Периметр треугольника p можно определить по формуле р=а+b+c ,где а,b,с -длины сторон. а)найдите периметр треугольника ,если его стороны равны 4см,5см,3см ; 7см,9см,11см. б) найдите неизвестную сторону треугольника ,если р=18 см,b=6 см,с=7 см ; р=9 см, а=8

Площадь

Для измерения треугольника можно сравнить его с параллелограммом. Рассмотрим треугольник ABC:

Если взять равный ему треугольник и приставить его так, чтобы получился параллелограмм, то получится параллелограмм с той же высотой и основанием, что и у данного треугольника:

В данном случае общая сторона сложенных вместе треугольников является диагональю образованного параллелограмма. Из свойства параллелограммов известно, что диагональ всегда делит параллелограмм на два равных треугольника, значит площадь каждого треугольника равна половине площади параллелограмма.

Так как площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, то площадь треугольника будет равна половине этого произведения. Значит для ΔABC площадь будет равна

AC · BD
2

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник:

Два равных прямоугольных треугольника можно сложить в прямоугольник, если прислонить их друг к другу гипотенузой. Так как площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, то площадь данного треугольника равна:

AC · AB
2

Из это можно сделать вывод, что площадь любого прямоугольного треугольника равна произведению катетов, разделённому на 2.

Из данных примеров можно сделать вывод, что площадь любого треугольника равна произведению длин основания и высоты, опущенной на основание, разделённому на 2. Общая формула для нахождения площади треугольников будет выглядеть так:

S = aha
2

где S – это площадь треугольника, a – его основание, ha – высота, опущенная на основание a.

Полупериметр

Если периметр – это сумма длин всех сторон фигуры, то полупериметр – сумма одной длины и одной ширины. Мы находим полупериметр, когда работаем по формуле нахождения периметра прямоугольника (когда мы выполняем первое действие в скобках – (a+b)).

Список литературы

  1. Александрова Э.И. Математика. 2 класс. – М.: Дрофа, 2004.
  2. Башмаков М.И., Нефёдова М.Г. Математика. 2 класс. – М.: Астрель, 2006.
  3. Дорофеев Г.В., Миракова Т.И. Математика. 2 класс. – М.: Просвещение, 2012.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Festival.1september.ru (Источник).
  2. Nsportal.ru (Источник).
  3. Math-prosto.ru (Источник).

Домашнее задание

  1. Найти периметр прямоугольника, у которого длина 13 метров, а ширина – 7 метров.
  2. Найти полупериметр прямоугольника, если его длина – 8 см, а ширина – 4 см.
  3. Найти периметр прямоугольника, если его полупериметр – 21 дм.

Треугольник прямоугольный

Главным отличием прямоугольного треугольника от других геометрических фигур этой категории является наличие угла 90°. По этому признаку и определяется вид фигуры. Прежде, чем определить, как найти периметр прямоугольного треугольника, стоит заметить, что данная величина для любой плоской геометрической фигуры составляет сумму всех сторон. Так и в этом случае самый простой способ узнать результат – суммировать три величины.

В научной терминологии те стороны, которые прилегают к прямому углу, имеют название «катеты», а противоположная к углу 90º – гипотенуза. Особенности этой фигуры исследовались еще древнегреческим ученым Пифагором. Согласно с теоремой Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

На основании данной теоремы выведена еще одна формула, объясняющая, как найти периметр треугольника по двум известным сторонам. Рассчитать периметр при указанной длине катетов можно, используя следующий способ.

Чтобы узнать периметр, имея информацию о размере одного катета и гипотенузы, нужно определить длину второй гипотенузы. С этой целью используют такие формулы:

Также периметр описанного вида фигуры определяется и без данных о размерах катетов.

Вам потребуется знать длину гипотенузы, а также угол, прилегающий к ней. Зная длину одного из катетов, если имеется угол, прилегающий к нему, периметр фигуры рассчитывают по формуле:

