Тригонометрическая функция: косинус угла (cos)

Как найти тангенс по клеточкам

Учитывая первое определение, можно определить, как найти тангенс угла по клеточкам. Рисунок дополняется перпендикулярными линиями (строится высота), затем считается количество клеточек в полученном прямоугольном треугольнике на катетах, противолежащем и прилежащем искомому углу, а затем берётся их отношение.

Благодаря второму определению, задачу, как найти тангенс угла, можно решить, минуя таблицы и построение прямоугольных треугольников. Достаточно знать синус и косинус, связанные между собой основным тригонометрическим тождеством:

Из формулы тангенсов, записывающей кратко второе определение

и основного тригонометрического тождества можно понять, как найти тангенс, зная только косинус или синус угла.

Достаточно поделить основное тригонометрическое тождество на квадрат косинуса, подставить формулу тангенса. В результате получится зависимость тангенса и косинуса:

Если выразить в последнем случае косинус, то запишется связь между тангенсом и синусом:

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Подборки по теме

  • Вопросы и ответы
  • Использую для заработка
  • Полезные онлайн-сервисы
  • Описание полезных программ

Использую для заработка

Тригонометрические уравнения и методы их решения

Мы подошли к одной из самых главных частей темы «Тригонометрия», которую мы посвятим решению тригонометрических уравнений

Умение решать такие уравнения важно, например, при описании колебательных процессов в физике. Представим, что вы на спортивной машине проехали несколько кругов на картинге, определить сколько времени вы уже участвуете в гонке в зависимости от положения машины на трассе поможет решение тригонометрического уравнения. 

Запишем простейшее тригонометрическое уравнение:

Решением такого уравнения являются аргументы, синус которых равен . Но мы уже знаем, что из-за периодичности синуса таких аргументов существует бесконечное множество. Таким образом, решением этого уравнения будут  и т.п. То же самое относится и к решению любого другого простейшего тригонометрического уравнения, их будет бесконечное количество.

Тригонометрические уравнения делятся на несколько основных типов. Отдельно следует остановиться на простейших, т.к. все остальные к ним сводятся. Таких уравнений четыре (по количеству основных тригонометрических функций). Для них известны общие решения, их необходимо запомнить.

Простейшие тригонометрические уравнения и их общие решения выглядят следующим образом:

1)

2)

3)

4)

Обратите внимание, что на значения синуса и косинуса необходимо учитывать известные нам ограничения. Если, например, , то уравнение не имеет решений и применять указанную формулу не следует. . Кроме того, указанные формулы корней содержат параметр в виде произвольного целого числа

В школьной программе это единственный случай, когда решение уравнения без параметра содержит в себе параметр. Это произвольное целое число показывает, что можно выписать бесконечное количество корней любого из указанных уравнений просто подставляя вместо  по очереди все целые числа

Кроме того, указанные формулы корней содержат параметр в виде произвольного целого числа . В школьной программе это единственный случай, когда решение уравнения без параметра содержит в себе параметр. Это произвольное целое число показывает, что можно выписать бесконечное количество корней любого из указанных уравнений просто подставляя вместо  по очереди все целые числа.

Ознакомиться с подробным получением указанных формул вы можете, повторив главу «Тригонометрические уравнения» в программе алгебры 10 класса.

Отдельно необходимо обратить внимание на решение частных случаев простейших уравнений с синусом и косинусом. Эти уравнения имеют вид:.  и

 и

.

К ним не следует применять формулы нахождения общих решений. Такие уравнения удобнее всего решаются с использованием тригонометрической окружности, что дает более простой результат, чем формулы общих решений.

Например, решением уравнения  является . Попробуйте сами получить этот ответ и решить остальные указанные уравнения.

