Объём правильной пирамиды

Нахождение высоты пирамиды

Как найти высоту пирамиды? Очень просто! Для нахождения высоты любой треугольной пирамиды можно воспользоваться формулой объема: V = (1/3)Sh, где S — это площадь основания, V — объем пирамиды, h — ее высота. Из этой формулы вывести формулу высоты: для нахождения высоты треугольной пирамиды, нужно умножить объем пирамиды на 3, а потом поделить получившееся значение на площадь основания, это будет: h = (3V)/S. Поскольку основание треугольной пирамиды — это треугольник, можно воспользоваться формулой подсчета площади треугольника. Если нам известны: площадь треугольника S и его сторона z, то по формуле площади S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, где h — это высота пирамиды, γ — это ребро треугольника; угол между сторонами треугольника и сами две стороны, то по такой формуле: S = (1/2)γφsinQ, где γ, φ — это стороны треугольника, находим площадь треугольника. Значение синуса угла Q нужно посмотреть в таблице синусов, которая есть в Интернете. Далее подставляем значение площади в формулу высоты: h = (2S)/γ. Если в задании требуется вычислить высоту треугольной пирамиды, то объем пирамиды уже известен.

Формулы объема треугольной пирамиды

Определить объем совершенно любой пирамиды с произвольным n-угольником в основании можно с помощью следующего выражения:

V = 1/3 × So × h

Здесь символ So обозначает площадь основания, h — это высота фигуры, проведенная к отмеченному основанию из вершины пирамиды.

Поскольку площадь произвольного треугольника равна половине произведения длины его стороны a на апофему ha, опущенную на эту сторону, то формула объема треугольной пирамиды может быть записана в следующем виде:

V = 1/6 × a × ha × h

Для треугольной пирамиды общего типа определение высоты является непростой задачей. Для ее решения проще всего воспользоваться формулой расстояния между точкой (вершиной) и плоскостью (треугольным основанием), представленной уравнением общего вида.

Для правильной пирамиды формула объема имеет конкретный вид. Площадь основания (равностороннего треугольника) для нее равна:

So = √3/4 × a2

Подставляем ее в общее выражение для V, получаем:

V = √3/12 × a2 × h

Частным случаем является ситуация, когда у тетраэдра все стороны оказываются одинаковыми равносторонними треугольниками. В этом случае определить его объем можно, только исходя из знания параметра его ребра a. Соответствующее выражение имеет вид:

V = √2/12 × a3

Теория

Это интересно: Как оформлять реферат в школе по ГОСТу + образец титульного листа 2019

Для решения задач понадобится знать теоремы равнобедренного треугольника:

Равнобедренный треугольник

Основные свойства

1В правильную пирамиду можно вписать и описать сферу, так как при пересечении диагоналей, основание делится на равные части. Сферу нельзя вписать в любую фигуру.

2Площадь боковой поверхности – половина произведения периметра основания на апофему. Апофема есть на каждой грани, а не только на одной.

Пирамида

Четырехугольная пирамида

В основании – многоугольник; остальные грани – треугольники, соединяющиеся в общей вершине.

Четырехугольная пирамида

Треугольная пирамида

В качестве основания можно рассматривать любую грань. Вся фигура состоит из треугольников.

Треугольная пирамида

Необходимые знания для нахождения высоты

1Нужно понимать, что из себя представляют треугольники: свойства, формулы, определение. Большинство задач решается через треугольники (боковые грани).

2Понимать, что такое сечение и как оно влияет на геометрическую фигуру.

3Что такое правильные многоугольники: виды, свойства, формулы.

Когда теория закреплена, можно переходить к формулам.

Формулы для нахождения высоты

Формулы

Запомните, что маленькая буква h – это апофема, а большая H – высота.

В некоторых задачах, высоту можно найти через объем:

Объем пирамиды

Нахождение высоты в правильной пирамиде

Ниже будут представлены текстовые решения часто встречающихся задач.

Треугольная пирамида

Задача 1

В правильной треугольной пирамиде DBAC с вершиной D биссектрисы треугольника BAC пересекаются в точке N. Площадь треугольника BAC равна 4; объем пирамиды равен 12. Найдите длину отрезка DN.

DN – высота, следовательно, объем фигуры можно выразить по формуле:

DN = 3V/S основания = 3*12/4 = 9

Ответ: 9

Задача 2

DBAC – медианы основания BAC. Они пересекаются в точке N. Площадь ΔBAC равна 18, V = 20; найдите высоту.

Пользуясь формулой объема, получается:

DN = 3V/S ΔBAC = 3*36/18 = 108/18 = 6

Ответ: 6

Четырехугольная пирамида

Задача 1

Найдите высоту пирамиды, если ML = 10, а DC = 12. В основании квадрат.