Треугольник, у которого есть угол 90°

Его называют прямоугольным. Наличие прямого угла дает возможность находить неизвестные стороны, пользуясь определением тригонометрических функций и теоремой Пифагора. Самая длинная сторона называется гипотенуза и обозначается c. Имеются еще две стороны, a и b. Следуя теореме, носящей имя Пифагора, имеем c2 = a2 + b2. Катеты a = √ (c2 – b2) и b = √ (c2 – а2). Зная длину двух катетов a и b, вычисляем гипотенузу. Затем находим сумму сторон фигуры, сложив эти значения. Задание: Катеты прямоугольного треугольника имеют длину 8,3 сантиметра и 6,2 сантиметра. Периметр треугольника нужно вычислить. Решаем: Обозначим катеты a = 8,3 см, b = 6,2 см. За теоремой Пифагора гипотенуза c = √ (8,32 + 6,22) = √ (68,89 + 38,44) = √107,33 = 10,4 (см). P = 24,9 (см). Или P = 8,3 + 6,2 + √ (8,32 + 6,22) = 24,9 (см). Ответ: P = 24,9 см. Значения корней брали с точностью до десятых. Если нам известны значения гипотенузы и катета, то значение Р получим, вычислив Р=√ (c2 – b2) + b + c. Задача 2: Отрезок земельного участка, лежащий против угла в 90 градусов, 12 км, один из катетов – 8 км. За какое время можно обойти весь участок, если двигаться со скоростью 4 километра в час? Решение: если наибольший отрезок — 12 км, меньший b = 8 км, то длина всего пути составит P = 8 + 12 + √ (122 – 82) = 20 + √80 = 20 + 8,9 = 28,9 (км). Время найдем, разделив путь на скорость. 28,9:4 = 7,225 (ч). Ответ: можно обойти за 7,3 ч. Значение квадратных корней и ответа берем с точностью до десятых. Можно найти сумму сторон прямоугольного треугольника, если дана одна из сторон и значение одного из острых углов. Зная длину катета b и значение противолежащего ему угла β, найдем неизвестную сторону a = b/ tg β. Находим гипотенузу c = a: sinα. Периметр такой фигуры находим, сложив полученные значения. P = a + a/ sinα + a/ tg α, или P = a(1 / sin α+ 1+1 / tg α). Задание: В прямоугольном Δ АВС с прямым углом С катет ВС имеет длину 10 м, угол А – 29 градусов. Нужно найти сумму сторон Δ АВС. Решение: Обозначим известный катет ВС = a = 10 м, угол, лежащий напротив него, ∟А = α = 30°, тогда катет АС = b = 10: 0,58 = 17,2 (м), гипотенуза АВ = c = 10: 0,5 = 20 (м). Р = 10 + 17,2 + 20 = 47,2 (м). Или Р = 10 · (1 + 1,72 + 2) = 47,2 м. Имеем: P = 47,2 м. Значение тригонометрических функций берем с точностью до сотых, значение длины сторон и периметра округляем до десятых. Имея значение катета α и прилежащего угла β, узнаем, чему равен второй катет: b = a tg β. Гипотенуза в таком случае будет равна катету, разделенному на косинус угла β. Периметр узнаем по формуле P = a + a tg β + a: cos β = (tg β + 1+1: cos β)·a. Задание: Катет треугольника с углом 90 градусов 18 см, прилежащий угол – 40 градусов. Найти P. Решение: Обозначим известный катет ВС = 18 см, ∟β = 40°. Тогда неизвестный катет АС = b = 18 · 0,83 = 14,9 (см), гипотенуза АВ = c = 18: 0,77 = 23,4 (см). Сумма сторон фигуры равна Р = 56,3 (см). Или Р = (1 + 1,3+0,83)*18 = 56,3 см. Ответ: P = 56,3 см. Если известна длина гипотенузы c и какой-нибудь угол α, то катеты будут равны произведению гипотенузы для первого – на синус и для второго – на косинус этого угла. Периметр этой фигуры P = (sin α + 1+ cos α)*c. Задание: Гипотенуза прямоугольного треугольника АВ = 9,1 сантиметр, а угол 50 градусов. Найти сумму сторон данной фигуры. Решение: Обозначим гипотенузу: AB = c = 9,1 см, ∟A= α = 50°, тогда один из катетов BC имеет длину a = 9,1 · 0,77 = 7 (см), катет АС = b = 9,1 · 0,64 = 5,8 (см). Значит периметр этого многоугольника равен P = 9,1 + 7 + 5,8 = 21,9 (см). Или P = 9,1·(1 + 0,77 + 0,64) = 21,9 (см). Ответ: P = 21,9 сантиметров.

Третий метод: по двум граням и углу между ними

В старшей школе, а также университете, чаще всего приходится обращаться именно к данному способу нахождения периметра. Если условиями задачи заданы длины двух сторон, а также размерность угла между ними, то необходимо воспользоваться теоремой косинусов.

