Геометрия. 11 класс

Указания к решению задач

правильная четырехугольная призмаПравильная призмаквадрат

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия —  призма). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форумеДля обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ 

Задача.

В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см2, а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности. Решение.
Правильный четырехугольник — это квадрат.
Соответственно, сторона основания будет равна √144 = 12 см.
Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна √( 122 + 122 ) = √288 = 12√2
Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:
√( ( 12√2 )2 + 142 ) = 22 см Ответ: 22 см

Задача

Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см. Решение.
Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора:
a2 + a2 = 52
2a2 = 25
a = √12,5
Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна:
h2 + 12,5 = 42
h2 + 12,5 = 16
h2 = 3,5
h = √3,5
Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания
S = 2a2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см2 . Ответ: 25 + 10√7 ≈ 51,46 см2 .

15306.1214
 

Прямая призмаОписание курса Диагональное сечение правильной призмы

Многогранник

Итак, точки, прямые, плоскости достаются нам в наследство из планиметрии. Новыми объектами будут многогранники, которые имеют прямую аналогию с многоугольниками.

Многоугольник представляет собой часть плоскости, ограниченной пересекающимися прямыми (см. рис. 6). Отрезки этих прямых называются сторонами многоугольника. Точки пересечения – вершинами. Аналогично образуются многогранники.

Рис. 6. Многоугольник

Если несколько плоскостей, пересекаясь, отделили область пространства, то она и называется многогранником (см. рис. 7, 8). Части плоскостей называются гранями. Отрезки, по которым они пересекаются, называются ребрами. А точки, куда сходятся ребра, называются вершинами.

Рис. 7. Плоскости, пересекаясь, отделили область пространства – многогранник  (треугольную пирамиду)

Рис. 8. Треугольная пирамида

Прямая, плоскость, пространство

Вспомним, что сначала мы рассматривали прямую (одномерное пространство) (см. рис. 2). На ней у нас основными фигурами были отрезки, их мы характеризовали длиной.

Рис. 2. Прямая

Затем мы рассмотрели плоскость – бесконечное множество прямых (см. рис. 3). Здесь разнообразие фигур существенно увеличилось и появились новые характеристики: длина границы (периметр) и площадь.

Рис. 3. Плоскость

Теперь мы рассмотрим пространство – бесконечное множество плоскостей (см. рис. 4). В качестве геометрических фигур будут выступать преимущественно различные тела, которые мы будем характеризовать площадью границы (площадь поверхности) и объемом.

Рис. 4. Пространство

Очень многие объекты стереометрии имеют аналоги в планиметрии. Например: куб и квадрат, шар и круг (соответственно, их границы: сфера и окружность) (см. рис. 5). Кроме того, конечно, все плоские фигуры продолжают существовать и в трехмерном пространстве: точка, прямая, плоскость остаются и в стереометрии основными неопределяемыми понятиями. Но теперь различных плоскостей существует бесконечное число.

Рис. 5. Куб и квадрат; шар и круг

При этом, если мы выберем конкретную плоскость и на ней будут лежать какие-либо знакомые нам уже фигуры: точки, прямые, многоугольники, то мы получим планиметрию в миниатюре и будем применять на этой плоскости все наши знания, полученные ранее. Этот стандартный прием мы будем часто использовать при решении стереометрических задач – свести их к одной или нескольким планиметрическим, которые мы уже умеем решать (так называемый принцип «вылить воду из чайника»).

Как выглядит призма

Правильной четырёхугольной призмой называется шестигранник, в основаниях которого находятся 2 квадрата, а боковые грани представлены прямоугольниками. Иное название для этой геометрической фигуры — прямой параллелепипед.

На картинке также можно увидеть важнейшие элементы, из которых состоит геометрическое тело. К ним принято относить:

  1. Основы призмы — квадраты LMNO и L₁M₁N₁O₁.
  2. Боковые грани — прямоугольники MM₁L₁L, LL₁O₁O, NN₁O₁O и MM₁N₁N, расположенные под прямым углом к основаниям.
  3. Боковые рёбра — отрезки, расположенные на стыке между двумя боковыми гранями: M₁M, N₁N, O₁O и L₁L. Также выполняют роль высоты (поскольку лежат в параллельной основаниям плоскости). В призме боковые рёбра всегда равны между собой — это одно из важнейших свойств этого геометрического тела.
  4. Диагонали, которые, в свою очередь, подразделяются ещё на 3 категории. К ним относится 4 диагонали основания (MO, N₁L₁), 8 диагоналей боковых граней (ML₁, O₁L) и 4 диагонали призмы, начала и концы которых являются вершинами 2 разных оснований и боковых сторон (MO₁, N₁L).

