Исследовательская работа по теме: «последовательность чисел фибоначчи: помощница золотого сечения или предсказательница будущего?»

Выпустил новый альбом — Ordinary Man

И звучит диск именно так, как должен звучать Оззи в 2020 году. Не растерявший своей идентичности, но не пропустивший мимо изменения в музыке, произошедшие за последние 10 лет. Это все еще классический хэви-метал в стиле Осборна, но чуть более попсовый, более цепкий и динамичный. При этом вокальные партии на альбоме местами внезапно напоминают вообще ню-метал середины нулевых. Есть немного миллениал вупов, но это простительно, слух они не режут. Кроме того центральная песня диска — баллада Ordinary Man — это дуэт Оззи с Элтоном Джоном. Коллаб мечты, ставший реальностью и не разочаровавший. Одна эта песня уже оправдывает существование альбома.

Кроме того на альбоме есть еще один фит с Пост Малоуном — очень бодрая, шумная хэви-поп-панк-рок песня, в которой Пост звучит очень органично. Да и с рок-вокалом у него все в полном порядке, скримит он дико, как и требуется. Какая-то химия с Оззи у него есть и это здорово. Предыдущий фит, кстати, тоже попал на альбом.

А еще в преддверии выхода диска Оззи выпустил тизер-видео альбома, в котором в роли самого Оззи почему-то выступил Джейсон Момоа. И теперь хочется увидеть байопик про Осборна с Момоа в главной роли — ему образ очень идет.

Другие обобщения

являются другим обобщением чисел Фибоначчи.

Последовательность Падована образована рекуррентным соотношением P(n)=P(n−2)+P(n−3){\displaystyle P(n)=P(n-2)+P(n-3)}.

Случайная последовательность Фибоначчи может быть определена как бросание монеты для каждой позиции n последовательности и выбора F(n)=F(n−1)+F(n−2){\displaystyle F(n)=F(n-1)+F(n-2)} в случае выпадения орла и F(n)=F(n−1)−F(n−2){\displaystyle F(n)=F(n-1)-F(n-2)} в случае решки. Согласно работе Фурстенберга и Кестена эта последовательность почти достоверно растёт экпоненциально с постоянной скоростью. Константа скорости роста была вычислена в 1999 Дивакаром Висванатом и известна как «».

Репфигит, или число Кита, это целое число, которое получается в результате последовательности Фибоначчи, начинающейся с последовательности чисел, представляющей последовательность цифр числа. Например, для числа 47, последовательность Фибоначчи начинается с 4 и 7 и содержит 47 в качестве шестого члена ((4, 7, 11, 18, 29, 47)). Число Кита может быть получено как последовательность трибоначчи, если оно содержит 3 знака, как последовательность тетраначчи, если число содержит 4 знака и т.д.. Несколько первых чисел Кита:

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, … последовательность A007629 в OEIS

Поскольку множество последовательностей, удовлетворяющих соотношению S(n)=S(n−1)+S(n−2){\displaystyle S(n)=S(n-1)+S(n-2)}, замкнуто относительно поэлементного сложения и умножения на константу, его можно рассматривать как векторное пространство. Любая такая последовательность однозначно определяется выбором двух элементов, так что векторное пространство является двумерным. Если обозначить такую последовательность через (S(),S(1)){\displaystyle (S(0),S(1))} (первые два члена последовательности), числа Фибоначчи F(n)=(,1){\displaystyle F(n)=(0,1)} и сдвинутые числа Фибоначчи F(n−1)=(1,){\displaystyle F(n-1)=(1,0)}, будут каноническим базисом этого пространства

S(n)=S()F(n−1)+S(1)F(n){\displaystyle S(n)=S(0)F(n-1)+S(1)F(n)}

для всех таких последовательностей S. Например, если S — это последовательность Люка 2, 1, 3, 4, 7, 11, …, мы имеем

L(n)=2F(n−1)+F(n){\displaystyle L(n)=2F(n-1)+F(n)}.

N-генерированная последовательность Фибоначчи

Мы можем определить N-генерированную последовательность Фибоначчи (где N — положительное рациональное число).

