Синус угла

Функция \(y=\sin⁡x\)

Если отложить по оси \(x\) углы в радианах, а по оси \(y\) — соответствующие этим углам значения синуса, мы получим следующий график:

График данной функции называется синусоида и обладает следующими свойствами:

      — область определения – любое значение икса:   \(D(\sin⁡x )=R\)
      — область значений – от \(-1\) до \(1\) включительно:    \(E(\sin⁡x )=\)
      — нечетная:   \(\sin⁡(-x)=-\sin⁡x\)
      — периодическая с периодом \(2π\):   \(\sin⁡(x+2π)=\sin⁡x\)
      — точки пересечения с осями координат:
             ось абсцисс:   \((πn;0)\), где \(n ϵ Z\)
             ось ординат:   \((0;0)\)
      — промежутки знакопостоянства:
             функция положительна на интервалах:   \((2πn;π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
             функция отрицательна на интервалах:    \((π+2πn;2π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
      — промежутки возрастания и убывания:
             функция возрастает на интервалах:    \((-\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn;\) \(\frac{π}{2}\)\(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
             функция убывает на интервалах:    \((\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn;\)\(\frac{3π}{2}\)\(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
       — максимумы и минимумы функции:
             функция имеет максимальное значение \(y=1\) в точках \(x=\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn\), где \(n ϵ Z\)
             функция имеет минимальное значение \(y=-1\) в точках \(x=-\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn\), где \(n ϵ Z\).

КосинусТангенсКотангенсРешение уравнения \(\sin⁡x=a\)

Основные формулы, содержащие синус и косинус

Формулы синуса и косинуса суммы и разности

\( \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \) \( \sin(x — y) = \sin x \cos y — \cos x \sin y \) \( \cos(x + y) = \cos x \cos y — \sin x \sin y \) \( \cos(x — y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \)

\( \sin( 2x ) = 2 \sin x \cos x \) \( \cos( 2x ) = \cos^2 x — \sin^2 x = \)\( 2 \cos^2 x — 1 = 1 — 2 \sin^2 x \) \( \cos\left( \dfrac{\pi}2 — x \right) = \sin x \) ; \( \sin\left( \dfrac{\pi}2 — x \right) = \cos x \) \( \cos( x + \pi ) = — \cos x \) ; \( \sin( x + \pi ) = — \sin x \)

Формулы произведения синусов и косинусов

\( \sin x \cos y = \)\( \dfrac12 {\Large } \) \( \sin x \sin y = \)\( \dfrac12 {\Large } \) \( \cos x \cos y = \)\( \dfrac12 {\Large } \)

\( \sin x \cos y = \dfrac12 \sin 2x \) \( \sin^2 x = \dfrac12 {\Large } \) \( \cos^2 x = \dfrac12 {\Large } \)

Формулы суммы и разности

\( \sin x + \sin y = 2 \, \sin \dfrac{x+y}2 \, \cos \dfrac{x-y}2 \) \( \sin x — \sin y = 2 \, \sin \dfrac{x-y}2 \, \cos \dfrac{x+y}2 \) \( \cos x + \cos y = 2 \, \cos \dfrac{x+y}2 \, \cos \dfrac{x-y}2 \) \( \cos x — \cos y = 2 \, \sin \dfrac{x+y}2 \, \sin \dfrac{y-x}2 \)

Выражение синуса через косинус

Далее мы полагаем, что \( n \) – целое число.

\( \sin x = \cos\left( \dfrac{\pi}2 — x \right) = \)\( \cos\left( x — \dfrac{\pi}2 \right) = — \cos\left( x + \dfrac{\pi}2 \right) \)\( \sin^2 x = 1 — \cos^2 x \)\( \sin x = \sqrt{1 — \cos^2 x} \) \( \{ 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi + 2 \pi n \} \)\( \sin x = — \sqrt{1 — \cos^2 x} \) \( \{ -\pi + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 2 \pi n \} \).

