Логарифм. натуральный логарифм

Логарифмическая функция

Функция вида y = logах (имеет смысл, только если: а > 0, а ≠ 1).

  • Логарифмическая функция определяется множеством всех положительных чисел, так как запись logах существует только при условии — х > 0;.
  • Данная функция может принимать абсолютно все значения из множества R (действительных чисел). Так как у всякого действительного числа b есть положительное x, чтобы выполнялось равенство logaх = b, то есть, это уравнение имеет корень — х = аb (следует из того, что logaab= b).
  • Функция возрастает на промежутке a>0, а убывает на промежутке 0
  • Если а>0, то функция принимает положительные значения при х>1.

Следует помнить, что любые графики логарифмической функции у = logах имеют одну стационарную точку (1;0), так как logа 1 = 0. Это хорошо видно на иллюстрации графика ниже.

Как видим на изображениях, функция не имеет четности или нечетности, не имеет наибольших или наименьших значений, не ограничена сверху или снизу.

Логарифмическая функция y = logаx и показательная функция y = aх, где (а>0, а≠1), взаимно обратные. Это можно видеть на изображении их графиков.

Обзор основных элементарных функций

Все элементарные функции можно представить в виде конечного числа операций сложения, вычитания, умножения и деления, произведенных над выражением вида:. Обратные функции могут выражаться также через логарифмы. Ниже перечислены основные элементарные функции.

Степенная функция:, где — показатель степени. Она зависит от основания степени . Обратной к степенной функции является также степенная функция:. При целом неотрицательном значении показателя она является многочленом. При целом значении – рациональной функцией. При рациональном значении – иррациональной функцией.

Трансцендентные функции

Показательная функция:, где — основание степени. Она зависит от показателя степени . Обратная функция — логарифм по основанию .

Экспонента, е в степени х:, Это показательная функция, производная которой равна самой функции:. Основанием степени экспоненты является число . Обратная функция — натуральный логарифм — логарифм по основанию числа .

Тригонометрические функции:Синус:   ;Косинус:   ;Тангенс:   ;Котангенс:   ; Здесь — мнимая единица, .

Обратные тригонометрические функции: Арксинус:   ,   ; Арккосинус:   ,   ; Арктангенс:   ,   ; Арккотангенс:   ,   .

Гиперболические функции: Гиперболический синус:   ; Гиперболический косинус:   ; Гиперболический тангенс:   ; Гиперболический котангенс:   .

Обратные гиперболические функции: Ареасинус:   ; Ареакосинус:   ; Ареатангенс:   ; Ареакотангенс:   .

Практическое применение

Являясь исключительно математическим инструментом, кажется далёким от реальной жизни, что логарифм неожиданно приобрёл большое значение для описания объектов реального мира. Трудно найти науку, где его не применяют. Это в полной мере относится не только к естественным, но и гуманитарным областям знаний.

Логарифмические зависимости

Приведём несколько примеров числовых зависимостей:

  • Число простых чисел на интервале от 1 до n приблизительно равно n / ln (n).
  • Для поиска k-го простого числа можно пользоваться формулой k * ln (k).
  • Логарифмическое распределение часто используется для оценки вероятностных событий в генетике и физике.
  • В информатике известно, что для хранения в памяти компьютера натурального числа N потребуется log 2(N) + 1 бит памяти.

Механика и физика

Исторически механика и физика всегда развивались с использованием математических методов исследования и одновременно служили стимулом для развития математики, в том числе логарифмов. Теория большинства законов физики написана языком математики. Приведём только два примера описания физических законов с использованием логарифма.

Решать задачу расчёта такой сложной величины как скорость ракеты можно, применяя формулу Циолковского, которая положила начало теории освоения космоса:

V = I * ln (M1/M2), где

  • V – конечная скорость летательного аппарата.
  • I – удельный импульс двигателя.
  • M 1 – начальная масса ракеты.
  • M 2 – конечная масса.

Другой важный пример — это использование в формуле другого великого учёного Макса Планка, которая служит для оценки равновесного состояния в термодинамике.

S = k * ln (Ω), где

  • S – термодинамическое свойство.
  • k – постоянная Больцмана.
  • Ω – статистический вес разных состояний.

