Егэ формулы, шпаргалки — степени и логарифмы

Тригонометрические функции, их свойства и графики.

Все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся к основным элементарным функциям. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Тригонометрическим функциям присуще понятие периодичности (повторяемости значений функции при различных значениях аргумента, отличных друг от друга на величину периода , где Т — период), поэтому, в список свойств тригонометрических функций добавлен пункт «наименьший положительный период». Также для каждой тригонометрической функции мы укажем значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в ноль.

Теперь разберемся со всеми тригонометрическими функциями по порядку.

Функция синус y = sin(x).

Изобразим график функции синус, его называют «синусоида».

Свойства функции синус y = sinx.

  • Областью определения функции синус является все множество действительных чисел, то есть, функция y = sinx определена при .
  • Наименьший положительный период функции синуса равен двум пи: .
  • Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.
  • Функция синус принимает значения из интервала от минус единицы до единицы включительно, то есть, ее область значений есть .
  • Функция синус — нечетная, так как .
  • Функция убывает при ,
    возрастает при .
  • Функция синус имеет локальные максимумы в точках ,
    локальные минимумы в точках .
  • Функция y = sinx вогнутая при ,
    выпуклая при .
  • Координаты точек перегиба .
  • Асимптот нет.

Функция косинус y = cos(x).

График функции косинус (его называют «косинусоида») имеет вид:

Свойства функции косинус y = cosx.

  • Область определения функции косинус: .
  • Наименьший положительный период функции y = cosx равен двум пи: .
  • Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.
  • Область значений функции косинус представляет интервал от минус единицы до единицы включительно: .
  • Функция косинус — четная, так как .
  • Функция убывает при ,
    возрастает при .
  • Функция y = cosx имеет локальные максимумы в точках ,
    локальные минимумы в точках .
  • Функция вогнутая при ,
    выпуклая при .
  • Координаты точек перегиба .
  • Асимптот нет.

Функция тангенс y = tg(x).

График функции тангенс (его называют «тангенсоида») имеет вид:

Свойства функции тангенс y = tgx.

  • Область определения функции тангенс: , где , Z – множество целых чисел.
    Поведение функции y = tgx на границе области определения
    Следовательно, прямые , где , являются вертикальными асимптотами.
  • Наименьший положительный период функции тангенс .
  • Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.
  • Область значений функции y = tgx: .
  • Функция тангенс — нечетная, так как .
  • Функция возрастает при .
  • Функция вогнутая при ,
    выпуклая при .
  • Координаты точек перегиба .
  • Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

Функция котангенс y = ctg(x).

Изобразим график функции котангенс (его называют «котангенсоида»):

Свойства функции котангенс y = ctgx.

  • Область определения функции котангенс: , где , Z – множество целых чисел.
    Поведение на границе области определения
    Следовательно, прямые , где являются вертикальными асимптотами.
  • Наименьший положительный период функции y = ctgx равен пи: .
  • Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.
  • Область значений функции котангенс: .
  • Функция нечетная, так как .
  • Функция y = ctgx убывает при .
  • Функция котангенс вогнутая при ,
    выпуклая при .
  • Координаты точек перегиба .
  • Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

Основное логарифмическое тождество

Основным
логарифмическое тождество называется, т.к. оно используется практически всегда при работе с логарифмами. К тому же с его помощью обосновываются основные свойства логарифмов.

Пример 2

$7^5=16 807$, следовательно $\log_{7}16 807=5$.

$3^{-5}=\frac{1}{243}$, следовательно $\log_{3}\frac{1}{243}=-5$.

$11^0=1$, следовательно $\log_{11}⁡1=0$.

Рассмотрим следствие основного логарифмического тождества
:

Определение 3

Если два логарифма с одинаковыми основаниями равны, значит равны и логарифмируемые выражения:

если $\log_{a}⁡b=\log_{a}⁡c$, то $b=c$.

Рассмотрим ограничения
, которые применяются для логарифмического тождества:

Т.к. при возведении в любую степень единицы всегда получим единицу, а равенство $x=\log_{a}⁡b$ существует только при $b=1$, то при этом $\log_{1}⁡1$ будет любое действительное число
. Чтобы не допустить эту неоднозначность принимают $a \ne 1$.