Выражение косинуса через синус

\( \cos x = \sin\left( \dfrac{\pi}2 — x \right) = \)\( — \sin\left( x — \dfrac{\pi}2 \right) = \sin\left( x + \dfrac{\pi}2 \right) \)\( \cos^2 x = 1 — \sin^2 x \)\( \cos x = \sqrt{1 — \sin^2 x} \) \( \{ -\pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi/2 + 2 \pi n \} \)\( \cos x = — \sqrt{1 — \sin^2 x} \) \( \{ \pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 3\pi/2 + 2 \pi n \} \).

Выражение через тангенс

\( \sin^2 x = \dfrac{\tg^2 x}{1+\tg^2 x} \)\( \cos^2 x = \dfrac1{1+\tg^2 x} \).

При \( — \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n \( \sin x = \dfrac{\tg x}{ \sqrt{1+\tg^2 x} } \)\( \cos x = \dfrac1{ \sqrt{1+\tg^2 x} } \).

При \( \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n : \( \sin x = — \dfrac{\tg x}{ \sqrt{1+\tg^2 x} } \)\( \cos x = — \dfrac1{ \sqrt{1+\tg^2 x} } \).

Обратные функции

Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус, соответственно.

Арксинус, arcsin

\( y = \arcsin x \) \( \left\{ -1 \leqslant x \leqslant 1; \; — \dfrac{\pi}2 \leqslant y \leqslant \dfrac{\pi}2 \right\} \)\( \sin( \arcsin x ) = x \) \( \{ -1 \leqslant x \leqslant 1 \} \)\( \arcsin( \sin x ) = x \) \( \left\{ — \dfrac{\pi}2 \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}2 \right\} \)

Арккосинус, arccos

\( y = \arccos x \) \( \left\{ -1 \leqslant x \leqslant 1; \; 0 \leqslant y \leqslant \pi \right\} \)\( \cos( \arccos x ) = x \) \( \{ -1 \leqslant x \leqslant 1 \} \)\( \arccos( \cos x ) = x \) \( \{ 0 \leqslant x \leqslant \pi \} \)

Использованная литература: И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

ТригонометрияМатематика Тригонометрия Формулы Теория

В вашем браузере отключен Javascript. Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Синус любого угла

Благодаря единичному кругу можно определять тригонометрические функции не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем \(360°\) (полный оборот). Как это делать — проще один раз увидеть, чем \(100\) раз услышать, поэтому смотрите картинку.

Теперь пояснение: пусть нужно определить \(sin∠КОА\) с градусной мерой в \(150°\). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью \(x\). После этого откладываем \(150°\) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам \(\sin⁡∠KOA\).

Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в \(-60°\) (угол КОВ), делаем также, но \(60°\) откладываем по часовой стрелке.

И, наконец, угол больше \(360°\) (угол КОС) — всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол \(405°\) отложен как \(360° + 45°\).

Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в \(960°\), надо сделать уже два оборота (\(360°+360°+240°\)), а для угла в \(2640°\) — целых семь.

Как вы могли заменить, и синус числа, и синус произвольного угла определяется практически одинаково. Изменяются только способ нахождения точки на окружности.

Тригонометрическое определение

С помощью формул, указанных выше, можно найти синус и косинус острого угла. Но нужно научиться вычислять синус и косинус угла произвольной величины. Прямоугольный треугольник не даёт такой возможности (тупого угла, например, в нём быть не может); следовательно, нужно более общее определение синуса и косинуса, содержащее указанные формулы как частный случай.

На помощь приходит тригонометрическая окружность. Пусть дан некоторый угол; ему отвечает одноимённая точка на тригонометрической окружности.

Рис. 2. Тригонометрическое определение синуса и косинуса

Косинус угла — это абсцисса точки. Синус угла — это ордината точки.

На рис. 2 угол взят острым, и легко понять, что данное определение совпадает с общим геометрическим определением. В самом деле, мы видим прямоугольный треугольник с единичной гипотенузой O и острым углом. Прилежащий катет этого треугольника есть cos (сравните с рис. 1) и одновременно абсцисса точки ; противолежащий катет есть sin (как на рис. 1) и одновременно ордината точки.

