Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции. обратные тригонометрические функции. определения функций, их свойства и графики

Свойства логарифмов

Все свойства логарифмов связаны напрямую со свойствами показательных функций. Например, тот факт, что 

Следует заметить, что при решении конкретных задач, свойства логарифмов могут оказаться более важными и полезными, чем правила работы со степенями.

Приведем некоторые тождества:

Приведем основные алгебраические выражения:

Внимание!  может существовать только при x>0, x≠1, y>0.

Постараемся разобраться с вопросом, что такое натуральные логарифмы. Отдельный интерес в математике представляют два вида — первый имеет в основании число «10», и носит название «десятичный логарифм». Второй называется натуральным. Основание натурального логарифма — число «е». Именно о нем мы и будем детально говорить в этой статье.

Обозначения:

  • lg x — десятичный;
  • ln x — натуральный.

Используя тождество   

Монотонность функции

Функция f(x) называется возрастающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Представьте, что некоторая точка движется по графику слева направо. Тогда точка будет как бы «взбираться» вверх по графику.

Функция f(x) называется убывающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Представьте, что некоторая точка движется по графику слева направо. Тогда точка будет как бы «скатываться» вниз по графику.

Функция, только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.

График натурального логарифма

Построим график натурального логарифма стандартным классическим способом по точкам. При желании, проверить правильно ли мы строим функцию, можно при помощи исследования функции. Однако, есть смысл научится строить его «вручную», чтобы знать, как правильно посчитать логарифм.

Функция: y = ln x. Запишем таблицу точек, через которые пройдет график:

х у
1
е 1
е2≈7,34 2
  0,5
e-1≈0.36 -1

Поясним, почему мы выбрали именно такие значения аргумента х. Всё дело в тождестве: 

Для удобства мы можем взять пять опорных точек:

Как посчитать логарифмы от этих пяти значений? Очень просто, ведь:

Таким образом, подсчет натуральных логарифмов — довольно несложное занятие, более того, он упрощает подсчеты операций со степенями, превращая их в обычное умножение.

Построив по точкам график, получаем приблизительный график:

Область определения натурального логарифма (т.е. все допустимые значения аргумента Х) — все числа больше нуля.

Внимание! В область определения натурального логарифма входят только положительные числа! В область определения не входит х=0. Это невозможно исходя из условий существования логарифма  .. Область значений (т.е

все допустимые значения функции y = ln x) — все числа в интервале 

Область значений (т.е. все допустимые значения функции y = ln x) — все числа в интервале 

Графики элементарных функций

Линейная функция

Линейная функция — это функция вида y=kx+b, где k и b некоторые действительные числа.

Если b=0, то функция примет вид y=kx и будет называться прямой пропорциональностью.

D(f) : x \in R;\enspace E(f) : y \in R

График линейной функции — прямая.

Угловой коэффициент k прямой y=kx+b вычисляется по следующей формуле:

k= tg \alpha , где \alpha — угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox.

1) Функция монотонно возрастает при k > 0.

Например: y=x+1

2) Функция монотонно убывает при k .

Например: y=-x+1

3) Если k=0, то придавая b произвольные значения, получим семейство прямых параллельных оси Ox.

Например: y=-1

Обратная пропорциональность

Обратной пропорциональностью называется функция вида y=\frac {k}{x}, где k — отличное от нуля, действительное число

D(f) : x \in \left \{ R/x \neq 0 \right \}; \: E(f) : y \in \left \{R/y \neq 0 \right \}.

Графиком функции y=\frac {k}{x} является гипербола.

1) Если k > 0, то график функции будет располагаться в первой и третьей четверти координатной плоскости.

Например: y=\frac{1}{x}

2) Если k , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.

Например: y=-\frac{1}{x}

Степенная функция

Степенная функция — это функция вида y=x^n, где n — отличное от нуля, действительное число

1) Если n=2, то y=x^2. D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in [0; +\infty) .

Графиком функции y=x^2 является парабола.

2) Если n=3, то y=x^3. D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in R .

Графиком функции y=x^3 является кубическая парабола.

3) Если n=\frac{1}{2}, то y=x^\tfrac{1}{2} или y=\sqrt{x}. D(f) : x \in [0; +\infty ); \: E(f) : y \in [0; +\infty )

4) Если n=\frac{1}{3}, то y=x^\tfrac{1}{3} или y=\sqrt{x}. D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in R

Показательная функция

Показательная функция — это функция вида y=a^x, где a=const, a > 0, a \neq 1

D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in (0; +\infty ).

Графиком показательной функции является экспонента.

1) Функция будет монотонно возрастать при a > 1.

Например: y=2^x

2) Функция монотонно убывает при

Например: y=\left (\frac{1}{2} \right )^{x}

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция — это функция вида y=\log_{a}x, где a — действительное число, a > 0, \: a \neq 1

D(f) : x \in (0; +\infty ); \: E(f) : y \in R.

1) Функция монотонно возрастает при a > 1.

