Урок-игра «производная степенной функции. правила дифференцирования»

Производная дроби через степенную функцию

Но и на этом возможности формулы для решения производной степенной функции не заканчиваются. Дело в том, что с ее помощью можно считать не только примеры с корнями, но также и с дробями. Это как раз та редкая возможность, которая значительно упрощает решение таких примеров, но при этом зачастую игнорируется не только учениками, но и учителями.

Итак, сейчас мы попытаемся совместить сразу две формулы. С одной стороны, классическая производная степенной функции

\

С другой стороны мы знаем, что выражение вида $\frac{1}{{{x}^{n}}}$ представимо в виде ${{x}^{-n}}$. Следовательно,

\

Пример:

\

Таким образом, производные простых дробей, где в числителе стоит константа, а в знаменателе — степень, также считаются с помощью классической формулы. Посмотрим, как это работает на практике.

Итак, первая функция:

\

Считаем:

\

Первый пример решен, переходим ко второму:

\

Решаем:

\…

Теперь собираем все эти слагаемые в единую формулу:

\

Мы получили ответ.

Однако прежде чем двигаться дальше, хотел бы обратить ваше внимание на форму записи самих исходных выражений: в первом выражении мы записали $f\left( x \right)=…$, во втором: $y=…$ Многие ученики теряются, когда видят разные формы записи. Чем отличаются $f\left( x \right)$ и $y$? На самом деле, ничем

Это просто разные записи с одним и тем же смыслом. Просто когда мы говорим $f\left( x \right)$, то речь идет, прежде всего, о функции, а когда речь идет об $y$, то чаще всего подразумевается график функции. В остальном же это одно и то же, т. е., производная в обоих случаях считается одинаково.

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (843,3 кБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.. Тип урока: урок усвоения нового материала

Тип урока: урок усвоения нового материала.

Форма проведения урока: работа в группах.

Цели:

Обучающая – повторение определения производной, выработка умений и навыков при вычислении производной.

Воспитывающая – формировать гуманное отношение на уроке через работу в группах, умение слушать друг друга.

Развивающая – развивать речь, память, внимание, интерес к математике.

Оборудование: презентация, проектор, компьютер, доска.

Ход урока

1. Организационный момент.

Вступительное слово учителя. (слайды 1–3)

Тема урока «Производная степенной функции». Сегодня мы повторим определение производной, формулу средней скорости. Познакомимся с формулами производной степенной функции, закрепим умение применять формулы производной при решении примеров. Объявляются цели и задачи урока.

2. Актуализация опорных знаний, умений учащихся.

Проверка домашнего задания №№460, 461 (2, 4) (Домашнее задание проверяют консультанты).

№460

2) f(x)=5х+7                                         4)  f(x)=-3×2+2

f’(x)=(5x+7)’=(5x)’+7’=5                     f’(x)=(-3×2+2)’=(-3×2)’+2’= -6x

Ответ: f’(x)=5                                     Ответ: f’(x)= -6x

№461

2) f(x)=4x                                  4) f(x)=-5x-7

f’(x)=(4x)’=4                             f’(x)=(-5x-7)’=-5

Ответ: f’(x)=4                        Ответ: f’(x)=-5

3. Работа в группах (10 минут)

Раздать каждой группе карточки.

  • Карточка №1 для первой группы (слайд 4)
  • Карточка №2 для второй группы (слайд 5)
  • Карточка №3 для третьей  группы (слайд 6)

Работу в группе оценивает консультант.

4. Формирование новых знаний и формул.

Рассмотрим пример  (слайд 7)

Докажем, что

(Доказывает консультант у доски)

Решаем примеры.

  1. (х2)’=2х2-1=2х
  2. (х3)’=3х3-1=3х2
  3. (х6)’=6х5
  4. (х10)’=10х9

Для любого действительного показателя справедлива формула: (хn)’ = nxn-1

Формула: ((kx+b)n)’ = nk(kx+b)n-1

Пример:

((5х+6)3)’=3*5(5х+6)3-1=15(5х+6)2

5

Упражнение на внимание (слайды 8-9). 6

Применение формул при решении примеров (слайд 10)

6. Применение формул при решении примеров (слайд 10)

В классе решаем номера №467–470 (1, 3).