Но теперь мы уже не стеснены первой четвертью и получаем возможность распространить данное определение на любой угол . На рис. 3 показано, что такое синус и косинус угла во второй, третьей и четвёртой четвертях.

Рис. 3. Синус и косинус во II, III и IV четвертях

Прямоугольный треугольник

гипотенуза – сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла и являющаяся самой длинной стороной прямоугольного треугольника.

катет – одна из сторон прямоугольного треугольника, образующая прямой угол треугольника. Может называться противолежащим или прилежащим. Противолежащий – это катет, расположенный напротив рассматриваемого угла треугольника, прилежащий – это катет, прилежащий к рассматриваемому углу треугольника.

Чтобы вычислить какой-либо неизвестный элемент (сторону или угол) имеющегося треугольника, зная часть элементов того же треугольника, используют определенные зависимости (правила) между величинами углов и длинами сторон этого треугольника. Такие зависимости называют тригонометрическими функциями.

К базовым тригонометрическим функциям относятся:

То есть, тригонометрические функций позволяют, зная какой-либо угол и сторону, вычислить значения других неизвестных элементов треугольника.

Таблица синусов от 181° до 360°

Sin(181°) -0.0175
Sin(182°) -0.0349
Sin(183°) -0.0523
Sin(184°) -0.0698
Sin(185°) -0.0872
Sin(186°) -0.1045
Sin(187°) -0.1219
Sin(188°) -0.1392
Sin(189°) -0.1564
Sin(190°) -0.1736
Sin(191°) -0.1908
Sin(192°) -0.2079
Sin(193°) -0.225
Sin(194°) -0.2419
Sin(195°) -0.2588
Sin(196°) -0.2756
Sin(197°) -0.2924
Sin(198°) -0.309
Sin(199°) -0.3256
Sin(200°) -0.342
Sin(201°) -0.3584
Sin(202°) -0.3746
Sin(203°) -0.3907
Sin(204°) -0.4067
Sin(205°) -0.4226
Sin(206°) -0.4384
Sin(207°) -0.454
Sin(208°) -0.4695
Sin(209°) -0.4848
Sin(210°) -0.5
Sin(211°) -0.515
Sin(212°) -0.5299
Sin(213°) -0.5446
Sin(214°) -0.5592
Sin(215°) -0.5736
Sin(216°) -0.5878
Sin(217°) -0.6018
Sin(218°) -0.6157
Sin(219°) -0.6293
Sin(220°) -0.6428
Sin(221°) -0.6561
Sin(222°) -0.6691
Sin(223°) -0.682
Sin(224°) -0.6947
Sin(225°) -0.7071
Sin(226°) -0.7193
Sin(227°) -0.7314
Sin(228°) -0.7431
Sin(229°) -0.7547
Sin(230°) -0.766
Sin(231°) -0.7771
Sin(232°) -0.788
Sin(233°) -0.7986
Sin(234°) -0.809
Sin(235°) -0.8192
Sin(236°) -0.829
Sin(237°) -0.8387
Sin(238°) -0.848
Sin(239°) -0.8572
Sin(240°) -0.866
Sin(241°) -0.8746
Sin(242°) -0.8829
Sin(243°) -0.891
Sin(244°) -0.8988
Sin(245°) -0.9063
Sin(246°) -0.9135
Sin(247°) -0.9205
Sin(248°) -0.9272
Sin(249°) -0.9336
Sin(250°) -0.9397
Sin(251°) -0.9455
Sin(252°) -0.9511
Sin(253°) -0.9563
Sin(254°) -0.9613
Sin(255°) -0.9659
Sin(256°) -0.9703
Sin(257°) -0.9744
Sin(258°) -0.9781
Sin(259°) -0.9816
Sin(260°) -0.9848
Sin(261°) -0.9877
Sin(262°) -0.9903
Sin(263°) -0.9925
