Математический анализ примеры

Производная степенно-показательной функции

Данную функцию мы еще не рассматривали. Степенно-показательная функция – это функция, у которой и степень и основание зависят от «икс»
. Классический пример, который вам приведут в любом учебнике или на любой лекции:

Как найти производную от степенно-показательной функции?

Необходимо использовать только что рассмотренный приём – логарифмическую производную. Навешиваем логарифмы на обе части:

Как правило, в правой части из-под логарифма выносится степень:

В результате в правой части у нас получилось произведение двух функций, которое будет дифференцироваться по стандартной формуле .

Находим производную, для этого заключаем обе части под штрихи:

Дальнейшие действия несложны:

Окончательно:

Если какое-то преобразование не совсем понятно, пожалуйста, внимательно перечитайте объяснения Примера № 11.

В практических заданиях степенно-показательная функция всегда будет сложнее, чем рассмотренный лекционный пример.

Пример 13

Найти производную функции

Используем логарифмическую производную.

В правой части у нас константа и произведение двух множителей – «икса» и «логарифма логарифма икс» (под логарифм вложен еще один логарифм). При дифференцировании константу, как мы помним, лучше сразу вынести за знак производной, чтобы она не мешалась под ногами; и, конечно, применяем знакомое правило :

Пусть(1)
есть дифференцируемая функция от переменной x
.
В начале мы рассмотрим ее на множестве значений x
,
для которых y
принимает положительные значения: .
В дальнейшем мы покажем, что все полученные результаты применимы и для отрицательных значений .

В некоторых случаях, чтобы найти производную функции (1), ее удобно предварительно прологарифмировать,
а затем вычислить производную. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции ,.
Отсюда(2)
.

Производная от логарифма функции называется логарифмической производной:.

Логарифмическая производная функции y = f(x)

— это производная натурального логарифма этой функции: (ln f(x))′

.

«Распаковка» сложной функции

Посмотри на предыдущую функцию еще раз. Сможешь ли ты разобраться в последовательности «упаковки»? Во что икс запихнули сначала, во что потом и так далее до самого конца. То есть — какая функция вложена в какую? Возьми листок и запиши, как ты считаешь. Можно сделать это цепочкой со стрелками как мы писали выше или любым другим способом.

Сделал?

Теперь правильный ответ: сначала икс «упаковали» в \(4\)-ую степень, потом результат упаковали в синус, его в свою очередь поместили в логарифм по основанию \(2\), и в конце концов всю эту конструкцию засунули в степень пятерки.

То есть разматывать последовательность надо В ОБРАТНОМ ПОРЯДКЕ. И тут подсказка как это делать проще: сразу смотри на икс – от него и надо плясать. Давай разберем несколько примеров.

Например, вот такая функция: \(y=tg⁡(\log_2⁡x )\). Смотрим на икс – что с ним происходит сначала? Берется логарифм от него. А потом? Берется тангенс от результата. Вот и последовательность будет такая же:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x )\)

Еще пример: \(y=\cos⁡{(x^3 )}\). Анализируем – сначала икс возвели в куб, а потом от результата взяли косинус. Значит, последовательность будет: \(x → x^3 → \cos⁡{(x^3 )}\)

Обрати внимание, функция вроде бы похожа на самую первую (там, где с картинками). Но это совсем другая функция: здесь в кубе икс (то есть \(\cos⁡{(x·x·x)})\), а там в кубе косинус \(x\) (то есть, \(\cos⁡x·\cos⁡x·\cos⁡x\))

Эта разница возникает из-за разных последовательностей «упаковки».

Последний пример (с важной информацией в нем): \(y=\sin⁡{(2x+5)}\). Понятно, что здесь сначала сделали арифметические действия с иксом, потом от результата взяли синус: \(x → 2x+5 → \sin⁡{(2x+5)}\)

И это важный момент: несмотря на то, что арифметические действия функциями сами по себе не являются, здесь они тоже выступают как способ «упаковки». Давай немного углубимся в эту тонкость.