Данная теорема применима абсолютно к любому треугольнику, что и делает ее одной из наиболее полезных в геометрии. Сама теорема выглядит следующим образом: c^2 = a^2 + b^2 — (2 * a * b * cos(C)), где a,b,c — стандартно длины граней, а A,B и С — это углы, которые лежат напротив соответствующих граней треугольника. То есть, A — угол, противолежащий стороне a и так далее.

Представим, что описан треугольник, стороны а и б которого составляют 100 см и 120 см соответственно, а угол, лежащий между ними, составляет 97 градусов. То есть а = 100 см, б = 120 см, C = 97 градусов.

Все, что нужно сделать в данном случае — это подставить все известные значения в теорему косинусов. Длины известных граней возводятся в квадрат, после чего известные стороны перемножаются между друг другом и на два и умножаются на косинус угла между ними. Далее, необходимо сложить квадраты граней и отнять от них второе полученное значение. Из итоговой величины извлекается квадратный корень — это будет третья, неизвестная до этого сторона.

После того как все три грани фигуры известны, осталось воспользоваться уже полюбившейся нам стандартной формулой поиска периметра описываемой фигуры из первого метода.

Задача решена.

Задача 1: подсчет периметра прямоугольника

Рассмотрим следующую задачу:

Задача 1 (рис. 2)

Вокруг земельного участка строителям понадобилось поставить забор. Ширина этого участка – 5 метров, длина – 10 метров. Забор какой длины получится у строителей?

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 1

Забор ставят по границам участка, поэтому, чтобы узнать длину забора, нужно знать длину каждой из сторон. У данного прямоугольника стороны равны: 5 метров, 10 метров, 5 метров, 10 метров. Составим выражение для подсчета длины забора: 5+10+5+10. Воспользуемся переместительным законом сложения: 5+10+5+10=5+5+10+10. В данном выражении есть суммы одинаковых слагаемых (5+5 и 10+10). Заменим суммы одинаковых слагаемых произведениями: 5+5+10+10=5·2+10·2. Теперь воспользуемся распределительным законом умножения относительно сложения: 5·2+10·2=(5+10)·2.

Найдем значение выражения (5+10)·2. Сначала выполняем действие в скобках: 5+10=15. А затем повторяем число 15 два раза: 15·2=30.

(5+10)·2=30

Ответ: 30 метров.

Периметр по двум сторонам

Для расчета периметра не обязательно знать все данные геометрической фигуры. Рассмотрим способы расчета по двум сторонам.

Равнобедренный треугольник

Равнобедренным называется такой треугольник, не меньше двух сторон которого имеют одинаковую длину. Они называются боковыми, а третья сторона – основанием. Равные прямые образовывают вершинный угол. Особенностью в равнобедренном треугольнике является наличие одной оси симметрии. Ось – вертикальная линия, выходящая из вершинного угла и заканчивающаяся посредине основания. По своей сути ось симметрии включает в себя такие понятия:

  • биссектриса вершинного угла;
  • медиана к основанию;
  • высота треугольника;
  • срединный перпендикуляр.

Чтобы определить периметр равнобедренного вида треугольной фигуры, воспользуйтесь формулой.

P = 2a + b.

В данном случае вам необходимо знать только две величины: основание и длину одной стороны. Обозначение «2а» подразумевает умножение длины боковой стороны на 2. К полученной цифре нужно добавить величину основания – «b».

В исключительном случае, когда длина основания равнобедренного треугольника равна его боковой прямой, можно воспользоваться более простым способом. Он выражается в следующей формуле:

P = 3a.

Для получения результата достаточно умножить это число на три. Эта формула используется для того, чтобы найти периметр правильного треугольника.

Задача 2

Если в задаче дается острый угол прямоугольного треугольника, значит в любом случае в решении нужно использовать тригонометрические функции. Иначе для нахождения результата просто не хватит данных.

В этой задаче есть два возможных варианта. Острый угол может быть расположен у известного катета, а может противолежать ему. В любом случае придется использовать тригонометрические функции, но результаты могут разница. Обычно в задаче этот момент прописывается, но иногда от решающего требуется предоставить оба варианта решения. Это ясно из условия, в котором не говорится, какой из острых углов дан.

Рассмотрим вариант, при котором дан острый угол при известном катете. Тогда воспользуемся функцией косинуса:

$$Cos(BAC)={AB\over AC}={\sqrt{3}\over2}$$

$$AC={AB\over {cos(BAC)}}$$

$$AC={8\over{\sqrt{3}\over 2}}={16\over\sqrt{3}}=9,24$$ – значение округлим до сотых

BC найдем через значение тангенса.

$$tg(BAC)={BC\over AB}={1\over\sqrt{3}}$$

$$BC=AB*{1\over\sqrt{3}}={AB\over\sqrt{3}}$$

$$BC={8\over\sqrt{3}}=4,62$$

Вычисление периметра произведем по общей формуле:

P=8+9,24+4,62=21,86

Если острый угол противолежит известному катету, то решение будет выглядеть немного иначе.

