Логарифмы

Решение простейших уравнений и неравенств

Перейдем к решению типовых задач.

Пример 1 – решить уравнение, неравенство:

а)

б)

в)

Рассмотрим график логарифмической функции :

Рис. 2 – график функции

Очевидно, что функция возрастает.

Решим уравнение:

Пример а) решен.

Итак, заданная функция имеет единственный корень и вся область определения разбивается этим корнем на два интервала: первый интервал , здесь функция отрицательна, кривая находится под осью; второй интервал , здесь функция положительна, кривая находится над осью. Ответ очевиден.

Ответ: а) ; б) ; в)

Решим аналогичную задачу.

Пример 2:

а) 

б) 

в) 

Рассмотрим график логарифмической функции :

Рис. 3 – график функции 

Очевидно, что функция убывает.

Решим уравнение: 

Пример а) решен.

Итак, заданная функция имеет единственный корень и вся область определения разбивается этим корнем на два интервала: первый интервал , здесь функция положительна, кривая находится над осью; второй интервал , здесь функция отрицательна, кривая находится под осью. Ответ очевиден.

Ответ: а) ; б); в)

Определение логарифма

Понятие логарифма возникает при решении задачи в известном смысле обратной возведению в степень, когда нужно найти показатель степени по известному значению степени и известному основанию.

Но хватит предисловий, пришло время ответить на вопрос «что такое логарифм»? Дадим соответствующее определение.

Определение.

Логарифм числа b по основанию a, где a>0, a≠1 и b>0 – это показатель степени, в который нужно возвести число a, чтобы в результате получить b.

На этом этапе заметим, что произнесенное слово «логарифм» должно сразу вызывать два вытекающих вопроса: «какого числа» и «по какому основанию». Иными словами, просто логарифма как бы нет, а есть только логарифм числа по некоторому основанию.

Сразу введем обозначение логарифма: логарифм числа b по основанию a принято обозначать как logab. Логарифм числа b по основанию e и логарифм по основанию 10 имеют свои специальные обозначения lnb и lgb соответственно, то есть, пишут не logeb, а lnb, и не log10b, а lgb.

Теперь можно привести примеры логарифмов: .
А записи не имеют смысла, так как в первой из них под знаком логарифма находится отрицательное число, во второй – отрицательное число в основании, а в третьей – и отрицательное число под знаком логарифма и единица в основании.

Теперь скажем о правилах чтения логарифмов. Запись logab читается как «логарифм b по основанию a». Например, log23 — это логарифм трех по основанию 2, а — это логарифм двух целых двух третьих по основанию квадратный корень из пяти. Логарифм по основанию e называют натуральным логарифмом, а запись lnb читается как «натуральный логарифм b». К примеру, ln7 – это натуральный логарифм семи, а мы прочитаем как натуральный логарифм пи. Логарифм по основанию 10 также имеет специальное название – десятичный логарифм, а запись lgb читается как «десятичный логарифм b». Например, lg1 — это десятичный логарифм единицы, а lg2,75 — десятичный логарифм двух целых семидесяти пяти сотых.

Стоит отдельно остановиться на условиях a>0, a≠1 и b>0, при которых дается определение логарифма. Поясним, откуда берутся эти ограничения. Сделать это нам поможет равенство вида , называемое , которое напрямую следует из данного выше определения логарифма.

Начнем с a≠1. Так как единица в любой степени равна единице, то равенство может быть справедливо лишь при b=1, но при этом log11 может быть любым действительным числом. Чтобы избежать этой многозначности и принимается a≠1.

Обоснуем целесообразность условия a>0. При a=0 по определению логарифма мы бы имели равенство , которое возможно лишь при b=0. Но тогда log0 может быть любым отличным от нуля действительным числом, так как нуль в любой отличной от нуля степени есть нуль. Избежать этой многозначности позволяет условие a≠0. А при a нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0.

Наконец, условие b>0 следует из неравенства a>0, так как , а значение степени с положительным основанием a всегда положительно.