Как я уже говорил выше, в простых функциях икс «упаковывается» один раз, а в сложных — два и более. При этом любая комбинация простых функций (то есть их сумма, разность, умножение или деление) — тоже простая функция. Например, \(x^7\) – простая функция и \(ctg x\) — тоже. Значит и все их комбинации являются простыми функциями:

\(x^7+ ctg x\) — простая,
\(x^7· ctg x\) – простая, \(\frac{x^7}{ctg x}\) – простая и т.д.

Однако если к такой комбинации применить еще одну функцию – будет уже сложная функция, так как «упаковок» станет две. Смотри схему:

Хорошо, давай теперь сам. Напиши последовательность «заворачивания» функций:
   \(y=cos{⁡(sin⁡x)}\)

   \(y=5^{x^7}\)

   \(y=arctg⁡{11^x}\)

   \(y=log_2⁡(1+x)\)

Ответы опять в конце статьи.

Более сложные примеры

В более сложных примерах мы применяем правило дифференцирования сложной функции несколько раз. При этом мы вычисляем производную с конца. То есть разбиваем функцию на составные части и находим производные самых простых частей, используя таблицу производных. Также мы применяем правила дифференцирования суммы, произведения и дроби. Затем делаем подстановки и применяем формулу производной сложной функции.

Пример 4

Найдите производную.

Решение

Выделим самую простую часть формулы и найдем ее производную. .

Применяем правило дифференцирования сложной функции.. Здесь мы использовали обозначение.

Находим производную следующей части исходной функции, применяя полученные результаты. Применяем правило дифференцирования суммы:.

Еще раз применяем правило дифференцирования сложной функции.. Здесь .

Ответ

.

Пример 5

Найдите производную функции.

Решение

Выделим самую простую часть формулы и из таблицы производных найдем ее производную. .

Применяем правило дифференцирования сложной функции.. Здесь.

Дифференцируем следующую часть, применяя полученные результаты.. Здесь.

Дифференцируем следующую часть.. Здесь.

Теперь находим производную искомой функции.. Здесь.

Ответ

.

Производная натурального логарифма

Еще раз выпишем формулу производной логарифма по основанию . Эта формула имеет наиболее простой вид для натурального логарифма, для которого , . Тогда(1)   .

Из-за такой простоты, натуральный логарифм очень широко используется в математическом анализе и в других разделах математики, связанных с дифференциальным исчислением. Логарифмические функции с другими основаниями можно выразить через натуральный логарифм, используя свойство (6):.

Производную логарифма по основанию можно найти из формулы (1), если вынести постоянную за знак дифференцирования:.

Другие способы доказательство производной логарифма

Здесь мы предполагаем, что нам известна формула производной экспоненты:(9)   . Тогда мы можем вывести формулу производной натурального логарифма, учитывая, что логарифм является обратной функцией к экспоненте.

Докажем формулу производной натурального логарифма, применив формулу производной обратной функции:. В нашем случае . Обратной функцией к натуральному логарифму является экспонента:. Ее производная определяется по формуле (9). Переменные можно обозначить любой буквой. В формуле (9), заменим переменную x на y:. Поскольку , то. Тогда. Формула доказана.

Теперь докажем формулу производной натурального логарифма с помощью правила дифференцирования сложной функции. Поскольку функции и являются обратными друг к другу, то. Дифференцируем это уравнение по переменной (10)   . Производная от икса равна единице:. Применяем правило дифференцирования сложной функции:. Здесь . Подставим в (10):. Отсюда.

Пример

Найти производные от ln 2x, ln 3x и ln nx.

Решение

Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = ln nx. Затем подставим n = 2 и n = 3. И, тем самым, получим формулы для производных от ln 2x и ln 3x.

