Длина ребер тетраэдра

Выпуклые и невыпуклые многогранники

Для успешного изучения свойств многогранников их нужно классифицировать и выбрать для начала самые простые, на которые можно будет разбить более сложные.

Подход такой же, какой был с многоугольниками в планиметрии (начали с треугольников).

Когда мы начали классифицировать многоугольники, то разделили их на два типа:

выпуклые и невыпуклые. Выпуклость многоугольника означала, что если через любую его сторону провести прямую, то весь многоугольник будет лежать с одной стороны от этой прямой (см. рис. 18). А у невыпуклого хотя бы одна из таких прямых разбивает многоугольник на части (см. рис. 19). Иначе это же свойство формулировалось так: если для любых двух точек, лежащих внутри многоугольника, отрезок, их соединяющий, тоже целиком лежит внутри, то такой многоугольник выпуклый.

Рис. 18. Выпуклый многоугольник

Рис. 19. Невыпуклый многоугольник

Ровно такой же подход используется в случае многогранников. Их точно так же делят на две группы: выпуклые и невыпуклые. Если в многограннике провести плоскость через любую грань и весь многогранник всегда будет оставаться с одной стороны, то его будут называть выпуклым (см. рис. 20). Если хотя бы одна такая плоскость разрезает многогранник, то он невыпуклый (см. рис. 21). Либо можно использовать второе определение, как и в случае многоугольников. У выпуклого многогранника вместе с любыми двумя точками, ему принадлежащими, ему принадлежит и весь отрезок, их соединяющий.

Рис. 20. Выпуклый многогранник

Рис. 21. Невыпуклый многогранник

В дальнейшем мы будем заниматься только выпуклыми многогранниками как более простыми для изучения.

Среди выпуклых многогранников мы выделим две группы наиболее простых и одновременно изучаемых (т. е. тех, о свойствах которых мы можем сделать какие-то полезные выводы): призмы и пирамиды (см. рис. 22). Это не значит, что других выпуклых многогранников не бывает. Бывают

Мы с некоторыми познакомимся, но основное внимание уделим именно призмам и пирамидам

Рис. 22. Призма и пирамида

Формула вычисления объема правильного тетраэдра

Найти или рассчитать объем правильного тетраэдра можно двумя способами как по общепринятой формуле для всех видов тетраэдра, так и по иной формуле только для правильного тетраэдра.

Объем правильного тетраэдра находится согласно следующей формуле:

V = √2/12 *а^3.

При этом а является длинной ребра нашей фигуры.

Но бывают случаи, когда в начальном условии не указана длина ребра тетраэдра. В такой ситуации найти объем фигуры весьма легко, нужно лишь использовать формулу, которая подходит для решения данной задачи.

Для начала давайте обозначим все исходные условия.

  • S – площадь
  • h – высота, опущенная на грань

В данной ситуации объем правильного тетраэдра необходимо находить по следующей формуле:

V=1/3*S*h

Хотя, если Вам известен угол, расположенный между двумя гранями тетраэдра и непосредственно площади данных граней, то решить задачу можно совершенно иным способом. Формула для вычисления объема фигуры будет иметь следующий вид:

V = sin

Как Вы можете видеть, казалось бы сложная задача, решается формулой, записанной всего лишь одной строчкой.

Иногда могут встречать и другие ситуации. Например, нам дали правильный тетраэдр, вершины которого заданы в декартовой системе координат. Для нахождения объема правильного тетраэдра в этой задаче, необходимо решить матрицу.

В этом случае в качестве первоначального условия нам известны лишь координаты вершин: для первой значения (х1, y1, z1), для второй соответствует значение (x2, у2, z2), для третьей (x3, у3, z3) и соответственно для четвертой (x4, у4, z4).

Формулы между собой достаточно различаются, поэтому прежде чем Вы приступите к решению задачи, внимательно ознакомьтесь с начальными условиями, чтобы выбрать правильную формулу.

Для нахождения объему любого тетраэдра можно использовать общую формулу:

V=1/6*а*b*с*sin?

