Логарифм. свойства логарифма (степень логарифма)

Сложение и вычитание логарифмов.

Возьмем два логарифма с одинаковыми основаниями: loga x и loga y. Тогда сними возможно выполнять операции сложения и вычитания:

loga  x+ log a y= log a (x·y);

log a x — loga  y = log a (x:y).

Как видим, сумма логарифмов равняется логарифму произведения, а разность логарифмов — логарифму частного. Причем это верно если числа а, х и у положительны и а ≠ 1.

Важно обращать внимание, что основным аспектом в данных формулах выступают одни и те же основания. Если основания отличаются друг от друга, эти правила не применимы!

Правила сложения и вычитания логарифмов с одинаковыми основаниями читаются не только с лева на право, но и на оборот

В результате мы имеем теоремы логарифма произведения и логарифма частного

Правила сложения и вычитания логарифмов с одинаковыми основаниями читаются не только с лева на право, но и на оборот. В результате мы имеем теоремы логарифма произведения и логарифма частного.

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме их логарифмов; перефразируя данную теорему получим следующее, если числа а, x и у положительны и а ≠ 1, то:

loga(xy) = logax+ logay.

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя. Говоря по другому, если числа а, х и у положительны и а ≠ 1, то:

loga(x/y) = logax — logay.

Применим вышеизложенные теоремы для решения примеров:

log315 = log3(3 • 5) =log33 + log35 = 1 +log35.

log102 + log105 =log10(2 • 5) = log10l0 =1.

log325/16= log325 — log316.

log21000 — log2125 = log21000/125= log28 = 3.

Если числа x и у отрицательны, то формула логарифма произведения становится бессмысленной. Так, запрещено писать:

log2 = log2(-8) + log2(-4),

так как выражения log2(-8) и log2(-4) вообще не определены (логарифмическая функция у = log2х определена лишь для положительных значений аргументах).

Теорема произведения применима не только для двух, но и для неограниченного числа сомножителей. Это означает, что для всякого натурального k и любых положительных чисел x1, x2, . . . ,xсуществует тождество:

loga(x1•x2•x3… xk) = logax1+ logax2+ logax3+ … + logaxk.

Из теоремы логарифма частного можно получить еще одно свойство логарифма. Общеизвестно, что loga1= 0, следовательно,

loga1/b= loga1 — logab= — logab.

А значит имеет место равенство:

loga1/b= — logab.

Логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному и тому же основанию будут различны друг от друга исключительно знаком. Так:

Решение некоторых типовых задач

Пример 1 – вычислить:

а)

б)

Теперь наша цель – научиться вычислять логарифм степени.

Дано:

Доказать:

Другими словами, в данном случае показатель степени выносится как сомножитель, сложная операция возведения в степень заменяется более простой операцией умножения.

Доказательство:

Представим число b с помощью основного логарифмического тождества:

Обе части возведем в степень r:

Согласно свойствам степени получаем:

По определению логарифма имеем:

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим задачи на применение выведенной формулы.

Пример 2 – прологарифмировать по основанию 3 выражение:

Имеем логарифм произведения трех положительных выражений, распишем по известной формуле:

Преобразуем подлогарифмические выражения:

Согласно свойству логарифма вынесем показатели степеней как сомножители:

Пример 3 – решить уравнение:

Внесем множители под знак логарифма как показатели степени согласно свойству логарифма:

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения:

Заменим разность логарифмов логарифмом частного:

Упростим правую часть:

Из определения логарифма:

Исходя из основного логарифмического тождества, получаем:

Пример 4:

Дано:

, а и b считать известными числами.

Найти:

Таким образом, задача заключается в том, чтобы выразить искомый логарифм через а и b.

Согласно основной теореме арифметики, разложим составное число 300 на простые множители:

Имеем:

Согласно свойству логарифма, логарифм произведения представим как сумму логарифмов:

Вынесем показатели степени как сомножители:

Подставим заданные значения:

Итак, мы рассмотрели новое свойство логарифма, вывели формулу для логарифма степени. Мы рассмотрели применение свойств логарифма в некоторых типовых задачах. Далее мы продолжим изучать свойства логарифмов и решать различные задачи, применяя изученные факты.