Иногда в задачах по геометрии можно встретить понятие сечения. Определение будет звучать так: сечение — это все точки объёмного тела, принадлежащие секущей плоскости. Сечение бывает перпендикулярным (пересекает рёбра фигуры под углом 90 градусов). Для прямоугольной призмы также рассматривается диагональное сечение (максимальное количество сечений, которых можно построить — 2), проходящее через 2 ребра и диагонали основания.

Если же сечение нарисовано так, что секущая плоскость не параллельна ни основам, ни боковым граням, в результате получается усечённая призма.

Для нахождения приведённых призматических элементов используются различные отношения и формулы. Часть из них известна из курса планиметрии (например, для нахождения площади основания призмы достаточно вспомнить формулу площади квадрата).

Определение призмы

Призма — это объемный многогранник, две грани которого представляют собой равные (одинаковые) многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные грани представляют собой параллелограммы, противолежащие грани у которых являются общими с соответствующими сторонами параллельных многоугольников.

Ниже, на рисунке изображены треугольная, четырехугольная и наклонная четырехугольная призма. Обычно (но не обязательно) для упрощения понимания взаимного расположения оснований и их сторон, обозначения нижнего основания начинают латинскими буквами А, B, C и так далее, а соответствующие стороны верхнего основания обозначают теми же буквами с добавлением единицы — А1, B1, C1 и так далее.

Другие определения призмы:

Призма — многогранник, основаниями которого являются равные многоугольники, соответствующие боковые грани которого представляют собой параллелограммы.

Другие определения:

Равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы.

Грани призмы, соединяющие ее основания призмы (ABCD и A1B1C1D1), называются боковыми гранями. 

Площадь (объединение, совокупность) всех боковых граней призмы называется боковой поверхностью.

Общие грани параллелограммов, соединяющие основания призмы, называются боковыми ребрами. (AA1 BB1 CC1 и т.д.)

Длина отрезка, соединяющего основания призмы и перпендикулярного одновременно обоим основаниям, является (называется) высотой призмы.

Отрезок проведенный между двумя вершинами многогранника, представляющего собой призму, так, чтобы он не принадлежал ни одной плоскости призмы (основаниям или боковым граням) называется диагональю призмы. (АС1)

Плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания (не путать с диагональю призмы!) называется диагональной плоскостью. (AA1C1C)

Нахождение элементов призмы

Часто встречаются задачи, в которых дан объём или известна величина боковой площади поверхности, где необходимо определить длину стороны основания или высоту. В таких случаях формулы можно вывести:

  • длина стороны основания: a = Sбок / 4h = √(V / h);
  • длина высоты или бокового ребра: h = Sбок / 4a = V / a²;
  • площадь основания: Sосн = V / h;
  • площадь боковой грани: Sбок. гр = Sбок / 4.

Чтобы определить, какую площадь имеет диагональное сечение, необходимо знать длину диагонали и высоту фигуры. Для квадрата d = a√2. Из этого следует:

Sдиаг = ah√2

Для вычисления диагонали призмы используется формула:

dприз = √(2a² + h²)

Чтобы понять, как применять приведённые соотношения, можно попрактиковаться и решить несколько несложных заданий.

Задача 1 (нахождение объёма пирамиды)

Дано:  – треугольная призма;  – объём призмы;  – секущая плоскость (рис. 3).

Найти: 1.  – объём пирамиды ; 2.  – объём фигуры над секущей плоскостью; 3.  – объём пирамиды ; 4.  – объём пирамиды

Решение:

1. Найдём объём пирамиды :

 , где  – объём призмы

Так как , то

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

2. Для нахождения объёма верхней части из общего объёма вычтем объём нижней части, то есть объём пирамиды :

3. Найдём объёмпирамиды  и . Для этого рассмотрим боковую грань призмы .Это параллелограмм, следовательно, площадь треугольника  равна площади треугольника . А так как эти треугольники являются основаниями пирамид  и , то такие пирамиды равновеликие, то есть их объёмы равны и в сумме дают объём верхней части .

