяти метрам, ширина — трем, а высота потолка 2,5. Опять используем известную нам формулу:

V = a * b * h;

где, а длина комната и равна 5, b- ширина и равна 3 и h высота, которая равна 2.5

Так как все единицы даны в метрах, можно сразу приступать к вычислениям. Перемножая между собой a, b и h:

V = 5 * 3 * 2.5;

V = 37.5 метра в кубе.

Итак, в качестве заключения, можно сказать, что зная основные математические правила для вычисления объема или же площади фигур, а также правильно определив фигуры (плоские или же объемные), умея переводить сантиметры в метры и наоборот — можно облегчить изучение геометрии вашему ребенку, что не может не сделать этот процесс более интересным и привлекательным, ведь все накопленные знания в школе, могут быть успешно использованы в самой обычной бытовой жизни в будущем.

Задача 3 (вычисление объёма призмы)

Дано: – прямая треугольная призма (рис. 9), , , , , медиана в  .

Найти:V – объём призмы.

Решение

Рис. 9. Иллюстрация к задаче №3

1. Рассмотрим треугольник ABC. В нём медиана , следовательно,  прямоугольный, . ( состоит из двух равнобедренных треугольников, углы  – углы при основании этих треугольников (рис. 10). Сумма углов  равна .

Следовательно, .

Рис. 10. Иллюстрация к задаче №3

2. Так как  прямоугольный, то  – прямая призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник. Следовательно, объём данной призмы равен .

, так как призма прямая.

Ответ: .

Разветвление: Задача об удвоении куба

Согласно античной легенде, жителям острова Делос потребовалось удвоить объём куба. Эту задачу можно решить аналитически.

Пусть a – ребро старого куба, тогда его объём равен .

Объём получившегося в результате удвоения куба равен , где x – ребро нового куба.

Возникает проблема построения отрезка длиной  с помощью линейки и циркуля, поэтому античным ученым это сделать не удалось. В 1837 году учёный Ванцель доказал, что циркулем и линейкой такое построение невозможно.

Мы знаем формулу для объёма прямоугольного параллелепипеда  и его частного случая, куба , поэтому легко получили результат: чтобы удвоить объём куба с ребром a, нужно построить куб с ребром . Получили иррациональное число, но для него есть рациональные приближения.

Вспомним задачи, которые невозможно решить с помощью линейки и циркуля:

1. об удвоении куба;

2. о квадратуре круга. Задача заключается в построении квадрата равновеликого кругу, то есть площадь искомого квадрата должна быть равной площади круга (рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к задаче №3

3. о трисекции угла. Задача заключается в рассечении произвольного угла на три равных угла (в частных случаях задача решаема) (рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к задаче №3

Свойства параллелепипеда

1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

(фигуры равны, то есть их можно совместить наложением)

Например:

АВСD = А1В1С1D1 (равные параллелограммы по определению),

АА1В1В = DD1С1С (так как АА1В1В и DD1С1С – противоположные грани параллелепипеда),

АА1D1D = ВВ1С1С (так как АА1D1D и ВВ1С1С – противоположные грани параллелепипеда).

2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Диагонали параллелепипеда АС1, В1D, А1С, D1В пересекаются в одной точке О, и каждая диагональ делится этой точкой пополам (рис. 2).

Рис. 2 Диагонали параллелепипеда пересекаются и деляться точкой пересечения пополам.

3. Имеются три четверки равных и параллельных ребер параллелепипеда: 1 – АВ, А1В1, D1C1, DC, 2 – AD, A1D1, B1C1, BC, 3 – АА1, ВВ1, СС1, DD1.

Вычисление площади

Разговор про площади начинают с площади прямоугольника, а про объемы – с объема прямоугольного параллелепипеда.

Если мы умеем находить площадь прямоугольника, то это нам позволяет найти площадь любой фигуры.

Вот эту фигуру мы можем разбить на 3 прямоугольника и найти площадь каждого, а значит, и всей фигуры. (Рис. 2.)

Рис. 2. Фигура

Рис. 3. Фигура, площадь которой равна семи прямоугольникам

Даже если фигура не разбивается точно на прямоугольники, это можно сделать с любой точностью и площадь посчитать приблизительно.