Работа учащихся у доски (решение примеров 467, 468 (1, 3) с объяснением)

№467

1) (х6)’=6х5

3) (х11)’=11х10

№468

1) (-х-2)’=-2х-3

3) (х-4)=-4х-5

7. Обобщение и систематизация знаний учащихся.

Группы выполняют самостоятельную  работу по карточке. (слайд 11)

8. Задание на дом. (слайд 12)

9. Итог урока:

  • подвести итог урока
  • сообщить оценки
  • наиболее активных отметить

18.04.2011

Определение производных высших порядков

Здесь мы рассматриваем случай, когда переменная зависит от переменной явным образом:. Дифференцируя функцию    по переменной , получаем производную первого порядка, или просто производную:. В результате получаем новую функцию  , которая является производной функции  . Дифференцируя эту новую функцию    по переменной , получаем производную второго порядка:. Дифференцируя функцию  , получаем производную третьего порядка:. И так далее. Дифференцируя исходную функцию    раз, получаем производную -го порядка или n-ю производную:.

Производные могут обозначаться штрихами, римскими цифрами, арабскими цифрами в скобках или дробью из дифференциалов. Например, производные третьего и четвертого порядков могут обозначаться так:;.

Ниже приведены формулы, которые могут быть полезными при вычислении производных высших порядков.

Пошаговые примеры — как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

.

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение,
а его сомножители — суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель.
Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.
В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим
и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная
которой равна нулю. Итак, «икс» у нас превращается в единицу, а минус 5 — в ноль.
Во втором выражении «икс» умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как
производную «икса». Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем
требуемую условием задачи производную всей функции:

А проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного:
производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и
числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также,
что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где
сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, ,
то добро пожаловать на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями».

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других
тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде ,
то Вам на урок «Производные простых тригонометрических функций».

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых — квадратный корень
из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По
правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого — квадратный корень
из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили
и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на :

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Интегрирование степенной функции с рациональным основанием, теория, примеры

Пусть задана степенная функция с рациональным показателем.

Доказать:

Другими словами нужно доказать, что в правой части равенства стоит множество всех первообразных подынтегральной функции.

Для этого возьмем производную правой части и покажем, что она равна подынтегральному выражению.

Что и требовалось доказать.

Усложним степенную функцию.

Доказать:

Докажем аналогично предыдущему случаю, возьмем производную от правой части:

Что и требовалось доказать.

Пример 7 – найти неопределенный интеграл:

Выполним проверку. Для этого возьмем производную от полученного выражения:

Получена исходная функция, а значит, неопределенный интеграл найден верно.

Пример 8 – вычислить определенный интеграл:

Итак, мы рассмотрели дифференцирование и интегрирование степенных функций с рациональным показателем. Мы вывели некоторые важные формулы, а также решили несколько простых примеров для закрепления материала.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Математический анализ (Источник).

2. Математический анализ (Источник).

3. Старая школа (Источник).

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10-11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 208-211;

2. Определить производную функции в точке:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

3.      Вычислить определенный интеграл:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

Таблица производных простых функций

1. Производная константы (числа). Любого числа (1, 2, 5, 200…), которое есть в выражении функции. Всегда равна нулю

Это очень важно помнить, так как требуется очень часто

2. Производная независимой переменной. Чаще всего «икса»

Всегда равна единице. Это тоже важно запомнить надолго

3. Производная степени. В степень при решении задач нужно преобразовывать неквадратные корни.

4. Производная переменной в степени -1

5. Производная квадратного корня

6. Производная синуса

7. Производная косинуса

8. Производная тангенса

9. Производная котангенса

10. Производная арксинуса

11. Производная арккосинуса

12. Производная арктангенса

13. Производная арккотангенса

14. Производная натурального логарифма

15. Производная логарифмической функции

16. Производная экспоненты

17. Производная показательной функции

Что такое производная?

