Цилиндр. площади поверхностей. объём

Площадь боковой поверхности цилиндра

Рис. 1. Цилиндрическая бочка

Мы с вами знаем, что такое цилиндр, попробуем найти площадь его поверхности. Зачем нужно решать такую задачу? Например, нужно понять, сколько материала пойдет на изготовление цилиндрической бочки (См. Рис. 1).

Рис. 2. Пизанская башня

Или сколько кирпичей понадобится, чтобы сложить кирпичную башню (вроде Пизанской, только ровную)? (См. Рис. 2.)

Рис. 3. Бочка, обмотанная тканью

Рис. 4. Разрезанная ткань

Конечно, измерить площадь боковой поверхности цилиндра просто так не получится. Но представим себе все ту же бочку, обмотанную тканью. (См. Рис. 3.) Как найти площадь куска ткани? Ну конечно, разрезав ткань и разложив ее на столе! Получится прямоугольник, его площадь легко найдем. (См. Рис. 4.)

Рис. 5

Сделаем так же с цилиндром. «Разрежем» его боковую поверхность вдоль любой образующей, например . (См. Рис. 5.)

Рис. 6. Развертка боковой поверхности

Теперь «размотаем» боковую поверхность на плоскость. Получаем прямоугольник , где и  – одна и та же точка на цилиндре (аналогично и ). (См. Рис. 6.)

Такой прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра.

Рис. 7. Развертка боковой поверхности

Что мы знаем про этот прямоугольник? Его сторона  равна высоте цилиндра (ведь образующая равна высоте). Другая сторона  равна длине окружности основания, то есть . (См. Рис. 7.)

Значит, площадь прямоугольника равна . Итак, , где  – радиус основания цилиндра,  – высота.

Заключение

Итак, сегодня мы познакомились с формулой боковой поверхности конуса и формулой площади полной поверхности конуса, также решили пару задач на эти формулы.

Список рекомендованной литературы

  1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. — М.: Просвещение, 2009. — 255 с.
  2. Геометрия 11 класс, А.В. Погорелов, М.: Просвещение, 2002
  3. Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Ru.onlinemschool.com (Источник).
  2. All-biography.ru (Источник).
  3. Oldskola1.narod.ru (Источник).

Домашнее задание

  1. Найдите площадь осевого сечения конуса, диаметр основания и высота которого равны соответственно  и.
  2. Вычислите площадь боковой поверхности конуса, радиус основания и образующая которого равны соответственно  и .
  3. Найдите площадь полной поверхности конуса, если его высота равна , а образующая пересекает плоскость основания под углом . 
Ссылка на основную публикацию