Задача 18486 шар вписан в цилиндр. площадь

Шар, вписанный в цилиндр

Говорят, что шар (сфера) вписан в цилиндр, если он касается оснований цилиндра и его боковой поверхности (рис. 4).

Рис. 4. Шар, вписанный в цилиндр

1.      Так как шар касается боковой поверхности, то в соответствующем сечении должен получиться круг, радиус которого равен радиусу шара. А значит, радиус цилиндра равен радиусу шара (рис. 5).

2.       Высота должна быть равна диаметру шара (рис. 6).

Рис. 5. Шар, вписанный в цилиндр

Рис. 6. Шар, вписанный в цилиндр

Таким образом, совсем не любой цилиндр может быть описан около шара, для этого нужно, чтобы его высота была вдвое больше радиуса основания.

Заключение

Задача.

Условие: правильная шестиугольная призма вписана в шар радиуса 13. Высота призмы равна 24. Найти площадь полной поверхности призмы (рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к задаче 4

Рис. 14. Иллюстрация к задаче 4

Решение

Разумеется, достаточно найти сторону основания. Пусть  – центр шара,  – центр основания  призмы (рис. 14). Тогда , , а значит,  по теореме Пифагора.

Как известно, радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне. Значит, сторона призмы – 5.

Найдем площадь ее боковой поверхности –  Основание призмы состоит из 6 равных равносторонних треугольников со стороной 5 (и таких оснований 2, итого, 12 треугольников). Значит, суммарная площадь оснований равна .

Ответ: .

На уроке мы разобрали комбинации шара, призмы и цилиндра, а также решили задачи по этим темам.

Список литературы

  1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов.
  2. Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 10-11 классов.
  3. Бевз В.Г., Владимирова Н.Г. Геометрия 11 класс.

Домашнее задание

  1. Цилиндр, радиус основания которого равен 12 см, вписан в шар радиуса 20 см. Найти высоту цилиндра.
  2. Дана правильная треугольная призма, сторона основания которой равна 12. Известно, что в нее можно вписать шар и около нее можно описать шар. Найти отношение их радиусов.
  3. Правильная шестиугольная призма вписана в шар радиуса 10. Высота призмы равна 16. Найти площадь полной поверхности призмы.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Interneturok.ru (Источник).
  2. Интернет-портал Interneturok.ru (Источник).
  3. Интернет-портал Interneturok.ru (Источник).
Ссылка на основную публикацию