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Edu.glavsprav.ru (Источник).
  2. Nado5.ru (Источник).
  3. Uztest.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 508;

2. Вычислить:

а) ; б) ;

в) ; г)

3. Выразить через  и :

а) ; б) ; в) ; г)

Логарифм: теоретический справочник

Определение Формулы

Логарифмом числа по b основанию a называется такое число, обозначаемое $$ \log _a b$$ , что $$ a^{\log _a b} = b$$. a — основание логарифма: a > 0, $$ a \ne 1 $$, b — логарифмическое число: b > 0

Основное логарифмическое тождество: $$ a^{\log _a b} = b,a > 0,a \ne 1,b > 0$$

$$\quad $$ $$ \begin{array}{l} \log _a 1 = 0;\quad \;\log _a a = 1, \\ a > 0,a \ne 1;\;\;\lg 10 = \ln e = 1 \\ \end{array}$$ $$\quad $$ $$ \log _a a^k = k,k \in R$$
$$\quad $$ $$ \begin{array}{l} \log _a \left( {b \cdot c} \right) = \log _a \left| b \right| + \log _a \left| c \right|, \\ a > 0,\quad a \ne 1,\quad b \cdot c > 0 \\ \end{array}$$ $$\quad $$ $$ \begin{array}{l} \log _a b + \log _a c = \log _a \left( {b \cdot c} \right), \\ a > 0,\;a \ne 1,\;d > 0,\;c > 0 \\ \end{array}$$

Десятичный логарифм: $$ \lg b = \log _{10} b$$

Натуральный логарифм: $$\ln b = \log _e b$$, где $$ e = 2,71828… $$

$$\quad $$ $$ \begin{array}{l} \log _a \left( {\frac{b}{c}} \right) = \log _a \left| b \right| — \log _a \left| c \right|, \\ a > 0,\quad a \ne 1,\quad b \cdot c > 0 \\ \end{array}$$ $$\quad $$ $$ \begin{array}{l} \log _a b — \log _a c = \log _a \left( {\frac{b}{c}} \right) \\ a > 0,\;a \ne 1,\quad b > 0,\;c > 0 \\ \end{array}$$
$$\quad $$ $$ \begin{array}{l} \log _a b^n = n \cdot \log _a \left| b \right|, \\ b^n > 0,\quad n \in R \\ \end{array} $$ $$\quad $$ $$ \begin{array}{l} n \cdot \log _a b = \log _a b^n , \\ b > 0,\quad n \in R \\ \end{array}$$

Правило о знаке логарифма:

$$ \log _a b $$ положителен, если основание a логарифма и число b расположены на числовой оси по одну сторону от 1, и $$ \log _a b $$отрицателен, если основание a логарифма и число b расположены на числовой оси по разные стороны от 1

$$\quad $$ $$ \begin{array}{l} \log _a b = \frac{{\log _c b}}{{\log _c a}},a > 0,a \ne 1, \\ c > 0,\quad c \ne 1,\quad b > 0 \\ \end{array}$$ $$\quad $$ $$ \begin{array}{l} \log _a b = \frac{1}{{\log _b a}},\quad a > 0,a \ne 1, \\ b > 0,\quad b \ne 1 \\ \end{array}$$
$$\quad $$ $$ \begin{array}{l} \log _{a^m } b = \frac{1}{m}\log _a b,m \in R \\ a^m > 0,\quad a^m \ne 1,\quad b > 0 \\ \end{array}$$ $$\quad $$ $$ \begin{array}{l} a^{\log _c b} = b^{\log _c a} ,a > 0,a \ne 1, \\ b > 0,\quad c > 0,\quad c \ne 1 \\ \end{array}$$

Преобразование и сравнения логарифмических выражений:

Выразить $$ \log _m n$$ через $$ a = \log _c k$$: $$ \log _m n = \frac{{\log _c n}}{{\log _c m}} = \frac{{\log _c c^z k^t }}{{\log _c c^x k^y }} = \frac{{z + t \cdot a}}{{x + y \cdot a}}$$

Сравнения:

$$ \log _a b > 0\; \Leftrightarrow \;(a > 1\; и \;b > 1)\; или \;(a

$$ \log _a b 1\; и \;b 1)$$

Логарифм. Свойства логарифма (степень логарифма).

