Тригонометрическая таблица

Основные формулы, содержащие синус и косинус

Формулы синуса и косинуса суммы и разности

\( \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \) \( \sin(x — y) = \sin x \cos y — \cos x \sin y \) \( \cos(x + y) = \cos x \cos y — \sin x \sin y \) \( \cos(x — y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \)

\( \sin( 2x ) = 2 \sin x \cos x \) \( \cos( 2x ) = \cos^2 x — \sin^2 x = \)\( 2 \cos^2 x — 1 = 1 — 2 \sin^2 x \) \( \cos\left( \dfrac{\pi}2 — x \right) = \sin x \) ; \( \sin\left( \dfrac{\pi}2 — x \right) = \cos x \) \( \cos( x + \pi ) = — \cos x \) ; \( \sin( x + \pi ) = — \sin x \)

Формулы произведения синусов и косинусов

\( \sin x \cos y = \)\( \dfrac12 {\Large } \) \( \sin x \sin y = \)\( \dfrac12 {\Large } \) \( \cos x \cos y = \)\( \dfrac12 {\Large } \)

\( \sin x \cos y = \dfrac12 \sin 2x \) \( \sin^2 x = \dfrac12 {\Large } \) \( \cos^2 x = \dfrac12 {\Large } \)

Формулы суммы и разности

\( \sin x + \sin y = 2 \, \sin \dfrac{x+y}2 \, \cos \dfrac{x-y}2 \) \( \sin x — \sin y = 2 \, \sin \dfrac{x-y}2 \, \cos \dfrac{x+y}2 \) \( \cos x + \cos y = 2 \, \cos \dfrac{x+y}2 \, \cos \dfrac{x-y}2 \) \( \cos x — \cos y = 2 \, \sin \dfrac{x+y}2 \, \sin \dfrac{y-x}2 \)

Выражение синуса через косинус

Далее мы полагаем, что \( n \) – целое число.

\( \sin x = \cos\left( \dfrac{\pi}2 — x \right) = \)\( \cos\left( x — \dfrac{\pi}2 \right) = — \cos\left( x + \dfrac{\pi}2 \right) \)\( \sin^2 x = 1 — \cos^2 x \)\( \sin x = \sqrt{1 — \cos^2 x} \) \( \{ 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi + 2 \pi n \} \)\( \sin x = — \sqrt{1 — \cos^2 x} \) \( \{ -\pi + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 2 \pi n \} \).

Выражение косинуса через синус

\( \cos x = \sin\left( \dfrac{\pi}2 — x \right) = \)\( — \sin\left( x — \dfrac{\pi}2 \right) = \sin\left( x + \dfrac{\pi}2 \right) \)\( \cos^2 x = 1 — \sin^2 x \)\( \cos x = \sqrt{1 — \sin^2 x} \) \( \{ -\pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi/2 + 2 \pi n \} \)\( \cos x = — \sqrt{1 — \sin^2 x} \) \( \{ \pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 3\pi/2 + 2 \pi n \} \).

Выражение через тангенс

\( \sin^2 x = \dfrac{\tg^2 x}{1+\tg^2 x} \)\( \cos^2 x = \dfrac1{1+\tg^2 x} \).

При \( — \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n \( \sin x = \dfrac{\tg x}{ \sqrt{1+\tg^2 x} } \)\( \cos x = \dfrac1{ \sqrt{1+\tg^2 x} } \).

При \( \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n : \( \sin x = — \dfrac{\tg x}{ \sqrt{1+\tg^2 x} } \)\( \cos x = — \dfrac1{ \sqrt{1+\tg^2 x} } \).

Таблица синусов и косинусов в Excel

Пример 2. Ранее в учебных заведениях широко использовались справочники тригонометрических функций. Как можно создать свой простой справочник с помощью Excel для косинусов углов от 0 до 90?