ML – это апофема, сторона нам известна, следовательно, можно применить формулу для нахождения OL:

OL = ½*12 = 6

Известно, что MOL – прямоугольный угол. Применим теорему Пифагора:

MO ² = √ML ² — √OL ² = √100- √36 = √64

MO = 8

Задача 2

Известно, что диагональ AC = 20, ML = 10, а сторона DC = 12; найдите MO правильной четырехугольной пирамиды.

Найдем OL

В основании фигуры – квадрат, стороны и углы которого равны. Значит, половина диагонали = 10. Рассмотрим треугольник LOC, он – прямоугольный. Из исходных данный ясно, что LC = 6 (в равнобедренном треугольнике, высота, проведенная из вершины, делит основание на 2 равные части – это свойство р/б треугольника).

Пользуясь теоремой Пифагора, находим OL:

OL² = √OC² — √LC² = √100 – √36 = √64 = 8

Задача 3

Ищем MO

Пользуясь той же теоремой, находим высоту:

MO² = √ML² – √OL² = 100 – 64 = 36

Ответ: 36

Задача 4

Известно, что в основании ABCD, AB=CD=BC=AD. Треугольник DMC имеет площадь 36см, DC = 4, OL = 6. Определите тип фигуры и найдите высоту.

Исходя из информации про основание, мы сделали вывод, что перед нами правильная пирамида – стороны основания равны. Следовательно, перед нами четырехугольная правильная пирамида.

Из первого вывода следует, что боковые грани – равнобедренные треугольники, а высота и медиана этих треугольников – апофема. Пользуясь формулами, найдем высоту.

Площадь равнобедренного треугольника

36 = ½ * 4 *h

36 = 2h

H = 18

Теперь у нас есть апофема, а OL нам было уже давно. MOL – прямоугольный треугольник, 2 стороны которого, мы уже знаем. Следовательно, мы можем посчитать высоту.

MO = ML – OL = 18 – 6 = 12

Ответ: 12

Правильная усеченная пирамида

Если провести сечение, параллельное основанию пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Это сечение для усеченной пирамиды является одним из её оснований.

Высота боковой грани (которая является равнобокой трапецией), называется — апофема правильной усеченной пирамиды.

Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена – правильная.

Расстояние между основаниями усеченной пирамиды называется высотой усеченной пирамиды
Все грани правильной усеченной пирамиды являются равнобокими (равнобедренными) трапециями

Примечания

См. также: частные случаи (формулы) для правильной пирамиды:

Для правильной треугольной пирамиды

Как воспользоваться приведенными здесь теоретическими материалами для решения своей задачи:

Ознакомьтесь со справочными материалами
Выясните, по условию задачи, о какой именно правильной пирамиде идет речь
После этого в дереве знаний справа, найдите подходящий урок с данной фигурой (см. решение задач про правильную пирамиду с треугольником в основании, с четырехугольником в основании). Если нужного решения не нашлось, попробуйте ознакомиться с содержанием соседних уроков, возможно, решение подобной задачи есть именно там
Если Вы просмотрели весь раздел, но аналогичной задачи не нашлось, напишите о своей проблеме на форуме «раздел для школьников» в соответствующей теме. Обязательно ознакомьтесь предварительно с правилами форума.

Содержание главы:

Апофема правильной пирамиды

Объем правильной усеченной пирамиды

Правильная пирамида с четырехугольником в основании

Нахождение боковой поверхности и высоты правильной пирамиды с четырехугольником в основании

Правильная пирамида с четырехугольником в основании (часть 3)

Нахождение углов пирамиды

Нахождение величины наклона боковых граней правильной прамиды

Нахождение расстояний в правильной четырехугольной пирамиде

Пирамида и вписанный конусОписание курса Апофема правильной пирамиды

Призма, формула вычисления объёма призмы

Призма – это многогранник, основаниями которого являются равные многоугольники, а боковыми гранями – параллелограммы.

На рисунке 2 изображена наклонная призма. Многогранники и в основаниях лежат в параллельных плоскостях, равны и расположены так, что боковые рёбра () между собой параллельны.

Рис. 2. Наклонная призма

Формула для вычисления объёма призмы:

, где S – площадь основания ( или ), h – высота между основаниями, которая получается при опускании перпендикуляра из любой точки основания на плоскость, в которой лежит другое основание этой призмы ().

Если мы рассмотрим пирамиду , то её объём будет равен:

, где V – объём призмы

Часто задаваемые вопросы

1Как понять, что пирамида правильная, если в условии это не указано?

Часто в задании не указывают какой тип фигуры, чтобы человек сам догадался и применил нужные формулы. Понять какой тип фигуры легко – начните решение задачи с рассмотрения основания и заучивания свойств фигуры.

Зная определения и свойства, определить тип фигуры очень легко.

2Могут ли быть указаны в задании лишние данные?