Если

N=2a1⋅3a2⋅5a3⋅7a4⋅11a5⋅13a6⋅…⋅Prar,{\displaystyle N=2^{a_{1}}\cdot 3^{a_{2}}\cdot 5^{a_{3}}\cdot 7^{a_{4}}\cdot 11^{a_{5}}\cdot 13^{a_{6}}\cdot …\cdot P_{r}^{a_{r}},}

где Pr — это r-ое простое число, мы определяем

FN(n)=a1FN(n−1)+a2FN(n−2)+a3FN(n−3)+a4FN(n−4)+a5FN(n−5)+…{\displaystyle F_{N}(n)=a_{1}F_{N}(n-1)+a_{2}F_{N}(n-2)+a_{3}F_{N}(n-3)+a_{4}F_{N}(n-4)+a_{5}F_{N}(n-5)+…}

Если n=r−1{\displaystyle n=r-1}, полагаем FN(n)=1{\displaystyle F_{N}(n)=1}, а в случае nr−1{\displaystyle n, полагаем FN(n)={\displaystyle F_{N}(n)=0}.

Последовательность N Последовательность OEIS
Последовательность Фибоначчи 6 A000045
Последовательность Пелля 12 A000129
Последовательность Якобсталя 18 A001045
Последовательность трибоначчи 30 A000073
Последовательность тетраначчи 210 A000288
Последовательность Падована 15 A000931

Полуфибоначчиева последовательность

Полуфиббоначиева последовательность (A030067) определяется посредством той же рекуррентной формулы для членов с нечётными индексами a(2n+1)=a(2n)+a(2n−1){\displaystyle a(2n+1)=a(2n)+a(2n-1)} и a(1)=1{\displaystyle a(1)=1}, но для чётных индексов берётся a(2n)=a(n){\displaystyle a(2n)=a(n)}, n⩾1{\displaystyle n\geqslant 1}. Выделенные нечётные члены (A030068) s(n)=a(2n−1){\displaystyle s(n)=a(2n-1)} удовлетворяют уравнению s(n+1)=s(n)+a(n){\displaystyle s(n+1)=s(n)+a(n)} и строго возрастают. Они дают множество полуфибоначчиевых чисел

1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 16, 17, 23, 26, 35, 37, 48, 53, 69, 70, 87, 93, 116, 119, 145, 154, … последовательность A030068 в OEIS,

для которых верна формула s(n)=a(2k(2n−1)),k=,1,…{\displaystyle s(n)=a(2^{k}(2n-1)),k=0,1,…}.

Ряд Фибоначчи и число Ф

Но применение чисел Фибоначчи не ограничилось решением задачи про кроликов. Выяснилось, что у последовательности немало примечательных свойств. Самое известное заключается в отношениях чисел ряда к предыдущим значениям.

Рассмотрим по порядку. С делением единицы на единицу (результат равен 1), а затем двойки на единицу (частное 2) все понятно. Но далее результаты деления соседних членов друг на друга весьма любопытны:

  • 3 : 2 = 1,5
  • 5 : 3 = 1,667 (округленно)
  • 8 : 5 = 1,6
  • 13 : 8 = 1,625
  • 233 : 144 = 1,618 (округленно)

Результат деления любого числа Фибоначчи на предыдущее (кроме самых первых) оказывается близок к так называемому числу Ф(фи) = 1,618. И чем больше делимое и делитель, тем ближе частное к этому необычному числу.

А чем же оно, число Ф, примечательно?

Число Ф выражает отношение двух величин a и b (a при это больше, чем b), когда справедливо равенство:

a/b = (a+b)/a.

То есть, числа в этом равенстве должны быть подобраны так, чтобы деление а на b давало такой же результат, как и деление суммы этих чисел на а. И всегда этот результат будет 1,618.

Строго говоря, 1,618 — это округление. Дробная часть числа Ф длится до бесконечности, так как это иррациональная дробь. Вот так оно выглядит с первыми десятью цифрами после запятой:

Ф = 1,6180339887

В процентном соотношении числа а и b составляют примерно 62% и 38% от их суммы.

При использовании подобного соотношения в построении фигур получаются гармоничные и приятные человеческому глазу формы. Поэтому соотношение величин, которые при деление большего на меньшее дают число Ф называют «золотым сечением». Само число Ф именуется «золотым числом».

Получается, что кролики Фибоначчи размножались в «золотой» пропорции!