Химия

Менее очевидным будет использования формул в химии, содержащих отношение логарифмов. Приведём тоже только два примера:

  • Уравнение Нернста, условие окислительно-восстановительного потенциала среды по отношению к активности веществ и константой равновесия.
  • Расчёт таких констант, как показатель автопролиза и кислотность раствора тоже не обходятся без нашей функции.

Психология и биология

И уж совсем непонятно при чём здесь психология. Оказывается, сила ощущения хорошо описывается этой функцией как обратное отношение значения интенсивности раздражителя к нижнему значению интенсивности.

После вышеприведённых примеров уже не удивляет, что и в биологии широко используется тема логарифмов. Про биологические формы, соответствующие логарифмическим спиралям, можно писать целые тома.

Другие области

Кажется, невозможно существование мира без связи с этой функцией, и она правит всеми законами. Особенно, когда законы природы связаны с геометрической прогрессией. Стоит обратиться к сайту МатПрофи, и таких примеров найдётся множество в следующих сферах деятельности:

  • Теории акустики.
  • Радиотехнике и электросвязи.
  • Астрономии.
  • Сейсмологии.
  • Оптике.
  • Фотографии.
  • Сельском хозяйстве.
  • Теории управления.

Список может быть бесконечным. Освоив основные закономерности этой функции, можно окунуться в мир бесконечной мудрости.

свойства

  • пер⁡1знак равно{\ Displaystyle \ пер 1 = 0}
  • пер⁡езнак равно1{\ Displaystyle \ пер е = 1}
  • пер⁡(ИксY)знак равнопер⁡Икс+пер⁡Yза Икс>а также Y>{\ Displaystyle \ п (х) = \ пер й + \ пер у \ четырехъядерный {\ текст {для}} \; х> 0 \; {\ текст {и}} \; у> 0}
  • пер⁡(ИксY)знак равноYпер⁡Иксза Икс>{\ Displaystyle \ п (х ^ {у}) = у \ х пер \ четырехъядерных {\ текст {для}} \, х> 0}
  • пер⁡Икспер⁡Yза ИксY{\ Displaystyle \ пер х
  • ИтИкс→пер⁡(1+Икс)Иксзнак равно1{\ Displaystyle \ Нт _ {х \ к 0} {\ гидроразрыва {\ п (1 + х)} {х}} = 1}
доказательство
Итчас→пер⁡(1+час)часзнак равноИтчас→пер⁡(1+час)-пер⁡1часзнак равноddИкспер⁡Икс|Иксзнак равно1знак равно1{\ Displaystyle \ Нт _ {ч \ к 0} {\ гидроразрыва {\ п (1 + Л)} {ч}} = \ Нт _ {ч \ к 0} {\ гидроразрыва {\ п (1 + Л) — \ пер 1} {H}} = {\ гидроразрыва {d} {дх}} \ {х пер \ Бигг |} _ {х = 1} = 1}

Итα→0Иксα-1αзнак равнопер⁡Иксза Икс>0{\ Displaystyle \ Нт _ {\ альфа \ к 0} {\ гидроразрыва {х ^ {\ альфа-} -1} {\ альфа}} = \ пер х \ четырехъядерных {\ текст {для}} \, х> 0}

доказательство

Так как это обратное экспоненциальной функции , можно записать
пер{\ Displaystyle \ пер}еИкс{\ Displaystyle е ^ {х}}

Итα→Иксα-1αзнак равнопер⁡Икс⋅Итα→епер⁡Икс⋅α-1пер⁡Икс⋅αзнак равнопер⁡Икс⋅Итβ→еβ-1βзнак равнопер⁡Икс,{\ Displaystyle \ Нт _ {\ альфа \ до 0} {\ гидроразрыва {х ^ {\ альфа} -1} {\ альфа}} = \ Ln х \ CDOT \ Нт _ {\ альфа \ до 0} {\ гидроразрыва {е ^ {\ пер й \ CDOT \ альфа} -1} {\ пер й \ CDOT \ альфа}} = \ пер й \ CDOT \ Нт _ {\ беты \ к 0} {\ гидроразрыва {е ^ {\ бета } -1} {\ бета}} = \ пер х,}

что и доказывает утверждение.