Чтобы решать задачи, человек должен включать логику, а не подставлять исходные числа в знакомые формулы. С этим расчетом, в некоторых задачах умышленно добавляют лишние данные, которые могут даже не использоваться при решении. Чаще такое встречается в задачах на ЕГЭ.

3Обязательно ли оформлять высоту большой буквой H? Нужно ли выделять апофему?

Для удобства, человек может не выделять отдельно высоту, а сразу писать, например, BE (если B – вершина, а E – основание). То же с апофемой

Важно, чтобы сам человек осознавал, что это за линия и как ее использовать в решении

4Как можно быстро изучить стереометрию?

Ключ к пониманию стереометрии – умение визуализировать объекты в пространстве. Если в дополнение к этому умению, знать формулы, свойства и теорию – задачи будут решаться быстро и безошибочно.

4Как искать высоту, если известен объем?

Если выразить высоту через формулу объема, то получится следующее:

H = (3*V)/ S;

Пример: объем пирамиды равен 70 куб. см., а площадь боковых граней – 30см²

H = 3*70/30 = 7см

Усеченная пирамида

Если верхнюю часть, содержащую вершину, отсечь у правильной треугольной пирамиды, то получится усеченная фигура. В отличие от исходной она будет состоять из двух равносторонних треугольных оснований и трех равнобедренных трапеций.

Ниже на фото показано, как выглядит правильная усеченная пирамида треугольная, изготовленная из бумаги.

Для определения объема треугольной пирамиды усеченной необходимо знать три ее линейных характеристики: каждую из сторон оснований и высоту фигуры, равную расстоянию между верхним и нижним основаниями. Соответствующая формула для объема записывается так:

V = √3/12 × h × (A2 + a2 + A × a)

Здесь h — высота фигуры, A и a — длины сторон большого (нижнего) и малого (верхнего) равносторонних треугольников соответственно.

Что это — треугольная пирамида?

Каждый слышал о древних египетских пирамидах, тем не менее они являются четырехугольными правильными, а не треугольными. Объясним, как получить треугольную пирамиду.

Возьмем произвольный треугольник и соединим все его вершины с некоторой одной точкой, расположенной вне плоскости этого треугольника. Образованная фигура будет называться треугольной пирамидой. Она показана на рисунке ниже.

Вам будет интересно:Как мыться в русской печи: описание обычая, исторические факты

Как видно, рассматриваемая фигура образована четырьмя треугольниками, которые в общем случае являются разными. Каждый треугольник — это стороны пирамиды или ее грань. Эту пирамиду часто называют тетраэдром, то есть четырехгранной объемной фигурой.

Помимо сторон, пирамида также обладает ребрами (их у нее 6) и вершинами (их 4).

Типичные ошибки на ЕГЭ

Незнание темы Когда человек не знает, где находится апофема и что для нее есть определенные формулы, задачу может и можно решить, но тогда необходимо выполнить в 2 раза большей действий.То же обстоит с теорией – если человек не знает свойства многоугольников, то и решить задание он не сможет. Для того, чтобы понимать геометрию, не нужно обладать особенными способностями. Даже при отсутствии способностей к математике, зная теорию, вы будете понимать геометрию.

Отсутствие проверки Хотите потерять балл на ЕГЭ? – не перепроверяйте решения. Часто, задания решаются хаотично и на листе бумаге разные решения намешаны в кучу. Когда приходит время написать ответ, человек по невнимательности либо забывает выполнить последнее действие, либо вписывает не тот ответ.Решайте задачи по действиям, проставляйте пункты и делайте проверку ответа, каким бы он ни был.

Задачи под копирку Решая сотни аналогичных задач, человек настолько привыкает, что теряет бдительность, игнорируя многие исходные данные. Придя на экзамен, в задании может быть вопрос с подвохом и человек ошибается в теме, которую он знал идеально. Помните, к каждой задаче нужен индивидуальный подход, как бы хорошо вы в ней не разбирались.

Запись Структурируйте решения, прописывая каждое действие и каждый полученный вывод. Это необходимо для того, чтобы не запутаться. Решая задания хаотично, можно легко записать неправильное число, не тот ответ, подставить не те числа, и задача уже решена неверно. Обидно получать низкий балл из-за невнимательности.

Подсчеты в уме На экзамене все нервничают и переживают, а потому зарабатывают баллы ниже, чем планировалось изначально. Когда человек нервничает, уровень концентрации и внимания резко снижается

Он может упустить что-то важное, не поставить запятую или запутаться в ходе размышлений.Считая примеры в столбик, вы обезопасите себя от глупых ошибок.

