конев в.в. дифференцирование функций

Производная сложной функции от двух переменных

Теперь пусть сложная функция зависит от нескольких переменных. Вначале рассмотрим случай сложной функции от двух переменных.

Пусть функцию , зависящую от переменной , можно представить как сложную функцию от двух переменных в следующем виде:, где и есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной ; – функция от двух переменных, дифференцируемая в точке ,. Тогда сложная функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в производную, которая определяется по формуле:(2)   .

Доказательство

Поскольку функции и дифференцируемы в точке , то они определены в некоторой окрестности этой точки, непрерывны в точке и существуют их производные в точке , которые являются следующими пределами:;. Здесь;. В силу непрерывности этих функций в точке имеем:;.

Поскольку функция дифференцируема в точке , то она определена в некоторой окрестности этой точки, непрерывна в этой точке и ее приращение можно записать в следующем виде:(3)   . Здесь – приращение функции при приращении ее аргументов на величины и ;; – частные производные функции по переменным и . При фиксированных значениях и , и есть функции от переменных и . Они стремятся к нулю при и ;. Поскольку    и  , то;.

Приращение функции . Производная сложной функции . Подставим (3):.

Формула доказана.

Дифференциал функции.

Определение 2.

Если функция \(y=f(x)\) определена в \(\delta\)-окрестности точки \(x_0\), а приращение \(\Delta y\) функции \(y=f(x)\) в точке \(x_0\) представимо в виде
$$
\Delta y=A\Delta x+\Delta x\varepsilon(\Delta x),\label{ref19}
$$
где \(A=A(x_0)\) не зависит от \(\Delta x\), a \(\varepsilon(\Delta x)\rightarrow 0\) при \(\Delta x\rightarrow 0\), то функция \(f\) называется дифференцируемой в точке \(x_0\), а произведение \(A\Delta x\) называется ее дифференциалом в точке \(x_0\) и обозначается \(df(x_0)\) или \(dy\).

Таким образом,
$$
\Delta y=dy+o(\Delta x)\ при\ \Delta x\rightarrow 0,\label{ref20}
$$
где
$$
dy=A\Delta x.\label{ref21}
$$
Отметим, что приращение \(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\) можно рассматривать только для таких \(\Delta x\), при которых точка \(x_0+\Delta x\) принадлежит области определения функции \(f\), в то время как дифференциал \(dy\) определен при любых \(\Delta x\).

Теорема 2.

Для того чтобы функция \(y=f(x)\) была дифференцируемой в точке \(x_0\), необходимо и достаточно, чтобы эта функция имела производную в точке \(x_0\). При этом дифференциал и производная связаны равенством
$$
dy=f'(x_{0})\Delta x.\label{ref22}
$$

\(\circ\) Если функция \(y=f(x)\) дифференцируема в точке \(x_0\), то выполняется условие \eqref{ref19}, и поэтому \(\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\varepsilon(\Delta x)\), где \(\varepsilon(\Delta x)\rightarrow 0\) при \(\Delta x\rightarrow 0(\Delta x\neq 0)\), откуда следует, что существует \(\displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=A\), то есть существует \(f'(x_0)=A\).

Обратно: если существует \(f'(x_{0})\), то справедливо равенство \eqref{ref5}, и поэтому выполняется условие \eqref{ref19}. Это означает, что функция \(f\) дифференцируема в точке \(x=x_0\), причем коэффициент \(A\) в формулах \eqref{ref19} и \eqref{ref21} равен \(f'(x_{0})\), и поэтому дифференциал записывается в виде \eqref{ref22}. \(\bullet\)

Таким образом, существование производной функции в данной точке равносильно дифференцируемости функции в этой точке. Функцию, имеющую производную в каждой точке интервала \((a,b)\), называют дифференцируемой на интервале \((a,b)\).

Если функция \(f\) дифференцируема на интервале \((a,b)\) и, кроме того, существуют \(f_{+}'(a)\) и \(f_{-}'(b)\), то функцию \(f\) называют дифференцируемой на отрезке \(\).