Как представить число в виде логарифма?

Используем определение логарифма.

Логарифм — это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число, стоящее под знаком логарифма.

Таким образом, чтобы представить некоторое число c в виде логарифма по основанию a, надо под знак логарифма поставить степень с тем же основанием, что и основание логарифма, а в показатель степени записать это число c:

Примеры.

В виде логарифма можно представить абсолютно любое число — положительное, отрицательное, целое, дробное, рациональное, иррациональное:

   

Чтобы в стрессовых условиях контрольной или экзамена не перепутать a и c, можно воспользоваться таким правилом для запоминания:

то, что внизу, идёт вниз, то, что вверху, идёт вверх.

Например, нужно представить число 2 в виде логарифма по основанию 3.

У нас есть два числа — 2 и 3. Эти числа — основание и показатель степени, которую мы запишем под знак логарифма. Остаётся определить, которое из этих чисел нужно записать вниз, в основание степени, а которое — вверх, в показатель.

Основание 3 в записи логарифма стоит внизу, значит, когда мы будем представлять двойку в виде логарифма по основанию 3, 3 также запишем вниз, в основание.

2 стоит выше тройки. И в записи степени двойку запишем выше тройки, то есть, в показатель степени:

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

  1. log = 1 — это логарифмическая единица. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию от самого этого основания равен единице.
  2. log 1 = 0 — это логарифмический ноль. Основание может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что = 1 — это прямое следствие из определения.

Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.

  1. Тест к уроку «Что такое логарифм» (тяжелый)
  2. Как решать простейшие логарифмические уравнения
  3. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 10 (без логарифмов)
  4. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №6
  5. Показательные функции в задаче B15
  6. Процент: налоги и зарплата. Считаем с помощью коэффициентов

Основное логарифмическое тождество

Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию.

В этом случае нам помогут формулы:

  1. n = logaan

В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.

Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: .

В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a? Правильно: получится это самое число a. Внимательно прочитайте этот абзац еще раз — многие на нем «зависают».

Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.

Заметим, что log25 64 = log5 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ

Как считать логарифмы

С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:

  1. Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
  2. Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!

Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: logax = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log2 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2−1.

Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.

Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:

  1. Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
  2. Решить относительно переменной b уравнение: x = ab;
  3. Полученное число b будет ответом.

Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.

Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:

  1. Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 51; 25 = 52;
  2. Составим и решим уравнение:log5 25 = b ⇒(51)b = 52 ⇒5b = 52 ⇒ b = 2;

  3. Получили ответ: 2.
  1. Представим основание и аргумент как степень тройки: 3 = 31; 1/81 = 81−1= (34)−1 = 3−4;
  2. Составим и решим уравнение:

  3. Получили ответ: −4.
  1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 22; 64 = 26;
  2. Составим и решим уравнение:log4 64 = b ⇒(22)b = 26 ⇒22b = 26 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
  3. Получили ответ: 3.
  1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 24; 1 = 2;
  2. Составим и решим уравнение:log16 1 = b ⇒(24)b = 2 ⇒24b = 2 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
  3. Получили ответ: 0.
  1. Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 71; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 712;
  2. Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
  3. Ответ — без изменений: log7 14.

Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. Если в разложении есть хотя бы два различных множителя, число не является точной степенью.

8 = 2 · 2 · 2 = 23 — точная степень, т.к. множитель всего один; 48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 24 — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2; 81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 34 — точная степень; 35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью; 14 = 7 · 2 — опять не точная степень;

Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.