Заполним столбцы значениями углов в градусах:

Для заполнения используем функцию COS как формулу массива. Пример заполнения первого столбца:

=COS(РАДИАНЫ(A2:A16))

Вычислим значения для всех значений углов. Полученный результат:

Примечание: известно, что cos(90°)=0, однако функция РАДИАНЫ(90) определяет значение радианов угла с некоторой погрешностью, поэтому для угла 90° было получено отличное от нуля значение.

Аналогичным способом создадим таблицу синусов в Excel:

Косинус любого угла

Благодаря числовой окружности можно определять косинус не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем \(360°\) (полный оборот). Как это делать — проще один раз увидеть, чем \(100\) раз услышать, поэтому смотрите картинку.

Теперь пояснение: пусть нужно определить косинус угла КОА с градусной мерой в \(150°\). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью \(x\). После этого откладываем \(150°\) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам косинус этого угла.

Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в \(-60°\) (угол КОВ), делаем также, но \(60°\) откладываем по часовой стрелке.

И, наконец, угол больше \(360°\) (угол КОС) — всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол \(405°\) отложен как \(360° + 45°\).

Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в \(960°\), надо сделать уже два оборота (\(360°+360°+240°\)), а для угла в \(2640°\) — целых семь.

Стоит запомнить, что:

Принятые обозначения

\( \sin^2 x \equiv (\sin x)^2; \)\( \quad \sin^3 x \equiv (\sin x)^3; \)\( \quad \sin^n x \equiv (\sin x)^n \)\( \sin^{-1} x \equiv \arcsin x \)\( (\sin x )^{-1} \equiv \dfrac1{\sin x} \equiv \cosec x \).

\( \cos^2 x \equiv (\cos x)^2; \)\( \quad \cos^3 x \equiv (\cos x)^3; \)\( \quad \cos^n x \equiv (\cos x)^n \)\( \cos^{-1} x \equiv \arccos x \)\( (\cos x )^{-1} \equiv \dfrac1{\cos x} \equiv \sec x \).

Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2π.

\( \sin(x + 2\pi) = \sin x; \quad \)\( \cos(x + 2\pi) = \cos x \)

Функция синус – нечетная. Функция косинус – четная.

\( \sin( -x ) = — \sin x; \quad \)\( \cos( -x ) = \cos x \)

Области определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

Основные свойства синуса и косинуса представлены в таблице (n — целое).

\( \small -\dfrac{\pi}2 + 2\pi n \)\( \small \( \small \dfrac{\pi}2 + 2\pi n \) \( \small -\pi + 2\pi n \)\( \small \( \small 2\pi n \)
Убывание \( \small \dfrac{\pi}2 + 2\pi n \)\( \small \( \small \dfrac{3\pi}2 + 2\pi n \) \( \small 2\pi n \)\( \small \( \pi + \small 2\pi n \)
Максимумы, \( \small x = \)\( \small \dfrac{\pi}2 + 2\pi n \) \( \small x = 2\pi n \)
Минимумы, \( \small x = \)\( \small -\dfrac{\pi}2 + 2\pi n \) \( \small x = \)\( \small \pi + 2\pi n \)
Нули, \( \small x = \pi n \) \( \small x = \dfrac{\pi}2 + \pi n \)
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 y = 1

Знаки косинуса по четвертям

С помощью оси косинусов (то есть, оси абсцисс, выделенной на рисунке красным цветом) легко определить знаки косинусов по четвертям числовой (тригонометрической) окружности:

— там, где значения на оси от \(0\) до \(1\), косинус будет иметь знак плюс (I и IV четверти – зеленая область),
— там, где значения на оси от \(0\) до \(-1\), косинус будет иметь знак минус (II и III  четверти – фиолетовая область).

Пример. Определите знак \(\cos 1\).Решение: Найдем \(1\) на тригонометрическом круге. Будем отталкиваться от того, что \(π=3,14\). Значит единица, примерно, в три раза ближе к нулю (точке «старта»).