Где а и b являются длинами ребер, которые между собой скрещиваются, а c является расстоянием между прямыми, содержащих их, ? – это угол между прямыми.

Как увеличится объем тетраэдра если ребра увеличить/уменьшить в 2 раза

Поскольку объем вычисляется по формуле:

V = √2/12 *а^3

где а – величина ребра в принятых единицах измерения, то при увеличении ребер в два раза будут составлять 2 в кубе = 8. то есть правильным ответом будет: в восемь раз.

Другими словами увеличение либо уменьшение объема правильного тетраэдра пропорционально кубу увеличения либо уменьшения его ребра.

8.5. Правильный тетраэдр

Применение формул последнего параграфа к правильному тетраэдру позволяет получить ряд интересных соотношений для последнего. В этом параграфе мы приведем полученные формулы для данного конкретного случая и, кроме того, найдем выражения для некоторых характеристик правильного тетраэдра, таких как, например, объем, площадь полной поверхности и т. п.

Следуя обозначениям предыдущего параграфа, рассмотрим правильный тетраэдр SA1A2A3 с длиной ребра a. Обозначения для его углов оставим теми же и вычислим их.

Рисунок 8.5.1

В правильном треугольнике
длина высоты равна
Так как этот треугольник является правильным, то его высота одновременно является биссектрисой и медианой. Медианы, как известно, точкой своего пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. Несложно найти и точку пересечения медиан. Так как тетраэдр правильный, то этой точкой будет точка O – центр правильного треугольника
Основание высоты правильного тетраэдра, опущенной из точки S, также проектируется в точку O. Значит,
В правильном треугольнике
длина апофемы тетраэдра равна
Применим теорему Пифагора для Δ SBO:
Отсюда
Таким образом, высота правильного тетраэдра равна

Площадь правильного треугольника – основания тетраэдра –
Значит, объем правильного тетраэдра равен

Площадь полной поверхности тетраэдра в четыре раза больше площади его основания:

Двугранный угол при боковой грани для правильного тетраэдра, очевидно, равен углу наклона боковой грани к плоскости основания:

Плоский угол при вершине правильного тетраэдра равен

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания можно найти из  

Радиус вписанной сферы для правильного тетраэдра можно найти по известной формуле
связывающей его с объемом и площадью полной поверхности тетраэдра (отметим, что последняя формула справедлива для любого многогранника, в который можно вписать сферу). В нашем случае имеем

Найдем радиус описанной сферы. Центр сферы, описанной около правильного тетраэдра, лежит на его высоте, так как именно прямая SO перпендикулярна плоскости основания и проходит через его центр, а на этой прямой должна лежать точка, равноудаленная от всех вершин основания тетраэдра. Пусть это точка
тогда
Имеем
Применим теорему Пифагора к треугольникам
и

Интересно вычислить
то есть тот угол, под которым видно ребро правильного тетраэдра из центра описанной сферы. Найдем его:

Значит,
Это знакомая нам величина из курса химии: это угол между связями С–Н в молекуле метана, который удается очень точно измерить в эксперименте, а поскольку ни один атом водорода в молекуле СН4, очевидно, ничем не выделен, то разумно предположить, что эта молекула имеет форму правильного тетраэдра. Этот факт подтверждается фотографиями молекулы метана, полученными при помощи электронного микроскопа.


Рисунок 8.5.2

Главная 
 Онлайн учебники 
 Подготовка по всем предметам онлайн 
 Подготовка к ЕГЭ онлайн

Призма

Возьмем два равных многоугольника и расположим один строго над другим, вершина над вершиной. Соединим попарно соответствующие вершины многоугольников. Полученный многогранник называется прямой призмой (см. рис. 23).

Рис. 23. Прямая призма

Две грани, образованные равными многоугольниками, называются нижним основанием и верхним основанием. Остальные грани называются боковыми гранями. Все боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками. Боковые ребра равны друг другу и вертикальны.

Теперь сдвинем верхнее основание (крышку) в сторону, но без поворота и наклона. Боковые ребра наклонятся в одну сторону, но сохранят параллельность друг другу. Боковые грани теперь не прямоугольники, а параллелограммы. Получившийся многогранник называется наклонной призмой (см. рис. 24).