  • Икс-1Икс≤пер⁡Икс≤Икс-1заИкс>{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {х-1} {х}} \ Leq \ пер х \ х-Leq 1 \ четырехъядерных {\ текст {для}} \ четырехъядерных х> 0}
  • пер⁡(1+Иксα)≤αИксзаИкс≥а также α≥1{\ Displaystyle \ пер {(1 + х ^ {\ альфа})} \ Leq \ альфа х \ четырехъядерных {\ текст {для}} \ квадратора х \ GEQ 0 \; {\ текст {и}} \; \ альфа \ GEQ 1}

доказательство

Это утверждение верно для , и мы сейчас покажем , что для всех , что и завершает доказательство со стороны

Таким образом, мы хотим показать , что
Иксзнак равно{\ Displaystyle х = 0}ddИкспер⁡(1+Иксα)≤ddИкс(αИкс){\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d} {дх}} \ {LN (1 + х ^ {\ альфа})} \ {Leq \ гидроразрыва {d} {дх}} (\ альфа-х)}Икс{\ Displaystyle х}
ddИкспер⁡(1+Иксα)знак равноαИксα-11+Иксα≤αзнак равноddИкс(αИкс){\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d} {дх}} \ {LN (1 + х ^ {\ альфа})} = {\ гидроразрыва {\ альфа х ^ {\ альфа -1}} {1 + х ^ {\ альфа}}} \ Leq \ альфа = {\ гидроразрыва {d} {дх}} (\ альфа-х)}(Обратите внимание , что мы еще не доказали , что это утверждение верно.) Если это так, то путем умножения среднего заявление положительной величиной и вычитания мы получим
(1+Иксα)α{\ Displaystyle (1 + х ^ {\} альфа) / \ альфа}Иксα{\ Displaystyle х ^ {\ альфа}}
Иксα-1≤Иксα+1{\ Displaystyle х ^ {\ альфа -1} \ Leq х ^ {\ альфа} + 1}
Иксα-1(1-Икс)≤1{\ Displaystyle х ^ {\ альфа -1} (1-х) \ Leq 1}
Это утверждение тривиально для поскольку левая часть отрицательна или равна нулю. Для него по — прежнему верно , так как оба фактора на левой стороне меньше , чем 1 (напомним , что )

Таким образом , это последнее утверждение верно и повторяя наши шаги в обратном порядке , мы находим , что для всех . Это завершает доказательство.
Икс≥1{\ Displaystyle х \ GEQ 1}≤Икс1{\ Displaystyle 0 \ Leq х α≥1{\ Displaystyle \ альфа \ GEQ 1}ddИкспер⁡(1+Иксα)≤ddИкс(αИкс){\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d} {дх}} \ {LN (1 + х ^ {\ альфа})} \ {Leq \ гидроразрыва {d} {дх}} (\ альфа-х)}Икс{\ Displaystyle х}
Альтернативное доказательство заметить , что при заданных условиях. Это можно доказать, например, норму неравенств. Логарифмируя и использование завершает доказательство.
(1+Иксα)≤(1+Икс)α{\ Displaystyle (1 + х ^ {\ альфа}) \ Leq (1 + х) ^ {\ альфа}}пер⁡(1+Икс)≤Икс{\ Displaystyle \ п (1 + х) \ х} Leq

Разновидности логарифмов

Классическое определение носит название вещественный логарифм и фактически является решением уравнения ax = b. Вариант a = 1 является пограничным и не представляет интереса

Внимание: 1 в любой степени равно 1

Вещественное значение логарифма определено только при основании и аргументе больше 0, при этом основание не должно равняться 1.

Особое место в области математики играют логарифмы, которые будут называться в зависимости от величины их основания:

  • Двоичные с основанием a = 2, нашли своё применение во многих разделах дискретной математики, информатике, а также теории информации; записываются как lb (b).
  • Десятичные с основанием a = 10; записываются как lg (b).
  • Натуральные с основанием a = e, где математическая константа e = 2,71828 — иррациональное и трансцендентное число, называемое Постоянная Эйлера; записываются как ln (b).