Итак, ищем производную от функцииy = ln nx. Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:1)   Функции , зависящей от переменной ;2)   Функции , зависящей от переменной . Тогда исходная функция составлена из функций и .

Найдем производную от функции по переменной x:. Найдем производную от функции по переменной . Применяем формулу производной сложной функции.. Здесь мы подставили .

Итак, мы нашли:(11)   . Мы видим, что производная не зависит от . Этот результат вполне естественен, если преобразовать исходную функцию, применяя формулу логарифма от произведения:. – это постоянная. Ее производная равна нулю. Тогда по правилу дифференцирования суммы имеем:.

Ответ

;   ;   .

См. также Все примеры вычисления производных с решениями > > >

Основные формулы

Здесь мы приводим примеры вычисления производных от следующих функций:;   ;   ;   ;   .

Если функцию можно представить как сложную функцию в следующем виде:, то ее производная определяется по формуле:. В приводимых ниже примерах, мы будем записывать эту формулу в следующем виде:. где . Здесь нижние индексы или , расположенные под знаком производной, обозначают переменные, по которой выполняется дифференцирование.

Обычно, в таблицах производных, приводятся производные функций от переменной . Однако – это формальный параметр. Переменную можно заменить любой другой переменной. Поэтому, при дифференцировании функции от переменной , мы просто меняем, в таблице производных, переменную на переменную .

Таблица производных некоторых сложных функций

Для сложных функций на основании правила дифференцирования сложной функции
формула
производной простой функции принимает другой вид.

1. Производная сложной степенной функции, где u – дифференцируемая функция аргумента x
2. Производная корня от выражения
3. Производная показательной функции
4. Частный случай показательной функции
5. Производная логарифмической функции с произвольным положительным основанием а
6. Производная сложной логарифмической функции, где u – дифференцируемая функция аргумента x
7. Производная синуса
8. Производная косинуса
9. Производная тангенса
10. Производная котангенса
11. Производная арксинуса
12. Производная арккосинуса
13. Производная арктангенса
14. Производная арккотангенса

Производная степенно-показательной функции

Данную функцию мы еще не рассматривали. Степенно-показательная функция – это  функция, у которой и степень и основание зависят от «икс». Классический пример, который вам приведут в любом учебнике или на любой лекции:

Как найти производную от степенно-показательной функции?

Необходимо использовать только что рассмотренный приём – логарифмическую производную. Навешиваем логарифмы на обе части:

Как правило, в правой части из-под логарифма выносится степень:

В результате в правой части у нас получилось произведение двух функций, которое будет дифференцироваться по стандартной формуле .

Находим производную, для этого заключаем обе части под штрихи:

Дальнейшие действия несложны:

Окончательно:

Если какое-то преобразование не совсем понятно, пожалуйста, внимательно перечитайте объяснения Примера № 11.

В практических заданиях степенно-показательная функция всегда будет сложнее, чем рассмотренный лекционный пример.

Пример 13

Найти производную функции

Используем логарифмическую производную.

В правой части у нас константа и произведение двух множителей – «икса» и «логарифма логарифма икс» (под логарифм вложен еще один логарифм). При дифференцировании константу, как мы помним, лучше сразу вынести за знак производной, чтобы она не мешалась под ногами; и, конечно, применяем знакомое правило :

Как видите, алгоритм применения логарифмической производной не содержит в себе каких-то особых хитростей или уловок, и нахождение производной степенно-показательной функции обычно не связано с «мучениями».

Заключительные два примера предназначены для самостоятельного решения.

Пример 14

Найти производную функции

Пример 15

Найти производную функции

Образцы решения и оформления совсем близко.

Не такое и сложное это дифференциальное исчисление

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 1: , , ,, , ,  , , , , , , , , , , , , , ,

Пример 3:

Пример 5: Примечание: перед дифференцированием можно было раскрыть скобки  и использовать правило  один раз.

