Площадь поверхности призмы, онлайн расчет

Площадь боковой поверхности призмы

Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Рассмотрим эту теорему на примере треугольной прямой призмы ABCA1B1C1 (рис. 5). Призма ABCA1B1C – прямая, значит, все боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

Дано: АВСА1В1С1 – прямая призма, т. е. АА1 ⊥ АВС.

АА1 = h.

Доказать: Sбок = Росн ∙ h.

Рис. 5

Доказательство.

Треугольная призма АВСА1В1С1 – прямая, значит, боковые грани АА1В1В, АА1С1С, ВВ1С1С – прямоугольники. А все боковые ребра призмы равны высоте призмы.

Найдем площадь боковой поверхности как сумму площадей прямоугольников АА1В1В, АА1С1С, ВВ1С1С:

Sбок = АВ∙ АА1 + ВС∙ ВВ1 + СА∙ СС1 = АВ∙ h + ВС∙ h + СА∙ h = (AB + ВС + CА) ∙ h = Pосн ∙ h.

Получаем, Sбок = Росн ∙ h, что и требовалось доказать.

Правильная призма

Определение. Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники.

Рассмотрим правильную треугольную призму АВСА1В1С1.

Рис. 9

Треугольная призма АВСА1В1С1 – правильная, это значит, что в основаниях лежат правильные треугольники, то есть все стороны этих треугольников равны. Также данная призма — прямая. Значит, боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. А это значит, что все боковые грани – равные прямоугольники.

Итак, если треугольная призма АВСА1В1С1 – правильная, то:

1) Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть является высотой: AA1 ⊥ АВС.

2) В основании лежит правильный треугольник: ∆АВС – правильный.

Треугольная призма

Важным частным случаем многогранника является призма.

Рассмотрим треугольную призму АВСА1В1С1 (рис. 3).

Рис. 3

Равные треугольники АВС и А1В1С1расположены в параллельных плоскостях α и β так, что ребра АА1, ВВ1, СС1 параллельны.

То есть АВСА1В1С1 – треугольная призма, если:

1) Треугольники АВС и А1В1С1равны.

2) Треугольники АВС и А1В1С1расположены в параллельных плоскостях α и β: ABC║А1B1C (α ║ β).

3) Ребра АА1, ВВ1, СС1 параллельны.

АВС и А1В1С1– основания призмы.

АА1, ВВ1, СС1 – боковые ребра призмы.

Если с произвольной точки Н1 одной плоскости (например, β) опустить перпендикуляр НН1 на плоскость α, то этот перпендикуляр называется высотой призмы.

Определение. Если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, а в противном случае – наклонной.

Задача 3

Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых рёбрах призмы. См. рис. 8.

Дано: ABCDA1B1C1D1 – призма,

AA1 ⊥ ABC,

AB ∥ CD, CB = AD,

AB = 9 см, CD = 25 см,

hтрап= 8 см.

Найти: двугранные углы при боковых рёбрах призмы.

Рис. 8

Решение:

Вспомним, что такое двугранный угол. Пусть у нас есть две полуплоскости α и β, которые пересекаются по прямой СC1 (рис. 9). Тогда они образовывают двугранный угол с ребром СC1. Двугранный угол измеряется своим линейным углом.

Как строится линейный угол? Берется произвольная точка M на ребре, и проводятся два перпендикуляра: один перпендикуляр в плоскости β – перпендикуляр b, второй перпендикуляр в плоскости α – перпендикуляр a. Тогда угол между прямыми a и b и будет линейным углом двугранного угла.

Рис. 9

Найдем линейный угол при ребре СС1. Так как ребро СC1 перпендикулярно всей плоскости ABC, то ребро СC1 перпендикулярно любой прямой из этой плоскости, в том числе прямым BC и CD. Тогда угол между прямыми BC и CD, а именно угол DCB, является линейным углом двугранного угла при ребре СC1.

Аналогичным образом, получаем, что линейные угол при ребре АА1 – это угол ВAD, при ребре DD1 – ∠ADC, при ребре BB1 – ∠ABC. Все эти углы являются углами трапеции ABCD. Найдем их градусную меру.

Рассмотрим трапецию ABCD (рис. 10). Проведем высоты АН и КВ. По условию, высота трапеции равна 8 см. Значит, АН = КВ = 8 см.

Рис. 10

Найдем НК. Прямые АН и КВ перпендикулярны одной и той же прямой DC. Значит, прямые АН и КВ параллельны. Так как АН = КВ, то АНКВ – параллелограмм.  Значит, НК = АВ = 9 см.

Так как трапеция ABCD равнобедренная, то  см.

Рассмотрим треугольник DHA. Он прямоугольный, так как АН ⊥ DC и равнобедренный, так как АН = DH. Значит, ∠HAD = ∠HDA = 45° градусов.

Так как трапеция ABCD равнобедренная, то ∠DCB = ∠СDA = 45°, ∠DAB = ∠ABC = 180° — 45° = 135°.

Ответ: 45°, 45°, 135°, 135°.

Список литературы

  1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
  2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
  3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М.: Дрофа, 008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Физ/мат класс (Источник).
  2. 5klass.net (Источник).
  3. Ppt4web.ru (Источник).
  4. Якласс (Источник).
  5. Rutube.ru (Источник).

Домашнее задание

  1. У параллелепипеда три грани имеют площадь 1 см2, 2 см2, 3 см2. Чему равна полная поверхность параллелепипеда?
  2. Основание призмы – прямоугольный треугольник, диагонали боковых граней призмы – 8 см, 14 см, 16 см. Найдите высоту призмы.
  3. Диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы равна большей диагонали основания. Под каким углом пересекаются диагонали боковой грани этой призмы?
  4. Найдите площадь поверхности правильной n-угольной призмы, если любое ребро это призмы равно а. а) n = 3; б) n = 4.
Ссылка на основную публикацию