Если провести перпендикуляр к оси косинусов, то станет очевидно, что \(\cos⁡1\) – положителен. Ответ: плюс.

Таблица косинусов от 0° до 180°

Cos(1°) 0.9998
Cos(2°) 0.9994
Cos(3°) 0.9986
Cos(4°) 0.9976
Cos(5°) 0.9962
Cos(6°) 0.9945
Cos(7°) 0.9925
Cos(8°) 0.9903
Cos(9°) 0.9877
Cos(10°) 0.9848
Cos(11°) 0.9816
Cos(12°) 0.9781
Cos(13°) 0.9744
Cos(14°) 0.9703
Cos(15°) 0.9659
Cos(16°) 0.9613
Cos(17°) 0.9563
Cos(18°) 0.9511
Cos(19°) 0.9455
Cos(20°) 0.9397
Cos(21°) 0.9336
Cos(22°) 0.9272
Cos(23°) 0.9205
Cos(24°) 0.9135
Cos(25°) 0.9063
Cos(26°) 0.8988
Cos(27°) 0.891
Cos(28°) 0.8829
Cos(29°) 0.8746
Cos(30°) 0.866
Cos(31°) 0.8572
Cos(32°) 0.848
Cos(33°) 0.8387
Cos(34°) 0.829
Cos(35°) 0.8192
Cos(36°) 0.809
Cos(37°) 0.7986
Cos(38°) 0.788
Cos(39°) 0.7771
Cos(40°) 0.766
Cos(41°) 0.7547
Cos(42°) 0.7431
Cos(43°) 0.7314
Cos(44°) 0.7193
Cos(45°) 0.7071
Cos(46°) 0.6947
Cos(47°) 0.682
Cos(48°) 0.6691
Cos(49°) 0.6561
Cos(50°) 0.6428
Cos(51°) 0.6293
Cos(52°) 0.6157
Cos(53°) 0.6018
Cos(54°) 0.5878
Cos(55°) 0.5736
Cos(56°) 0.5592
Cos(57°) 0.5446
Cos(58°) 0.5299
Cos(59°) 0.515
Cos(60°) 0.5
Cos(61°) 0.4848
Cos(62°) 0.4695
Cos(63°) 0.454
Cos(64°) 0.4384
Cos(65°) 0.4226
Cos(66°) 0.4067
Cos(67°) 0.3907
Cos(68°) 0.3746
Cos(69°) 0.3584
Cos(70°) 0.342
Cos(71°) 0.3256
Cos(72°) 0.309
Cos(73°) 0.2924
Cos(74°) 0.2756
Cos(75°) 0.2588
Cos(76°) 0.2419
Cos(77°) 0.225
Cos(78°) 0.2079
Cos(79°) 0.1908
Cos(80°) 0.1736
Cos(81°) 0.1564
Cos(82°) 0.1392
Cos(83°) 0.1219
Cos(84°) 0.1045
Cos(85°) 0.0872
Cos(86°) 0.0698
Cos(87°) 0.0523
Cos(88°) 0.0349
Cos(89°) 0.0175
Cos(90°)
Cos(91°) -0.0175
Cos(92°) -0.0349
Cos(93°) -0.0523
Cos(94°) -0.0698
Cos(95°) -0.0872
Cos(96°) -0.1045
Cos(97°) -0.1219
Cos(98°) -0.1392
Cos(99°) -0.1564
Cos(100°) -0.1736
Cos(101°) -0.1908
Cos(102°) -0.2079
Cos(103°) -0.225
Cos(104°) -0.2419
Cos(105°) -0.2588
Cos(106°) -0.2756
Cos(107°) -0.2924
Cos(108°) -0.309
Cos(109°) -0.3256
Cos(110°) -0.342
Cos(111°) -0.3584
Cos(112°) -0.3746
Cos(113°) -0.3907
Cos(114°) -0.4067
Cos(115°) -0.4226
Cos(116°) -0.4384
Cos(117°) -0.454
Cos(118°) -0.4695
Cos(119°) -0.4848
Cos(120°) -0.5
Cos(121°) -0.515
Cos(122°) -0.5299
Cos(123°) -0.5446
Cos(124°) -0.5592
Cos(125°) -0.5736
Cos(126°) -0.5878
Cos(127°) -0.6018
Cos(128°) -0.6157
Cos(129°) -0.6293
Cos(130°) -0.6428
Cos(131°) -0.6561
Cos(132°) -0.6691
Cos(133°) -0.682
Cos(134°) -0.6947
Cos(135°) -0.7071
Cos(136°) -0.7193
Cos(137°) -0.7314
Cos(138°) -0.7431
Cos(139°) -0.7547
Cos(140°) -0.766
Cos(141°) -0.7771
Cos(142°) -0.788
Cos(143°) -0.7986
Cos(144°) -0.809
Cos(145°) -0.8192
Cos(146°) -0.829
Cos(147°) -0.8387
Cos(148°) -0.848
Cos(149°) -0.8572
Cos(150°) -0.866
Cos(151°) -0.8746
Cos(152°) -0.8829
Cos(153°) -0.891
Cos(154°) -0.8988
Cos(155°) -0.9063
Cos(156°) -0.9135
Cos(157°) -0.9205
Cos(158°) -0.9272
Cos(159°) -0.9336
Cos(160°) -0.9397
Cos(161°) -0.9455
Cos(162°) -0.9511
Cos(163°) -0.9563
Cos(164°) -0.9613
Cos(165°) -0.9659
Cos(166°) -0.9703
Cos(167°) -0.9744
Cos(168°) -0.9781
Cos(169°) -0.9816
Cos(170°) -0.9848
Cos(171°) -0.9877
Cos(172°) -0.9903
Cos(173°) -0.9925
Cos(174°) -0.9945
Cos(175°) -0.9962
Cos(176°) -0.9976
Cos(177°) -0.9986
Cos(178°) -0.9994
Cos(179°) -0.9998
Cos(180°) -1