Кроме указанного наиболее часто встречающегося типа тригонометрических уравнений существуют еще несколько стандартных. Перечислим их с учетом тех, которые мы уже указали:

1) Простейшие, например, ;

2) Частные случаи простейших уравнений, например, ;

3) Уравнения со сложным аргументом, например, ;

4) Уравнения, сводящиеся к простейшим путем вынесения общего множителя, например, ;

5) Уравнения, сводящиеся к простейшим путем преобразования тригонометрических функций, например, ;

6) Уравнения, сводящиеся к простейшим с помощью замены, например, ;

7) Однородные уравнения, например, ;

8) Уравнения, которые решаются с использованием свойств функций, например, . Пусть вас не пугает, что в этом уравнении две переменные, оно при этом решается;

А также уравнения, которые решаются с использованием различных методов.

Теорема косинусов

Рассмотрим еще один инструмент, который поможет нам находить неизвестные элементы треугольника. Мы уже оценили, насколько полезна теорема Пифагора для вычисления длины неизвестной стороны прямоугольного треугольника. Но хочется иметь аналогичный инструмент для произвольного треугольника.

Вот треугольник  с острым углом . Обозначим длины его сторон малыми буквами . Из вершины  проведем высоту  (см. рис. 30) (для определенности будем считать, что она лежит внутри треугольника, случай тупоугольного треугольника разберите самостоятельно – все рассуждения там аналогичны).

Рис. 30. Рассматриваемый треугольник  с проведенной высотой

Тогда, из определения:

По теореме Пифагора:

Уберем на чертеже лишние построения и посмотрим на полученное тождество:

Рис. 31. Рассматриваемый треугольник

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.

Это утверждение носит название теоремы косинусов. По виду она очень похожа на теорему Пифагора для прямоугольных треугольников. На самом деле, теорема косинусов – это и есть обобщенная теорема Пифагора для произвольного треугольника.

Действительно, воспользуемся теоремой косинусов для прямоугольных треугольников:

Но, как мы знаем, , поэтому получаем теорему Пифагора:

Теорема Пифагора – частный случай теоремы косинусов для прямоугольных треугольников.

Можно ли тогда теорему Пифагора доказывать, используя теорему косинусов? Нет. Ведь при доказательстве теоремы косинусов мы использовали теорему Пифагора. Получится замкнутый круг: мы доказали  через , а  через .

Заключение

Теоремы синусов и косинусов – удобные инструменты для решения задач: для нахождения недостающих элементов в треугольниках. С их помощью можно находить неизвестные стороны и углы треугольников. На ближайших уроках мы обязательно потренируемся это делать.

Список литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал cleverstudents.ru (Источник)

2. Интернет-портал calc.ru (Источник)

3. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)

Домашнее задание

1. Упростить выражение: 

2. Каким является треугольник со сторонами  – остроугольным, тупоугольным или прямоугольным?

3. Найти биссектрисы треугольника, если одна из его сторон равна , а прилежащие к этой стороне углы  и .

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0, 30, 45, 60, 90, … градусов

позволяют указать значения тригонометрических функций для углов и 90 градусов: , а котангенс нуля градусов не определен, и, а тангенс 90 градусов не определен.

В курсе геометрии из прямоугольных треугольников с углами 30, 60 и 90 градусов, а также 45, 45 и 90 градусов находятся :, и.

Занесем указанные значения тригонометрических функций для углов , 30, 45, 60 и 90 градусов (, π/6, π/4, π/3, π/2 радиан) в таблицу, назовем ее таблицей основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Используя формулы приведения, только что составленную таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов можно расширить, дополнив значениями тригонометрических функций для углов 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315, 330 и 360 градусов (0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π радиан). При этом она принимает следующий вид.

Опираясь на , таблицу основных значений тригонометрических функций можно расширить еще, заменив углы 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов соответственно на , где z – любое целое число. Из такой таблицы можно найти значения для всех углов, которым соответствуют точки единичной окружности, указанные на чертеже ниже.

Основные значения тригонометрических функций, собранные в заполненной выше таблице, желательно знать наизусть, так как они очень часто используются при решении задач.

Как пользоваться таблицей синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов?

Использовать таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов основных углов 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов очень просто – она дает непосредственные значения тригонометрических функций, находящиеся на пересечении соответствующей строки, указывающей название тригонометрической функции, и столбца, указывающего данное значение угла.