Sin(264°) -0.9945
Sin(265°) -0.9962
Sin(266°) -0.9976
Sin(267°) -0.9986
Sin(268°) -0.9994
Sin(269°) -0.9998
Sin(270°) -1
Sin(271°) -0.9998
Sin(272°) -0.9994
Sin(273°) -0.9986
Sin(274°) -0.9976
Sin(275°) -0.9962
Sin(276°) -0.9945
Sin(277°) -0.9925
Sin(278°) -0.9903
Sin(279°) -0.9877
Sin(280°) -0.9848
Sin(281°) -0.9816
Sin(282°) -0.9781
Sin(283°) -0.9744
Sin(284°) -0.9703
Sin(285°) -0.9659
Sin(286°) -0.9613
Sin(287°) -0.9563
Sin(288°) -0.9511
Sin(289°) -0.9455
Sin(290°) -0.9397
Sin(291°) -0.9336
Sin(292°) -0.9272
Sin(293°) -0.9205
Sin(294°) -0.9135
Sin(295°) -0.9063
Sin(296°) -0.8988
Sin(297°) -0.891
Sin(298°) -0.8829
Sin(299°) -0.8746
Sin(300°) -0.866
Sin(301°) -0.8572
Sin(302°) -0.848
Sin(303°) -0.8387
Sin(304°) -0.829
Sin(305°) -0.8192
Sin(306°) -0.809
Sin(307°) -0.7986
Sin(308°) -0.788
Sin(309°) -0.7771
Sin(310°) -0.766
Sin(311°) -0.7547
Sin(312°) -0.7431
Sin(313°) -0.7314
Sin(314°) -0.7193
Sin(315°) -0.7071
Sin(316°) -0.6947
Sin(317°) -0.682
Sin(318°) -0.6691
Sin(319°) -0.6561
Sin(320°) -0.6428
Sin(321°) -0.6293
Sin(322°) -0.6157
Sin(323°) -0.6018
Sin(324°) -0.5878
Sin(325°) -0.5736
Sin(326°) -0.5592
Sin(327°) -0.5446
Sin(328°) -0.5299
Sin(329°) -0.515
Sin(330°) -0.5
Sin(331°) -0.4848
Sin(332°) -0.4695
Sin(333°) -0.454
Sin(334°) -0.4384
Sin(335°) -0.4226
Sin(336°) -0.4067
Sin(337°) -0.3907
Sin(338°) -0.3746
Sin(339°) -0.3584
Sin(340°) -0.342
Sin(341°) -0.3256
Sin(342°) -0.309
Sin(343°) -0.2924
Sin(344°) -0.2756
Sin(345°) -0.2588
Sin(346°) -0.2419
Sin(347°) -0.225
Sin(348°) -0.2079
Sin(349°) -0.1908
Sin(350°) -0.1736
Sin(351°) -0.1564
Sin(352°) -0.1392
Sin(353°) -0.1219
Sin(354°) -0.1045
Sin(355°) -0.0872
Sin(356°) -0.0698
Sin(357°) -0.0523
Sin(358°) -0.0349
Sin(359°) -0.0175
Sin(360°) -0

График синуса и косинуса

Заметим, что координаты точек, лежащей на единичной окружности, варьируются в пределах от – 1 до 1. Это означает, что значение синуса и косинуса также может находиться только в интервале между этими числами. Получается, что область значения этих ф-ций – это промежуток .

Вычислить синус и косинус можно для абсолютно любого угла поворота, поэтому область определения этих тригонометрических ф-ций – вся числовая прямая, то есть промежуток (– ∞; + ∞).

Изучение графиков тригонометрических функций начнем с синуса. В тригонометрии при построении графика синуса принято по оси Ох откладывать значение угла в радианах, а не в градусах. Из-за этого в школьной тетради тяжело точно отметить точки, через которые проходит этот график. Например, возьмем угол, равный 90°. Его величина в радианах π/2, а sinπ/2 = 1. Получается, график должен пройти через точку (π/2; 1). Однако число π/2 – иррациональное, равное примерно 1,5708…, и точно отложить отрезок длиной π/2 невозможно.