Примеры использования функций SIN, SINH, COS и COSH в Excel

Пример 1. Путешественник движется вверх на гору с уклоном в 17°. Скорость движения постоянная и составляет 4 км/ч. Определить, на какой высоте относительно начальной точке отсчета он окажется спустя 3 часа.

Таблица данных:

Для решения используем формулу:

=B2*B3*SIN(РАДИАНЫ(B1))

Описание аргументов:

  • B2*B3 – произведение скорости на время пути, результатом которого является пройденное расстояние (гипотенуза прямоугольного треугольника);
  • SIN(РАДИАНЫ(B1)) – синус угла уклона, выраженного в радианах с помощью функции РАДИАНЫ.

В результате расчетов мы получили величину малого катета прямоугольного треугольника, который характеризует высоту подъема путешественника.

Табличные значения синуса и косинуса

Нулевой угол \( \LARGE 0^{\circ } \)

Абсцисса точки равна 1, ордината точки равна . Следовательно,

cos 0 = 1   sin 0 = 0


Рис 4. Нулевой угол

Угол \( \LARGE \frac{\pi}{6} = 30^{\circ } \)

Мы видим прямоугольный треугольник с единичной гипотенузой и острым углом 30°. Как известно, катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы1; иными словами, вертикальный катет равен 1/2 и, стало быть,

\

Горизонтальный катет находим по теореме Пифагора (или, что то же самое, находим косинус по основному тригонометрическому тождеству):

\

1 Почему так получается? Разрежьте равносторонний треугольник со стороной 2 вдоль его высоты! Он распадётся на два прямоугольных треугольника с гипотенузой 2, острым углом 30° и меньшим катетом 1.


Рис 5. Угол π / 6

Угол \( \LARGE \frac{\pi}{4} = 45^{\circ } \)

В данном случае прямоугольный треугольник является равнобедренным; синус и косинус угла 45° равны друг другу. Обозначим их пока через x. Имеем:

\

откуда \( x=\frac{\sqrt{2} }{2} \). Следовательно,

\


Рис 5. Угол π / 4

Обратные функции

Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус, соответственно.