Итак, начнем издалека. Много лет назад, когда деревья были зеленее, а жизнь была веселее, математики задумались вот над чем: рассмотрим простую функцию, заданную своим графиком, назовем ее $y=f\left( x \right)$. Разумеется, график существует не сам по себе, поэтому нужно провести оси $x$, а также ось $y$. А теперь давайте выберем любую точку на этом графике, абсолютно любую. Абсциссу назовем ${{x}_{1}}$, ордината, как не трудно догадаться, будет $f\left( {{x}_{1}} \right)$.

Рассмотрим на том же графике еще одну точку

Не важно, какую, главное, чтобы она отличалась от первоначальной. У нее, опять же, есть абсцисса, назовем ее ${{x}_{2}}$, а также ордината — $f\left( {{x}_{2}} \right)$

Итак, мы получили две точки: у них разные абсциссы и, следовательно, разные значения функции, хотя последнее — необязательно

А вот что действительно важно, так это что, что из курса планиметрии нам известно: через две точки можно провести прямую и, причем, только одну. Вот давайте ее и проведем

А теперь проведем через самую первую из них прямую, параллельную оси абсцисс. Получим прямоугольный треугольник. Давайте его обозначим $ABC$, прямой угол $C$. У этого треугольника возникает одно очень интересное свойство: дело в том, что угол$\alpha $, на самом деле, равен углу, под которым пересекается прямая $AB$ с продолжением оси абсцисс. Судите сами:

  1. прямая $AC$параллельна оси $Ox$ по построению,
  2. прямая $AB$ пересекает $AC$ под $\alpha $,
  3. следовательно, $AB$ пересекает $Ox$под тем же самым $\alpha $.

Что мы можем сказать об $\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$? Ничего конкретного, разве что в треугольнике $ABC$отношение катета $BC$ к катету $AC$ равно тангенсу этого самого угла. Так и запишем:

\

Разумеется, $AC$ в данном случае легко считается:

\

Точно также и $BC$:

\

Другими словами, мы можем записать следующее:

\

Теперь, когда мы все это выяснили, давайте вернемся к нашему графику и рассмотрим новую точку $B$. Сотрем старые значения и возьмем и возьмем $B$ где-нибудь поближе к ${{x}_{1}}$. Вновь обозначим ее абсциссу за ${{x}_{2}}$, а ординату — $f\left( {{x}_{2}} \right)$.

Вновь рассмотрим наш маленький треугольник $ABC$и $\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$ внутри него. Совершенно очевидно, что это будет уже совсем другой угол, тангенс будет также другим потому, что длины отрезков $AC$ и $BC$ существенно изменились, а формула для тангенса угла нисколько не поменялась — это по-прежнему соотношение между изменением функции и изменением аргумента.

Наконец, продолжаем двигать $B$ все ближе к изначальной точке $A$, в результате треугольник еще уменьшится, а прямая, содержащая отрезок $AB$, все больше будет походить на касательную к графику функции.

 

В итоге, если продолжать сближение точек, т. е., уменьшать расстояние до нуля, то прямая $AB$, действительно, превратится в касательную к графику в данной точке, а $\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$превратится из обычного элемента треугольника в угол между касательной к графику и положительным направлением оси $Ox$.

И вот тут мы плавно переходим к определению$f$, а именно, производной функции в точке ${{x}_{1}}$ называется тангенс угла $\alpha $ между касательной к графику в точке ${{x}_{1}}$ и положительным направлением оси $Ox$:

\

Возвращаясь к нашему графику, следует отметить, что в качестве ${{x}_{1}}$ можно выбрать любую точку на графике. Например, с тем же успехом мы могли снять штрих в точке, показанной на рисунке. 

Угол между касательной и положительным направлением оси назовем $\beta $. Соответственно, $f$ в ${{x}_{2}}$ будет равна тангенсу этого угла $\beta $.