Сам термин «золотое сечение» часто связывают с Леонардо да Винчи. На самом деле, великий художник и ученый хотя и применял этот принцип в своих произведениях, такую формулировку не использовал. Название впервые было письменно зафиксировано гораздо позже — в XIX веке, в работах немецкого математика Мартина Ома.

Числа Фибоначчи — это что?

Поразителен тот факт, что при делении каждого последующего числа числовой последовательности на предыдущее получается число, стремящееся к 1,618.

Обнаружил эту загадочную последовательность счастливчик математик средневековья Леонардо Пизанский (более известный под именем Фибоначчи). До него Леонардо да Винчи обнаружил в строении тела человека, растений и животных удивительным образом повторяющуюся пропорцию Фи = 1,618. Это число (1,61) ученые еще называют «Числом Бога».

До Леонардо да Винчи эта последовательность чисел была известна в Древней Индии и Древнем Египте. Египетские пирамиды построены с применением пропорции Фи = 1,618. 

Но и это еще не все, оказывается законы природы Земли и Космоса каким-то необъяснимым образом подчиняются строгим математическим законам последовательности чисел Фидоначчи.

Например, и ракушка на Земле, и галактика в Космосе построены с применением чисел Фибоначчи. Абсолютное большинство цветов имеет 5, 8, 13 лепестков. В подсолнухе, на стеблях растений, в закрученных вихрях облаков, в водоворотах и даже в графиках изменения курсов валют на Форексе, всюду работают числа Фибоначчи.

Посмотрите простое и занимательное пояснение, что такое последовательность чисел Фибоначчи и Золотое сечение в этом КОРОТКОМ ВИДЕО (6 минут):

Что такое Золотое сечение или Божественная пропорция?

Итак, что такое Золотое сечение или Золотая или Божественная пропорция? Фибоначчи также обнаружил, что последовательность, которая состоит из квадратов чисел Фибоначчи является еще большей загадкой. Попробуем графически изобразить в виде площади последовательность:

1², 2², 3², 5², 8²…


Если вписать спираль в графическое изображение последовательности квадратов чисел Фибоначчи, то мы получим Золотое сечение, по правилам которого построено все во вселенной, включая растения, животных, спираль ДНК, человеческое тело, … Список этот можно продолжать до бесконечности.

Золотое сечение и Числа Фибоначчи в природе ВИДЕО

Предлагаю посмотреть короткий фильм (7 минут), в котором раскрываются некоторые загадки Золотого сечения. 

При размышлениях о законе чисел Фибоначчи, как о первостепенном законе, который управляет живой и неживой природой, появляется вопрос: Эта идеальная формула для макромира и микромира возникла сама или ее кто-то создал и удачно применил?

Что ВЫ думаете по этому поводу? Давайте вместе подумаем над этой загадкой и быть может мы приблизимся к тайне мироздания.

Очень надеюсь, что статья была полезной для Вас и Вы узнали, что это такое Золотое сечение *и Числа Фибоначчи? До новых встреч на страницах блога, подписывайтесь на блог. Форма подписки — под статьей.

Не могу не поделиться с Вами коротким документальным фильмом — ученые обнаружили загадочную связь между кодом ДНК и числом Бога.

Золотой прямоугольник и спираль Фибоначчи

«Золотой прямоугольник» — это ещё одна взаимосвязь между золотым сечением и числами Фибоначчи, т.к. соотношение его сторон равно 1,618 к 1 (вспоминайте число 1,618!).

Вот пример: берём два числа из последовательности Фибоначчи, например 8 и 13, и чертим прямоугольник с шириной 8 см и длинной 13 см. Далее разбиваем основной прямоугольник на мелкие, но их длина и ширина должна соответствовать числам Фибоначчи – длина одной грани большого прямоугольника должна равняться двум длинам грани меньшего.

После этого соединяем плавной линией углы всех имеющихся у нас прямоугольников и получаем частный случай логарифмической спирали – спираль Фибоначчи. Её основными свойствами являются отсутствие границ и изменение форм. Такую спираль можно часто встретить в природе: самыми яркими примерами являются раковины моллюсков, циклоны на изображениях со спутника и даже ряд галактик. Но более интересно то, что этому же правилу подчиняется и ДНК живых организмов, ведь вы помните, что оно имеет спиралевидную форму?