Например: y=\log_{2}x

2) Функция будет монотонно убывать при

Например: y=\log_{\tfrac{1}{2}}x

Тригонометрическая функция

К тригонометрическим функциям относят функции вида:

1) y=\sin x. D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in ; основной период функции T=2 \pi

2) y = \cos x. D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in ; основной период функции T=2 \pi

3) y = tg x. D(f) : x \in \left \{ R /x \neq \frac{\pi}{2}+\pi n\right \}, n \in \mathbb{Z}; \: E(f) : y \in R; основной период функции T= \pi

4) y = ctg x. D(f) : x \in \left \{ R /x \neq 0+\pi n\right \}, n \in \mathbb{Z}; \: E(f) : y \in R; основной период функции T= \pi

Обратные тригонометрические функции

К обратным тригонометрическим функциям относят функции вида:

1) y=\arcsin x. D(f) : x \in , \: E(f) : y \in \left

2) y=arccos x. D(f) : x \in , \: E(f) : y \in

3) y=arctg x. D(f) : x \in R, \: E(f) : y \in \left (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right )

4) y= arcctg x. D(f) : x \in R, \: E(f) : y \in \left (0; \pi \right )

Интересные сведения

Логарифмы (особенно натуральные и десятичные) широко применимы почти во всех сферах деятельности.

Например, в теории простых чисел, количество простых чисел в интервале от 0 до n будет равно приблизительно: 

В математическом анализе, как мы уже убедились ранее, натуральные логарифмы встречаются сплошь и рядом, при этом они объединяют тригонометрические и логарифмические функции при помощи интегралов, например интеграл от тангенса:

В статистике и теории вероятности логарифмические величины встречаются очень часто. Это неудивительно, ведь число е — зачастую отражает темп роста экспоненциальных величин.

В информатике, программировании и теории вычислительных машин, логарифмы встречаются довольно часто, например для того чтобы сохранить в памяти натуральное число N понадобится

В теориях фракталов и размерностях логарифмы используются постоянно, поскольку размерности фракталов определяются только с их помощью.

В механике и физике нет такого раздела, где не использовались логарифмы. Барометрическое распределение, все принципы статистической термодинамики, уравнение Циолковского и прочее — процессы, которые математически можно описать только при помощи логарифмирования.

В химии логарифмирование используют в уравнениях Нернста, описаниях окислительно-восстановительных процессов.

Поразительно, но даже в музыке, с целью узнать количество частей октавы, используют логарифмы.

Натуральный логарифм Функция y=ln x ее свойства

Доказательство основного свойства натурального логарифма

Примеры нахождения обратной функции

Данная задача решается аналогично и справедлива для любого основания степени.

Решим задачу при

Заданная функция монотонно убывает, значит, существует обратная ей функция. Получим ее:

Выразить х через у:

Поменять местами х и у:

Итак, получили функцию, обратную заданной: . Как известно, графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой у=х. проиллюстрируем:

Рис. 4. Графики  функций  и

Заметим, что мы получили логарифмические функции как обратные к показательным.

У прямой и обратной функций есть много общего, но есть и отличия. Рассмотрим это подробнее на примере функций  и .

Рис. 5. Графики функций  (слева) и (справа)

Основные свойства логарифмической функции:

1. Областью определения логарифмической функции будет являться все множество положительных вещественных чисел. Для краткости его еще обозначают R+. Очевидное свойство, так как каждое положительное число имеет логарифм по основанию а.

2. Областью значения логарифмической функции будет являться все множество вещественных чисел.

3. Если основание логарифмической функции a>1, то на всей области определения функции возрастает. Если для основания логарифмической функции выполняется следующее неравенство 0

4. График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0).

5. Возрастающая логарифмическая функция, будет положительной при x>1, и отрицательной при 0

6. Убывающая логарифмическая функция, будет отрицательной при х>1, и положительной при 0

На следующем рисунке представлен график убывающей логарифмической функции — (0

7. Функция не является четной или нечетной. Логарифмическая функция – функция общего вид.

8. Функция не имеет точек максимума и минимума.

Если построить в одной оси координат показательную и логарифмическую функции с одинаковыми основаниями, то графики этих функций будут симметричны относительно прямой y = x. Данное утверждение показано на следующем рисунке.

Изложенное выше утверждение будет справедливо, как для возрастающих, так и для убывающих логарифмических и показательных функций.

Рассмотрим пример: найти область определения логарифмической функции f(x) = log8(4 — 5*x).

Исходя из свойств логарифмической функции, областью определения является все множество положительных вещественных чисел R+. Тогда заданная функция будет определена для таких х, при которых 4 — 5*x>0. Решаем это неравенство и получаем x

Таким образом, получается, что областью определения функции f(x) = log8(4 — 5*x) будет являться промежуток (-∞;0.8)

4. Применение новых понятий. Закрепление нового материала

1). Самостоятельная работа

1. Найдите область определения функции:

1) у= log0,3 х 2) у= log2 (х-1) 3) у= log3 (3-х)

  1. (0; +∞) б) (1;+∞) в) (-∞; 3) г) (0;1

2. При каких значениях х имеет смысл функция:

1) у = log3 х2 2) у = log5 (-х) 3) у = lgх│

а) х≠0 б) х>0 в)x

3. Какие из перечисленных функций являются возрастающими?