Ответ: 1. ; 2. ; 3.; 4.

Пирамида, формула вычисления объёма пирамиды

Вычислить объём тела – это значит сравнить его с эталоном, например с кубическим сантиметром. Сравнение происходит с помощью формул.

Пирамида – это геометрическая фигура, которая состоит из многоугольника, точки, не лежащей в плоскости многоугольника и всех отрезков, соединяющих эту точку с точками многоугольника.

На рисунке 1 изображена пирамида SABCD. Точка S не лежит в плоскости основания (многоугольника ABCD) и соединена с вершинами многоугольника. Перпендикуляр SH – высота пирамиды.

Рис. 1. Пирамида

Формула для вычисления объёма пирамиды:

, где S – площадь основания пирамиды (ABCD), h – высота пирамиды ()

Если плоскость, тогда вершину S можно двигать по плоскости β в любом направлении, объём пирамиды при этом не изменится. Фигуры, у которых одинаковые объёмы, называются равновеликими. То есть пирамиды SABCD и  равновеликие.

Задача 3 (нахождение объёма пирамиды)

Стороны оснований правильной усечённой треугольной пирамиды равны  и , высота пирамиды равна 4. Найти объём данной пирамиды.

Дано: ; ; (рис. 5).

Найти:

Решение:

Вспомним формулу вычисления объёма усечённой пирамиды:

1.  , где   – высота усечённой пирамиды,  – площадь нижнего основания (),  – площадь верхнего основания ().

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

2. Дана правильная усечённая пирамида, следовательно, в основаниях лежат равносторонние треугольники. Площадь равностороннего треугольника равна:

 , где a – длина стороны треугольника

Площадь нижнего основания:

Площадь верхнего основания:

3. Подставляем известные значения в формулу объёма усечённой пирамиды:

Ответ:

Объем произвольной пирамиды

Расширим чуть-чуть принцип Кавальери. На самом деле, мы приблизим его к тому варианту, в котором его использовали сам Кавальери и его последователи.

Предположим, что при пересечении параллельными плоскостями двух тел все левые сечения  в  раз больше в правых  (см. рис. 67).

Рис. 67. Сечения  в  раз больше сечений

Тогда, по принципу Кавальери, и объем левого тела в  раз больше объема правого:

В частом случае, если все сечения равны (т. е. ), то равны и объемы тел.

Перейдем теперь к выводу формулы объема пирамиды. Рассмотрим произвольную пирамиду. Построим рядом с ней четырехугольную правильную пирамиду такой же высоты и стороной основания в два раза больше этой высоты (см. рис. 68). Объем такой пирамиды мы знаем:

Рис. 68. Произвольная пирамида и четырехугольная правильная, у которой такая же высота и сторона основания в два раза больше этой высоты

Площади оснований пирамид связаны соотношением:

А теперь самый важный момент в рассуждении. Если мы пересечем пирамиды плоскостью, параллельной основанию, то для полученных сечений это соотношение сохранится (см. рис. 69).

Рис. 69. Пересечение пирамид плоскостью, параллельной основанию

Это понятно из следующих наблюдений: производя сечение, мы получаем многоугольник, подобный основанию. Т. е. левое сечение подобно левому основанию, а правое сечение – правому основанию.

Секущая плоскость делит высоты пирамид в одинаковом соотношении, но тогда, по теореме Фалеса, в таком же отношении делится и каждое ребро обеих пирамид, в таком же отношении находятся и стороны малого, и большого многоугольника в каждой пирамиде. Т. е. сечения левой и правой пирамиды представляют собой основания, уменьшенные в одинаковое количество раз.

Но тогда во сколько раз различались площади оснований пирамид, во столько раз будут отличаться и площади сечений. Т. е. для всех таких сечений выполняется соотношение:

Тогда, по принципу Кавальери, во столько же раз различаются и объемы пирамид:

Но объем второй пирамиды мы знаем:

Итак, мы получили, что для любой пирамиды справедлива формула:

Пример 2

Пример 2. Вычислить объем правильного тетраэдра с ребром  (см. рис. 70).