Логарифм для $a=0$ согласно определению может существовать лишь при $b=0$. Т.к. при возведении в любую степень нуля всегда получим нуль, то $\log_{0}⁡0$ может быть любое действительное число. Чтобы не допустить эту неоднозначность принимают $a \ne 0$. При $a рациональных и иррациональных
значений логарифма, т.к. степень с рациональным и иррациональным показателем может вычисляться только для положительных оснований. Чтобы не допустить такую ситуацию принимают $a > 0$.

$b > 0$ следует из условия $a > 0$, т.к. $x=\log_{a}⁡b$, а значение степени положительного числа a всегда будет положительным.

Основным логарифмическим тождеством зачастую пользуются для упрощения логарифмических выражений.

Пример 3

Вычислить $81^{\log_{9} 7}$.

Решение
.

Для того, чтобы можно было использовать основное логарифмическое тождество необходимо, чтобы основание логарифма и степени были одинаковыми. Запишем основание степени в виде:

Теперь можем записать:

$81^{\log_{9}7}=(9^2)^{\log_{9}7}=$

воспользуемся свойством степени:

$=9^{2 \cdot \log_{9}7}=9^{\log_{9}7} \cdot 9^{\log_{9}7}=$

к каждому множителю теперь можно применить основное логарифмическое тождество:

$=7 \cdot 7=49$.

Замечание 2

Для применения основного логарифмического тождества также можно прибегнуть к замене основания логарифма на выражение, которое стоит под знаком логарифма, и наоборот.

Пример 4

Вычислить $7^{\frac{1}{\log_{11} 7}}$.

Решение
.

$7^{\frac{1}{\log_{11} 7}}=7^{\log_{7} 11}=11$.

Ответ
: $11$.

Пример 5

Вычислить $7^{\frac{3}{\log_{11} 7}}$.

(от греческого λόγος — «слово», «отношение» и ἀριθμός — «число») числа b
по основанию a
(log α b
) называется такое число c
, и b
=
a c
, то есть записи log α b
=c
и b=a
c
эквивалентны. Логарифм имеет смысл, если a > 0, а ≠ 1, b > 0.

Говоря другими словами логарифм
числа b
по основанию а
формулируется как показатель степени , в которую надо возвести число a
, чтобы получить число b
(логарифм существует только у положительных чисел).

Из данной формулировки вытекает, что вычисление x= log α b
, равнозначно решению уравнения a x =b.

Например:

log 2 8 = 3 потому, что 8=2 3 .

Выделим, что указанная формулировка логарифма дает возможность сразу определить значение логарифма
, когда число под знаком логарифма выступает некоторой степенью основания. И в правду, формулировка логарифма дает возможность обосновать, что если b=a с
, то логарифм числа b
по основанию a
равен с
. Также ясно, что тема логарифмирования тесно взаимосвязана с темой степени числа
.

Вычисление логарифма именуют логарифмированием
. Логарифмирование — это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей трансформируется в суммы членов.

Потенцирование
— это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов трансформируются в произведение сомножителей.

Достаточно часто используются вещественные логарифмы с основаниями 2 (двоичный), е число Эйлера e ≈ 2,718 (натуральный логарифм) и 10 (десятичный).

На данном этапе целесообразно рассмотреть образцы логарифмов
log 7 2,
ln
5,
lg0.0001.

А записи lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 не имеют смысла, так как в первой из них под знаком логарифма помещено отрицательное число , во второй — отрицательное число в основании, а в третьей — и отрицательное число под знаком логарифма и единица в основании.

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

  1. log a a = 1 — это. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
  2. log a 1 = 0 — это. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a 0 = 1 — это прямое следствие из определения.

Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.

Понятие логарифма и основного логарифмичесгого тождества

Понятие логарифма и основного логарифмическое тождества состоят в тесной зависимости, т.к. определение логарифма в математической записи и является .

Основное логарифмическое тождество вытекает из определения логарифма:

Определение 1

Логарифмом
называют показатель степени $n$, при возведении в которую числа $а$ получают число $b$.

