Конспект план урока на тему «синус, косинус, тангенс и котангенс угла»

Единичная полуокружность

Поместим единичную полуокружность в координатную плоскость (рис. 3).

1. Рассмотрим , в нем , где , т. е. это прямоугольный треугольник, угол  – острый.

Рис. 3. Единичная окружность в координатной плоскости

Синусом угла  называется отношение противолежащего катета  гипотенузе :

Но гипотенуза , поэтому:

 – ордината точки :

но , значит:

 – абсцисса точки  единичной полуокружности.

Синус острого угла – это ордината, а косинус – это абсцисса точки  первой четверти.

Точка  имеет единственную пару координат , – это косинус ,  – синус .

Но абсциссу и ординату имеют все точки полуокружности.

2. Рассмотрим любой  (рисунок 4), из отрезка .

Рис. 4.  единичной окружности в координатной плоскости

Его луч  определяет единственную точку  на полуокружности, ординату  назовем синусом , а абсциссу  – его косинусом.

примем, что  – это отношение  к :

Координаты точки на окружности

А можно ли найти точку (её координаты) на окружности, зная координаты центра окружности, её радиус и угол поворота? Ну, конечно, можно! Давай выведем общую формулу для нахождения координат точки. Вот, к примеру, перед нами такая окружность:

Нам дано, что точка \( K({{x}_{0}};{{y}_{0}})=K(3;2) \) — центр окружности. Радиус окружности равен \( 1,5 \). Необходимо найти координаты точки \( P \), полученной поворотом точки \( O \) на \( \delta \) градусов.

Как видно из рисунка, координате \( x \) точки \( P \) соответствует длина отрезка \( TP=UQ=UK+KQ \). Длина отрезка \( UK \) соответствует координате \( x \) центра окружности, то есть равна \( 3 \). Длину отрезка \( KQ \) можно выразить, используя определение косинуса:

\( \cos \ \delta =\dfrac{KQ}{KP}=\dfrac{KQ}{r}\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Тогда имеем, что для точки \( P \) координата \( x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

По той же логике находим значение координаты y для точки \( P \). Таким образом,

\( y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Итак, в общем виде координаты точек определяются по формулам:

\( \begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta \end{array} \), где

\( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \) — координаты центра окружности,

\( r \) — радиус окружности,

\( \delta \) — угол поворота радиуса вектора.

Как можно заметить, для рассматриваемой нами единичной окружности эти формулы значительно сокращаются, так как координаты центра равны нулю, а радиус равен единице:

\( \begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end{array} \)

ТригонометрияМатематика Тригонометрия Формулы Теория

В вашем браузере отключен Javascript. Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Источник

Связь определений из геометрии и тригонометрии

Если рассматривать угол поворота α величиной от до 90 градусов, то данные в контексте тригонометрии определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота полностью согласуются с определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, которые даются в курсе геометрии. Обоснуем это.

Изобразим в прямоугольной декартовой системе координат Oxy единичную окружность. Отметим начальную точку A(1, 0). Повернем ее на угол α величиной от до 90 градусов, получим точку A1(x, y). Опустим из точки А1 на ось Ox перпендикуляр A1H.

Легко видеть, что в прямоугольном треугольнике угол A1OH равен углу поворота α, длина прилежащего к этому углу катета OH равна абсциссе точки A1, то есть, |OH|=x, длина противолежащего к углу катета A1H равна ординате точки A1, то есть, |A1H|=y, а длина гипотенузы OA1 равна единице, так как она является радиусом единичной окружности. Тогда по определению из геометрии синус острого угла α в прямоугольном треугольнике A1OH равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, то есть, sinα=|A1H|/|OA1|=y/1=y. А по определению из тригонометрии синус угла поворота α равен ординате точки A1, то есть, sinα=y. Отсюда видно, что определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике эквивалентно определению синуса угла поворота α при α от до 90 градусов.

Аналогично можно показать, что и определения косинуса, тангенса и котангенса острого угла α согласуются с определениями косинуса, тангенса и котангенса угла поворота α.

Список литературы.

  1. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / . — 20-е изд. М.: Просвещение, 2010. — 384 с.: ил. — ISBN 978-5-09-023915-8.
  2. Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений/ А. В. Погорелов. — 2-е изд — М.: Просвещение, 2001. — 224 с.: ил. — ISBN 5-09-010803-X.
  3. Алгебра и элементарные функции: Учебное пособие для учащихся 9 класса средней школы / Е. С. Кочетков, Е. С. Кочеткова; Под редакцией доктора физико-математических наук О. Н. Головина.- 4-е изд. М.: Просвещение, 1969.
  4. Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
  5. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  6. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1: учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 4-е изд., доп. — М.: Мнемозина, 2007. — 424 с.: ил. ISBN 978-5-346-00792-0.
  7. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни /; под ред. А. Б. Жижченко. — 3-е изд. — И.: Просвещение, 2010.- 368 с.: ил.- ISBN 978-5-09-022771-1.
  8. Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
  9. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Некогда разбираться?

Ссылка на основную публикацию