\

В каждой точке графика будет своя касательная, а, следовательно, свое значение функции. В каждом из этих случаев помимо точки, в которой мы ищем производную разности или суммы, или производную степенной функции, необходимо взять другую точку, находящуюся на некотором расстоянии от нее, а затем устремить эту точку к исходной и, разумеется, выяснить, как в процессе такого движения будет меняться тангенс угла наклона.

Таблица производных

Для того чтобы дать ответ на вопрос как найти производную, необходимо привести таблицу производных основных функций. Для вычисления производных элементарных функций не обязательно производить сложные вычисления. Достаточно просто посмотреть ее значение в таблице производных.

  1. (sin x)»=cos x
  2. (cos x)»= –sin x
  3. (x n)»=n x n-1
  4. (e x)»=e x
  5. (ln x)»=1/x
  6. (a x)»=a x ln a
  7. (log a x)»=1/x ln a
  8. (tg x)»=1/cos 2 x
  9. (ctg x)»= – 1/sin 2 x
  10. (arcsin x)»= 1/√(1-x 2)
  11. (arccos x)»= — 1/√(1-x 2)
  12. (arctg x)»= 1/(1+x 2)
  13. (arcctg x)»= — 1/(1+x 2)

Пример 2. Найдите производную функции y=x 100 .

Это степенная функция в показателе которой 100 и чтобы найти ее производную нужно умножить функцию на показатель и понизить на 1 (формула 3).

(x 100)»=100 x 99

Сложные задачи с производными

В заключение хотелось бы рассмотреть пару сложных комбинированных задач, в которых используется сразу все то, что мы сегодня рассмотрели. В них нас ждут и корни, и дроби, и суммы. Однако сложными эти примеры будут лишь в рамках сегодняшнего видеоурока, потому что по-настоящему сложные функции производных будут ждать вас впереди.

Итак, заключительная часть сегодняшнего видеоурока, состоящая из двух комбинированных задач. Начнем с первой из них:

\{x}\]

Считаем:

\{x} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{3}} \right)}^{\prime }}-{{\left( \frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{\prime }}+\left( \sqrt{x} \right) \\& {{\left( {{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=3{{x}^{2}} \\& {{\left( \frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{-3}} \right)}^{\prime }}=-3\cdot {{x}^{-4}}=-\frac{3}{{{x}^{4}}} \\& {{\left( \sqrt{x} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{{{x}^{\frac{2}{3}}}}=\frac{1}{3\sqrt{{{x}^{2}}}} \\\end{align}\]

Производная функции равна:

\{{{x}^{2}}}}\]

Первый пример решен. Рассмотрим вторую задачу:

\{x}+\frac{4}{x\sqrt{{{x}^{3}}}}\]

Во втором примере действуем аналогично:

\{x}+\frac{4}{x\sqrt{{{x}^{3}}}} \right)}^{\prime }}={{\left( -\frac{2}{{{x}^{4}}} \right)}^{\prime }}+{{\left( \sqrt{x} \right)}^{\prime }}+{{\left( \frac{4}{x\cdot \sqrt{{{x}^{3}}}} \right)}^{\prime }}\]

Посчитаем каждое слагаемое отдельно:

\{x} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{\frac{1}{4}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{4}\cdot {{x}^{-\frac{3}{4}}}=\frac{1}{4\cdot {{x}^{\frac{3}{4}}}}=\frac{1}{4\sqrt{{{x}^{3}}}} \\& {{\left( \frac{4}{x\cdot \sqrt{{{x}^{3}}}} \right)}^{\prime }}={{\left( \frac{4}{x\cdot {{x}^{\frac{3}{4}}}} \right)}^{\prime }}={{\left( \frac{4}{{{x}^{1\frac{3}{4}}}} \right)}^{\prime }}=4\cdot {{\left( {{x}^{-1\frac{3}{4}}} \right)}^{\prime }}= \\& =4\cdot \left( -1\frac{3}{4} \right)\cdot {{x}^{-2\frac{3}{4}}}=4\cdot \left( -\frac{7}{4} \right)\cdot \frac{1}{{{x}^{2\frac{3}{4}}}}=\frac{-7}{{{x}^{2}}\cdot {{x}^{\frac{3}{4}}}}=-\frac{7}{{{x}^{2}}\cdot \sqrt{{{x}^{3}}}} \\\end{align}\]