Арксинус, arcsin

\( y = \arcsin x \) \( \left\{ -1 \leqslant x \leqslant 1; \; — \dfrac{\pi}2 \leqslant y \leqslant \dfrac{\pi}2 \right\} \)\( \sin( \arcsin x ) = x \) \( \{ -1 \leqslant x \leqslant 1 \} \)\( \arcsin( \sin x ) = x \) \( \left\{ — \dfrac{\pi}2 \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}2 \right\} \)

Арккосинус, arccos

\( y = \arccos x \) \( \left\{ -1 \leqslant x \leqslant 1; \; 0 \leqslant y \leqslant \pi \right\} \)\( \cos( \arccos x ) = x \) \( \{ -1 \leqslant x \leqslant 1 \} \)\( \arccos( \cos x ) = x \) \( \{ 0 \leqslant x \leqslant \pi \} \)

Использованная литература: И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

ТригонометрияМатематика Тригонометрия Формулы Теория

В вашем браузере отключен Javascript. Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Функция \(y=\cos{x}\)

Если отложить по оси \(x\) углы в радианах, а по оси \(y\) — соответствующие этим углам значения косинуса, мы получим следующий график:

График данной функции называется косинусоида и обладает следующими свойствами:

      — область определения – любое значение икса:   \(D(\cos{⁡x} )=R\)
      — область значений – от \(-1\) до \(1\) включительно:    \(E(\cos{x} )=\)
      — четная:   \(\cos⁡(-x)=\cos{x}\)
      — периодическая с периодом \(2π\):   \(\cos⁡(x+2π)=\cos{x}\)
      — точки пересечения с осями координат:
             ось абсцисс:   \((\)\(\frac{π}{2}\)\(+πn\),\(;0)\), где \(n ϵ Z\)
             ось ординат:   \((0;1)\)
      — промежутки знакопостоянства:
             функция положительна на интервалах:   \((-\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn;\) \(\frac{π}{2}\)\(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
             функция отрицательна на интервалах:   \((\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn;\)\(\frac{3π}{2}\)\(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
      — промежутки возрастания и убывания:
             функция возрастает на интервалах:    \((π+2πn;2π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
             функция убывает на интервалах:    \((2πn;π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
       — максимумы и минимумы функции:
             функция имеет максимальное значение \(y=1\) в точках \(x=2πn\), где \(n ϵ Z\)
             функция имеет минимальное значение \(y=-1\) в точках \(x=π+2πn\), где \(n ϵ Z\).

СинусТангенсКотангенсРешение уравнения \(\cos⁡x=a\)

Особенности использования тригонометрических функций в Excel

Синтаксис функции SIN:

=SIN(число)

Синтаксис функции SINH:

=SINH(число)

Синтаксис функции COS:

=COS(число)

Синтаксис функции COSH:

>=COSH(число)

Каждая из приведенных выше функций принимает единственный аргумент число, который характеризует угол, заданный в радианах (для SIN и COS) или любое значение из диапазона вещественных чисел, для которого требуется определить гиперболические синус или косинус (для SINH и COSH соответственно).

Примечания 1:

  1. Если в качестве аргумента любой из рассматриваемых функций были переданы текстовые данные, которые не могут быть преобразованы в числовое значение, результатом выполнения функций будет код ошибки #ЗНАЧ!. Например, функция =SIN(“1”) вернет результат 0,8415, поскольку Excel выполняет преобразование данных там, где это возможно.
  2. В качестве аргументов рассматриваемых функций могут быть переданы логические значения ИСТИНА и ЛОЖЬ, которые будут интерпретированы как числовые значения 1 и 0 соответственно.
  3. Все рассматриваемые функции могут быть использованы в качестве формул массива.

