«площадь прямоугольника»

Площадь прямоугольника

Площадь фигуры равна количеству единичных квадратов, которые укладываются внутрь фигуры.

Возьмем прямоугольник: высота  см, а длина  см. Заполним его квадратами со стороной  см. Площадь каждого такого квадрата . Всего поместилось  квадратов (Рис. 5).

Рис. 5. Площадь данного прямоугольника

Значит, по определению площади фигуры, площадь нашего прямоугольника равна .

Обязательно ли нужно выкладывать все единичные квадраты внутри прямоугольника, чтобы понять, сколько их поместится? Давайте посмотрим еще раз. Выложим внизу прямоугольника один ряд единичных квадратов. Длина прямоугольника  см, а длина стороны квадрата  см. Их поместится  штук (Рис. 6).

Рис. 6. Первый ряд

Выложим второй ряд. Он будет содержать тоже  квадратов (Рис. 7).

Рис. 7. Второй ряд

Сколько всего таких рядов? Так как высота прямоугольника  см, то поместится  ряда (Рис. 8).

Рис. 8.  ряда

Итак,  ряда по  штук в каждом. Всего  квадратов. То есть, чтобы понять, сколько квадратов поместится, не обязательно их рисовать.

А если бы мы считали ряды по-другому? Каждый вертикальный ряд содержит  квадрата, и всего помещается  таких рядов (Рис. 9): .

Рис. 9.  рядов

Рассмотрим прямоугольник побольше. Если бы мы стали рисовать единичные квадраты, то получилось бы  рядов по  штук в каждом (Рис. 10), или, наоборот,  столбиков по  в каждом.

Рис. 10.  рядов

Рис. 11.  рядов

Но этого делать необязательно. Достаточно умножить длину одной стороны на длину другой, причем в любом порядке: .

Итак, мы получили основной вывод: площадь прямоугольника равна произведению длин двух соседних сторон:  (Рис. 12).

Рис. 12. Прямоугольник

Если длины сторон измерены в сантиметрах, то площадь по этой формуле получится в: . Если длины в метрах, то значение площади получатся в: .

Зачем уметь находить площадь

• Во-первых, если вы знаете, как найти площадь какой-либо фигуры, то с помощью ее формулы вы без проблем сможете решать любые задачи по геометрии и тригонометрии.
• Во-вторых, научившись находить площадь прямоугольника, вы сначала сможете решать простые задачки, а со временем перейдете к решению более сложных, и научитесь находить площади фигур, которые вписаны в прямоугольник или около него.
• В-третьих, зная такую простую формулу, как S = а * b, вы получаете возможность без проблем решать любые простые бытовые задачи (например, находить S квартиры или дома), а со временем и сможете применить их к решению сложных архитектурных проектов.

То есть, если совсем упростить формулу нахождения площади, то она будет выглядеть так:

П = Д х Ш,

Что обозначает П – это искомая площадь, Д – это ее длина, Ш – обозначает ее ширину, а х – является знаком умножения.

А известно ли вам, что площадь любого многоугольника можно условно разбить на определенное количество квадратных блоков, которые находятся внутри этого многоугольника?
Какая разница между площадью и периметром

Давайте на примере попробуем понять разницу между периметром и площадью. Например, наша школа находится на участке, который огражден забором – суммарная длина этого забора будет периметром, а то пространство, которое находится внутри ограждения и является площадью.

Использование калькулятора

Конечно же, на обычном калькуляторе объём прямоугольника не подсчитаешь. Разве что известны три его грани и формула нахождения параметра. Тогда нужно будет просто перемножить три числа. В других же случаях, когда нужно решить сложную задачу, связанную с громоздкими вычислениями, можно использовать математические сайты, имеющие название онлайн-калькуляторы.

После загрузки онлайн-калькулятора все действия пользователя сводятся к заполнению специальной формы в которую вносится условие задания. Конечно же, такое решение не может называться самостоятельным, но для проверки полученного результата или выявления ошибок в расчёте подходит идеально. Кроме, непосредственно автоматического вычисления объёма большинство сайтов содержат на своих страницах теоретический материал, а также примеры решений типовых заданий. Так что при обучении учащихся их использование на первых порах вполне оправданно.

Решение задач на нахождение площади прямоугольника и треугольника

Решите задачу.

Вычисли площадь прямоугольника, если длина прямоугольника 9см, а ширина – 2см.

Рассуждаем так. В данной задаче известны и длина и ширина прямоугольника. Поэтому действуем по правилу: площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.

Запишем решение.

9*2=18см2

Ответ: площадь прямоугольника 18см2

Как вы думаете, какими ещё могут быть длины сторон прямоугольника с такой площадью?