В заключение этого пункта скажем, что озвученное определение логарифма позволяет сразу указать значение логарифма, когда число под знаком логарифма есть некоторая степень основания. Действительно, определение логарифма позволяет утверждать, что если b=ap, то логарифм числа b по основанию a равен p. То есть, справедливо равенство logaap=p. Например, мы знаем, что 23=8, тогда log28=3. Подробнее об этом мы поговорим в статье вычисление логарифмов.

Методическая разработка

открытого урока по теме«Определение логарифма. Основное логарифмическое тождество»

Разработал

преподаватель

Алаторцева Н.Е.

Тема урока «Определение логарифма. Основное логарифмическое тождество»

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цель урока: познакомить с понятием логарифма, основным логарифмическим тождеством, научиться применять их на практике.

Задачи урока:

Обучающие:

  • ознакомление с понятием логарифма и основного логарифмического тождества;

  • закрепление основных понятий базового уровня;

  • вычисление значений логарифмических выражений.

Развивающие:

  • развитие познавательного интереса;

  • развитие логического мышления и внимания;

  • формирование потребности в приобретении знаний.

Воспитательные:

воспитание ответственности, умения принимать самостоятельные решения.

Оборудование:

  • экран

  • компьютер

  • проектор

  • компьютерная презентация

  • таблица

  • учебная литература (Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11кл. общеобразоват. учреждений)

Ход урока

1. Организационный момент (слайды № 1-2).

2. Актуализация знаний (слайды № 3-4).

Давайте решим устно:

 ,,,.

Как решить последнее уравнение?

У нас с вами пока не хватает знаний для этого. Такая же проблема стояла перед математиками на определенном этапе развития математики.

Чтобы решить это уравнение, было введено новое понятие — логарифм.

3. Изучение нового материала (слайды № 5-12).

Формулировка и запись:

а) определения логарифма. Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в который нужно возвести основание a,чтобы получить число b.

logab = х, где а – основание логарифма; a > 0, a ≠ 1; b –аргумент (число или выражение под знаком логарифма); b > 0; х – значение логарифма.

б) операции логарифмирования. Это операция нахождения логарифма по заданному основанию.

в) основного логарифмического тождества.

Вычислите 5 2

г) формул. , ,

Решить устно:loq24, loq381, loq55, loq749, loq61, loq232

Экскурс в историю появления логарифмов.

На протяжении 16 века быстро возрастало количество приближенных вычислений, прежде всего в астрономии. Астрономам грозила реальная опасность утонуть в невыполненных расчетах.

Логарифмы были изобретены одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632).

Слово «логарифм» введено Непером, происходит от греческих словlogoz и ariumoz — оно означает буквально “числа отношений”.

Мы можем вычислять логарифмы с помощью калькулятора, а раньше производили вычисления с помощью палочек Непера и логарифмической линейки.

4. Первичное закрепление изученного материала.

а)докажите, что , , . (слайд № 13)

Работа парами на месте, записываем решения заданий на доске с последующей проверкой ответов с помощью слайдов презентации. Исправление ошибок, при необходимости, допущенных в решении на доске или в тетрадях.

 (),(),(),(),(),().

б) Решение упражнений из учебника: № 1433, 1437, 1438(а,б)

(слайд № 14).

в)Самостоятельная работа по вариантам с последующей взаимопроверкой при помощи слайда (слайды № 15-16).

5. Домашнее задание (слайд № 17).

Выучить определение логарифма.

Решить в тетрадях

— первый уровень — № 1438 (в,г), 1440(а,б)

— второй уровень — № 1442(а,б)

6. Подведение итогов урока (слайды № 18-19)

Чтобы подвести итог урока, сделать выводы, что удалось или не удалось прошу закончить предложения на листах.

— Было интересно , потому что..

— Я бы хотел(а) похвалить себя за то , что…

— Урок я бы оценил(а) на…

Используемая литература.

  1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11кл. общеобразоват. учреждений/-16-е изд. — М.: Просвещение, 2010.-464с.

  2. Я.И.Перельман: Занимательная алгебра — М.: Наука, 1967.-200с.

Самостоятельная работа. Вариант ___. Учащегося ____________________

Закончить предложения.

Было интересно , потому что…

Я бы хотел(а) похвалить себя за то , что…

Урок я бы оценил(а) на…

Самостоятельная работа. Вариант ___. Учащегося ____________________

Закончить предложения.