а) у=log5 х б) в) у= logπ х г)

4. Укажите рисунок, на котором изображен график функции

а) б) в) г)

5. Какие их точек А, В, С(5;-1) принадлежат графику функции

6. Сравните числа:

а) б)

2). Фронтальная работа по учебнику — №318-320

3). Блиц-опрос (отвечать только «да» или «нет»)

— Ось у является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции.

— Графики показательной и логарифмической функций симметричны относительно прямой у = х.

— Область определения логарифмической функции – вся числовая прямая, а область значений этой функции – промежуток (0, + ∞).

— Монотонность логарифмической функции зависит от основания логарифма.

— Не каждый график логарифмической функции проходит через точку с координатами (1;0).

— Логарифмическая кривая это та же экспонента, только по — другому расположенная в координатной плоскости.

— Выпуклость логарифмической функции не зависит от основания логарифма.

— Логарифмическая функция не является ни чётной, ни нечётной.

— Логарифмическая функция имеет наибольшее значение и не имеет наименьшего значения при a >1 и наоборот при 0 a

5.Подведение итогов урока

— Что изучили сегодня на уроке?

— Какие особенности построения графиков логарифмической функции можете назвать?

Сделать анализ степени достижения поставленных целей самими обучающимися.

Выделить наиболее активных, объяснить, почему.

Провести анализ допущенных ошибок (если таковые имеются) и пути их устранения.

Сообщить полученные оценки за урок.

  1. Задание на дом — №324, №332

Формула замены основания логарифма

Иметь дело с натуральным логарифмом намного проще, чем с логарифмом, имеющим произвольное основание. Именно поэтому попробуем научиться приводить любой логарифм к натуральному, либо выражать его по произвольному основанию через натуральные логарифмы.

Начнем с логарифмического тождества:

Тогда любое число, либо переменную у можно представить в виде:

где х — любое число (положительное согласно свойствам логарифма).

Данное выражение можно прологарифмировать с обеих сторон. Произведем это при помощи произвольного основания z:

Воспользуемся свойством

Отсюда получаем универсальную формулу:

В частности, если z=e, то тогда:

Нам удалось представить логарифм по произвольному основанию через отношение двух натуральных логарифмов.

Решаем задачи

Для того чтобы лучше ориентироваться в натуральных логарифмах, рассмотрим примеры нескольких задач.

Задача 1. Необходимо решить уравнение ln x = 3.

Решение: Используя определение логарифма: если

Задача 2. Решите уравнение (5 + 3 * ln (x — 3)) = 3.

Решение: Используя определение логарифма: если

Тогда:

Еще раз применим определение логарифма:

Таким образом:

Можно приближенно вычислить ответ, а можно оставить его и в таком виде.

Задача 3. Решите уравнение

Решение: Произведем подстановку: t = ln x. Тогда уравнение примет следующий вид:

Перед нами квадратное уравнение. Найдем его дискриминант:

Первый корень уравнения:

Второй корень уравнения:

Вспоминая о том, что мы производили подстановку t = ln x, получаем:

Используя определение логарифма: если 

Вспомним, что область определения:

Внимание! Когда в логарифмических уравнениях у вас получается два корня или больше, не забывайте про область определения. Аргумент, стоящий под логарифмом никогда не может быть меньше нуля

Если одно из решений делает выражение под логарифмом меньше либо равным нулю — такой корень вам не подходит, исключите его.

Формулы и свойства логарифмов

Некоторые из основных правил логарифма:

  • Когда логарифмируемое число равно основанию логарифма, логарифм всегда будет равен 1 ;
  • Логарифм с любым основанием, число которого равно 1, всегда будет иметь результат равным 0 ;
  • Два логарифма с одинаковым основанием всегда будут иметь одинаковые числа ;
  • Если основание «а» возведено в степень логарифма с основанием «а» числа «b», то он равен «b» ;
  • В случае умножения чисел мы можем превратить их в сумму двух логарифмов с одинаковыми основаниями ;
  • А в случае деления чисел мы превращаем их в вычитание двух логарифмов с одинаковыми основаниями ;
  • Правило возведения в степень: логарифм в степени упрощается путём умножения степени на логарифм, сохраняя её основание и число (тоже самое делается с логарифмом в квадрате)

Формулы перехода к новому основанию:

Дифференцирование показательной функции

Для дифференцирования показательной функции, ее основание нужно привести к числу , применить таблицу производных и правило дифференцирования сложной функции.

Для этого нужно использовать свойство логарифмов и формулу из таблицы производных:.

Пусть задана показательная функция:. Приводим ее к основанию Применим правило дифференцирования сложной функции. Для этого вводим переменную Тогда Из таблице производных имеем (заменим переменную на ):. Поскольку – это постоянная, то производная по равна. По правилу дифференцирования сложной функции:.

Пример дифференцирования показательной функции

Найти производную функции

Решение

Выразим основание показательной функции через число . Тогда. Вводим переменную. Тогда Из таблицы производных находим:. Поскольку – это постоянная, то производная по равна:. По правилу дифференцирования сложной функции имеем:.

Ответ

Ссылка на основную публикацию