Можно рассуждать так. Поскольку площадь – это произведение длин сторон прямоугольника, поэтому надо вспомнить таблицу умножения. При умножении каких чисел получается ответ 18?

Правильно, при умножении 6 и 3 тоже получится 18. Значит, у прямоугольника могут быть стороны 6см и 3 см и его площадь тоже будет равна 18см2.

Решите задачу.

Длина прямоугольника 8см, а ширина 2см. Найди его площадь и периметр.

Нам известны длина и ширина прямоугольника. Необходимо вспомнить, что для нахождения площади необходимо найти произведение его длины и ширины, а для нахождения периметра нужно сумму длины и ширины умножить на два.

Запишем решение.

8*2=16 см2

(8+2)*2=20 см

Ответ: площадь прямоугольника 16 см2, а периметр прямоугольника 20 см.

Решите задачу.

Длина прямоугольника 4см, а ширина – 3см. Чему равна площадь треугольника? (смотри рисунок)

Чтобы ответить на вопрос задачи, сначала надо найти площадь прямоугольника. Мы знаем, что для этого необходимо длину умножить на ширину.

4*3=12 см2

Посмотрите на чертёж. Вы заметили, диагональ разделила прямоугольник на два равных треугольника? Следовательно, площадь одного треугольника в 2 раза меньше площади прямоугольника. Значит, надо 12 уменьшить в 2 раза.

12:2=6 см2

Ответ: площадь треугольника 6 см2.

Сегодня на уроке мы познакомились с правилом, как вычислить площадь прямоугольника и учились применять это правило при решении задач на нахождение  площади прямоугольника.

Список рекомендованной литературы.

1. М.И.Моро, М.А.Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. М., «Просвещение», 2012 год.

2. М.И.Моро, М.А.Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. М., «Просвещение», 2012 год.

3. М.И.Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс.      – М.: Просвещение, 2012.

4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. М., «Просвещение», 2011 год.

5. «Школа России»: Программы для начальной школы. — М.: «Просвещение», 2011.

6. С.И.Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.

7. В.Н.Рудницкая. Тесты. М., «Экзамен», 2012 (127с.)

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет.

1. Социальная сеть работников образования nsportal.ru (Источник)

2. Издательство «Просвещение» (Источник)

3. Интернет-сайт do.gendocs.ru (Источник)

Рекомендованное домашнее задание.

1. Длина прямоугольника 7 см, ширина 4 см. Найдите площадь прямоугольника.

2. Сторона квадрата 5 см. Найдите площадь квадрата.

3. Начертите возможные варианты прямоугольников, площадь которых 18 см2.

4. Составьте задание по теме урока для своих товарищей.

Вычисление объёма

Существует теорема сообщающая, что объём параллелепипеда, то есть тела основанием которой является параллелограмм, можно рассчитать, умножив площадь основания на высоту фигуры. Записывается это формула как V = h * S, при этом S является произведением сторон прямоугольника.

Исходя из этого вычислить объём прямоугольника (параллелепипеда) можно по формуле: V = a * b * h, где: a, b — рёбра фигуры; h — высота тела.

Другими словами, параметр находится как произведение трёх измерений фигуры. Для доказательства нужно рассмотреть два возможных случая.

  1. Пусть имеется фигура, которая состоит из трёх измерений: a, b, c. Первые два являются основанием, к которому пристроена третье. Основание можно представить, как совокупность прямоугольников с площадью S = a * b, состоящую их квадратных единиц. На каждом из квадратов размещается кубическая единица. В итоге получается слой, состоящий из S единиц в кубе. Учитывая, что высота слоя это одна линейная единица, а высота всей фигуры состоит из энного количества таких единиц, то внутри тела можно поместить энное число слоёв. А значит, объём тела равен произведению этих кубических единиц, то есть V = a * b * c.
  2. Имеется прямоугольный параллелепипед. В его основании лежит прямоугольник с вершинами A, A1, B, B1. Соответственно плоскости ABCD и A1B1C1D1 будут боковыми гранями. В середине фигуры можно построить перпендикулярную плоскость MNPQ являющуюся сечением. Она будет равновеликим прямому параллелепипеду с основанием MNPQ и высотой (боковым ребром) BC. По признаку перпендикулярности, плоскости с двугранными углами являются прямыми. Отсюда можно утверждать, что MNPQ — прямоугольное тело, а значит и параллелепипед прямоугольный. Значит, его объём можно найти как произведение MN * MQ * BC. Исходя из того, что MQ перпендикулярно BC, площадь основания можно рассчитать как MQ * BC. А так как MN высота, то объём параллелепипеда можно вычислить, умножив площадь его основания на высоту.​

Другой тип задач

Встречаются задачи, где уже известна площадь прямоугольника и длина одной стороны. Требуется найти другую сторону. Разберем этот случай на конкретном примере.

