Задачи по теме «конус»

Полная поверхность усеченного конуса

Полная поверхность конуса – это сумма площади его боковой поверхности и площади оснований конуса:

Основаниями конуса является круги с радиусом R и r. Их площадь равна произведению числа на квадрат их радиуса:
Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле:
Тогда площадь полной поверхности усеченного конуса равна:
Формула имеет следующий вид:

Пример расчета площади полной поверхности усеченного конуса, если известны его радиус и образующая
Радиус основания усеченного конуса 1 и 7 дм, а диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны. Найдите площадь полную площадь усеченного конуса
Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию, с основаниями 2R и 2r. То есть основания трапеции равны 2 и 14 дм соответственно. Так как диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, то высота равна полусумме ее оснований. Тогда:
Образующая усеченного конуса, являющаяся боковой стороной трапеции, высота, опушенная на большое основание и разность радиусов основания усеченного конуса, образуют прямоугольный треугольник.
По теореме Пифагора найдем образующую усеченного конуса:
Формула площади полной поверхности усеченного конуса имеет следующий вид:
Подставив значения из условия задачи и найденные значения, имеем:

Задача 4

Рис. 5. Сечение конуса

Рис. 6. Фигура в основании конуса

Радиус основания конуса равен 6, а его высота равна 8. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 4 (см. рис. 5). Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

Решение

Рассмотрим основание конуса. Так как хорда  в плоскости сечения равна 4, а радиус равен 6, имеем равнобедренный треугольник, высота  которого по теореме Пифагора равна  (см. рис. 6).

Рис. 7. Конечный рисунок

Рассмотрим треугольник  ( – вершина конуса). Докажем, что высота  этого треугольника и есть искомое расстояние. Во-первых,  по построению. Во-вторых, плоскость  (т.к.  перпендикулярно  и ), а значит, .

Следовательно,  – искомое расстояние. По теореме Пифагора . А тогда .

Ответ: .

Ссылка на основную публикацию