Рис. 70. Иллюстрация к примеру 2

Решение

Здесь возникает интересная особенность в терминологии. Треугольная пирамида и тетраэдр – это одно и то же. Но правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр уже отличаются.

Правильной треугольной пирамидой мы называем пирамиду, в основании которой лежит равносторонний треугольник, а высота падает в его центр. При этом сама высота может быть любой. Иными словами, если правильную пирамиду растянуть вверх, она не перестанет быть правильной. У правильного тетраэдра все четыре грани являются равносторонними треугольниками (см. рис. 71). Конечно, эти треугольники равны друг другу (ответьте, почему).

Рис. 71. Правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр

Итак, у нас правильный тетраэдр. Все его ребра равны , а все грани – равносторонние треугольники. Т. к. тетраэдр – это пирамида, то его объем вычисляется по формуле:

В качестве основания мы можем принять любую грань – они все одинаковые. Площадь равностороннего треугольника мы уже считали:

Осталось найти высоту пирамиды. Она падает в центр основания, который является точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, а значит, делит каждую медиану в соотношении , считая от вершины.

Обозначим, чтобы не было путаницы, высоту пирамиды как , а высоту треугольника, лежащего в основании, как .

Рассмотрим отдельно основание пирамиды. Проведем в нем высоту  (см. рис. 72). Она находится как катет с гипотенузой  напротив угла в :

Рис. 72. Иллюстрация к примеру 2

Высоту  пирамиды мы можем найти из прямоугольного треугольника, образованного этой высотой, ребром и  медианы основания (см. рис. 73).

Рис. 73. Иллюстрация к примеру 2

Изобразим этот треугольник отдельно (см. рис. 74).

Рис. 74. Иллюстрация к примеру 2

Один его катет  – это  медианы основания, его длина равна:

По теореме Пифагора находим второй катет:

Мы нашли высоту тетраэдра, осталось вычислить его объем:

Ответ: .

Понятие о прямой призме

Перед определением объема любой пространственной фигуры важно четко разобраться, с чем предстоит иметь дело. В нашем случае мы рассмотрим прямую, или прямоугольную призму

Она представляет собой фигуру, состоящую из двух оснований и нескольких боковых граней, которые перпендикулярны этим основаниям. Оба основания представлены одним и тем же многоугольником и являются параллельными друг другу. Если количество граней многоугольника стремится к бесконечности, то такая прямая призма переходит в цилиндр.

Вопрос перпендикулярности боковых граней и оснований фигуры имеет принципиальное значение. Как будет показано ниже, именно от этого свойства зависит конечная формула для вычисления объема прямой, или прямоугольной призмы. Прямоугольной она называется потому, что боковые ее грани являются прямоугольниками.

Противоположностью прямоугольной призме является косоугольная. Как можно догадаться, отличие между ними заключается только в угле между боковыми гранями и основаниями. В косоугольной, или наклонной призме этот угол отличен от 90o.

На рисунке выше изображены две четырехугольные призмы, одна из которых является прямой (левая), а вторая — косоугольной.

Задача с правильной фигурой

Рассмотрев вопрос нахождения объема призмы четырехугольной с точки зрения теории, применим полученные знания на практике.

Известно, что правильный параллелепипед имеет длину диагонали основания, равную 12 см. Длина диагонали его боковой стороны составляет 20 см. Необходимо рассчитать объем параллелепипеда.

Обозначим диагональ основания символом da, а диагональ боковой грани — символом db. Для диагонали da справедливы выражения:

da = a*√2 =>

a = da/√2

Что касается величины db, то она является диагональю прямоугольника со сторонами a и b. Для нее можно записать следующие равенства:

db2 = a2 + b2 =>

b = √(db2 — a2)

Подставляя в последнее равенство найденное выражение для a, получим:

b = √(db2 — da2/2 )

Теперь можно подставить полученные формулы в выражение для объема правильной фигуры:

V = a2*b = da2/2*√(db2 — da2/2)

Заменив da и db числами из условия задачи, приходим к ответу: V ≈ 1304 см3.

Выпуклые и невыпуклые многогранники

Для успешного изучения свойств многогранников их нужно классифицировать и выбрать для начала самые простые, на которые можно будет разбить более сложные.

