Онлайн калькулятор площади эллипса. как узнать площадь эллипса

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной параметрически заданной линией.

Пусть границами криволинейной трапеции являются прямые x=a, x=b, ось абсцисс и параметрически заданная кривая , причем функции и непрерывны на интервале , монотонно возрастает на нем и .

Тогда площадь криволинейной трапеции находится по формуле .

Эта формула получается из формулы площади криволинейной трапеции подстановкой :

Если функция является монотонно убывающей на интервале , то формула примет вид .

Если функция не является основной элементарной, то для выяснения ее возрастания или убывания может потребоваться теория из раздела возрастание и убывание функции на интервале.

Решаем задачи вместе

Пример 1. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси
абсцисс () фигуры, ограниченной гиперболой
, осью абсцисс и прямыми
, .

Решение. Объём тела вращения найдём по формуле (1), в которой ,
а пределы интегрирования , :

Пример 2. Найти объём шара радиуса R.

Решение. Рассмотрим шар как тело, получащееся при вращении вокруг оси абсцисс
полукруга радиуса R с центром в начале координат. Тогда в формуле (1) подынтегральная функция
запишется в виде ,
а пределами интегрирования служат -R и R. Следовательно,

Пример 3. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси
абсцисс () фигуры, заключённой между параболами
и
.

Решение. Представим искомый объём как разность объёмов тел, полученных вращением
вокруг оси абсцисс криволинейных трапеций и .
Объёмы этих тел найдём по формуле (1), в которой пределы интегрирования равны

и —
абсциссам точек B и D пересечения парабол. Теперь можем найти объём тела:

Пример 4. Вычислить объём тора (тором называется тело, получающееся при вращении круга радиуса a вокруг оси, лежащей в его плоскости на расстоянии b от центра круга (). Форму тора имеет, например, баранка).

Решение. Пусть круг вращается вокруг оси Ox (рис. 20). Объём тора можно представить как разности объёмов тел, полученных от вращения криволинейных трапеций ABCDE и ABLDE вокруг оси Ox.

Уравнение окружности LBCD имеет вид

причём уравнение кривой BCD

а уравнение кривой BLD

Используя разность объёмов тел, получаем для объёма тора v выражение

Пример 5. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси
ординат () фигуры, ограниченной линиями
и
.

Решение. Представим искомый объём как разность объёмов тел, полученных вращением
вокруг оси ординат треугольника и
криволинейной трапеции .
Объёмы этих тел найдём по формуле (2). Пределами интегрирования служат

и —
ординаты точек O и B пересечения параболы и прямой. Таким образом, получаем объём тела:

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой.

Рассмотрим примеры применения полученной формулы, позволяющей вычислять площади фигур, ограниченных параметрически заданными линиями.

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, параметрические уравнения которой имеют вид .

Решение.

В нашем примере параметрически заданная линия представляет собой эллипс с полуосями 2 и 3 единицы. Построим его.

Найдем площадь четверти эллипса, расположенной в первом квадранте. Эта область лежит в интервале . Площадь всей фигуры вычислим, умножив полученное значение на четыре.

Что мы имеем:

Для k = 0 получаем интервал . На этом интервале функция монотонно убывающая (смотрите раздел основные элементарные функции, их свойства и графики). Применяем формулу для вычисления площади и определенный интеграл находим по формуле Ньютона-Лейбница:

Таким образом, площадь исходной фигуры равна .

Замечание.

Возникает логичный вопрос: почему мы брали четверть эллипса, а не половину? Можно было рассмотреть верхнюю (или нижнюю) половину фигуры. Она находится на интервале . Для этого случая мы бы получили

То есть, для k = 0 получаем интервал . На этом интервале функция монотонно убывающая.

Тогда площадь половины эллипса находится как

А вот правую или левую половины эллипса взять не получится.

Параметрическое представление эллипса с центром в начале координат и полуосями a и b имеет вид . Если действовать так же, как и в разобранном примере, то получим формулу для вычисления площади эллипса .

Окружность с центром в начале координат радиуса R через параметр t задается системой уравнений . Если воспользоваться полученной формулой площади эллипса, то сразу можно записать формулу для нахождения площади круга радиуса R: .

Решим еще один пример.

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически .

Решение.

Забегая немного вперед, кривая является «вытянутой» астроидой. (Астроида имеет следующее параметрическое представление ).

Остановимся подробно на построении кривой, ограничивающей фигуру. Строить ее мы будем по точкам. Обычно такого построения достаточно для решения большинства задач. В более сложных случаях, несомненно, потребуется детальное исследование параметрически заданной функции с помощью дифференциального исчисления.

В нашем примере .

Эти функции определены для всех действительных значений параметра t, причем, из свойств синуса и косинуса мы знаем, что они периодические с периодом два пи. Таким образом, вычисляя значения функций для некоторых (например ), получим набор точек .

Для удобства занесем значения в таблицу:

Отмечаем точки на плоскости и ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО соединяем их линией.

Вычислим площадь области, расположенной в первой координатной четверти. Для этой области .

При k=0 получаем интервал , на котором функция монотонно убывает. Применяем формулу для нахождения площади:

Полученные определенные интегралы вычислим по формуле Ньютона-Лейбница, а первообразные для формулы Ньютона-Лейбница найдем с помощью рекуррентной формулы вида , где .

Следовательно, площадь четверти фигуры равна , тогда площадь всей фигуры равна .

Аналогично можно показать, что площадь астроиды находится как , а площадь фигуры, ограниченной линией , вычисляется по формуле .

Некогда разбираться?

Ссылка на основную публикацию