Рис. 24. Наклонная призма

Если мы повернем одно основание относительно другого, перекрутим нашу призму, то она перестанет считаться призмой (см. рис. 25). Более того, если хорошо присмотреться, то наш многогранник перестает быть даже выпуклым. Такие многогранники мы рассматривать уже не будем.

Рис. 25. Пример многогранника, не являющегося призмой

Дадим строгое определение: призма – это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани – параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.

Многоугольник, лежащий в основании, определяет название призмы. Например, если лежит треугольник – треугольная призма, четырехугольник – четырехугольная; -угольник – -угольная (см. рис. 26).

Рис. 26. Треугольная, четырехугольная, -угольная призмы

Не путайте количество вершин у призмы и количество вершин у одного основания.

У -угольной призмы  вершины:  снизу и  сверху.

Если в основании призмы лежит правильный многоугольник, а сама призма прямая, то призма называется правильной. Например, если в основании прямой призмы лежит правильный (равносторонний) треугольник, то мы имеем дело с правильной треугольной призмой (см. рис. 27). Если в основании прямой призмы лежит правильный четырехугольник (квадрат), то призма называется правильной четырехугольной (см. рис. 28).

Рис. 27. Правильная треугольная призма

Рис. 28. Правильная четырехугольная призма

Объем произвольной пирамиды

Расширим чуть-чуть принцип Кавальери. На самом деле, мы приблизим его к тому варианту, в котором его использовали сам Кавальери и его последователи.

Предположим, что при пересечении параллельными плоскостями двух тел все левые сечения  в  раз больше в правых  (см. рис. 67).

Рис. 67. Сечения  в  раз больше сечений

Тогда, по принципу Кавальери, и объем левого тела в  раз больше объема правого:

В частом случае, если все сечения равны (т. е. ), то равны и объемы тел.

Перейдем теперь к выводу формулы объема пирамиды. Рассмотрим произвольную пирамиду. Построим рядом с ней четырехугольную правильную пирамиду такой же высоты и стороной основания в два раза больше этой высоты (см. рис. 68). Объем такой пирамиды мы знаем:

Рис. 68. Произвольная пирамида и четырехугольная правильная, у которой такая же высота и сторона основания в два раза больше этой высоты

Площади оснований пирамид связаны соотношением:

А теперь самый важный момент в рассуждении. Если мы пересечем пирамиды плоскостью, параллельной основанию, то для полученных сечений это соотношение сохранится (см. рис. 69).

Рис. 69. Пересечение пирамид плоскостью, параллельной основанию

Это понятно из следующих наблюдений: производя сечение, мы получаем многоугольник, подобный основанию. Т. е. левое сечение подобно левому основанию, а правое сечение – правому основанию.

Секущая плоскость делит высоты пирамид в одинаковом соотношении, но тогда, по теореме Фалеса, в таком же отношении делится и каждое ребро обеих пирамид, в таком же отношении находятся и стороны малого, и большого многоугольника в каждой пирамиде. Т. е. сечения левой и правой пирамиды представляют собой основания, уменьшенные в одинаковое количество раз.

Но тогда во сколько раз различались площади оснований пирамид, во столько раз будут отличаться и площади сечений. Т. е. для всех таких сечений выполняется соотношение:

Тогда, по принципу Кавальери, во столько же раз различаются и объемы пирамид:

Но объем второй пирамиды мы знаем:

Итак, мы получили, что для любой пирамиды справедлива формула:

Пример 2

Пример 2. Вычислить объем правильного тетраэдра с ребром  (см. рис. 70).

Рис. 70. Иллюстрация к примеру 2

Решение

Здесь возникает интересная особенность в терминологии. Треугольная пирамида и тетраэдр – это одно и то же. Но правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр уже отличаются.