Например, значение косинуса угла 60 градусов находится на пересечении строки, в крайней левой ячейке которой находится запись cos, и столбца, в верхней ячейке которого записан угол 60 градусов. Так из таблицы находим, что значение косинуса 60 градусов равно одной второй. Для разъяснения приведем графическую иллюстрацию.

Расширенная таблица основных значений тригонометрических функций используется аналогично. С помощью расширенной таблицы основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса можно сразу указать, например, чему равен тангенс угла 1 020 градусов. Он равен минус корню из трех, так как . Проиллюстрируем это.

Свойства функции y=ctgt

Исследуем график функции

1) Область определения:

2) Область значений:

a) Каждому допустимому  соответствует единственное значение

b) Любой  достигается при одном либо нескольких значениях

3) Функция нечетна:

График симметричен относительно начала координат.

4) Наименьший положительный период

Значение периода котангенса  также следует из формулы

  при том, что нам известен период тангенса.

5) Точки пересечения с осью x:

Точки пересечения с осью y отсутствуют (рис. 4).

6) Определим интервалы знакопостоянства (рис. 5):

7) Функция монотонно убывает на каждом из интервалов

Покажем это:

Рассмотрим промежуток  длиной в период. Функция монотонно убывает от  до  

Действительно, если мы возьмем две точки из этого промежутка, такие, что то  большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (рис. 6).

На каждом из отдельно взятых участков длиной в период функция также монотонно убывает.

8) Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Свойства синуса.

  • Область определения функции — множество всех действительных чисел: D(y)=R.
  • Множество значений — интрервал : E(y) = .
  • Функция y=sin(α) — нечетная: sin(−α)=−sinα.
  • Функция оказывается периодической, самый маленький неотрицательный период соответствует 2π: sin(α+2π)=sin(α).
  • График функции пересекает ось Ох при α=πn,n∈ Z.
  • Промежутки знакопостоянства: y>0 при (2πn+0;π+2πn),n∈Z и y при (π+2πn;2π+2πn),n∈Z.
  • Функция является непрерывной и у нее есть производная с любым значением аргумента: (sinα)′=cosα.
  • Функция y=sinα возрастает при α∈(−π/2+2πn;π/2+2πn) n∈Z, и убывает при α∈(π2+2πn;3π2+2πn), n∈Z.
  • Минимум функции при α=−π/2+2πn, n∈Z, а максимум при α=π/2+2πn, n∈Z.

Тригонометрия и тригонометрические функции

Тригонометрия – раздел математики, изучающий зависимости углов и сторон треугольников, которые выражены функциями, называемыми тригонометрическими.

Функция – это правило, описывающее зависимость одной величины от другой.

Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя линиями, не лежащими на одной прямой и выходящими или пересекающимися в одной точке.

Углы по своему виду могут быть:

  • острыми – меньше 90 градусов

  • тупыми – больше 90 градусов

  • прямыми – равными 90 градусов (прямые или отрезки перпендикулярны)

Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Отрезки называют сторонами треугольника, а точки – вершинами треугольника.

В зависимости от соотношения сторон и углов, треугольники можно разделить на группы:

  • По величине угла:
  • прямоугольный
  • тупоугольный
  • остроугольный
  • По длине сторон:
  • равносторонний
  • разносторонний
  • равнобедренный

Основные тригонометрические тождества

Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) однозначно определяют острый угол. Это значит, что если нам известно значение хотя бы одной из этих функций, то мы можем найти и сам острый угол, и значение оставшихся трех тригонометрических функций (см. рис. 1).

Рис. 1. Взаимосвязь тригонометрических функций

Взаимосвязь тригонометрических функций:

Например, глядя на определения тангенса и котангенса, легко заметить, что:

Потому что , и наоборот.

Можно переписать в эквивалентном виде:

Если мы знаем, что , то сразу скажем: . Нам даже не надо искать само значение угла.

Кроме того, несложно заметить, что:

И аналогично:

Мы уже почти научились по значению одной тригонометрической функции угла находить остальные. Нужно только связать между собой синус и косинус.