Все слагаемые посчитаны. Теперь возвращаемся к исходной формуле и складываем вместе все три слагаемых. Получаем, что окончательный ответ будет таким:

\{{{x}^{3}}}}-\frac{7}{{{x}^{2}}\cdot \sqrt{{{x}^{3}}}}\]

И на этом все. Это был первый наш урок. В следующих уроках мы рассмотрим более сложные конструкции, а также выясним, зачем вообще нужны производные. 

  1. Производная произведения и частного
  2. Правила вычисления производных
  3. Тест к уроку «Площади многоугольников на координатной сетке» (легкий)
  4. Преобразование уравнений
  5. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 5 (без производной)
  6. Задача B2: лекарство и таблетки

Основные правила дифференцирования

До этого мы рассматривали довольно простые, то есть стандартные функции, для каждой из которых производную можно узнать из справочника или таблицы. Но что делать, если нам потребовалось продифференцировать функцию, которая состоит из нескольких основных? Например, что делать с функциями у = 5х2 + 6х – 3 или у = x•sinx?

Все более сложные функции можно получить из нескольких простых, комбинируя их. Так, функция у = х3 + х2 получается сложением функций у = х3 и у = х2, а функция у = (lnx)•(cosx) – произведением функций у = lnx и у = сosx.

Есть несколько правил, которые позволяют находить производные в таких случаях. Мы не будем их доказывать, а просто дадим их формулировки. Также будем нумеровать правила. Первое из них помогает находить производную сумму функций.

В данном случае u и v – это просто обозначение каких-то произвольных функций. Рассмотрим пример. Пусть надо найти производную функции

Правило работает и в том случае, если сумма представляет собой сумму не двух, а большего числа слагаемых:

Следующее правило позволяет выносить постоянный множитель за знак производной:

Покажем использование этого правила:

Действительно, зная эти формулы и первые два правила вычисления производных, мы можем записать, что

Задание. Вычислите значение производной функции у = 9х3 + 7х2 – 25х + 7 в точке х = 1.

Решение. Пользуясь правилами дифференцирования, находим производную:

Несколько сложнее обстоит дело с дифференцированием функций, получающихся при перемножении простых функций. В таких случаях используется следующее правило:

Предположим, надо найти производную для функции у = х2•sinx. Её можно представить как произведение u•v, где

Примечание. В последнем случае мы в конце примера использовали формулу :

Заметим, что иногда одно и то же задание с производной можно решить по-разному, используя или не используя правило для вычисления производной произведения функций.

Задание. Найдите производную функции у = х2•(3х + х3). Вычислите ее значение при х = 1.

Решение. Функция у представляет собой произведение более простых функций u•v, где

Задание. Продифференцируйте функцию

Решение. Здесь перед нами функция, которая представляет собой произведение сразу трех множителей. Что делать в таком случае? Надо всего лишь добавить скобки и их помощью оставить только два множителя (один их них окажется «сложным»):

Довольно сложно выглядит формула для поиска производной дроби:

Например, пусть надо найти производную функции

С помощью данного правила можно доказать некоторые равенства. Так, ранее мы уже записали (без доказательства) формулы производных тригонометрических функций:

Оказывается, формула для тангенса может быть выведена из формул для синуса и косинуса. Действительно, тангенс можно записать в виде дроби:

Задание. Найдите, в каких точках надо провести касательную к графику дробно-линейной функции

чтобы эта касательная образовала с осью Ох угол в 135°.

Решение. Угол будет равен 135° только тогда, когда значение производной будет равно (– 1) (так как tg 135° = – 1). Поэтому сначала найдем производную. В данном случае следует использовать правило 4, так как функция у явно записана как дробь:

Получили два значения х. Построив график и проведя касательные, мы убедимся, что они действительно образуют с осью Ох угол 135°:

Ответ: – 2 и 0.