Примечения 2:

  1. Синус гиперболический рассчитывается по формуле: sinh(x)=0,5*(ex-e-x).
  2. Формула расчета косинуса гиперболического имеет вид: cosh(x)=0,5*( ex+e-x).
  3. При расчетах синусов и косинусов углов с использованием формул SIN и COS необходимо использовать радианные меры углов. Если угол указан в градусах, для перевода в радианную меру угла можно использовать два способа:
  • Функция РАДИАНЫ (например, =SIN(РАДИАНЫ(30)) вернет результат 0,5;
  • Выражение ПИ()*угол_в_градусах/180.

Тригонометрическое определение

С помощью формул, указанных выше, можно найти синус и косинус острого угла. Но нужно научиться вычислять синус и косинус угла произвольной величины. Прямоугольный треугольник не даёт такой возможности (тупого угла, например, в нём быть не может); следовательно, нужно более общее определение синуса и косинуса, содержащее указанные формулы как частный случай.

На помощь приходит тригонометрическая окружность. Пусть дан некоторый угол; ему отвечает одноимённая точка на тригонометрической окружности.

Рис. 2. Тригонометрическое определение синуса и косинуса

Косинус угла — это абсцисса точки. Синус угла — это ордината точки.

На рис. 2 угол взят острым, и легко понять, что данное определение совпадает с общим геометрическим определением. В самом деле, мы видим прямоугольный треугольник с единичной гипотенузой O и острым углом. Прилежащий катет этого треугольника есть cos (сравните с рис. 1) и одновременно абсцисса точки ; противолежащий катет есть sin (как на рис. 1) и одновременно ордината точки.

Но теперь мы уже не стеснены первой четвертью и получаем возможность распространить данное определение на любой угол . На рис. 3 показано, что такое синус и косинус угла во второй, третьей и четвёртой четвертях.