Эти и многие другие «случайные» совпадения даже сегодня будоражат сознание учёных и наводят на мысль о том, что всё во Вселенной подчинено единому алгоритму, причём, именно математическому. И эта наука кроет в себе огромное количество совсем нескучных тайн и загадок.

Золотая пропорция в строении легких человека

Американский физик Б.Д.Уэст и доктор А.Л. Гольдбергер во время физико-анатомических исследований установили, что в строении легких человека также существует золотое сечение.

Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче.

* Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях. Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618.

Расширение на вещественные и комплексные числа

Существует много возможных обобщений, которые расширяют числа Фибоначчи на вещественные числа (а иногда и на комплексные числа). Они используют золотое сечение φ и базируются на формуле Бине

Fn=φn−(−φ)−n5.{\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}.}

Аналитическая функция

Fe⁡(x)=φx−φ−x5{\displaystyle \operatorname {Fe} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}

имеет свойство, что Fe⁡(n)=Fn{\displaystyle \operatorname {Fe} (n)=F_{n}} для чётных целых чисел n. Аналогично, для аналитической функции

Fo⁡(x)=φx+φ−x5{\displaystyle \operatorname {Fo} (x)={\frac {\varphi ^{x}+\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}

выполняется Fo⁡(n)=Fn{\displaystyle \operatorname {Fo} (n)=F_{n}} для всех нечётных целых чисел n.

Собирая всё вместе, получим аналитическую функцию

Fib⁡(x)=φx−cos⁡(xπ)φ−x5,{\displaystyle \operatorname {Fib} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\cos(x\pi )\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}},}

для которой выполняется Fib⁡(n)=Fn{\displaystyle \operatorname {Fib} (n)=F_{n}} для всех целых чисел n.

Поскольку Fib⁡(z+2)=Fib⁡(z+1)+Fib⁡(z){\displaystyle \operatorname {Fib} (z+2)=\operatorname {Fib} (z+1)+\operatorname {Fib} (z)} для всех комплексных чисел z, эта функция даёт также расширение последовательности Фибоначчи для всей комплексной плоскости. Таким образом, мы можем вычислить обобщённую функцию Фибоначчи для комплексной переменной, например,

Fib⁡(3+4i)≈−5248,5−14195,9i.{\displaystyle \operatorname {Fib} (3+4i)\approx -5248{,}5-14195{,}9i.}

Что такое числа Фибоначчи?

Числа Фибоначчи являются элементами числовой последовательности, где каждое последующее число образуется посредством суммирования двух предыдущих, например: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89… Как правило, записывается такая последовательность формулой: F = 0, F1 = 1, Fn = Fn-1 + Fn-2, n ≥ 2.

Числа Фибоначчи могут начинаться и с отрицательных значений «n», но в таком случае последовательность будет двусторонней – она будет охватывать и положительные и отрицательные числа, стремясь к бесконечности в двух направлениях. Примером такой последовательности может послужить: -34, -21, -13, -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, а формула будет: Fn = Fn+1 — Fn+2 или же F-n = (-1)n+1Fn.

Создателем чисел Фибоначчи является один из первых математиков Европы средних веков по имени Леонардо Пизанский, которого, собственно и знают, как Фибоначчи – это прозвище он получил спустя много лет после своей смерти.

При жизни Леонардо Пизанский очень любил математические турниры, по причине чего в своих работах («Liber abaci» /«Книга абака», 1202; «Practica geometriae»/«Практика геометрии», 1220, «Flos»/«Цветок», 1225 год – исследование на тему кубических уравнений и «Liber quadratorum»/«Книга квадратов», 1225 – задачи о неопределенных квадратных уравнениях) очень часто разбирал всевозможные математические задачи.

О жизненном пути самого Фибоначчи известно крайне мало. Но достоверно известно то, что его задачи пользовались огромнейшей популярностью в математических кругах в последующие века. Одну из таких мы и рассмотрим далее.

Тело человека и золотое сечение

Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения. Леонардо Да Винчи и Ле Корбюзье перед тем как создавать свои шедевры брали параметры человеческого тела, созданного по закону Золотой пропорции.

Самая главная книга всех современных архитекторов справочник Э.Нойферта «Строительное проектирование» содержит основные расчеты параметров туловища человека, заключающие в себе золотую пропорцию.

Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Принцип расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы:

M/m=1,618

Первый пример золотого сечения в строении тела человека: Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.

Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела:

* расстояние от кончиков пальцев до запястья до локтя равно 1:1.618;

* расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618;

* расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618;

* расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618;

* расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618;

* расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618;

* расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618:

Золотое сечение в чертах лица человека как критерий совершенной красоты.

В строении черт лица человека также есть множество примеров, приближающихся по значению к формуле золотого сечения. Однако не бросайтесь тотчас же за линейкой, чтобы обмерять лица всех людей. Потому что точные соответствия золотому сечению, по мнению ученых и людей искусства, художников и скульпторов, существуют только у людей с совершенной красотой. Собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора.

К примеру, если мы суммируем ширину двух передних верхних зубов и разделим эту сумму на высоту зубов, то, получив при этом число золотого сечения, можно утверждать, что строение этих зубов идеально.

На человеческом лице существуют и иные воплощения правила золотого сечения. Приведем несколько таких соотношений:

* Высота лица / ширина лица;

* Центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа;

* Высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ;

* Ширина рта / ширина носа;

* Ширина носа / расстояние между ноздрями;

* Расстояние между зрачками / расстояние между бровями.

В природе

* Лежащее в основе строения спирали правило золотого сечения встречается в природе очень часто в бесподобных по красоте творениях. Самые наглядные примеры — спиралевидную форму можно увидеть и в расположении семян подсолнечника, и в шишках сосны, в ананасах, кактусах, строении лепестков роз и т.д.;

* Ботаники установили, что в расположении листьев на ветке, семян подсолнечника или шишек сосны со всей очевидность проявляется ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляется закон золотого сечения;

Всевышний Господь каждому Своему творению установил особую меру и придал соразмерность, что подтверждается на примерах, встречающихся в природе. Можно привести великое множество примеров, когда процесс роста живых организмов происходит в строгом соответствии с формой логарифмической спирали.

Все пружинки в спирали имеют одинаковую форму. Математики установили, что даже при увеличении размеров пружинок форма спирали остается неизменной. В математике нет более иной формы, которая обладала бы такими же уникальными свойствами как спираль.

Спираль Фибоначчи и спираль «золотого сечения»

На основе чисел Фибоначчи и «золотого сечения» можно построить спирали. Иногда эти две фигуры отождествляют, но точнее говорить о двух разных спиралях.

Спираль Фибоначчи строят так:

чертят два квадрата (одна сторона общая), длина сторон равна 1 (сантиметр, дюйм или клетка — неважно). Получается поделенный надвое прямоугольник, длинная сторона которого равна 2;
к длинной стороне прямоугольника пририсовывают квадрат со стороной 2

Получается изображение прямоугольника, поделенного на несколько частей. Длинная сторона его равна 3;
процесс продолжают сколь угодно долго. При этом новые квадраты «присоединяют» подряд только по или только против часовой стрелки;
в самом первом квадратике (со стороной 1) чертят от угла до угла четвертинку окружности. Затем без перерыва чертят подобную линию в каждом следующем квадрате.

В итоге получают красивую спираль, радиус которой постоянно и пропорционально увеличивается.

Спираль «золотого сечения» рисуют наоборот:

  • строят «золотой прямоугольник», стороны которого соотносятся в одноименной пропорции;
  • выделяют внутри прямоугольника квадрат, стороны которого равны короткой стороне «золотого прямоугольника»;
  • при этом внутри большого прямоугольника окажется квадрат и прямоугольник поменьше. Тот, в свою очередь, тоже окажется «золотым»;
  • малый прямоугольник делят по тому же принципу;
  • процесс продолжают сколь угодно долго, располагая каждый новый квадрат спиралеообразно;
  • внутри квадратиков рисуют соединенные между собой четверти окружности.

Так получается логарифмическая спираль, которая растет в соответствии с золотым сечением.

Спираль Фибоначчи и «золотая» очень похожи. Но есть главное отличие: у фигуры, построенной по последовательности пизанского математика, есть начальная точка, хотя  конечной — нет. А вот «золотая» спираль закручивается «внутрь» до бесконечно малых чисел, как и раскручивается «во вне» до бесконечно больших.

