Онлайн калькулятор площади шара. как узнать площадь шара

Разветвление: задача

Представим себе, что Земля имеет форму шара. Предположим, что ее обтянули канатом по экватору – чтобы канат плотно прилегал к поверхности Земли (рис. 15). Затем канат удлинили на 1 м (рис. 16). Образовался просвет. Может ли в этот просвет пролезть мышка?

Рис. 15. Земля

Рис. 16. Иллюстрация к задаче

Решение

Пусть радиус земного шара – . Тогда длина каната будет После удлинения длина каната стала . Но если считать, что просвет между поверхностью Земли и новым канатом равен  (везде одинаков), то тогда получаем, что этот канат «обхватывает» шар радиуса , а значит, его длина равна .

Имеем, . Или . Так как  меньше 7, то .

Следовательно, в такой зазор, около 14 см, мышка точно сможет пролезть.

Обратим внимание, что полученный зазор не зависит от размеров шара, которым обтянута веревка. То есть, даже если веревкой был обтянут обычный школьный глобус, то после ее удлинения на 1 метр зазор все равно будет около 14 см

План для нахождения формулы площади сферы

Шаг 1. Опишем около сферы произвольный многогранник. (Сфера должна касаться всех граней многогранника). (См. Рис. 6.)

Рис. 6. Вписанная сфера

Шаг 2. Соединим центр сферы с каждой вершиной многогранника и получим разбиение многогранника ровно на столько пирамид, сколько у многогранника граней. (Заметьте: от многогранника не требуется не только равенство граней, но и одинаковое количество вершин на этих гранях.) (См. Рис. 7.)

Рис. 7. Разбиение многогранника на пирамиды

Шаг 3. Объём каждой пирамиды мы можем выразить через её высоту (которая является радиусом сферы) и площадь основания . (См. Рис. 8.)

Рис. 8. Радиус сферы является высотой каждой пирамиды

Шаг 4. Поскольку объём многогранника равен сумме объёмов составляющих его пирамид, мы можем, произведя суммирование, выразить объём многогранника через площадь его поверхности и радиус вписанной сферы . (См. Рис. 9.)

Рис. 9. Площадь поверхности многогранника

Шаг 5. А теперь станем неограниченно увеличивать количество граней многогранника, одновременно уменьшая размеры самой большой из них. Тогда в пределе многогранник перейдёт в шар, а зависимость между его объёмом и площадью поверхности станет зависимостью между объёмом шара и площадью поверхности сферы. (См. Рис. 10.)

Рис. 10. Многогранник переходит в шар

Пример 2

Сколько кожи требуется, чтобы сшить гандбольный мяч радиусом  см, если  от площади поверхности мяча уходит на швы? (См. Рис. 15.)

Рис. 15. Иллюстрация к примеру 2

Решение. Найдём по выведенной формуле площадь поверхности сферы и добавим к ней .

Таким образом, получается: .

Ответ: .

Задача

Сравнить площади полной поверхности сферы и конуса (), у которого высота равна диаметру сферы (), а диаметр основания – образующей (). (См. Рис. 16.)

Рис. 16. Иллюстрация к задаче

Решение. Пусть радиус сферы равен . Тогда высота конуса . Радиус основания конуса в  раза меньше образующей , значит, если рассмотреть прямоугольный треугольник – половину осевого сечения конуса – то из него получается, что радиус основания , высота конуса , а образующая . (См. Рис. 17.) Тогда по теореме Пифагора , откуда .

Рис. 17. Измерение элементов данных фигур

Если , то . Значит, площадь полной поверхности конуса

.

Площадь поверхности шара (по формуле) . Значит, площади поверхностей равны.

Ответ: 

Разветвление: уравнение сферы в координатах в пространстве

Рис. 13. Сфера с центром в точке

Выведем уравнение сферы радиуса  с центром в точке  (рис. 13).

Пусть произвольная точка  лежит на сфере. Тогда, по определению сферы, . С другой стороны, расстояние между точками в координатах равно:

.

Приравнивая это к  и возводя в квадрат, приходим к формуле, напоминающей уравнение окружности:

.

Это и есть уравнение сферы.

Соответственно, шар задается не уравнением, а неравенством:

.

Пример

Пусть дано уравнение . Требуется доказать, что данное уравнение задает сферу, и найти координаты ее центра и радиус.

Вспомним общее уравнение сферы:

.

Наша задача – свести исходное уравнение к уравнению сферы. Для этого выделим полные квадраты:

;

Таким образом, это действительно сфера, ее центр – точка с координатами , а ее радиус равен .

Радиус шара

Единственной величиной, определяющей шар является радиус. Определяющая величина это величина, через которую можно найти все значения для фигуры. Через радиус шара можно найти площадь сечения шара, площадь поверхности шара и объем шара.

Приведем все формулы с участием шара:

  • $V={4\over{3}}{\pi}R^{3}$ – формула объема шара
  • $S=4{\pi}R^2$ – площадь шара

И на этом все. На основании этих формул можно вывести формулы радиуса через площади или объем, а так же формулы секторов и сегментов шара.

Важным моментом является понимание происхождения числа пи. Ведь в расчетах повсеместно используется это значение, но пока никто не смог рассчитать его полностью. Счет идет уже на тысячи знаков, но точного значения числа до сих пор неизвестно. Как же вычисляют число пи? Это отношение длины окружности к ее диаметру. Причем интересно, что для любой окружности эта величина будет иметь одинаковое значение.

Ссылка на основную публикацию