Площадь этой фигуры (рис. 3) примерно равна сумме площадей семи прямоугольников. Неточность получается за счет верхних маленьких фигур. Если увеличить число прямоугольников, то неточность уменьшится.

То есть прямоугольник – это инструмент для вычисления площадей любых фигур.

Объем произвольной пирамиды

Расширим чуть-чуть принцип Кавальери. На самом деле, мы приблизим его к тому варианту, в котором его использовали сам Кавальери и его последователи.

Предположим, что при пересечении параллельными плоскостями двух тел все левые сечения  в  раз больше в правых  (см. рис. 67).

Рис. 67. Сечения  в  раз больше сечений

Тогда, по принципу Кавальери, и объем левого тела в  раз больше объема правого:

В частом случае, если все сечения равны (т. е. ), то равны и объемы тел.

Перейдем теперь к выводу формулы объема пирамиды. Рассмотрим произвольную пирамиду. Построим рядом с ней четырехугольную правильную пирамиду такой же высоты и стороной основания в два раза больше этой высоты (см. рис. 68). Объем такой пирамиды мы знаем:

Рис. 68. Произвольная пирамида и четырехугольная правильная, у которой такая же высота и сторона основания в два раза больше этой высоты

Площади оснований пирамид связаны соотношением:

А теперь самый важный момент в рассуждении. Если мы пересечем пирамиды плоскостью, параллельной основанию, то для полученных сечений это соотношение сохранится (см. рис. 69).

Рис. 69. Пересечение пирамид плоскостью, параллельной основанию

Это понятно из следующих наблюдений: производя сечение, мы получаем многоугольник, подобный основанию. Т. е. левое сечение подобно левому основанию, а правое сечение – правому основанию.

Секущая плоскость делит высоты пирамид в одинаковом соотношении, но тогда, по теореме Фалеса, в таком же отношении делится и каждое ребро обеих пирамид, в таком же отношении находятся и стороны малого, и большого многоугольника в каждой пирамиде. Т. е. сечения левой и правой пирамиды представляют собой основания, уменьшенные в одинаковое количество раз.

Но тогда во сколько раз различались площади оснований пирамид, во столько раз будут отличаться и площади сечений. Т. е. для всех таких сечений выполняется соотношение:

Тогда, по принципу Кавальери, во столько же раз различаются и объемы пирамид:

Но объем второй пирамиды мы знаем:

Итак, мы получили, что для любой пирамиды справедлива формула:

Пример 2

Пример 2. Вычислить объем правильного тетраэдра с ребром  (см. рис. 70).

Рис. 70. Иллюстрация к примеру 2

Решение

Здесь возникает интересная особенность в терминологии. Треугольная пирамида и тетраэдр – это одно и то же. Но правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр уже отличаются.

Правильной треугольной пирамидой мы называем пирамиду, в основании которой лежит равносторонний треугольник, а высота падает в его центр. При этом сама высота может быть любой. Иными словами, если правильную пирамиду растянуть вверх, она не перестанет быть правильной. У правильного тетраэдра все четыре грани являются равносторонними треугольниками (см. рис. 71). Конечно, эти треугольники равны друг другу (ответьте, почему).

Рис. 71. Правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр

Итак, у нас правильный тетраэдр. Все его ребра равны , а все грани – равносторонние треугольники. Т. к. тетраэдр – это пирамида, то его объем вычисляется по формуле:

В качестве основания мы можем принять любую грань – они все одинаковые. Площадь равностороннего треугольника мы уже считали:

Осталось найти высоту пирамиды. Она падает в центр основания, который является точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, а значит, делит каждую медиану в соотношении , считая от вершины.

Обозначим, чтобы не было путаницы, высоту пирамиды как , а высоту треугольника, лежащего в основании, как .

Рассмотрим отдельно основание пирамиды. Проведем в нем высоту  (см. рис. 72). Она находится как катет с гипотенузой  напротив угла в :

Рис. 72. Иллюстрация к примеру 2

Высоту  пирамиды мы можем найти из прямоугольного треугольника, образованного этой высотой, ребром и  медианы основания (см. рис. 73).