Пример 7:

Пример 9: Сначала преобразуем функцию. Используем свойства логарифмов:Найдем производную. Используем правило дифференцирования сложной функции:

Пример 10: Сначала преобразуем функцию: Найдем производную:

Пример 12: Используем логарифмическую производную. Преобразуем функцию:Находим производную:

Пример 14: Используем логарифмическую производную:

Пример 15: Используем логарифмическую производную:

(Переход на главную страницу)

Что такое сложная функция?

Представь, что ты переезжаешь в другую квартиру и поэтому собираешь вещи в большие коробки. Пусть надо собрать какие-нибудь мелкие предметы, например, школьные письменные принадлежности. Если просто скидать их в огромную коробку, то они затеряются среди других вещей. Чтобы этого избежать, ты сначала кладешь их, например, в пакет, который затем укладываешь в большую коробку, после чего ее запечатываешь. Этот «сложнейший» процесс представлен на схеме ниже:

Казалось бы, причем здесь математика? Да притом, что сложная функция формируется ТОЧНО ТАКИМ ЖЕ способом! Только «упаковываем» мы не тетради и ручки, а \(x\), при этом «пакетами» и «коробками» служат разные функции.

Например, возьмем x и «запакуем» его в функцию косинуса:

В результате получим, ясное дело, \(\cos⁡x\). Это наш «пакет с вещами». А теперь кладем его в «коробку» — запаковываем, например, в кубическую функцию.

Что получится в итоге? Да, верно, будет «пакет с вещами в коробке», то есть «косинус икса в кубе».

Получившаяся конструкция и есть сложная функция. Она отличается от простой тем, что к одному иксу применяется НЕСКОЛЬКО «воздействий» (упаковок) подряд и получается как бы «функция от функции» — «упаковка в упаковке».

В школьном курсе видов этих самых «упаковок» совсем мало, всего четыре :

Давай теперь «упакуем» икс сначала в показательную функцию с основанием 7, а потом в тригонометрическую функцию тангенс. Получим:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

А теперь «упакуем» икс два раза в тригонометрические функции, сначала в синус, а потом в котангенс:

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x )\)

Просто, правда?

Напиши теперь сам функции, где икс:   — сначала «упаковывается» в косинус, а потом в показательную функцию с основанием \(3\);    — сначала в пятую степень, а затем в тангенс;    — сначала в логарифм по основанию \(4\), затем в степень \(-2\). 


Ответы на это задание посмотри в конце статьи.

А можем ли мы «упаковать» икс не два, а три раза? Да, без проблем! И четыре, и пять, и двадцать пять раз. Вот, например, функция, в которой икс «упакован» \(4\) раза:

\(y=5^{\log_2⁡{\sin⁡(x^4 )}}\)

Но такие формулы в школьной практике не встретятся (студентам повезло больше — у них может быть и посложнее).

Вывод формул производных натурального логарифма и логарифма по основанию a

Производная натурального логарифма от x равна единице, деленной на x:(1)   .

Производная логарифма по основанию a равна единице, деленной на переменную x, умноженную на натуральный логарифм от (2)   .

Далее мы приводим вывод этих формул.

Доказательство

Пусть есть некоторое положительное число, не равное единице. Рассмотрим функцию, зависящую от переменной , которая является логарифмом по основанию . Эта функция определена при . Найдем ее производную по переменной . По определению, производная является следующим пределом:(3)   .

Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать следующие факты:А) Свойства логарифма. Нам понадобятся следующие формулы:(4)   ;(5)   ;(6)   ;Б) Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:(7)   . Здесь – некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.В) Значение второго замечательного предела:(8)   .

Применяем эти факты к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение. Для этого применим свойства (4) и (5)..

Далее сделаем подстановку . При , . Тогда.

Воспользуемся свойством (7) и вторым замечательным пределом (8):.

И, наконец, применим свойство (6):. Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом. Он обозначается так:. Тогда   ;.

Тем самым мы получили формулу (2) производной логарифма.

Ссылка на основную публикацию