Подход такой же, какой был с многоугольниками в планиметрии (начали с треугольников).

Когда мы начали классифицировать многоугольники, то разделили их на два типа:

выпуклые и невыпуклые. Выпуклость многоугольника означала, что если через любую его сторону провести прямую, то весь многоугольник будет лежать с одной стороны от этой прямой (см. рис. 18). А у невыпуклого хотя бы одна из таких прямых разбивает многоугольник на части (см. рис. 19). Иначе это же свойство формулировалось так: если для любых двух точек, лежащих внутри многоугольника, отрезок, их соединяющий, тоже целиком лежит внутри, то такой многоугольник выпуклый.

Рис. 18. Выпуклый многоугольник

Рис. 19. Невыпуклый многоугольник

Ровно такой же подход используется в случае многогранников. Их точно так же делят на две группы: выпуклые и невыпуклые. Если в многограннике провести плоскость через любую грань и весь многогранник всегда будет оставаться с одной стороны, то его будут называть выпуклым (см. рис. 20). Если хотя бы одна такая плоскость разрезает многогранник, то он невыпуклый (см. рис. 21). Либо можно использовать второе определение, как и в случае многоугольников. У выпуклого многогранника вместе с любыми двумя точками, ему принадлежащими, ему принадлежит и весь отрезок, их соединяющий.

Рис. 20. Выпуклый многогранник

Рис. 21. Невыпуклый многогранник

В дальнейшем мы будем заниматься только выпуклыми многогранниками как более простыми для изучения.

Среди выпуклых многогранников мы выделим две группы наиболее простых и одновременно изучаемых (т. е. тех, о свойствах которых мы можем сделать какие-то полезные выводы): призмы и пирамиды (см. рис. 22). Это не значит, что других выпуклых многогранников не бывает. Бывают

Мы с некоторыми познакомимся, но основное внимание уделим именно призмам и пирамидам

Рис. 22. Призма и пирамида

Какие прямоугольные призмы бывают?

Различие между всеми прямыми призмами заключается в типе многоугольника, образующего основания фигур. Многоугольником с наименьшим количеством сторон является треугольник. Призма, которая построена с помощью него, будет называться треугольной. Аналогичным образом фигура с четырехугольными основаниями получит название призмы четырехугольной. Рассуждая таким образом, можно сказать, что n-угольная прямая призма образована двумя n-угольниками и n прямоугольниками.

В предыдущем абзаце при рассмотрении названий призм использовались произвольные треугольники, четырехугольники и n-угольники. Если же рассматривается правильный многоугольник, то образованная им призма также будет называться правильной. Например, для n = 3 правильным многоугольником является равносторонний треугольник, а для n = 4 – квадрат.

Выше на рисунке изображены 6 правильных прямоугольных призм. Каждая предыдущая отличается от последующей наличием в основаниях многоугольника, у которого на 1 вершину и 1 сторону больше. Первая призма является правильной треугольной, а последняя – правильной восьмиугольной.

Что такое шестиугольная призма?

Коротко отвечая на поставленный вопрос, следует сказать, что любая призма, имеющая в основании плоский многоугольник с шестью углами и шестью сторонами, называется шестиугольной. Этот многоугольник называется основанием фигуры. Рисунок ниже показывает, как выглядит такая призма.

Видно, что фигура образована двумя одинаковыми шестиугольными основаниями, которые расположены в параллельных плоскостях. Соединены они с помощью шести параллелограммов. Призма имеет 8 граней, 18 ребер и 12 вершин.

Если все параллелограммы, которые образуют боковую поверхность, представляют собой прямоугольники или квадраты, то фигура будет прямой. У прямой призмы расстояние между основаниями (высота) совпадает с длиной бокового ребра. Если основания прямой фигуры являются равносторонними и равноугольными, то можно говорить о правильной шестиугольной призме.

Призма, формула вычисления объёма призмы

Призма – это многогранник, основаниями которого являются равные многоугольники, а боковыми гранями – параллелограммы.

На рисунке 2 изображена наклонная призма. Многогранники  и  в основаниях лежат в параллельных плоскостях, равны и расположены так, что боковые рёбра () между собой параллельны.