Правильной треугольной пирамидой мы называем пирамиду, в основании которой лежит равносторонний треугольник, а высота падает в его центр. При этом сама высота может быть любой. Иными словами, если правильную пирамиду растянуть вверх, она не перестанет быть правильной. У правильного тетраэдра все четыре грани являются равносторонними треугольниками (см. рис. 71). Конечно, эти треугольники равны друг другу (ответьте, почему).

Рис. 71. Правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр

Итак, у нас правильный тетраэдр. Все его ребра равны , а все грани – равносторонние треугольники. Т. к. тетраэдр – это пирамида, то его объем вычисляется по формуле:

В качестве основания мы можем принять любую грань – они все одинаковые. Площадь равностороннего треугольника мы уже считали:

Осталось найти высоту пирамиды. Она падает в центр основания, который является точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, а значит, делит каждую медиану в соотношении , считая от вершины.

Обозначим, чтобы не было путаницы, высоту пирамиды как , а высоту треугольника, лежащего в основании, как .

Рассмотрим отдельно основание пирамиды. Проведем в нем высоту  (см. рис. 72). Она находится как катет с гипотенузой  напротив угла в :

Рис. 72. Иллюстрация к примеру 2

Высоту  пирамиды мы можем найти из прямоугольного треугольника, образованного этой высотой, ребром и  медианы основания (см. рис. 73).

Рис. 73. Иллюстрация к примеру 2

Изобразим этот треугольник отдельно (см. рис. 74).

Рис. 74. Иллюстрация к примеру 2

Один его катет  – это  медианы основания, его длина равна:

По теореме Пифагора находим второй катет:

Мы нашли высоту тетраэдра, осталось вычислить его объем:

Ответ: .

Многогранник

Итак, точки, прямые, плоскости достаются нам в наследство из планиметрии. Новыми объектами будут многогранники, которые имеют прямую аналогию с многоугольниками.

Многоугольник представляет собой часть плоскости, ограниченной пересекающимися прямыми (см. рис. 6). Отрезки этих прямых называются сторонами многоугольника. Точки пересечения – вершинами. Аналогично образуются многогранники.

Рис. 6. Многоугольник

Если несколько плоскостей, пересекаясь, отделили область пространства, то она и называется многогранником (см. рис. 7, 8). Части плоскостей называются гранями. Отрезки, по которым они пересекаются, называются ребрами. А точки, куда сходятся ребра, называются вершинами.

Рис. 7. Плоскости, пересекаясь, отделили область пространства – многогранник  (треугольную пирамиду)

Рис. 8. Треугольная пирамида

Прямая, плоскость, пространство

Вспомним, что сначала мы рассматривали прямую (одномерное пространство) (см. рис. 2). На ней у нас основными фигурами были отрезки, их мы характеризовали длиной.

Рис. 2. Прямая

Затем мы рассмотрели плоскость – бесконечное множество прямых (см. рис. 3). Здесь разнообразие фигур существенно увеличилось и появились новые характеристики: длина границы (периметр) и площадь.

Рис. 3. Плоскость

Теперь мы рассмотрим пространство – бесконечное множество плоскостей (см. рис. 4). В качестве геометрических фигур будут выступать преимущественно различные тела, которые мы будем характеризовать площадью границы (площадь поверхности) и объемом.

Рис. 4. Пространство

Очень многие объекты стереометрии имеют аналоги в планиметрии. Например: куб и квадрат, шар и круг (соответственно, их границы: сфера и окружность) (см. рис. 5). Кроме того, конечно, все плоские фигуры продолжают существовать и в трехмерном пространстве: точка, прямая, плоскость остаются и в стереометрии основными неопределяемыми понятиями. Но теперь различных плоскостей существует бесконечное число.

Рис. 5. Куб и квадрат; шар и круг

При этом, если мы выберем конкретную плоскость и на ней будут лежать какие-либо знакомые нам уже фигуры: точки, прямые, многоугольники, то мы получим планиметрию в миниатюре и будем применять на этой плоскости все наши знания, полученные ранее. Этот стандартный прием мы будем часто использовать при решении стереометрических задач – свести их к одной или нескольким планиметрическим, которые мы уже умеем решать (так называемый принцип «вылить воду из чайника»).

Ссылка на основную публикацию