Рис. 73. Иллюстрация к примеру 2

Изобразим этот треугольник отдельно (см. рис. 74).

Рис. 74. Иллюстрация к примеру 2

Один его катет  – это  медианы основания, его длина равна:

По теореме Пифагора находим второй катет:

Мы нашли высоту тетраэдра, осталось вычислить его объем:

Ответ: .

Элементы прямоугольного параллелепипеда

У любого прямоугольного параллелепипеда есть 8 вершин. Зачастую их обозначают , , ,  снизу, , , ,  – сверху. (Рис. 7.)

Рис. 7. Прямоугольный параллелепипед

6 прямоугольников, вершины которых совпадают с вершинами параллелепипеда, называются гранями:

  • передняя  и задняя ,
  • верхняя  и нижняя ,
  • левая  и правая .

На рисунке они не все выглядят как прямоугольники, это происходит потому что, мы смотрим на них не прямо, а под углом.

Еще есть отрезки , ,  и так далее. Они являются сторонами прямоугольников, то есть граней, и называются ребрами. У любого параллелепипеда 12 ребер.

Итак, у любого параллелепипеда всегда 8 вершин, 6 граней и 12 ребер.

Многогранники. Теорема Эйлера для многогранников.

Разберемся подробнее с элементами, о которых мы поговорили: гранями, ребрами, вершинами.

Отрезок ограничен точками. Граница области на плоскости – линия или несколько отрезков.

Из отрезков и их границ (точек) на плоскости мы собираем многоугольники (треугольники, четырехугольники, … 100-угольники).

В пространстве имеем плоскости, их границы – ребра, кроме того, у ребер тоже есть граница – точки под названием вершины.

Из них можно собирать пространственные аналоги многоугольников – многогранники (рис. 1). Параллелепипед – один из примеров многогранников.

Рис. 1. Отрезок, многоугольник и многогранник

Самый «маленький» многогранник – треугольная пирамида (или тетраэдр) (рис. 2), по аналогии с самым «маленьким» многоугольником – треугольником.

Рис. 2. Тетраэдр

Интересный факт: в любом многограннике выполняется следующее свойство, где  – количество граней,  – количество вершин,  – количество ребер.

Давайте посчитаем:

1) Тетраэдр: 4 вершины, 4 грани и 6 ребер.

Рис. 3. Тетраэдр

2) Параллелепипед: 8 вершин, 6 граней и 12 ребер.

Рис. 4. Параллелепипед

3) Пятиугольная призма: 10 вершин, 7 граней и 15 ребер

Рис.5. Пятиугольная призма

Количество вершин и граней вместе всегда на 2 больше, чем количество ребер. И это свойство выполняется для всех многогранников. Это свойство сформулировал Леонард Эйлер в свое время. Свойство так и назвали: Теорема Эйлера.

, где:  – количество граней,  – количество вершин,  – количество рёбер.

Параллелепипед и его виды

Если дословно перевести его название с древнегреческого, то получится, что это фигура, состоящая из параллельных плоскостей. Существуют такие равносильные определения параллелепипеда:

  • призма с основанием в виде параллелограмма;
  • многогранник, каждая грань которого — параллелограмм.

Его виды выделяются в зависимости от того, какая фигура лежит в его основании и как направлены боковые ребра. В общем случае говорят о наклонном параллелепипеде, у которого основание и все грани — параллелограммы. Если у предыдущего вида боковые грани станут прямоугольниками, то его нужно будет называть уже прямым. А у прямоугольного и основание тоже имеет углы по 90º.

Причем последний в геометрии стараются изображать так, чтобы было заметно, что все ребра параллельны. Здесь, кстати, наблюдается основное отличие математиков от художников

Последним важно передать тело с соблюдением закона перспективы. И в этом случае параллельность ребер совсем незаметна

Выпуклые и невыпуклые многогранники

Для успешного изучения свойств многогранников их нужно классифицировать и выбрать для начала самые простые, на которые можно будет разбить более сложные.