Рис. 3. Синус и косинус во II, III и IV четвертях

Таблица косинусов от 181° до 360°

Cos(181°) -0.9998
Cos(182°) -0.9994
Cos(183°) -0.9986
Cos(184°) -0.9976
Cos(185°) -0.9962
Cos(186°) -0.9945
Cos(187°) -0.9925
Cos(188°) -0.9903
Cos(189°) -0.9877
Cos(190°) -0.9848
Cos(191°) -0.9816
Cos(192°) -0.9781
Cos(193°) -0.9744
Cos(194°) -0.9703
Cos(195°) -0.9659
Cos(196°) -0.9613
Cos(197°) -0.9563
Cos(198°) -0.9511
Cos(199°) -0.9455
Cos(200°) -0.9397
Cos(201°) -0.9336
Cos(202°) -0.9272
Cos(203°) -0.9205
Cos(204°) -0.9135
Cos(205°) -0.9063
Cos(206°) -0.8988
Cos(207°) -0.891
Cos(208°) -0.8829
Cos(209°) -0.8746
Cos(210°) -0.866
Cos(211°) -0.8572
Cos(212°) -0.848
Cos(213°) -0.8387
Cos(214°) -0.829
Cos(215°) -0.8192
Cos(216°) -0.809
Cos(217°) -0.7986
Cos(218°) -0.788
Cos(219°) -0.7771
Cos(220°) -0.766
Cos(221°) -0.7547
Cos(222°) -0.7431
Cos(223°) -0.7314
Cos(224°) -0.7193
Cos(225°) -0.7071
Cos(226°) -0.6947
Cos(227°) -0.682
Cos(228°) -0.6691
Cos(229°) -0.6561
Cos(230°) -0.6428
Cos(231°) -0.6293
Cos(232°) -0.6157
Cos(233°) -0.6018
Cos(234°) -0.5878
Cos(235°) -0.5736
Cos(236°) -0.5592
Cos(237°) -0.5446
Cos(238°) -0.5299
Cos(239°) -0.515
Cos(240°) -0.5
Cos(241°) -0.4848
Cos(242°) -0.4695
Cos(243°) -0.454
Cos(244°) -0.4384
Cos(245°) -0.4226
Cos(246°) -0.4067
Cos(247°) -0.3907
Cos(248°) -0.3746
Cos(249°) -0.3584
Cos(250°) -0.342
Cos(251°) -0.3256
Cos(252°) -0.309
Cos(253°) -0.2924
Cos(254°) -0.2756
Cos(255°) -0.2588
Cos(256°) -0.2419
Cos(257°) -0.225
Cos(258°) -0.2079
Cos(259°) -0.1908
Cos(260°) -0.1736
Cos(261°) -0.1564
Cos(262°) -0.1392
Cos(263°) -0.1219
Cos(264°) -0.1045
Cos(265°) -0.0872
Cos(266°) -0.0698
Cos(267°) -0.0523
Cos(268°) -0.0349
Cos(269°) -0.0175
Cos(270°) -0
Cos(271°) 0.0175
Cos(272°) 0.0349
Cos(273°) 0.0523
Cos(274°) 0.0698
Cos(275°) 0.0872
Cos(276°) 0.1045
Cos(277°) 0.1219
Cos(278°) 0.1392
Cos(279°) 0.1564
Cos(280°) 0.1736
Cos(281°) 0.1908
Cos(282°) 0.2079
Cos(283°) 0.225
Cos(284°) 0.2419
Cos(285°) 0.2588
Cos(286°) 0.2756
Cos(287°) 0.2924
Cos(288°) 0.309
Cos(289°) 0.3256
Cos(290°) 0.342
Cos(291°) 0.3584
Cos(292°) 0.3746
Cos(293°) 0.3907
Cos(294°) 0.4067
Cos(295°) 0.4226
Cos(296°) 0.4384
Cos(297°) 0.454
Cos(298°) 0.4695
Cos(299°) 0.4848
Cos(300°) 0.5
Cos(301°) 0.515
Cos(302°) 0.5299
Cos(303°) 0.5446
Cos(304°) 0.5592
Cos(305°) 0.5736
Cos(306°) 0.5878
Cos(307°) 0.6018
Cos(308°) 0.6157
Cos(309°) 0.6293
Cos(310°) 0.6428
Cos(311°) 0.6561
Cos(312°) 0.6691
Cos(313°) 0.682
Cos(314°) 0.6947
Cos(315°) 0.7071
Cos(316°) 0.7193
Cos(317°) 0.7314
Cos(318°) 0.7431
Cos(319°) 0.7547
Cos(320°) 0.766
Cos(321°) 0.7771
Cos(322°) 0.788
Cos(323°) 0.7986
Cos(324°) 0.809
Cos(325°) 0.8192
Cos(326°) 0.829
Cos(327°) 0.8387
Cos(328°) 0.848
Cos(329°) 0.8572
Cos(330°) 0.866
Cos(331°) 0.8746
Cos(332°) 0.8829
Cos(333°) 0.891
Cos(334°) 0.8988
Cos(335°) 0.9063
Cos(336°) 0.9135
Cos(337°) 0.9205
Cos(338°) 0.9272
Cos(339°) 0.9336
Cos(340°) 0.9397
Cos(341°) 0.9455
Cos(342°) 0.9511
Cos(343°) 0.9563
Cos(344°) 0.9613
Cos(345°) 0.9659
Cos(346°) 0.9703
Cos(347°) 0.9744
Cos(348°) 0.9781
Cos(349°) 0.9816
Cos(350°) 0.9848
Cos(351°) 0.9877
Cos(352°) 0.9903
Cos(353°) 0.9925
Cos(354°) 0.9945
Cos(355°) 0.9962
Cos(356°) 0.9976
Cos(357°) 0.9986
Cos(358°) 0.9994
Cos(359°) 0.9998
Cos(360°) 1

Построение графика функций SINH и COSH в Excel

Пример 3. Построить графики функций sinh(x) и cosh(x) для одинаковых значений независимой переменной и сравнить их.