Заметим, что иногда можно избавиться от необходимости использовать правило 4, если дифференцируемую функцию можно преобразовать. При этом часто помогает использование отрицательных степеней. Пусть надо продифференцировать функцию

Напрашивается решение использовать правило 4.И такой путь позволит получить правильное решение, хотя и будет несколько трудоемким. Однако можно преобразовать функцию:

У нас получилось произведение, а потому можно использовать правило 3, которое представляется более простым:

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны, т.е.

Правило 2. Если функции

и

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой. 

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

и

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные — в статье «Производная произведения и частного функций».

Здесь же (далее) — более простые примеры на производную произведения и частного, на которых Вы увереннее освоите алгоритмы вычислений.

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме
и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она
выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных,
но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое
, в котором — число,
например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё
слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка — механическое решение производной сложной
функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями,
то есть, когда функция имеет вид вроде , то
следуйте на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями».

Если же перед Вами задача вроде ,
то Вам на занятие «Производные простых тригонометрических функций».

Производная сложной функции

«Сконструировать» громоздкую функцию из нескольких простых можно не только с помощью арифметических действий. Например, возьмем функции

В обоих случаях мы получили некоторую функцию, продифференцировать которую с помощью уже известных нам правил не получится. Функции, сконструированные таким образом, называются сложными. Есть универсальная формула, позволяющая находить производную сложной функции:

Посмотрим, как пользоваться эти правилом. Пусть надо вычислить производную функции

Она сконструирована из функции у = ex и у = sinx, причем вторая подставлена в первую. Это значит, что первую можно обозначить буквой u, а вторую – буквой v (если использовать обозначения в правиле 5):

Задание. Найдите у′, если у = sin 2x.

Решение. На этот раз в качестве исходной функции выступает

Убедиться в справедливости правила 5 можно на примере функции

Её можно продифференцировать двумя разными способами. Сначала попробуем просто избавиться от квадрата в исходной функции, используя формулу :

В результате оба способа вычисления производной дали одинаковый ответ.

Задание. Найдите производную сложной функции у = (2х + 5)1000.

Решение. В данном случае мы рассматриваем комбинацию следующих функций:

Теперь мы умеем вычислять производные почти любых функций, которые можно записать с помощью элементарных функций и арифметических операций. При этом нам не надо использовать определение понятия производной и вычислять какие бы то ни было пределы. Достаточно знать производные основных функций и несколько (всего лишь 5) правил дифференцирования. Навыки дифференцирования функций пригодятся в будущем при решении практических задач, связанных с производными.

Мы сделали подборку лучших онлайн-курсов по школьным предметам

Вывод формулы производной экспоненты, e в степени x

Экспонента — это показательная функция, у которой основание степени равно числу e
,
которое является следующим пределом:.
Здесь может быть как натуральным, так и действительным числом. Далее мы выводим формулу (1) производной экспоненты.

Вывод формулы производной экспоненты

Рассмотрим экспоненту, e
в степени x
:
y = e x
.
Эта функция определена для всех .
Найдем ее производную по переменной x
.
По определению, производная является следующим пределом:(3)
.

Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам понадобятся следующие факты:А)
Свойство экспоненты :(4)
;
Б)
Свойство логарифма :(5)
;
В)
Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:(6)
.
Здесь — некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.Г)
Значение второго замечательного предела:(7)
.

Применяем эти факты к нашему пределу (3). Используем свойство (4):;
.

Сделаем подстановку .
Тогда ;
.
В силу непрерывности экспоненты,.
Поэтому при ,
.
В результате получаем:.

Сделаем подстановку .
Тогда .
При ,
.
И мы имеем:.

Применим свойство логарифма (5):.
Тогда.

Применим свойство (6). Поскольку существует положительный предел и логарифм непрерывен, то:.
Здесь мы также воспользовались вторым замечательным пределом (7). Тогда.

Тем самым мы получили формулу (1) производной экспоненты.

Ссылка на основную публикацию