Замечание 1

Показательное уравнение $a^n=b$ при $a > 0$, $a \ne 1$ не имеет решений при неположительном $b$ и имеет единственный корень при положительном $b$. Этот корень называется логарифмом числа $b$ по основанию $а$
и записывают:

$a^{\log_{a} b}=b$.

Определение 2

Выражение

$a^{\log_{a} b}=b$

называют основным логарифмическим тождеством
при условии, что $a,b > 0$, $a \ne 1$.

Пример 1

$17^{\log_{17} 6}=6$;

$e^{\ln⁡13} =13$;

$10^{\lg23}=23$.

Свойства арифметической прогрессии.

1. Общий член арифметической прогрессии.

Член арифметической прогрессии с номером  можно найти с помощью формулы:

,

 где  — 1-й член прогрессии,  — разность прогрессии.

2. Характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Последовательность   — это арифметическая прогрессия  для элементов этой прогрессии выполняется условие:

.

3. Сумма 1-х  членов арифметической прогрессии.

Сумму 1-х   членов арифметической прогрессии  можно найти с помощью формул:

,

где  — 1-й член прогрессии, 

 — член с номером , 

 — число суммируемых членов.

,

где  — 1-й член прогрессии, 

 — разность прогрессии, 

 — число суммируемых членов.

4. Сходимость арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия  является расходящейся при  и сходящейся при . При этом:

5. Связь между арифметической и геометрической прогрессиями.

Есть  — арифметическая прогрессия с разностью , где число . Тогда последовательность, которая имеет вид  является геометрической прогрессией, имеющей знаменатель .

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: log a x и log a y. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

  1. log a x + log a y = log a (x · y);
  2. log a x − log a y = log a (x: y).

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного

Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры — и убедитесь:

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 · 9) = log 6 36 = 2.

Основания одинаковые, используем формулу разности:log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

Определение показательной функции, свойства, графики

Рассмотрим основное определение.

Определение:

Функцию вида , где  и  называют показательной функцией.

Например:  и т. д.

Рассмотрим первый случай, когда основание степени больше единицы: :

Рис. 1. График показательной функции, основание степени больше единицы

Основные свойства данного семейства функций:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция возрастает, т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции;

Если аргумент стремится к минус бесконечности, функция стремится к нулю, если аргумент стремится к плюс бесконечности функция стремится также к плюс бесконечности.

Рассмотрим второй случай, когда основание степени меньше единицы :

Например:  и т. д.

Рис. 2. График показательной функции, основание степени меньше единицы

Свойства данного семейства функций:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция убывает, т. е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции;

Если аргумент стремится к минус бесконечности, функция стремится к плюс бесконечности, если аргумент стремится к плюс бесконечности функция стремится к нулю.

Как считать логарифмы

С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:

  1. Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
  2. Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!

Такие ограничения называются областью допустимых значений
(ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log 2 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2 −1 .

Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.

Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:

  1. Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
  2. Решить относительно переменной b уравнение: x = a b ;
  3. Полученное число b будет ответом.

Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.

Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:

  1. Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Составим и решим уравнение:log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Получили ответ: 2.

  1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
  2. Составим и решим уравнение:log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
  3. Получили ответ: 3.
  1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
  2. Составим и решим уравнение:log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
  3. Получили ответ: 0.
  1. Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7 1 ; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7 1
  2. Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
  3. Ответ — без изменений: log 7 14.

Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. Если в разложении есть хотя бы два различных множителя, число не является точной степенью.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 — точная степень, т.к. множитель всего один; 48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2; 81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 — точная степень; 35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью; 14 = 7 · 2 — опять не точная степень;

Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.

Основное логарифмическое тождество

Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:

  1. = log

В первом случае число становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.

Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: основное логарифмическое тождество.

В самом деле, что будет, если число возвести в такую степень, что число в этой степени дает число ? Правильно: получится это самое число . Внимательно прочитайте этот абзац еще раз — многие на нем «зависают».

Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.

Заметим, что log25 64 = log5 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ 🙂

Натуральный логарифм

Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.