Исходные данные:

Формула для нахождения синусов гиперболических:

=SINH(A2:A12)

Формула для нахождения косинусов гиперболических:

=COSH(A2:A12)

Таблица полученных значений:

Построим графики обеих функций на основе имеющихся данных. Выделите диапазон ячеек A1:C12 и выберите инструмент «ВСТАВКА»-«Диаграммы»-«Вставь точечную (X,Y) или пузырьковую диаграмму»-«Точечная с гладкими кривыми и маркерами»:

Как видно, графики совпадают на промежутке (0;+∞), а в области отрицательных значений x части графиков являются зеркальными отражениями друг друга.

Формулы понижения степени.

Из формул кратного аргумента выводятся формулы:

sin2a = (1 – cos 2a)/2; cos2a = (1 + cos 2a)/2;
sin3a = (3 sin a – sin 3a)/4; cos3a = (3 cosa + cos 3a)/4.

С помощью этих формул тригонометрические уравнения можно приводить к уравнениям более низких степеней. Таким же образом можно вывести и формулы понижения для более высоких степеней синуса и косинуса.

Производные и интегралы тригонометрических функций
(sin x)` = cos x; (cos x)` = –sin x;
(tg x)` = ; (ctg x)` = – ;
т sin x dx = –cos x + C; т cos x dx = sin x + C;
т tg x dx = –ln |cos x| + C; т ctg x dx = ln |sin x| + C;

Каждая тригонометрическая функция в каждой точке своей области определения непрерывна и бесконечно дифференцируема. Причем и производные тригонометрических функций являются тригонометрическими функциями, а при интегрировании получаются так же тригонометрические функции или их логарифмы. Интегралы от рациональных комбинаций тригонометрических функций всегда являются элементарными функциями.

Определение функции y=cost, её график

Вспомним определение функции Пусть t – любое действительное число. Ему соответствует единственная точка M на числовой окружности. У точки M есть единственная абсцисса. Она и называется косинусом числа t. Каждому значению аргумента t соответствует только одно значение функции  (рис. 1).

Центральный угол численно равен величине дуги в радианах, т.е. числу  Поэтому аргументом может быть и действительное число, и угол в радианах.

Если мы умеем для каждого значения  определить  то можем построить график функции

Можно получить график функции  и другим способом. По формулам приведения  поэтому график косинуса – это синусоида, сдвинутая по оси x на  влево (рис.2).

2Нахождение величины косинуса угла между векторами

Пересечение направленных отрезков прямой – векторов – ведет к образованию углов. Найти их косинус (а, значит, в последствии и градусную меру) позволяет определение скалярного произведения векторов. Данная формулировка предполагает перемножение длин векторов на косинус угла, образованного в результате их пересечения. Т.о., если у вас есть 2 направленных отрезка ū и ō, то

  • ūō = ū *ō = (ū, ō) = lūl * lōl * cos (ū,ˆ ō), ⇒
  • cos (ū,ˆ ō) =  (ū, ō) / lūl * lōl.
  • В проекции на координаты декартовой системы направленные отрезки имеют параметры ū (x,y) = (u(x) ,u(y)) и ō (x,y) = (o(x), o(y)). Значит соотношение приобретает следующий вид:
  • cos (ū,ˆ ō) = (u(x)*o(x) + u(y)*o(y)) / lūl * lōl = (u(x)*o(x) + u(y)*o(y)) / (√(u(x)2 + u(y)2) * √o(x)2 + o(y)2).

Если направленные отрезки заданы не на плоскости, а в пространстве, добавляется третья координата – z. Выражение нахождения косинуса преобразуется и будет иметь следующий вид:

Вывод, заключение

Мы рассмотрели основные свойства и график функции  Далее они будут использоваться при решении задач.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 16.6, 16.7, 16.9.

Дополнительные веб-ресурсы

1. Математика (Источник).

2. Интернет-портал Problems.ru (Источник).

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).

Ссылка на основную публикацию