Задача Фибоначчи с кроликами

Для выполнения задачи автором были поставлены следующие условия: есть пара новорождённых крольчат (самка и самец), отличающихся интересной особенностью – со второго месяца жизни они производят новую пару кроликов – тоже самку и самца. Кролики находятся в замкнутом пространстве и постоянно размножаются. И ни один кролик не умирает.

Задача: определить количество кроликов через год.

Решение:

У нас есть:

  • Одна пара кроликов в начале первого месяца, которая спаривается в конце месяца
  • Две пары кроликов во втором месяце (первая пара и потомство)
  • Три пары кроликов в третьем месяце (первая пара, потомство первой пары с прошлого месяца и новое потомство)
  • Пять пар кроликов в четвёртом месяце (первая пара, первое и второе потомство первой пары, третье потомство первой пары и первое потомство второй пары)

Количество кроликов в месяц «n» = количеству кроликов прошлого месяца + количество новых пар кроликов, другими словами, вышеназванная формула: Fn = Fn-1 + Fn-2. Отсюда получается рекуррентная числовая последовательность (о рекурсии мы скажем далее), где каждое новое число соответствует сумме двух предыдущих чисел:

1 месяц: 1 + 1 = 2

2 месяц: 2 + 1 = 3

3 месяц: 3 + 2 = 5

4 месяц: 5 + 3 = 8

5 месяц: 8 + 5 = 13

6 месяц: 13 + 8 = 21

7 месяц: 21 + 13 = 34

8 месяц: 34 + 21 = 55

9 месяц: 55 + 34 = 89

10 месяц: 89 + 55 = 144

11 месяц: 144 + 89 = 233

12 месяц: 233+ 144 = 377

И эта последовательность может продолжаться бесконечно долго, но учитывая, что задачей является узнать количество кроликов по истечении года, получается 377 пар.

Здесь важно также заметить, что одним из свойств чисел Фибоначчи является то, что если сопоставить две последовательные пары, а затем разделить большую на меньшую, то результат будет двигаться по направлению к золотому сечению, о котором мы также скажем ниже. Пока же предлагаем вам ещё две задачи по числам Фибоначчи:

Пока же предлагаем вам ещё две задачи по числам Фибоначчи:

  • Определить квадратное число, о котором известно только, что если отнять от него 5 или прибавить к нему 5, то снова выйдет квадратное число.
  • Определить число, делящееся на 7, но при условии, что поделив его на 2, 3, 4, 5 или 6 в остатке будет 1.

Такие задачи не только станут отличным способом развития ума, но и занимательным времяпрепровождением. О том, как решаются эти задачи, вы также можете узнать, поискав информацию в Интернете

Мы же не будем заострять на них внимание, а продолжим наш рассказ

Что же такое рекурсия и золотое сечение?

Как Фибоначчи вывел свой знаменитый ряд

Последовательность носит имя итальянского математика Фибоначчи (настоящее имя — Леонардо Пизанский), который жил XII-XIII веках. Он не был первым человеком, нашедшим этот ряд чисел: ранее его уже использовали в Древней Индии. Но именно пизанец открыл последовательность для Европы.

В круг интересов Леонардо Пизанского входило составление и решение задач. Одной из них была о размножении кроликов.

Условия такие:

  • на идеальной ферме за забором живут кролики и никогда не умирают;
  • первоначально животных двое: самец и самочка;
  • на второй и в каждый последующий месяц своей жизни пара рождает новую (кролик плюс крольчиха);
  • каждая новая пара точно также со второго месяца существования производит новую пару и т.д.

Вопрос задачи: сколько пар животных будет на ферме через год?

Если провести подсчеты, то число кроличьих пар будет расти так:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233.

То есть, их количество будет увеличиваться в соответствии с описанной выше последовательностью.

Воссоединился с Black Sabbath, откатал с группой мировой тур и выпустил новый альбом

В 2012 году стало известно, что Black Sabbath планирует вновь объединиться в классическом составе. Это не первый реюньон группы, но в этот раз все не ограничилось одними только выступлениями — группа объявила, что планирует выпустить новый альбом.

Без проблем, конечно, не обошлось. Так, состав в итоге получился не совсем классическим. У группы возникли какие-то серьезные разногласия с барабанщиком Биллом Уордом и он в итоге отказался объединяться с бывшими товарищами. Кроме этого в 2012 году, когда Black Sabbath только-только собрались отправиться в тур, у Тони Айомми был диагностирован рак. Пока Тони лечился, Оззи, Гизер Батлер, Слэш и Закк Уайлд из Black Label Society турили под именем Ozzy & Friends. 