Основные свойства логарифмической функции:

1. Областью определения логарифмической функции будет являться все множество положительных действительных чисел. Для краткости его еще обозначаютR+. Очевидное свойство, так как каждое положительное число имеет логарифм по основанию а.D(f)=R+

2. Областью значения логарифмической функции будет являться все множество действительных чисел.E(f)= (-∞; +∞)

3. График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0).

4.Ллогарифмическая функция возрастает при а>1, и убывает при 0

5. Функция не является четной или нечетной. Логарифмическая функция – функция общего вида.

6. Функция не имеет точек максимума и минимума, в области определения непрерывна.

На следующем рисунке представлен график убывающей логарифмической функции — (0

Если построить в одной оси координат показательную и логарифмическую функции с одинаковыми основаниями, то графики этих функций будут симметричны относительно прямой y = x. Данное утверждение показано на следующем рисунке.

Изложенное выше утверждение будет справедливо, как для возрастающих, так и для убывающих логарифмических и показательных функций.

Рассмотрим пример: найти область определения логарифмической функции f(x) = log8(4 — 5x).

Исходя из свойств логарифмической функции, областью определения является все множество положительных действительных чисел R+. Тогда заданная функция будет определена для таких х, при которых 4 — 5x>0. Решаем это неравенство и получаем x8(4 — 5*x) будет являться промежуток (-∞;0.8)

Графики логарифмической функции в программе GeoGebra

Графики логарифмической функции1) натуральный логарифм y = ln (x)2) десятичный логарифм y = lg (x)3) логарифм по основанию 2 y = ld (x)

V. Закрепление темы

Применяя полученные свойства логарифмической функции решим следующие задания:

1. Найти область определения функции: у=log8(4-5x);у= log0,5(2х+8);.

3. Схематично построить графики функций:у=log2(х+2) -3 у= log2(х) +2

Подводятся итоги урока: Рефлексия в форме диалога:

«На уроке я работал активно / пассивно»

«Совей работой на уроке я доволен / не доволен»

«Урок мне показался коротким / длинным»

«Я не достиг хорошего результата потому, что …»

«Материал урока мне был понятен / не понятен»

«Моё настроение стало лучше / хуже».

Вопросы диктанта

Логарифмическая функция у = logax определена при любом х. (^)

  1. Функция у = logax логарифмическая при а>0, а ≠ 1, х>0. ( _ )

  2. Областью определения логарифмической функции является множество действительных чисел. (^)

  3. Областью значений логарифмической функции является множество действительных чисел. ( _ )

  4. Логарифмическая функция – четная. (^)

  5. Логарифмическая функция – нечетная. (^)

  6. Функция у = logax (при основании большем 1) – возрастающая.( _ )

  7. Функция у = logax при положительном, но меньшем единицы основании, — возрастающая. (^)

  8. Логарифмическая функция имеет экстемум в точке (1; 0). (^)

  9. График функции у = logax пересекается с осью Ох. ( _ )

  10. График логарифмической функции находится в верхней полуплоскости. (^)

  11. График логарифмической функции симметричен относительно Ох. (^)

  12. График логарифмической функции всегда находится в I и IV четвертях. ( _ )

  13. График логарифмической функции всегда пересекает Ох в точке (1; 0). ( _ )

  14. Существует логарифм отрицательного числа. (^)

  15. Существует логарифм дробного положительного числа.( _ )

  16. График логарифмической функции проходит через точку (0; 0). (^)

2. На каком из рисунков изображен график функции .

Укажите этот рисунок.

2)

3)

4)

Отпадный пример: Правило семидесяти двух

Правило семидесяти двух — математический приём, позволяющий оценить, сколько времени понадобится, чтобы ваши деньги удвоились. Сейчас мы его выведем (да!), и более того, мы попробуем уяснить его суть.

Сколько времени понадобится, чтобы удвоить ваши деньги при 100% ставке, нарастающей ежегодно?

Оп-па. Мы использовали натуральный логарифм для случая с непрерывным ростом, а теперь ты ведёшь речь о ежегодном начислении? Не станет ли это формула непригодной для такого случая? Да, станет, однако для реальных процентных ставок вроде 5%, 6% или даже 15%, разница между ежегодным начислением процентов и непрерывным ростом будет невелика. Так что грубая оценка работает, мм, грубо, так что мы сделаем вид, что у нас полностью непрерывное начисление.