Было интересно , потому что…

Я бы хотел(а) похвалить себя за то , что…

Урок я бы оценил(а) на…

Оценка логарифмических констант

Важной типовой задачей является оценка логарифмических констант. Пример 3 – оценить числа:

Пример 3 – оценить числа:

а) ;

а) ;

Рассмотрим логарифмическую функцию с основнаием 2:

Рис. 4 – график функции

При  функция равна нулю. Покажем некоторые степени двойки. Например,  (первая степень), при этом ;  (вторая степень), при этом ;  (третья степень), при этом

Аргумент  расположен между  и , отсюда значение функции  расположено между двойкой и тройкой.

Аналогично аргумент  расположен между  и , отсюда значение функции  расположено между единицей и двойкой.

Ответ: а) ; б)

Пример 4 – решить неравенство:

Очевидно, что решение сводится к оценке логарифмических констант.

Итак, оценим первый логарифм, второй логарифм, а затем всю скобку.

, т.к.

, т.к.

Таким образом, первый логарифм лежит в пределах от двух до трех, а второй – от трех до четырех, очевидно, что их разность  меньше либо равна нулю. Таким образом, чтобы выполнялось заданное неравенство необходимо чтобы  был отрицательным.

Ответ:

Логарифм произведения и логарифм частного

loga(bc)=logab+logac(a>0,a≠1,b>0,c>)logabc=logab−logac(a>0,a≠1,b>0,c>)

Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании «слева направо» происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного — расширение ОДЗ.

Действительно, выражение

loga(f(x)g(x))

определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.

Преобразуя данное выражение в сумму

logaf(x)+logag(x), мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).

Определение натурального логарифма

Определение.

Натуральным мы будем называть логарифм с основанием .

Напоминание: Что такое ? Давайте вспомним. Итак, рассмотрим функцию . Число иррациональное. В чем его особенность? К графику  касательная в точке  наклонена под градусом  к оси . Рис. 1.

Рис. 1. Касательная к графику функции

Так вот, если касательная наклонена под градусом  к оси , то основание этой функции есть число .

Производная в точке : .

И то есть скорость роста функции в точке  равна значению функции в этой же точке.

Мы вспомнили, что такое число  – основание натурального логарифма.

Теперь дадим строгое определение и обозначение.

Определение.

Натуральным логарифмом (обозначается ln) называется логарифм по основанию .

Несколько примеров, чтобы привыкнуть к новому обозначению.

Примеры:

Итак, мы дали строгое определение натуральному логарифму и привели несколько примеров.

Теперь изучим логарифмическую функцию с натуральным основанием, то есть

Решение уравнений с логарифмами

Примеры:

Пример 1 – решить уравнение: (Рис. 3).

а)

Задано простейшее показательное уравнение, которое мы умеем решать. Уравняем основания степеней:

По определению логарифма:

б)  (Рис. 4).

Задано простейшее показательное уравнение, которое мы умеем решать. Уравняем основания степеней:

По определению логарифма:

в)  (Рис. 5).

По определению логарифма:

Cогласно основному логарифмическому тождеству ()

То есть, мы, как и раньше, уравняли основания степеней и получили ответ.

г)  (Рис. 6).

По определению логарифма:

Cогласно основному логарифмическому тождеству ()

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 1.а

Рис. 4. Иллюстрация к примеру 1.б

Рис. 5. Иллюстрация к примеру 1.в

Рис. 6. Иллюстрация к примеру 1.г

Пример 2:

Доказать, что число  – иррациональное.

Напомним, что рациональными числами называются дроби, где числитель – любое целое, а знаменатель – любое натуральное число:

Доказательство – от противного:

Пусть число  – рациональное. Мы знаем, что данное число положительно. Получаем:

Тогда по основному правилу имеем:

Возведем обе части полученного уравнения в степень n:

Получили противоречие:  имеет простые сомножители числа 3, а  – числа 2,  не кратно двум:

Полученное противоречие доказывает, что число  – иррациональное.

Пример 3 – решить неравенство: Рис. 7.