Найдем BC через значение тангенса.

$$tg(ACB)={AB\over BC}={1\over\sqrt{3}}$$

$$BC={AB\over {1\over\sqrt{3}}}=AB*\sqrt{3}=8*\sqrt{3}=13,86$$

Гипотенузу найдем через значение синуса.

$$sin(ACB)={AB\over AC}={1\over 2}$$

$$AC={AB\over sin(ACB)}={AB\over {1\over 2}}=2*AB=2*8=16$$

Если в расчетах присутствуют округления, то лучше округленный результат не использовать в дальнейших вычислениях. То есть, если мы посчитали BC, то AC лучше найти через синус, а не через косинус или теорему Пифагора, если есть такая возможность. Использование точных значений избавляет от больших погрешностей в результатах.

Что мы узнали?

Мы узнали, что отличия между формулой периметра для прямоугольного и произвольного треугольника нет. Разница в пути решения. Найти периметр прямоугольного треугольника можно через теорему Пифагора, площадь или тригонометрические функции, можно комбинировать различные методы между собой. Главное, это возможность решения задачи без дополнительных построений.

Классическая формула

Самым простым способом найти периметр фигуры, если есть данные всех сторон. В этом случае используется следующая формула:

P = a + b + c.

Буквой «P» обозначается сама величина периметра. В свою очередь «a», «b» и «c» – это длины сторон.

Зная размер трех величин, достаточно будет получить их сумму, которая и является периметром.

Альтернативный вариант

В математических задачах все данные длины редко бывают известны. В таких случаях рекомендуется воспользоваться альтернативным способом поиска нужной величины. Когда в условиях указана длина двух прямых, а также угол, находящийся между ними, расчет производится через поиск третьей. Для поиска этого числа необходимо добыть квадратный корень по формуле:

Далее рассчитывайте Р по такой формуле:

Пример

Сложную задачу на нахождение периметра правильного треугольника придумать нелегко. Поэтому решим интересную, но простую задачу на заданную тематику. В процессе решения рассмотрим применение теоремы Пифагора для решения задач с правильным треугольником.

Площадь правильного треугольника АВС равняется $9\sqrt{3}$

Рис. 2. Рисунок к задаче.

Любую характеристику правильного треугольника можно найти, если есть хотя бы одна из длин

Неважно, будет это сторона, площадь, периметр, медиана или биссектриса. Любой длины будет достаточно для решения задачи

Вспомним формулу площади треугольника и упростим ее для правильного треугольника.

Площадь треугольника находится как половина произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию.

В правильном треугольнике АВС проведем медиану АМ, которая совпадет с высотой и биссектрисой. Тогда треугольник АВМ будет прямоугольным. По теореме Пифагора найдем АМ.

Рис. 3. Сумма углов треугольника.

$$АМ=\sqrt{AB^2-BM^2}= \sqrt{а^2-{а\over{2}}^2}= \sqrt{а^2-{{а^2}\over{4}}}=\sqrt{{3a^2}\over{4}}$$

Подставим значение АМ в формулу площади:

$$S={1\over{2}}*a*h={1\over{2}}*a*a*{\sqrt{3}\over{2}}=a^2*{\sqrt{3}\over{4}}$$

Из этой формулы выразим значение стороны:

$$a=\sqrt{4S\over{\sqrt{3}}}=\sqrt{{4*{9\over{\sqrt{3}}}}\over{\sqrt{3}}}=6$$

Теперь найти периметр не составит проблем.

$$P=3a=3*6=18$$

Что мы узнали?

Мы привели формулу периметра правильного треугольника. На примере показали, как можно найти площадь правильного треугольника через площадь. На том же примере показали примерный ход решения любой задачи на решение правильного треугольника.

Совет 5: Как обнаружить площадь и периметр квадрата

Квадрат представляет собой геометрическую фигуру, состоящую из четырех сторон идентичной длины и четырех прямых углов, всякий из которых равен 90°. Определение площади либо периметра четырехугольника, причем всякого, требуется не только при решении задач по геометрии, но и в повседневной жизни. Эти знания могут стать пригодными, скажем, во время ремонта при расчете необходимого числа материалов – покрытий для пола, стен либо потолка, а также для разбивки газонов и грядок и т.д.