Поправив здоровье, Айомми присоединился к группе и за два года — с 2012 по 2014 — Black Sabbath дали более 80 концертов по всему миру. Но что еще важнее, в 2013 году группа выпустила альбом— первый релиз банды с вокалом Оззи Осборна за 35 лет. Изначально планировалось, что группа выпустит еще один альбом, но от этой идеи музыканты в итоге отказались. Так что на сегодня 13 официально считается последним альбомом Black Sabbath. Новые лонгплеи группа выпускать не планирует. 

Сам альбом, к слову отличный — живая классика от людей, заложивших основы метала. Коммерчески он тоже стал успешен и достиг первой строчки в чартах США, Британии и Канады. Даже сам Оззи был удивлен успехом альбома.

«Золотое сечение» и числа Фибоначчи в природе

Но почему же мы так восхищаемся произведениями искусства, в которых применено «золотое сечение»? Ответ прост: эта пропорция задана самой природой.

Вернемся к спирали Фибоначчи. Именно так закручены спирали многих моллюсков. Например, наутилуса.

Подобные спирали встречаем и в растительном мире. Например, так формируются соцветия брокколи романеско и подсолнуха, а также шишки сосны.

Строение спиральных галактик тоже соответствует спирали Фибоначчи. Напомним, что к таким галактикам относится и наша — Млечный Путь. А также одна из ближайших к нам — Галактика Андромеды.

Последовательность Фибоначчи также отражается в расположении листьев и ветвей у разных растений. Числам ряда соответствует количество цветков, лепестков во многих соцветиях. Длины фаланг человеческих пальцев тоже соотносятся примерно как числа Фибоначчи — или как отрезки в «золотом сечении».

Вообще, о человеке нужно сказать отдельно. Мы считаем красивыми те лица, части которых точно соответствуют пропорциям «золотого сечения». Хорошо сложенными воспринимаются фигуры, если части тела соотносятся по тому же принципу.

Строение тел многих животных тоже сочетается с этим правилом.

Подобные примеры подвигают некоторых людей к мысли, что «золотое сечение» и последовательность Фибоначчи лежат в основе мироздания. Будто бы все: и человек, и окружающая его среда и вся Вселенная соответствуют этим принципам. Не исключено, что в будущем человек найдет новые доказательства гипотезы и сумеет создать убедительную математическую модель мира.

Золотое сечение в строении микромиров

Геометрические фигуры не ограничиваются только лишь треугольником, квадратом, пяти- или шестиугольником. Если соединить эти фигуры различным образом между собой, то мы получим новые трехмерные геометрические фигуры. Примерами этому служат такие фигуры как куб или пирамида. Однако кроме них существуют также другие трехмерные фигуры, с которыми нам не приходилось встречаться в повседневной жизни, и названия которых мы слышим, возможно, впервые. Среди таких трехмерных фигур можно назвать тетраэдр (правильная четырехсторонняя фигура), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр и т.п. Додекаэдр состоит из 13-ти пятиугольников, икосаэдр из 20-и треугольников. Математики отмечают, что эти фигуры математически очень легко трансформируются, и трансформация их происходит в соответствии с формулой логарифмической спирали золотого сечения.

В микромире трехмерные логарифмические формы, построенные по золотым пропорциям, распространены повсеместно. К примеру, многие вирусы имеют трехмерную геометрическую форму икосаэдра. Пожалуй, самый известный из таких вирусов — вирус Adeno. Белковая оболочка вируса Адено формируется из 252 единиц белковых клеток, расположенных в определенной последовательности. В каждом углу икосаэдра расположены по 12 единиц белковых клеток в форме пятиугольной призмы и из этих углов простираются шипообразные структуры.

Впервые золотое сечение в строении вирусов обнаружили в 1950-хх гг. ученые из Лондонского Биркбекского Колледжа А.Клуг и Д.Каспар. 13 Первым логарифмическую форму явил в себе вирус Polyo. Форма этого вируса оказалась аналогичной с формой вируса Rhino 14.