Пример: поле имеет ширину  метров. Какова должна быть длина поля, что площадь поля получилась  га (Рис. 16)?

Рис. 16. Иллюстрация к примеру

Решение

Начнем с единиц, в которых нам дана площадь. Вспомним, что такое  га. Гектар – мера площади, используемая в сельском хозяйстве. Она равна площади квадратного участка земли со стороной  м. Вычислим эту площадь в : . То есть площадь в  и называют  га.

Теперь вернемся к условию задачи. Требуемая площадь поля  га. Переведем ее в : . Итак, нам известны ширина поля и его площадь. Не известна длина поля. Обозначим ее  (Рис. 17).

Рис. 17. Характеристики поля в

Воспользуемся формулой площади прямоугольника. Площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон: . Площадь и одну длину мы знаем. Подставим в формулу: .

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель: .

Ответ:  м.

Общие сведения

По своей сути объём является количественной характеристикой пространства, которое занимает тело или вещество. Простыми словами, этот параметр показывает вместимость. В качестве единицы измерения, согласно СИ, принят кубический метр. За обозначение же объёма взята латинская буква V.

У тел, имеющих простую форму, характеристики находятся путём перемножения площади на высоту. Например, для куба он равен a3, прямоугольной призмы — h * b * a, пирамиды — (S * b * h) / 3. В эллипсоидных фигурах при расчётах используется радиус. Так, для конуса объём равен (p * R2 * h) / 3, сферы — (4 * p * R3) / 3, тора — 2 * p2 * R1 * R22.

Объём плоских фигур, таких как треугольник, круг, квадрат, прямоугольник, равен нулю. Но если их стороны или окружности имеют связанные с ними попарно параллельные линии, то они уже являются объёмными фигурами. Например, прямоугольник в пространстве называют параллелепипедом. Таким образом, чтобы найти объём прямоугольника, необходимо, чтобы он представлял собой прямоугольный параллелепипед, иначе действие будет бессмысленным.

Определить объём — значит, знать две основные величины фигуры:

  • площадь — двумерная характеристика, определяющая размер фигуры;
  • высоту — это длина перпендикуляра, опущенного из вершины на основание в трёхмерном пространстве.

Так как площадь измеряется в метрах квадратных, а высота просто в метрах, то перемножение площади и высоты как раз и даст единицу измерения объёма — метр кубический.

Именно одинаковые диагонали являются отличительным свойством прямоугольника от параллелограмма. Фактически же диагональ делит фигуру на два прямоугольных треугольника. Это свойство довольно часто используют при проведении расчётов площади или объёма.

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками, угол между которыми равен 90 градусов и параллельные отрезки при этом равны.

Наш калькулятор поможет вам бесплатно в режиме онлайн вычислить площадь прямоугольника с помощью различных формул или проверить уже выполненные вычисления.

Площадь прямоугольника через две стороны

a — сторона

b — сторона

a (или b) — сторона

P — периметр

a (или b) — сторона

d — диагональ

d — диагональ

α° — угол между диагоналями

a (или b) — сторона

R — радиус описанной окружности

a (или b) — сторона

D — диаметр описанной окружности

Прямоугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками, угол между которыми равен 90 градусов и параллельные отрезки при этом равны.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км2, м2, см2, мм2 и т.д.

Решение задач

На самом деле вычисление объёма не только выполняют на уроках математики. Это знание востребовано в довольно многих специальностях и науках. Например, при строительстве, в архитектуре, инженерии, физике, химии. Поэтому знание нахождения параметра может пригодиться не только в школе. Теорию обязательно необходимо закреплять на практике. Вот некоторые задачи, которые помогут усвоить рассматриваемый материал:

  1. Пусть есть параллелепипед с прямыми сторонами. Его рёбра у основания равняются 19 и 20 сантиметрам. Размер же боковой грани составляет 10 сантиметров. Вычислить объём фигуры. Эта задача на одну формулу, все данные для подстановки в неё известны. Так, V = a * b * c = 19 * 20 * 10 = 3 800 см3 = 0,0038 м³.
  2. Пусть имеется параллелепипед с основанием 1 см на 1,2 см и высотой 0,8 см. Из него был удалено другое прямоугольное тело с размерами 0,3 x 0,55 x 0,5. Найти объём получившейся фигуры. Так как искомый параметр новой фигуры равен разнице изначального и удалённого объёмов, то зная формулу найти ответ не составит труда: V = 0,8 * 1 * 1,2 — 0,3 * 0,5 * 0,55 = 0,877 см3.