Рис. 2. Наклонная призма

Формула для вычисления объёма призмы:

 , где S – площадь основания ( или ), h – высота между основаниями, которая получается при опускании перпендикуляра из любой точки основания на плоскость, в которой лежит другое основание этой призмы ().

Если мы рассмотрим пирамиду , то её объём будет равен:

, где V­ – объём призмы

Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности призмы

Призма Рисунок Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности
Куб
  • V = a3,
  • Sбок = 4a2,
  • Sполн = 6a2,
  • где  a – длина ребра куба.
Прямоугольный параллелепипед
  1. V = abc,
  2. Sбок = 2ac + 2bc,
  3. Sполн = 2ac + 2bc +2ab,
  4. где a, b  – длины ребер основания параллелепипеда,c — высота параллелепипеда.
Прямой параллелепипед,в основании которого лежит параллелограмм со сторонами   a, b и углом φ
  • Sосн = ab sin φ,
  • V = Sосн h = abh sin φ,
  • Sбок = 2ah + 2bh,
  • Sполн = 2ab sin φ + 2ah +2bh,
  • где a, b – длины ребер основания параллелепипеда,φ – угол между ребрами основания параллелепипеда,h — высота параллелепипеда.
Произвольный параллелепипед
  1. Sосн = ab sin φ,
  2. V = Sосн h = abh sin φ,
  3. V = Sперп с,
  4. Sбок = Pперп с,
  5. Sполн = 2ab sin φ + Pперп с,
  6. где a, b – длины ребер основания параллелепипеда,φ – угол между ребрами основания параллелепипеда,c – длина бокового ребра параллелепипеда,h — высота параллелепипеда.
Прямая призма
  • V = Sосн h,
  • Sбок = Pосн h,
  • Sполн = 2Sосн + Sбок,
  • где h — высота прямой призмы.
Правильнаяn – угольная призма
  1. V = Sосн h,
  2. Sбок = Pосн h = anh,
  3. Sполн = 2Sосн + Sбок,

где a – длина ребра основания правильной призмы,h — высота правильной призмы.

Произвольная призма
  • V = Sосн h,
  • V = Sперп l,
  • Sбок = Pперп l,
  • Sполн = 2Sосн + Sбок,
  • где l – длина бокового ребра призмы,h — высота призмы.
Куб
Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

  1. V = a3,
  2. Sбок = 4a2,
  3. Sполн = 6a2,
  4. где  a  – длина ребра куба.
Прямоугольный параллелепипед
Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

  • V = abc,
  • Sбок = 2ac + 2bc,
  • Sполн = 2ac + 2bc +2ab,
  • где a, b  – длины ребер основания параллелепипеда,c — высота параллелепипеда.
Прямой параллелепипед, в основании которого лежит параллелограмм со сторонами   a, b и углом φ
Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

  1. Sосн = ab sin φ,
  2. V = Sосн h = abh sin φ,
  3. Sбок = 2ah + 2bh,
  4. Sполн == 2ab sin φ + 2ah + 2bh,
  5. где a, b – длины ребер основания параллелепипеда,φ – угол между ребрами основания параллелепипеда,h — высота параллелепипеда.
Произвольный параллелепипед
Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

  • Sосн = ab sin φ,
  • V = Sосн h = abh sin φ,
  • V = Sперп с,
  • Sбок = Pперп с,
  • Sполн == 2ab sin φ + Pперп с,
  • где a, b – длины ребер основания параллелепипеда,φ – угол между ребрами основания параллелепипеда,c – длина бокового ребра параллелепипеда,h — высота параллелепипеда.
Прямая призма
Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

  1. V = Sосн h,
  2. Sбок = Pосн h,
  3. Sполн = 2Sосн + Sбок,
  4. где h — высота прямой призмы.
Правильная n – угольная призма
Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

  • (см. раздел «правильные многоугольники»),
  • V = Sосн h,
  • Sбок = Pосн h = anh,
  • Sполн = 2Sосн + Sбок,
  • где a – длина ребра основания правильной призмы,h — высота правильной призмы.
Произвольная призма
  1. Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:
  2. V = Sосн h,
  3. V = Sперп l,
  4. Sбок = Pперп l,
  5. Sполн = 2Sосн + Sбок,
  6. гдеl – длина бокового ребра призмы,h — высота призмы.
Ссылка на основную публикацию