Способ 1 – решить уравнение и использовать свойства показательной функции:

По определению логарифма:

Рис. 10.7. Иллюстрация к примеру 3

Нас интересуют те значения аргумента, при которых показательная функция больше линейной. Очевидно, что это значения

Ответ:

Способ 2 – уравнять основания:

Применим основное логарифмическое тождество:

Основание степени больше единицы, получаем ответ:

Получили такой же ответ, как и при решении первым способом.

Основные свойства логарифмов, формулы

Для удобства запоминания и использования представим основные свойства логарифмов в виде списка формул. В дадим их формулировки, доказательства, примеры использования и необходимые пояснения.

  1. Свойство логарифма единицы: loga1=0 для любого a>0, a≠1.
  2. Логарифм числа, равного основанию: logaa=1 при a>0, a≠1.
  3. Свойство логарифма степени основания: logaap=p, где a>0, a≠1 и p – любое действительное число.
  4. Логарифм произведения двух положительных чисел: loga(x·y)=logax+logay, a>0, a≠1, x>0, y>0,
    и свойство логарифма произведения n положительных чисел: loga(x1·x2·…·xn)=logax1+logax2+…+logaxn, a>0, a≠1, x1>0, x2>0, …, xn>0.
  5. Свойство логарифма частного: , где a>0, a≠1, x>0, y>0.
  6. Логарифм степени числа: logabp=p·loga|b|, где a>0, a≠1, b и p такие числа, что степень bp имеет смысл и bp>0.

  7. Формула перехода к новому основанию логарифма: , где a>0, a≠1, b>0, c>0, c≠1.

    • Следствие 1: , a>0, a≠1, b>0, b≠1.
    • Следствие 2: , a>0, a≠1, b>0, p и q – действительные числа, q≠0, в частности при b=a имеем .
  8. Свойство сравнения логарифмов с одинаковыми основаниями:
    для любых положительных чисел b1 и b2, b12 при 0 справедливо неравенство logab1>logab2, а при a>1 – неравенство logab1ab2.

  9. Свойство сравнения логарифмов с равными числами под знаком логарифма и разными основаниями:

    • если a1>1, a2>1 и a1, то при 0 выполняется loga1ba2b, а при b>1 справедливо loga1b>loga2b;
    • если 01, a2>1 (при этом a1), то при 0 выполняется loga1b>loga2b, а при b>1 справедливо loga1ba2b;
    • если 01, 02 и a1, то при 0 выполняется loga1ba2b, а при b>1 справедливо loga1b>loga2b.

Десятичные и натуральные логарифмы

Десятичным логарифмом числа x называется логарифм по основанию 10. Десятичные логарифмы используются довольно часто, поэтому для них введено специальное обозначение: log10x = lg x. Все перечисленные выше формулы сохраняют актуальность для десятичных логарифмов. Например,

lg(xy)=lgx+lgy(x>0,y>).

Натуральным логарифмом числа x (обозначение lnx) называется логарифм х по основанию e. Число e — иррациональное, приближенно равно 2,71. Например, ln e = 1. Пользуясь формулой (8), можно любой логарифм свести к десятичным или натуральным логарифмам:

logab=lgblga=lnblna(a>0,a≠1,b>)

10 примеров логарифмов с решением

1. Найти значение выражения2. Найти значение выражения3. Найти значение выражения4. Найти значение выражения5. Найти значение выражения6. Найти значение выраженияСначала найдем значениеДля этого приравняем его к Х:Тогда изначальное выражение принимает вид:

7. Найти значение выраженияПреобразуем наше выражение:Теперь воспользуемся свойством вынесения показателя степени из логарифма и получим: 8. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов одинаковые, воспользуемся свойством разности логарифмов:9. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов разные, применять свойство суммы логарифмов нельзя. Поэтому решаем каждый логарифм по отдельности:Подставляем полученные значения в исходное выражение:

4 + 3 = 7

10

Найти значение выраженияОбращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log216. Поэтому сначала найдем значение log216, а затем подставим полученный результат в log4:

Надеюсь, теперь вы разобрались, что такое логарифм.

Ссылка на основную публикацию