Площадь параллелограмма

Доказательство теоремы о площади треугольника через синус координатным методом

Доказательство:

Любой треугольник АВС имеет не менее двух острых углов, так как сумма углов треугольника равна 180 градусов. Пусть острыми являются угол  и угол . Тогда высота АН= находится внутри треугольника АВС, потому что иначе сумма углов в треугольнике  (рис. 2) превышала бы 180 градусов (угол  прямой, так как  – высота; а угол при вершине В тупой, так как угол  (по условию).

Рис. 2. Иллюстрация к теореме

Получили два прямоугольных треугольника общим катетом АН=. Для нахождения данного катета мы используем свойство сторон и углов прямоугольного треугольника: гипотенузу умножаем на синус противолежащего угла:     

Подставим данное значение в формулу площади треугольника:

Получаем:

Мы доказали две формулы из трёх через острые углы . Если угол α острый, доказательство будет аналогичное. Если угол α будет прямым, доказательство очевидное (. При  высота С= находится вне треугольника АВС (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к теореме

Рассмотрим треугольник  . В нём угол . Чтобы найти катет , нужно гипотенузу умножить на синус противолежащего угла:

Подставляем в формулу для площади треугольника  () значение катета :

Мы доказали и третью формулу. Следовательно, доказали теорему.

Также эту теорему можно доказать координатным методом (рис. 4).

Дано: треугольник АВС, ,

Доказать:

Рис. 4. Иллюстрация к теореме

Координаты вершины А определяются через длину АС=b и угол γ. В предыдущих уроках мы выяснили, что координаты точки А будут . А  – это высота , то есть ордината точки А.

Подставляем в формулу площади треугольника:

Формула доказана независимо от величины углов треугольника – за начало координат была взята точка С. Остальные 2 формулы получаются аналогично, если за начало координат взять точку А или В.

Полученные формулы можно использовать во многих задачах.

Формулы для расчета площади параллелограмма

Есть три основных формулы для вычисления площади параллелограмма:

  1. если известна длина стороны и высота, проведенная к ней;
  2. если известны длины сторон и углы между ними;
  3. если известны длины диагоналей и угол между ними.

Теперь о каждом из этих способов подробнее.

Как найти площадь параллелограмма, если известны сторона и высота

Возьмем для примера такой параллелограмм:

В нем указаны две высоты – BE и BF. Напомню, что высота — это отрезок, который опускается из вершины на противоположную сторону под прямым углом.

В данном случае площадь считается весьма просто. Надо всего лишь перемножить длину высоты и длину стороны, к которой она проведена.

И то же самое касается, если знать длины стороны DC и высоты BF. Тогда для вычисления площади достаточно их перемножить.

Кстати, у этой формулы есть весьма интересное доказательство. Так как у параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны, то можно взять треугольник ABE и переставить его к стороне CD. Вот так это будет выглядеть:

В результате мы получим прямоугольник, у которого нам известны длины обеих сторон (высота параллелограмма превратилась в одну из сторон). А как известно, площадь прямоугольника равна произведению его сторон.

Формула площади параллелограмма, если известны стороны и угол

Площадь параллелограмма можно посчитать, если известны длины обеих его сторон и величина острого угла между ними.

Собственно, этот способ вытекает из предыдущего, Просто по исходным данным нужно вычислить высоту параллелограмма, а уже потом по ней посчитать площадь.

Согласно тригонометрии, синус острого угла в прямоугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе. В нашем примере таким катетом является высота, а гипотенузой сторона «а». И получается:

Соответственно, чтобы посчитать значение высоты надо:

И наша конечная формула для расчета площади будет выглядеть следующим образом:

Ссылка на основную публикацию