  3. Дан прямоугольный параллелепипед с вершинами ABCD и A1B1C1D1. Сравнить объём образованного в середине пирамиды AA1BD тела со значением фигуры. Для удобства решения стороны AB, AD, AA соответственно можно обозначить как x, y, z. Тогда объём прямоугольного тела будет равен Vп = Sп * AA1 = x * y * z. Если начертить условие на рисунке, то можно отметить, что площадь пирамиды вполовину меньше площади основания прямоугольника. То есть, Sabd = 0,5 * Sabd. Тогда V = Sabd * AA1 / 3 = x * y * z / 3 * 2 = x * y* z / 6. Значит, объём вписанной пирамиды меньше в шесть раз чем у фигуры.
  4. В гальванической ванне помещается три тысячи литров раствора. Высота наполнения ёмкости при этом достигает 75 сантиметров. В ванную поместили заготовку, после чего уровень поднялся на два сантиметра. Найти объём заготовки в метрах кубических. Итак, в одном кубическом метре содержится тысяча литров. Поэтому изначально в ёмкости было 3 м³ раствора. Значит, изначально в ванне раствор занимал: 3 = S * 75. Отсюда s = 3/75 = 1/25 см2. Объём детали составляет: V = S * 2 = (1/25) * 2 = 2 / 25 = 0,08 м³.

Формула площади произвольного треугольника

Начнем изучение формул для вычисления площади треугольника с той, которую мы вывели самой первой:

Пожалуй, это наиболее часто используемая формула.

Вспомним, как мы вывели эту формулу. Вспомним, что площадь прямоугольника со сторонами  и  равна (см. рис. 11):

Рис. 11. Прямоугольник со сторонами  и

Проведем диагональ, получим два прямоугольных треугольника. Они равны: катеты равны, как противоположные стороны прямоугольника (см. рис. 12). Значит, их площади одинаковы.

Рис. 12. Если провести диагональ в прямоугольнике, то получится два равных прямоугольных треугольника

Получаем, что площадь прямоугольного треугольника с катетами  и  равна:

Для произвольного треугольника можно рассмотреть два случая. Если высота проведена из вершины острого угла (см. рис. 13), то треугольник делится на два прямоугольных, для каждого из которых верна формула площади:

Рис. 13. Произвольный остроугольный треугольник, где проведенная к стороне  высота  делит  на отрезки, равные  и

Если же высота проведена из вершины тупого угла, то она проходит вне треугольника (см. рис. 14). Тогда площадь исходного треугольника не сумма, а разность площадей двух прямоугольных:

Рис. 14. Произвольный тупоугольный треугольник, где проведенная к стороне  высота  проходит вне треугольника

Итак, площадь произвольного треугольника можно вычислить по формуле (см. рис. 15):

где  – длина любой из сторон треугольника, а  – длина высоты, проведенной к этой стороне.

Рис. 15. Произвольный треугольник с высотой , проведенной к стороне

Что нам дает эта формула?

1.                  С ее помощью можно вычислить площадь треугольника, зная длины стороны и высоты, которая к ней проведена. Например, сторона равна , высота . Площадь треугольника равна :

2.                  Два треугольника с одинаковыми основаниями и высотой имеют равные площади.

Возьмем два параллельных рельса, расстояние между которыми равно . На одном рельсе отметим отрезок длиной . На втором рельсе возьмем точку и соединим с концами отрезка. Получим треугольник (см. рис. 16). Высота его равна расстоянию между рельсами, т. е. , а основание равно . Площадь равна .

Рис. 16. На одном из параллельных рельсов, расстояние между которыми равно , отметили отрезок длиной , а на втором – взяли точку и соединили с концами отрезка

Начнем двигать точку по верхнему рельсу (см. рис. 17). Треугольник начинает растягиваться и менять форму. Но длины основания и высоты у него не меняются. Следовательно, не меняется и площадь.

Рис. 17. При движении точки по верхнему рельсу треугольник измененной формы имеет ту же площадь, т. к. длины основания и высоты остаются теми же

Этот факт мы использовали, когда доказывали, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Действительно, у этих треугольников общая высота, а основания равны, так как основание медианы – середина стороны (см. рис. 18).

Рис. 18. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника

3.                  Использовать эту формулу можно для вычисления длин сторон или высот, даже если вычислять площадь и не требуется.

Пример 1. В треугольнике сторона , сторона , высота . Найти высоту  (см. рис. 19).