Возникает вопрос, каким образом вирусы образуют столь сложные трехмерные формы, устройство которых содержит в себе золотое сечение, которые даже нашим человеческим умом сконструировать довольно сложно? Первооткрыватель этих форм вирусов, вирусолог А.Клуг дает такой комментарий:

Комментарий Клюга еще раз напоминает о предельно очевидной истине: в строении даже микроскопического организма, который ученые классифицируют как «самую примитивную форму жизни», в данном случае в вирусе, присутствует четкий замысел и осуществлен разумный проект 16. Этот проект несопоставим по своему совершенству и точности исполнения с самыми передовыми архитектурными проектами, созданными людьми. К примеру проектами, созданными гениальным архитектором Букминстером Фуллером.

Трехмерные модели додекаэдра и икосаэдра присутствуют также и в строении скелетов одноклеточных морских микроорганизмов радиолярий (лучевиков), скелет которых создан из кремнезёма.

Радиолярии формируют свое тело весьма изысканной, необычной красоты. Форма их составляет правильный додекаэдр. Причем из каждого его угла прорастает псевдоудлиннение-конечность и иные необычные формы-наросты.

В качестве примеров микроорганизмов, воплощающих в своем строении эти трехмерные геометрические фигуры, приведем Circigonia Icosahedra с икасаэдральным строением скелета и Circorhegma Dodecahedra с додекаэдральным строением скелета, причем размеры этих микроорганизмов не достигают и одного миллиметра.

Строение морских раковин

Ученые, изучавшие внутреннее и внешнее строение раковин мягкотелых моллюсков, обитающих на дне морей, констатировали:

«Внутренняя поверхность раковин безупречно гладкая, а внешняя вся покрыта шероховатостями, неровностями. Моллюск был в раковине и для этого внутренняя поверхность раковины должна была быть безупречно гладкой. Внешние углы-изгибы раковины увеличивают ее крепость, твердость и таким образом повышают ее прочность. Совершенство и поразительная разумность строения ракушки (улитки) восхищает. Спиральная идея раковин является совершенной геометрической формой и удивительна по своей отточенной красоте.»

У большинства улиток, которые обладают раковинами, раковина растет в форме логарифмической спирали. Однако нет сомнения, что эти неразумные существа не имеют представления не только о логарифмической спирали, но не обладают даже простейшими математическими знаниями, чтобы самим создать себе спиралевидную раковину.

Но тогда как же эти неразумные существа смогли определить и избрать для себя идеальную форму роста и существования в виде спиральной раковины? Могли ли эти живые существа, которых ученых мир называет примитивными формами жизни, рассчитать, что идеальной для их существования будет логарифмическая форму ракушки?

Конечно же нет, потому что такой замысел невозможно осуществить без наличия разума и знаний. Но таковым разумом не обладают ни примитивные моллюски, ни бессознательная природа, которую, правда, некоторые ученые называют создательницей жизни на земле(?!)

Пытаться объяснить происхождение подобной даже самой примитивной формы жизни случайным стечением неких природных обстоятельств по меньшей мере абсурдно. Совершенно ясно, что этот проект является осознанным творением.

Биолог Сэр Д`арки Томпсон этот вид роста морских раковин называет «форма роста гномов».

Сэр Томпсон делает такой комментарий:

Наутилус, размером в несколько сантиметров в диаметре, представляет собой самый выразительный пример гномового вида роста. С.Моррисон так описывает этот процесс роста наутилуса, спланировать который даже человеческим разумом представляется довольно сложным:

«Внутри раковины наутилуса есть множество отделов-комнат с перегородками из перламутра, причем сама раковина внутри представляет собой спираль, расширяющуюся от центра. По мере роста наутилуса в передней части ракушки нарастает еще одна комнатка, но уже больших размеров, чем предыдущая, а перегородки оставшейся позади комнатки покрываются слоем перламутра. Таким образом, спираль все время пропорционально расширяется.»

Приведем лишь некоторые типы спиралевидных раковин имеющих логарифмическую форму роста в соответствии с их научными названиями: Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Все обнаруженные ископаемые останки раковин также имели развитую спиральную форму.

Однако логарифмическая форма роста встречается в животном мире не только у моллюсков. Рога антилоп, диких козлов, баранов и прочих подобных животных также развиваются в виде спирали по законам золотой пропорции.

Ссылка на основную публикацию