Замечание 3.

Если \(f'(x_0)\neq 0\), то из равенств \eqref{ref20} и \eqref{ref22} следует, что \(dy\neq 0\) при \(\Delta x\neq 0\) и
$$
\Delta y\sim dy\ при\ \Delta x\rightarrow 0.\nonumber
$$
В этом случае говорят, что дифференциал есть главная линейная часть приращения функции, так как дифференциал есть линейная функция от \(\Delta x\) и отличается от \(\Delta y\) на бесконечно малую более высокого порядка, чем \(\Delta x\).

Замечание 4.

Приращение \(\Delta x\) часто обозначают символом \(dx\) и называют дифференциалом независимого переменного. Поэтому формулу \eqref{ref22} записывают в виде
$$
dy=f'(x_{0})dx.\label{ref23}
$$
По формуле \eqref{ref23} можно найти дифференциал функции, зная ее производную. Например, \(d\sin x=\cos x dx,\;de^{x}=e^{x}dx\). Из формулы \eqref{ref23} получаем
$$
f'(x_{0})=\frac{dy}{dx}.\label{ref24}
$$
Согласно формуле \eqref{ref24} производную можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

Замечание 5.

Отбрасывая в формуле \eqref{ref20} член \(o(\Delta x)\), то есть заменяя приращение функции ее дифференциалом, получаем приближенное равенство \(\Delta y\approx f'(x_0)\Delta x\), или
$$
f(x_{0}+\Delta x)\approx f(x_{0})+f'(x_{0})\Delta x.\label{ref25}
$$
Формулу \eqref{ref25} можно использовать для вычисления приближенного значения \(f(x_{0}+\Delta x)\) при малых \(\Delta x\), если известны значения \(f(x_{0})\) и \(f'(x_0)\).

Пример 6.

Найти с помощью формулы \eqref{ref25} приближенное значение функции \(y=\sqrt{x}\) при \(x=90\).

\(\triangle\) Полагая в формуле \eqref{ref25} \(f(x)=\sqrt{x}\), \(x_0=81,\ \Delta x=9\) и учитывая, что \(f(x_{0})=\sqrt{81}=3\), \(f'(x)=\displaystyle \frac{1}{4}x^{-3/4}\), \(f'(x_{0})=\displaystyle \frac{1}{3^3}\), получаем \(\sqrt{90}\approx 3+\displaystyle \frac{1}{12}\), то есть \(\sqrt{90}\approx 3,083.\ \blacktriangle\)

Дифференциал функции

Пусть задана y = f(x) на интервале
(a,b). Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x, если ∆y можно представить с помощью
следующего выражения:

∆y = A∆x + α(∆)∆x

где А= const
при фиксированном  х и при

Теорема. Для дифференцируемости функции в точке х необходимо и достаточно, чтобы функция
имела в этой точке конечную производную.

Дифференциалом функции y = f(x) называется выражение вида dy=A- это главная линейная часть приращения ∆y
, на основании предыдущей теоремы, обозначив дифференциал
независимой переменной через dx=∆x, получим  выражение для дифференциала:

Геометрический смысл дифференциала виден из следующего рисунка

, т.е. дифференциал функции равен отрезку PQ это приращение ординаты касательной, а приращение ∆y это отрезок

Дифференцирование параметрически заданных и неявных функций.

Функции, заданные параметрически.

Пусть функции \(x(t)\) и \(y(t)\) определены на отрезке \(\), причем функция \(x(t)\) непрерывна и строго монотонна (например, строго возрастает). Тогда на отрезке \(\), где \(\alpha=x(t_0-\delta),\;\beta=x(t_0+\delta)\), определена функция \(t=t(x)\), обратная к функции \(x=x(t)\), непрерывная и строго возрастающая.