Теперь вопрос прост: Как быстро можно удвоиться при 100%-ном росте? ln(2) = 0.693. Нужно 0.693 единиц времени (лет — в нашем случае), чтобы удвоить нашу сумму с непрерывным ростом 100%.

Так, а что если процентная ставка — не 100%, а скажем, 5% или 10%?

Легко! Поскольку ставка * время = 0.693, мы удвоим сумму:

  • ставка * время = 0.693
  • время = 0.693 / ставка

Получается, если рост 10%-ный, это займёт 0.693 / 0.10 = 6.93 лет на удвоение.

Чтобы упростить вычисления, давайте домножим обе части на 100, тогда можно будет говорить «10», а не «0.10»:

время на удвоение = 69.3 / ставка, где ставка выражена в процентах.

Теперь черёд удваиваться при ставке 5%, 69.3 / 5 = 13.86 лет. Однако 69.3 — не самое удобное делимое. Давайте выберем близкое число, 72, которое удобно делить на 2, 3, 4, 6, 8 и другие числа.

время на удвоение = 72 / ставка

что и является правилом семидесяти двух. Всё шито-крыто.

Если вам нужно найти время для утроения, можете использовать ln(3) ~ 109.8 и получить

время на утроение = 110 / ставка

Что является ещё одним полезным правилом. «Правило 72» применимо росту по процентным ставкам, росту населения, культур бактерий, и всего, что растёт экспоненциально.

Происхождение термина натурального логарифма

Одна единица площади характеризует число Эйлера. Сложение и вычитание треугольников площадь одной половины для гиперболического сектора.

Функция для п ∈ ℤ производит би-бесконечную последовательность гиперболических точек. Когда две соседние точки соединены (0, 0) гиперболические радиусы, то гиперболический сектор так сформирован имеет единицу площадь. Таким образом, общая площадь внутри гиперболы и ее асимптот бесконечна, что согласуется с расходимостью гармонического ряда . Мера Области согласуется с дугой мерой как в круге и правой гипербола: по окружности радиуса 2 , дуга кругового сектора имеет угол , равную площади сектора. Аналогичным образом, гиперболический угол гиперболической дуги измеряются по площади соответствующего гиперболического сектора из х = 1.
N↦(еN,е-N){\ Displaystyle п \ mapsto (е ^ {п}, е ^ {- п})}

Дань выплачивается Леонарда Эйлера , который профилированного важность числа Эйлера е = 2,71828 … как база в экспоненциальной функции и натуральный логарифм

Он ввел представление о трансцендентной функции для классификации тригонометрические и экспоненциальные функции в тригонометрия и алгебра учебник Введение в анализ Бесконечного (1748). Квадратурная гипербола требует натурального логарифма, так что интегральное исчисление ингибируется отсутствием выражения для гиперболической квадратуры до Грегуара де Сен-Винсент (1647 г. ) не описал его с логарифмической функцией: соответствие арифметической последовательности областей с геометрическая последовательность на асимптоты. Экспозиции по Николаса Меркатора , Христианом Гюйгенсом и других привели к Эйлера Введение в котором подробно изложены круговые функции в терминах бесконечных рядов .

Связь между зоной и дугами круговых и гиперболических функциями демонстрирует естественность этого логарифма.

Логарифмическое умножение — просто умора

Сколько времени займёт четырёхкратный рост? Конечно, можно просто взять ln(4). Но это слишком просто, мы пойдём другим путём.

Можно представить четырёхкратный рост как удвоение (требующее ln(2) единиц времени) и затем снова удвоение (требующее ещё ln(2) единиц времени):

Время на 4х рост = ln(4) = Время на удвоится и затем ещё раз удвоится = ln(2) + ln(2)

Интересно. Любой показатель роста, скажем, 20, можно рассматривать как удвоение сразу после 10-кратного увеличения. Или роста в 4 раза, и затем в 5 раз. Либо же утроение и затем увеличение в 6.666 раз. Видите закономерность?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Логарифм от A, умноженного на B, есть log(A) + log(B). Это отношение сразу обретает смысл, если оперировать в терминах роста.

Если вас интересует 30-кратный рост, вы можете подождать ln(30) за один присест, либо же подождать ln(3) Для утроения, и затем ещё ln(10) для удесятирения. Конечный результат тот же самый, так что конечно время должно оставаться постоянным (и остаётся).