Учет области определения

Теперь поговорим об области определения логарифмической функции, а также о том, как это влияет на решение логарифмических уравнений. Рассмотрим конструкцию вида

Такое выражение называется простейшим — в нем лишь одна функция, а числа а и — это именно числа, а ни в коем случае не функция, зависящая от переменной х. Решается оно очень просто. Достаточно лишь использовать формулу:

Данная формула является одним из ключевых свойств логарифма, и при подстановке в наше исходное выражение мы получим следующее:

Далее, поскольку и слева, и справа стоит логарифмы по одному и тому же основанию, мы избавляемся от них:

Это уже знакомая формула из школьных учебников. У многих учеников наверняка возникнет вопрос: поскольку в исходном выражении функция () стоит под знаком log, на нее накладываются следующие ограничения:

(х) > 0

Это ограничение действует потому, что логарифм от отрицательных чисел не существует. Так, может быть, вследствие этого ограничения следует ввести проверку на ответы? Быть может, их нужно подставлять в исходник?

Нет, в простейших логарифмических уравнениях дополнительная проверка излишня. И вот почему. Взгляните на нашу итоговую формулу:

Дело в том, что число а в любом случае больше 0 — это требование тоже накладывается логарифмом. Число а является основанием. При этом на число никаких ограничений не накладывается

Но это и неважно, потому что в какую бы степень мы бы не возводили положительное число, на выходе мы все равно получим положительное число. Таким образом, требование (х) > 0 выполняется автоматически

Что действительно стоит проверять, так это область определения функции, стоящей под знаком log. Там могут встречаться довольно непростые конструкции, и в процессе решения за ними обязательно нужно следить. Давайте посмотрим.

Первый шаг: преобразуем дробь справа. Получим:

Избавляемся от знака логарифма и получаем обычное иррациональное уравнение:

Из полученных корней нас устраивает только первый, так как второй корень меньше нуля. Единственным ответом будет число 9. Все, задача решена. Никаких дополнительных проверок того, что выражение под знаком логарифма больше 0, не требуется, потому что оно не просто больше 0, а по условию уравнения оно равно 2. Следовательно, требование «больше нуля», выполняется автоматически.

Здесь все то же самое. Переписываем конструкцию, заменяя тройку:

Избавляемся от знаков логарифма и получаем иррациональное уравнение:

Возводим обе части в квадрат с учетом ограничений и получаем:

х + 4 ≥ 0

Решаем полученное уравнение через дискриминант:

Но = −6 нас не устраивает, потому что если мы подставим это число в наше неравенство, то получим:

В нашем же случае требуется, чтобы было больше, чем 0 или в крайнем случае равно. А вот = −1 нам подходит:

Единственным ответом в нашем случае будет = −1. Вот и все решение. Давайте вернемся в самое начало наших вычислений.

Основной вывод из этого урока: проверять ограничения для функции в простейших логарифмических уравнениях не требуется. Потому что в процессе решения все ограничения выполняются автоматически.

Однако это ни в коем случае не означает, что о проверке можно вообще забыть. В процессе работы над логарифмическим уравнением вполне может перейти в иррациональное, в котором будут свои ограничения и требования к правой части, в чем мы сегодня и убедились на двух различных примерах.

Смело решайте такие задачи и будьте особо внимательные, если в аргументе стоит корень.

Вынесение показателя степени из логарифма

Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

  1. log = · log;

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: > 0, ≠ 1, > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12

Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 24; 49 = 72. Имеем:

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log2 7. Поскольку log2 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.

Свойства логарифма

См. также «Определение и доказательство свойств логарифма».

Область определения, множество значений, возрастание, убывание

Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства логарифма представлены в таблице.

 
Область определения
Область значений
Монотонность монотонно возрастает монотонно убывает
Нули,
Точки пересечения с осью ординат, нет нет

Частные значения

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается так: Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом:

Основные формулы логарифмов

Свойства логарифма, вытекающие из определения обратной функции:

Формула замены основания

Логарифмирование
– это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей преобразуются в суммы членов.
Потенцирование
– это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов преобразуются в произведения сомножителей.

Доказательство основных формул логарифмов

Формулы, связанные с логарифмами вытекают из формул для показательных функций и из определения обратной функции.

Рассмотрим свойство показательной функции. Тогда. Применим свойство показательной функции.

Докажем формулу замены основания.;. Полагая , имеем:

Ссылка на основную публикацию