Незнание структуры экзамена Очень обидные ошибки допускают люди, пересдающие ЕГЭ через несколько лет, либо обучающиеся в экстернате. Как правило, они плохо знакомы с процедурой заполнения бланков и внесения ответов.Заполнение бланков для части А и С – различно

Внимательно посмотрите, как необходимо их заполнять, так как неправильное внесение ответа (например, запятая и число в одной клетке) будет приравниваться к ошибке и ответ будет не засчитан.Также, если вы самостоятельно готовитесь к экзамену, учитесь рассчитывать время на каждое задание.

Поспешные решения В случае, если ответ был записан с ошибкой, его можно внести в графе ниже, заменив неправильный ответ на правильный. Однако, клетки для внесения результатов ограничены в количестве, а заданий в общей сложности 19!Несколько раз перепроверьте ответы, прежде чем внести их в бланк ответов.

Незнание степеней числа В теореме Пифагора будут использованы не только маленькие числа (до 10). В профильной математике, могут быть крупные числа, которые тяжело посчитать в столбик.Также, степени числа могут понадобиться для других заданий. Выучите значение чисел в квадрате и кубе от 1 до 20. Помните, что на профильном экзамене, пользовать методической таблицей нельзя!

Усеченная правильная пирамида

Любая усеченная пирамида является многогранником, образованным пирамидой и её сечением, параллельным основанию.

Теорема о боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полу суммы периметров на апофему.

Площадь одной боковой грани усеченной пирамиды есть площадь трапеции (рис. 5)

Рис. 5

А площадь всей боковой поверхности

Выводы:

Мы рассмотрели правильную пирамиду и стандартные задачи на нее, включая двугранные углы. А также усеченную правильную пирамиду.

Список литературы

И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Домашнее задание

Какое наименьшее число ребер может иметь пирамида?
Сколько ребер у n-угольной усеченной пирамиды?
На Рис. 4 мы провели перпендикуляр СР к ребру SC и соединили точку В и Р. Докажите, что ВР⊥SC.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (точка O – центр основания, S – вершина) боковое ребро SB=13, а диагональ основания AC =24. Найдите длину отрезка SO.
В правильной треугольной пирамиде SABC точка L – середина ребра AC, S – вершина. Известно, что BC = 6, а SL = 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Я Класс (Источник).
Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
Интернет-портал Slideshare.net (Источник).

Полезные советы

Если в задаче указан объем – ищите высоту через него.
Делите равнобедренные треугольники на прямоугольные – так быстрее и проще решить задачу.
Учите квадратные корни чисел – так, вы будете быстрее справляться с теоремой Пифагора.
Не кидайтесь сразу к решению – изучите исходные данные и сделайте правильные выводы.
Если в заданиях получаются слишком крупные числа (от 1000), то перепроверьте решение – вероятно, вы допустили ошибку. В заданиях в учебнике и на экзамене практически не используются крупные числа.

6.5 Общий Балл

Найти высоту в пирамиде

Достоверность информации

8.5

Актуальность информации

7.5

Раскрытие темы

8.5

Доступность применения

Удобство

Плюсы

Благодаря доступной информации можно легко научиться решать задачи по геометрии

Минусы

Необходимы знания математики

Элементы правильной пирамиды

Высота боковой грани, проведенная из ее вершины называется апофема. На рисунке обозначена как отрезок ON
Точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания, называется вершиной пирамиды (О)
Треугольники, имеющие общую сторону с основанием и одну из вершин, совпадающую с вершиной, называются боковыми гранями (AOD, DOC, COB, AOB)
Отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания называется высотой пирамиды (ОК)
Диагональное сечение пирамиды — это сечение, проходящее через вершину и диагональ основания (AOC, BOD)
Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды, называется основанием пирамиды (ABCD)

Если в основании правильной пирамиды лежит треугольник, четырехугольник и т.д. то она называется правильной треугольной, четырехугольной и т.д.

Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр.

Подведение итогов урока

На данном уроке мы повторили формулы расчёта объёмов призмы и пирамиды. Решили задачи с использованием этих формул.

Список литературы

Геометрия: учеб. для 10–11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.
Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7–11 кл. общеобразовательных учреждений /Б. Г. Зив, В. М. Мейлер. – М.: «Просвещение», 2003–2008.
Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10–11 кл. /Е. М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003, М.: «Илекса», 2003.
Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А. И. Ершова, В. В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.
Математика. ЕГЭ – 2011. Тематические тренировочные задания./В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011.
Математика. ЕГЭ – 2009 /Ф. Ф. Лысенко. – Ростов-на-Дону: «Легион», 2008.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Clck.ru (Источник).
Clck.ru (Источник).
Clck.ru (Источник).

Домашнее задание

От треугольной призмы, объем которой равен 129, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.
Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 12. Найдите объем пирамиды.
В прямом параллелепипеде диагонали и взаимно перпендикулярны и равны 6 см и 8 см, АВ = 3 см. Найдите объем параллелепипеда.