Вспомним, что для прямоугольного треугольника верна теорема Пифагора:

Чтобы перейти к формулам для синуса и косинуса, разделим обе части этого равенства на . Получим:

Откуда, по определению:

Можно получить и другие формулы, связывающие тригонометрические функции одного угла. Например, если мы хотим связать тангенс и косинус, то, взяв формулу

, поделим обе части на , получим:

Откуда:

Аналогично можно получить формулу:

Полученные нами формулы называются основными тригонометрическими тождествами. С их помощью можно, зная значение одной из тригонометрических функций острого угла, найти значения трех остальных. С примером решения такой задачи можно ознакомиться ниже.

Вычисление значений тригонометрических функций

Предположим, что нам известно значение синуса острого угла:

Найдем значения остальных тригонометрических функций этого угла.

Зная синус, несложно найти косинус, используя формулу:

Подставляем, получаем:

Поскольку косинус острого угла, по определению, – это отношение длин двух сторон, то он может принимать только положительные значения. Значит,

Теперь найти тангенс и котангенс не составит проблем:

Можно было действовать и по-другому, например найти котангенс через синус, используя формулу:

Потренируйтесь самостоятельно находить значения остальных тригонометрических функций острого угла по известному тангенсу или котангенсу.

Возникает вопрос: зачем нужно рассматривать целых четыре функции, если можно использовать одну, а все остальные при необходимости выражать через эту одну?

Конечно, можно. Вопрос только в удобстве. Если какая-то конструкция часто используется, то ее удобно обозначить отдельно, а также вывести ее свойства, чтобы использовать их при решении конкретных задач.

К примеру, длину можно было бы измерять только в метрах. Но расстояние между городами или размеры телефона в них измерять не очень удобно. Не говоря уже про размеры бактерий или расстояния между планетами. Поэтому люди используют разные единицы измерения для одной и той же величины (миллиметры, километры, дюймы, мили, световые года и т. д.) в зависимости от удобства при решении той или иной задачи (см. рис. 2).

Рис. 2. Использование различных единиц измерения

Такая же ситуация с тригонометрическими функциями – оказалось, что эти  соотношения используются настолько часто, что удобнее ввести и изучать их отдельно, чем выражать через одно.

Более того, можно ввести и другие тригонометрические функции, но они не прижились именно из-за того, что редко встречаются при решении практических задач. Подробнее о них ниже.

vetkaДругие тригонометрические функции

Наблюдательный человек заметит, что при определении тригонометрических функций мы перебрали не все комбинации (см. рис. 3): можно гипотенузу разделить на каждый из катетов.

Рис. 3. Взаимосвязь тригонометрических функций

Взаимосвязь тригонометрических функций:

Действительно, можно ввести еще две функции – секанс и косеканс:

Несложно заметить, что мы получили функции, обратные синусу и косинусу.

В наше время эти функции практически не используют. Слишком просто их заменить синусом и косинусом. Кстати, по этой причине в некоторой литературе не выписываются свойства для котангенса – считается, что его проще выражать через тангенс.

На самом деле, никакой принципиальности в том, чтобы использовать именно эти, а не другие функции, нет. Просто при решении различных задач чаще встречались именно выражения, содержащие синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы, поэтому им дали отдельные названия и их подробно изучают.

Вычисление котангенса числа или любого угла

\(ctg\: t=\)\(\frac{cos\:⁡t}{sin\:⁡t}\)

Пример. Вычислите \(ctg\: \frac{5π}{6}\).Решение: Найдем сначала \(\frac{5π}{6}\) на круге. Затем найдем \(cos\:⁡\frac{5π}{6}\) и \(sin\:\frac{5π}{6}\), а потом поделим одно на другое.

\(ctg\:\frac{5π}{6}=\)\(\frac{cos⁡\:\frac{5π}{6}}{sin⁡\:\frac{5π}{6}}\)\(=-\frac{\sqrt{3}}{2}:\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1}=-\sqrt{3}\)

Ответ: \(-\sqrt{3}\).

Пример. Вычислите \(ctg\:\frac{π}{2}\).