1. Для определения площади квадрата умножьте величину длины на величину ширины. Потому что в квадрате длина и ширина идентичны, то значение одной стороны довольно построить в квадрат. Таким образом, площадь квадрата равна длине его стороны, возведенной в квадрат. Единицей измерения площади могут быть квадратные миллиметры, сантиметры, дециметры, метры, километры.Дабы определить площадь квадрата, дозволено воспользоваться формулойS = aa, где S – площадь квадрата,а – сторона квадрата.2. Пример № 1. Комната имеет форму квадрата. Сколько ламината (в кв.м) понадобится для того, дабы всецело покрыть пол, если длина одной стороны комнаты составляет 5 метров.Запишите формулу: S = aa. Подставьте в нее указанные в условии данные.Потому что а = 5 м, следственно, площадь будет равнаS (комнаты) = 5х5= 25 кв.м, значит, и S (ламината) = 25 кв.м.3. Периметр представляет собой всеобщую длину границы фигуры. В квадрате периметр – это длина всех четырех, причем идентичных, сторон. То есть, периметр квадрата представляет собой сумму всех его четырех сторон. Дабы вычислить периметр квадрата, довольно знать длину одной его стороны. Измеряется периметр в миллиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах, километрах.Для определения периметра имеется формула:P = a + а + а + а илиP = 4a, гдеР – периметр,а – длина стороны.4. Пример № 2. Для отделочных работ помещения в форме квадрата требуются потолочные плинтуса. Вычислите всеобщую длину (периметр) плинтусов, если величина одной стороны комнаты равна 6 метров. Запишите формулу P = 4a.Подставьте в нее указанные в условии данные:Р (комнаты) = 4 х 6 = 24 метра.Следственно, длина потолочных плинтусов тоже будет равна 24 метров.Видео по теме

Периметром треугольника, как в прочем и любой фигуры, называется сумма длин всех сторон. Довольно часто это значение помогает найти площадь или используется для расчета других параметров фигуры.

Формула периметра треугольника выглядит так:

P=a+b+c

Формула расчета периметра равнобедренного треугольника будет выглядеть так:

P=2a+b

Формула расчета периметра равностороннего треугольника:

P=3a

В общем, когда все стороны даны, найти периметр довольно просто. В остальных же ситуациях требуется найти размер недостающей стороны. В прямоугольном треугольнике можно найти третью сторону по теореме Пифагора.

Совет 3: Как обнаружить стороны прямоугольника

Частный случай параллелограмма – прямоугольник – знаменит только в геометрии Евклида. У прямоугольника равны все углы, и всякий из них по отдельности составляет 90 градусов. Исходя из частных свойств прямоугольника , а также из свойств параллелограмма о параллельности противолежащих сторон дозволено обнаружить стороны фигуры по заданным диагоналям и углу от их пересечения. Вычисление сторон прямоугольника базируется на дополнительных построениях и использовании свойств получаемых фигур.

1. Постройте прямоугольник EFGH. Запишите знаменитые данные: диагональ прямоугольника EG и угол α, полученный от пересечения 2-х равных диагоналей FH и EG. Постройте на рисунке диагонали и подметьте между ними угол α.2. Буквой А подметьте точку пересечения диагоналей. Разглядите образованный построениями треугольник EFА. Согласно свойству прямоугольника его диагонали равны и делятся напополам точкой пересечения А. Вычислите значения FА и EА. Потому что треугольник EFА является равнобедренным и его стороны EА и FА равны между собой и соответственно равны половине диагонали EG.3. Дальше вычислите первую сторону EF прямоугольника . Данная сторона является третьей неведомой стороной рассматриваемого треугольника EFА. Согласно теореме косинусов по соответствующей формуле обнаружьте сторону EF. Для этого подставьте в формулу косинусов полученные ранее значения сторон FА равна EА и косинус знаменитого угла между ними α. Вычислите и запишите полученное значение EF.4. Обнаружьте вторую сторону прямоугольника FG. Для этого разглядите иной треугольник EFG. Он является прямоугольным, где знамениты гипотенуза EG и катет EF. Согласно теореме Пифагора обнаружьте 2-й катет FG по соответствующей формуле.5. В соответствии со свойствами прямоугольника его противолежащие ребра равны. Таким образом сторона GH равна обнаруженной стороне EF, а HЕ = FG. Запишите в результат все вычисленные стороны прямоугольника .

Ссылка на основную публикацию