Что на счёт деления? В частности, ln(5/3) означает: сколько времени понадобится для того, чтобы вырасти в 5 раз, и затем получить 1/3 от этого?

Отлично, рост в 5 раз есть ln(5). Рост в 1/3 раза займёт -ln(3) единиц времени. Итак,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Сие означает: дайте вырасти в 5 раз, и затем «вернитесь во времени» к той отметке, где останется всего треть от того количества, так что у вас получится 5/3 рост. В общем получается

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Я надеюсь, что странная арифметика логарифмов начинает обретать для вас смысл: умножение показателей роста становится сложением единиц времени роста, а деление превращается в вычитание единиц времени. Не надо запоминать правила, попробуйте осознать их.

История возникновения логарифмов

В XVI веке возникла необходимость проведения многих приближенных вычислений для решения практических задач, главным образом, в астрономии (например, определение положения судна по Солнцу или звездам).

Эта потребность быстро росла и значительную трудность создавало умножение и деление многозначных чисел. И ученый-математик Непер при тригонометрических расчетах решил заменить трудоемкое умножение на обыкновенное сложение, сопоставив для этого некоторые прогрессии. Тогда деление, аналогично, заменяется на процедуру попроще и надежнее — вычитание, а дабы извлечь корень n-ой степени, нужно разделить логарифм подкоренного выражения на n. Решение такой нелегкой задачи в математике явно отображало цели Непера в науке. Вот как он писал об этом в начале своей книги «Рабдология»:

Название логарифма предложил сам Непер, он был получен путем совмещения греческих слов, которые в сочетании означали “число отношений”.

Основание логарифма ввел Спейдел. Его заимствовал Эйлер из теории о степенях и перенес в теорию логарифмов. Понятие логарифмирования стало известным благодаря Коппе в XIX веке. А использование натуральных и десятичных логарифмов, а также их обозначения появились благодаря Коши.

В 1614 году Джон Непер издал на латыни сочинение «Описание удивительной таблица логарифмов». Там было изложено краткое описание логарифмов, правил и их свойств. Так термин «логарифм» утвердился в точных науках.

Операцию логарифмирования и первое упоминание о ней появилось благодаря Валлису и Иоганну Бернулли, а окончательно установлена она была Эйлером в XVIII веке.

Именно заслуга Эйлера в распространении логарифмической функции вида y = logax на комплексную область. В первой половине XVIII века вышла его книга «Введение в анализ бесконечных», где были современные определения показательной и логарифмической функций.

Монотонность логарифмической функции

Мы многократно указывали на монотонность логарифмической функции, но никогда не доказывали этот факт. Рассмотрим на конкретном примере и тогда станет понятно, как для любой логарифмической функции доказать факт ее монотонного возрастания или убывания.

Задача:

Доказать, что функция  монотонно возрастает.

Доказательство:

Напомним, что  (выражение 1) является корнем уравнения  (выражение 2). Подставим значение  из выражения 1 вместо  в выражение 2 и получим основное логарифмическое тождество:

Напомним, что здесь , ,

Утверждение, что функция монотонно возрастает, означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции: . Запишем  и  с помощью основного логарифмического тождества:

,

Мы выбрали  и  из области определения, то есть оба эти числа положительны, так, что :

Имеем:

Получили показательное неравенство, в котором основания степеней равны и больше единицы, значит, имеем право сравнить показатели, сохранив при этом знак неравенства:

Что и требовалось доказать.

Задача на область значений функции

Пример 7 – найти область значений функции: 

Изучим функцию

Это квадратичная функция,

Теперь задача сводится к нахождению области значений следующей функции:

Данная функция нам знакома, мы знаем, что логарифмическая функция с основанием 2 монотонно возрастает, исходя из этого, нам достаточно найти значение функции при :

Ответ:

Итак, мы достаточно подробно изучили логарифмическую функцию, ее совйства и графики, научились решать основные типовые задачи. Далее мы перейдем к рассмотрению свойств логаримфа.