Решение: Чтобы найти котангенс пи на \(2\) нужно найти сначала косинус и синус \(\frac{π}{2}\). И то, и другое найдем с помощью тригонометрического круга:

Точка \(\frac{π}{2}\) на числовой окружности совпадает с \(1\) на оси синусов, значит \(sin\:\frac{π}{2}=1\). Если из точки \(\frac{π}{2}\) на числовой окружности провести перпендикуляр к оси косинусов, то мы попадем в точку \(0\), значит \(cos\:⁡\frac{π}{2}=0\). Получается: \(ctg\:\frac{π}{2}=\)\(\frac{cos\:⁡\frac{π}{2}}{sin\:⁡\frac{π}{2}}\)\(=\)\(\frac{0}{1}\)\(=0\).

Ответ: \(0\).

Пример. Вычислите \(ctg\:(-765^\circ)\).Решение:   \(ctg\: (-765^\circ)=\)\(\frac{cos\:(-⁡765^\circ)}{sin\:⁡(-765^\circ)}\)
Что бы вычислить синус и косинус \(-765^°\). Отложим \(-765^°\) на тригонометрическом круге. Для этого надо повернуть в отрицательную сторону на \(720^°\) , а потом еще на \(45^°\).

\(sin⁡(-765^°)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\);
\(cos⁡(-765^°)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) ;
получается \(ctg(-765^°)= \frac{\sqrt{2}}{2} ∶ -\frac{\sqrt{2}}{2}=-1\).

Ответ: \(-1\).

Пример. Найдите \(ctg\:\frac{π}{3}\).Решение:   \(ctg\: \frac{π}{3}=\)\(\frac{cos\:⁡\frac{π}{3}}{sin\:⁡\frac{π}{3}}\). Опять находим синус пи на 3 и косинус пи на 3 (хоть с помощью тригонометрического круга, хоть по таблице):
\(sin⁡(\frac{π}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}\);
\(cos⁡(\frac{π}{3})=\frac{1}{2}\) ;
получается \(ctg(\frac{π}{3})=\frac{1}{2} ∶ \frac{\sqrt{3}}{2}= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\).

Ответ: \(\frac{1}{\sqrt{3}}\).

Однако можно определять значение котангенса и напрямую через тригонометрический круг — для этого надо на нем построить дополнительную ось:

Ось котангенсов – это фактически копия оси косинусов, только сдвинутая. Поэтому все числа на ней расставляются так же как на оси косинусов.

Чтобы определить значение котангенс с помощью числовой окружности, нужно:
1) Отметить соответствующую аргументу котангенса точку на числовой окружности.
2) Провести прямую через эту точку и начало координат и продлить её до оси котангенсов.
3) Найти координату пересечения этой прямой и оси.

Пример. Вычислите \(ctg\:\frac{π}{4}\).Решение:   
1) Отмечаем \(\frac{π}{4}\) на окружности.

2) Проводим через данную точку и начало координат прямую.

3) В данном случае координату долго искать не придется – она равняется \(1\).

Ответ: \(1\).

Пример. Найдите значение \(ctg\: 30°\) и \(ctg\: (-60°)\).Решение:   
Для угла \(30°\) (\(∠COA\)) котангенс будет равен \(\sqrt{3}\) (приблизительно \(1,73\)), потому что именно в таком значении сторона угла, проходящая через начало координат и точку \(A\), пересекает ось котангесов.
\(ctg\;(-60°)=\frac{\sqrt{3}}{{3}}\) (примерно \(-0,58\)).

Значения для других часто встречающихся в практике углов смотри в тригонометрической таблице.

Вывод, заключение

Мы изучили функцию  её график и свойства. Все они будут использоваться в дальнейшем при решении различных задач, в том числе и при решении тригонометрических уравнений, к изучению которым мы приступим на следующем уроке.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 20.2, 20.3(б, г), 20.5, 20.19.

Дополнительные веб-ресурсы

1. Математика (Источник).

2. Интернет-портал Problems.ru (Источник).

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).

Ссылка на основную публикацию