Предположим дополнительно, что существуют \(x'(t_0)\) и \(y'(t_0)\), причем \(x'(t_0)\neq 0\) (для сокращения вместо \(x'(t_0)\) и \(y'(t_0)\) будем писать соответственно \(x_{t}’,\ y_{t}’\).

Тогда сложная Функция \(y=y(t)=y(t(x))\) дифференцируема по \(x\) в точке \(x_{0}=x(t_{0})\), причем
$$
\frac{dy}{dx}=\frac{y_{t}’}{x_{t}’}.\label{ref29}
$$

\(\circ\) Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции \(y=y(t(x))\) получаем
$$
\frac{dy}{dx}=y_{x}’=y_{t}’t_{x}’,\nonumber
$$
где \(t_{x}’=\displaystyle \frac{1}{x_{t}’}\) согласно правилу дифференцирования обратной функции. Итак, справедлива формула \eqref{ref29}. \(\bullet\)

Пример 10.

Найти \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\), если
$$
x=\ln(1+e^{2t}),\qquad y=\operatorname{arctg}e^t.\nonumber
$$

\(\triangle\) Так как \(x_{t}’=\displaystyle \frac{2e^{2t}}{1+e^{2t}},\;y_{t}’=\displaystyle \frac{e^{t}}{1+e^{2t}}\), то по формуле \eqref{ref29} находим
$$
\frac{dy}{dx}=\frac{y_{t}’}{x_{t}’}=\frac{e^{t}}{1+e^{2t}}\frac{1+e^{2t}}{2e^{2t}}=\frac{e^{-t}}{2}.\qquad \blacktriangle\nonumber
$$

Функции, заданные неявно.

Если дифференцируемая функция \(y=f(x)\) задана неявно уравнением \(F(x,y)=0\), то, дифференцируя тождество \(F(x, f(x))\equiv 0\) как сложную функцию, можно найти \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=f'(x)\). Подробно вопрос о существовании неявной функции и ее дифференцируемости будет рассмотрен в параграфе 29.

Пример 11.

Написать уравнение касательной к эллипсу
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\label{ref30}
$$
в некоторой его точке \(M_0(x_0,y_0)\), где \(|x_{0}|

\(\triangle\) Точка \(M_{0}\) однозначно определяет на интервале \((-a,a)\) одну из двух неявных дифференцируемых функций, которые задаются уравнением \eqref{ref30}. Обозначим эту функцию \(f(x)\). Ее можно записать в явном виде, разрешив уравнение \eqref{ref30} относительно \(y\).

Дифференцируя тождество \eqref{ref30}, в котором \(y=f(x)\), получаем
$$
\frac{2x}{a^2}+\frac{2yy’}{b^{2}}=0.\label{ref31}
$$
Подставляя в уравнение \eqref{ref31} вместо \(x\) и \(y\) соответственно \(x_0\) и \(y_0\), находим угловой коэффициент касательной к эллипсу в точке \(M_0\):
$$
k=y'(x_0)=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{x_{0}}{y_0}.\nonumber
$$
Следовательно, уравнение касательной имеет вид
$$
y-y_{0}=k(x-x_0),\qquad\Rightarrow\qquad y-y_{0}=\frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{x_{0}}{y_0}(x-x_{0}).\nonumber
$$
это уравнение можно записать так: \(\displaystyle \frac{yy_0}{b^2}+\frac{xx_{0}}{a^{2}}=\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}+\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}\), или в виде \(\displaystyle \frac{yy_0}{b^{2}}+\frac{xx_{0}}{a^{2}}=1\), так как \(\displaystyle \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1.\blacktriangle\)

Алгоритм решения производных

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема

Производная функции есть предел отношения приращения этой функции к приращению её аргумента при стремлении последнего к нулю, при условии существования данного предела.

Для вычисления производных вам потребуется таблица производных. Кроме того, существуют формулы для нахождения сложных производных.

Процесс нахождения производный называется дифференцированием.

Таблица простых производных

Формулы сложных производных

– производная суммы (разницы).

– производная произведения.

– производная частного.

Ссылка на основную публикацию