Многие спросят: что еще за число e? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:e = 2,718281828459…

Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e — основание натурального логарифма: ln x = log e x

Таким образом, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 — и т.д. С другой стороны, ln 2 — иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.

Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.

Геометрическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел  (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со 2-го, получают из предыдущего путем умножения его на определённое число  (знаменатель прогрессии), где , : .

Или другими словами: геометрическая прогрессия — это численная последовательность, каждое из чисел равняется предыдущему, умноженному на определенное постоянное число q для данной прогрессии, которое называется знаменателем геометрической прогрессии.

Каждый член геометрической прогрессии можно вычислить при помощи формулы:

Когда  и , значит, прогрессия возрастает , когда , значит, прогрессия убывает, а при  — знакочередуется.

Название геометрическая прогрессия взяла из своего характеристического свойства:

т.е. все члены равны среднему геометрическому их соседей.

Решение типовых задач

Важно понять, что функции данного семейства ограничены снизу нулем, но наименьшего значения не имеют. Пример 1 – найти максимум и минимум функции на интервале [1;8):

Пример 1 – найти максимум и минимум функции на интервале [1;8):

вычислим значения функции в концах заданного промежутка:

Теперь мы можем выписать ответ на основании того, что функция монотонно убывает.

, минимального значения нет, так как правая граница не включена в интервал.

Пример 2 – построить и прочесть график функции:

Преобразуем заданную функцию по определению рациональной степени:

Не забудем указать, что по определению

Строим график функции , для нас это стандартная кривая, она проходит через точку (1;1), убывает. После этого сдвигаем полученный график на одну единицу вверх, точка (1;1) переходит в точку (1;2) (рисунок 8)

Читаем полученный график: если аргумент возрастает от нуля (не включая) до бесконечности, функция убывает от бесконечности до единицы (не включая).

Рис. 8. Построение графика функции

Пример 3 – построить и прочесть график функции:

Преобразуем заданную функцию по определению степени с рациональным показателем:

Нам известен график функции , построим его. Полученная кривая возрастает и проходит через точку (1;1), поскольку показатель степени больше единицы – кривая выпукла вниз. Сдвинем построенную кривую на две единицы вправо (получаем график функции ) и на одну единицу вверх – получаем искомый график (рисунок 9)

Прочтем полученный график:

При возрастании аргумента от двух до бесконечности функция возрастает от единицы до бесконечности.

Пример 4 – построить и прочесть график функции:

В данном случае функция задана кусочно.

Напомним, что такое модуль, раскроем его по определению:

Итак, строим график функции . Имеем две ветки:  и . После этого строим стандартную кривую  на интервале  (Рисунок 10)

Прочтем график построенной функции:

Если аргумент возрастает от минус бесконечности до нуля, функция убывает от бесконечности до нуля. Когда аргумент возрастает от нуля до единицы, функция также возрастает от нуля до единицы. Наконец, когда аргумент возрастает от единицы не включительно до плюс бесконечности, функция убывает от единицы не включительно до нуля не включительно.

Рис. 9. Построение графика функции

Рис. 10. График кусочно заданной функции

Пример 5 – найти значения параметра, при котором уравнение а) имеет хотя бы одно решение; б) имеет только одно решение:

График заданной функции мы уже построили в предыдущем примере. Теперь рассечем его семейством прямых  и найдем количество точек пересечения для каждого случая.

Выполним рассечение (рисунок 11).

Рис. 11. Рассечение графика прямыми

При  уравнение имеет три решения; при  уравнение имеет единственное решение

Ответ: при  уравнение имеет хотя бы одно решение, при  уравнение имеет единственное решение.

Итак, мы рассмотрели степенные функции, их свойства и графики. На следующем уроке мы перейдем к дифференцированию и интегрированию степенных функций.

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Uztest.ru (Источник).
  2. Edu.glavsprav.ru (Источник).
  3. Pm298.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции  на интервале:

а) ; б) ; в) ; г)

2. Построить и прочесть график функции:

а) ; б); в);  г)

3. Решите уравнение с параметром:

Ссылка на основную публикацию