Подход такой же, какой был с многоугольниками в планиметрии (начали с треугольников).

Когда мы начали классифицировать многоугольники, то разделили их на два типа:

выпуклые и невыпуклые. Выпуклость многоугольника означала, что если через любую его сторону провести прямую, то весь многоугольник будет лежать с одной стороны от этой прямой (см. рис. 18). А у невыпуклого хотя бы одна из таких прямых разбивает многоугольник на части (см. рис. 19). Иначе это же свойство формулировалось так: если для любых двух точек, лежащих внутри многоугольника, отрезок, их соединяющий, тоже целиком лежит внутри, то такой многоугольник выпуклый.

Рис. 18. Выпуклый многоугольник

Рис. 19. Невыпуклый многоугольник

Ровно такой же подход используется в случае многогранников. Их точно так же делят на две группы: выпуклые и невыпуклые. Если в многограннике провести плоскость через любую грань и весь многогранник всегда будет оставаться с одной стороны, то его будут называть выпуклым (см. рис. 20). Если хотя бы одна такая плоскость разрезает многогранник, то он невыпуклый (см. рис. 21). Либо можно использовать второе определение, как и в случае многоугольников. У выпуклого многогранника вместе с любыми двумя точками, ему принадлежащими, ему принадлежит и весь отрезок, их соединяющий.

Рис. 20. Выпуклый многогранник

Рис. 21. Невыпуклый многогранник

В дальнейшем мы будем заниматься только выпуклыми многогранниками как более простыми для изучения.

Среди выпуклых многогранников мы выделим две группы наиболее простых и одновременно изучаемых (т. е. тех, о свойствах которых мы можем сделать какие-то полезные выводы): призмы и пирамиды (см. рис. 22). Это не значит, что других выпуклых многогранников не бывает. Бывают

Мы с некоторыми познакомимся, но основное внимание уделим именно призмам и пирамидам

Рис. 22. Призма и пирамида

Первая задача

Условие. Дан прямоугольный параллелепипед, объем которого требуется найти. Известна диагональ — 18 см — и то, что она образует углы в 30 и 45 градусов с плоскостью боковой грани и боковым ребром соответственно.

Решение. Чтобы ответить на вопрос задачи, потребуется узнать все стороны в трех прямоугольных треугольниках. Они дадут необходимые значения ребер, по которым нужно сосчитать объем.

Сначала нужно выяснить, где находится угол в 30º. Для этого нужно провести диагональ боковой грани из той же вершины, откуда чертилась главная диагональ параллелограмма. Угол между ними и будет тем, что нужен.

Первый треугольник, который даст одно из значений сторон основания, будет следующим. В нем содержатся искомая сторона и две проведенные диагонали. Он прямоугольный. Теперь потребуется воспользоваться отношением противолежащего катета (стороны основания) и гипотенузы (диагонали). Оно равно синусу 30º. То есть неизвестная сторона основания будет определяться как диагональ, умноженная на синус 30º или ½. Пусть она будет обозначена буквой «а».

Это легко сосчитать: а = 18 * ½ = 9 (см).

Вторым будет треугольник, содержащий известную диагональ и ребро, с которым она образует 45º. Он тоже прямоугольный, и можно опять воспользоваться отношением катета к гипотенузе. Другими словами, бокового ребра к диагонали. Оно равно косинусу 45º. То есть «с» вычисляется как произведение диагонали на косинус 45º.

с = 18 * 1/√2 = 9 √2 (см).

В этом же треугольнике требуется найти другой катет. Это необходимо для того, чтобы потом сосчитать третью неизвестную — «в». Пусть она будет обозначена буквой «х». Ее легко вычислить по теореме Пифагора:

х = √(182 — (9√2)2) = 9√2 (см).

Теперь нужно рассмотреть еще один прямоугольный треугольник. Он содержит уже известные стороны «с», «х» и ту, что нужно сосчитать, «в»:

в = √((9√2)2 — 92 = 9 (см).

Все три величины известны. Можно воспользоваться формулой для объема и сосчитать его:

V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (см3).

Ответ: объем параллелепипеда равен 729√2 см3.

Ссылка на основную публикацию