Список рекомендованной литературы.1) Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. М.: Мнемозина2) Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. М.: Дрофа. 3) Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. М.: Просвещение.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет:

1) Интернет-сайт «ГлавСправ» (Источник)

2) Интернет-сайт Nado5.ru (Источник)

3) Интернет-сайт UzTest.ru (Источник)

Рекомендованное домашнее задание.

1. Алгебра и начала анализа, 10—11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, №502,503,507;

2. Найдите область значений функции:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

3. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

Комплексные логарифмы

Экспоненциальная функция может быть расширена до функции, которая даёт комплексное число вида ex для любого произвольного комплексного числа x, при этом используется бесконечный ряд с комплексным x. Эта показательная функция может быть инвертирована с образованием комплексного логарифма, который будет обладать большей частью свойств обычных логарифмов. Есть, однако, две трудности: не существует x, для которого ex = 0, и оказывается, что e2πi = 1 = e. Поскольку свойство мультипликативности действительно для комплексной экспоненциальной функции, то ez = ez+2nπi для всех комплексных z и целых n.

Логарифм не может быть определён на всей комплексной плоскости, и даже при этом он является многозначным — любой комплексный логарифм может быть заменён на «эквивалентный» логарифм, добавив любое целое число, кратное 2πi. Комплексный логарифм может быть однозначным только на срезе комплексной плоскости. Например, ln i = 1/2 πi или 5/2 πi или −3/2 πi, и т.д., и хотя i4 = 1, 4 log i может быть определена как 2πi, или 10πi или −6 πi, и так далее.

Происхождение термина

Сначала может показаться, что поскольку наша система счисления имеет основание 10, то это основание является более «натуральным», чем основание e. Но математически число 10 не является особо значимым. Его использование скорее связано с культурой, оно является общим для многих систем счисления, и связано это, вероятно, с числом пальцев у людей. Некоторые культуры основывали свои системы счисления на других основаниях: 5, 8, 12, 20 и 60.

loge является «натуральным» логарифмом, поскольку он возникает автоматически и появляется в математике очень часто. Например, рассмотрим проблему производной логарифмической функции:

(loga⁡x)′=(1ln⁡a⋅ln⁡x)′=1ln⁡a(ln⁡x)′=1xln⁡a{\displaystyle (\log _{a}x)’=\left({\frac {1}{\ln a}}\cdot \ln {x}\right)’={\frac {1}{\ln a}}(\ln {x})’={\frac {1}{x\ln a}}}

Если основание a{\displaystyle a} равно e{\displaystyle e}, то производная равна просто 1x{\displaystyle {\frac {1}{x}}}, а при x = 1 эта производная равна 1. Другим обоснованием, по которому основание e логарифма является наиболее натуральным, является то, что он может быть довольно просто определён в терминах простого интеграла или ряда Тейлора, чего нельзя сказать о других логарифмах.

Дальнейшие обоснования натуральности не связаны со счислением. Так, например, есть несколько простых рядов с натуральными логарифмами. Пьетро Менголи и Николас Меркатор называли их логарифмус натуралис за несколько десятилетий до того, как Ньютон и Лейбниц разработали дифференциальное и интегральное исчисление.

Исторический очерк

Возрождение Европы в XVI веке стимулировало и развитие механики. Требовался большой объем вычисления, связанных с умножением и делением многозначных чисел. Древние таблицы оказали большую услугу. Они позволяли заменять сложные операции на более простые – сложение и вычитание. Большим шагом вперёд стала работа математика Михаэля Штифеля, опубликованная в 1544 году, в которой он реализовал идею многих математиков. Что позволило использовать таблицы не только для степеней в виде простых чисел, но и для произвольных рациональных.

В 1614 году шотландец Джон Непер, развивая эти идеи, впервые ввёл новый термин «логарифм числа». Были составлены новые сложные таблицы для расчёта логарифмов синусов и косинусов, а также тангенсов. Это сильно сократило труд астрономов.

Стали появляться новые таблицы, которые успешно использовались учёными на протяжении трёх веков. Прошло немало времени, прежде чем новая операция в алгебре приобрела свой законченный вид. Было дано определение логарифма, и его свойства были изучены.

Только в XX веке с появлением калькулятора и компьютера человечество отказалось от древних таблиц, успешно работавших на протяжении XIII веков.

Ссылка на основную публикацию