Рис. 19. Иллюстрация к примеру 1

Решение.

Приравняем площади треугольника, вычисленные для сторон  и :

Выразим :

Ответ: .

Фактически мы здесь можем использовать не формулу для вычисления площади треугольника, а следствие из нее:

где  – высоты, проведенные к соответствующим сторонам.

Пример 2. В треугольнике длины сторон равны: , , . Найти высоту, проведенную к большей стороне  (см. рис. 20).

Рис. 20. Иллюстрация к примеру 2

Решение.

Заметим, что это египетский треугольник. Его стороны подчиняются соотношению:

Следовательно, по обратной теореме Пифагора, он прямоугольный (см. рис. 21). Большая сторона является гипотенузой.

Рис. 21. Иллюстрация к примеру 2

С одной стороны, площадь прямоугольного треугольника можно найти как полупроизведение катетов:

С другой – как полупроизведение гипотенузы на высоту, проведенную из прямого угла:

Приравнивая, получаем:

Ответ: .

Заключение

Итак, мы рассмотрели площадь прямоугольника и площадь квадрата, вспомнили свойства площадей. По одному из свойств площадь квадрата со стороной  равна . Пользуясь свойствами площадей, мы доказали теорему: площадь прямоугольника со сторонами  и  равна . Мы доказали эту теорему и решили типовые задачи на нее.

Доказательство формулы площади квадрата

Дано: квадрат со стороной .

Доказать: .

Доказательство

Число  может быть любым.

Первый случай

Пусть , где . Возьмем квадрат со стороной 1 – это эталон. Разобьем его на  равных квадратов и по свойству площадей имеем:  – это площадь эталона, с другой стороны, она равна , где  – площадь искомого квадрата со стороной  (см. Рис. 5). Отсюда получаем искомую площадь :.

Рис. 5. Иллюстрация к доказательству теоремы о площади квадрата (первый случай)

Что и требовалось доказать.

Примечание

В эталоне каждая из смежных сторон имеет длину 1. Она разбита на  частей, и тогда квадрат  разбит на  одинаковых частей, т. е. квадратов с искомой площадью . Искомую площадь  квадрата со стороной  сравнили с эталоном, площадью квадрата со стороной 1, например 1 м, т. е. квадратным метром, и получили, что искомая площадь  равна . Что и требовалось доказать в первом случае.

Второй случай (см. Рис. 6)

Рис. 6. Иллюстрация к доказательству теоремы о площади квадрата (второй случай)

Пусть  – конечная десятичная дробь с  знаками после запятой.

Тогда , , то есть это натуральное число. Каждую из сторон квадрата со стороной  разобьем на  равных частей:

Квадрат с искомой площадью , разобьется на  равных квадратов со стороной  и площадью . Тогда искомая площадь  равна:

Что и требовалось доказать.

Пояснение на конкретных числах: (см. Рис. 7)

Рис. 7. Иллюстрация к пояснению

Пусть ;

Сторону, равную 2,14 искомого квадрата, разделили на 214 равных частей.

Отношение стороны к :

Это сторона малого квадрата, а таких квадратов  штук.

Тогда , а площадь  равна .

Подставляем: .

Что и требовалось доказать.

Третий случай

Пусть  – бесконечная десятичная дробь. К такому числу  можно приближаться меньшими рациональными числами. Например: ; ; ;…; , т. е. мы отбрасываем все знаки, начиная с .

Пусть , тогда число  заключено в пределах: .

Разъясняющий пример:

Имеем:

Значит, для искомой площади  квадрата со стороной  имеем: .

Искомый квадрат вмещает в себя квадрат со стороной  и является частью квадрата со стороной , (см. Рис. 8),  пока фиксированно.

Рис. 8. Иллюстрация к доказательству теоремы о площади квадрата (третий случай)

Пусть теперь  стремится к плюс бесконечности (), тогда , .

То есть , что и требовалось доказать.

Итак, доказано, что площадь квадрата со стороной , где  – любое положительное число, равна .

Список литературы

1. Геометрия, 7–9 классы, Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. – 15-е изд. – М.: Просвещение, 2005.

2. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

4. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт math-prosto.ru (Источник)

2. Интернет-сайт «Курсотека» (Источник)

3. Интернет-сайт «Школьный помощник» (Источник)

Домашнее задание

1. Дан прямоугольник, у которого  и  – смежные стороны. Найдите площадь прямоугольника, если:

1. ; ; 2. ; ; 3. ; ;

4.  ; ; 5. ; ; 6. ; ;

7. ; .

2. В прямоугольнике одна сторона на 2 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна .

Ссылка на основную публикацию