Поэтому в учебных целях график строят приближенно (естественно, что на практике точный график можно построить с помощью компьютера с любой требуемой точностью). Считают, что величина π/2 примерно равна 1,5, то есть дроби 3/2. Если выбрать масштаб, при котором единице равны 2 клеточки, то π/2 – это 3 клеточки. Тогда π/6 – это одна клеточка, а π/3 – две.

Мы знаем, что

sin 0 = 0

sin π/6 = 1/2

sin π/2 = 1

Значит, график синуса должен проходить через точки (0; 0), (π/6; 1/2) и (π/2; 1). Отметим их на координатной плоскости:

С помощью некоторых соображений симметрии можно вычислить ещё несколько точек в диапазоне от 0 до 2π. Не будем перечислять их координаты, а просто отметим их на рисунке:

Теперь соединим их плавной кривой:

Мы получили график синуса на промежутке от 0 до 2π. Но ведь мы можем вычислить синус для любого другого угла! При этом мы используем тот факт, что углам, отличающимся на 2π (на один полный оборот), на единичной окружности соответствует одинаковая точка. То есть этим двум углам будут соответствовать точки на графике с одинаковой ординатой (координатой у), но абсциссами, отличающимися на 2π. Другими словами, точку графика можно перенести на 2π (то есть 12 клеточек) влево или вправо:

Перенести можно не одну точку, а сразу всё множество точек, лежащих между 0 и 2π:

Получили ещё два участка графика, на промежутках и . Эти участки также можно переместить влево и вправо. Продолжая этот процесс бесконечно, мы получим весь график у = sinx:

В результате мы получили кривую, которую называют синусоидой.

Теперь построим график косинуса. Мы знаем что

cos 0 = 1

cos π/3 = 1/2

cos π/2 = 1

Получается, что график должен проходить через точки (0;1), (π/3; 1/2) и (π/2; 0). Отметим их на плоскости:

Можно вычислить, используя симметрию на единичной окружности, ещё несколько точек, которые должны лежать на графике. Не приводя этих вычислений, просто отметим эти точки на плоскости:

Соединяем эти точки плавной линией:

Как и в случае с синусом, участок графика косинуса можно перенести на 2π (12 клеточек влево и вправо). В результате таких действий получим окончательный вид ф-ции у = cosх:

Можно заметить несколько особенностей полученных графиков. Во-первых, все точки обоих графиков лежат в «полосе» между прямыми у = 1 и у = – 1. Это следствие того, что и у синуса, и у косинуса область значений – это промежуток :

Во-вторых, график косинуса очень похож на синусоиду. Он имеет такую же форму, но просто смещен на π/2 (3 клеточки) влево. Это не случайно, в будущих уроках мы узнаем причину этого явления. Но, так как график косинуса – это просто смещенная синусоида, то термин «косинусоида» для его обозначения почти не используется – он просто избыточен.

В-третьих, графики обладают периодичностью. Они «повторяются» с периодом 2π. Дело в том, что углам, отличающимся друг от друга на 2π (то есть ровно на один полный поворот в 360°), на единичной окружности соответствует одна и та же точка. То есть справедливы формулы:

sin (x+ 2π) = sinx

cos (x+ 2π) = sinx

В-четвертых, можно заметить, что график косинуса симметричен относительно оси Ох, а график синуса симметричен относительно начала координат. Это значит, что синус является , а косинус – . Напомним, что ф-ция f(x) является нечетной, если справедливо условие

f(x) = – f(– x)

Если f(x) – четная ф-ция, то должно выполняться условие:

f(x) = f(– x)

Действительно, если отложить на единичной окружности углы α и (– α), то можно заметить, что их косинусы будут равны друг другу, и синусы окажутся противоположными:

Поэтому верны формулы:

sin (– α) = – sinα

cos (– α) = cosα

Эффективно подготовиться к ЕГЭ по математике помогут тщательно продуманные онлайн-курсы

Таблица синусов от 0° до 180°

Sin(1°) 0.0175
Sin(2°) 0.0349
Sin(3°) 0.0523
Sin(4°) 0.0698
Sin(5°) 0.0872
Sin(6°) 0.1045
Sin(7°) 0.1219
Sin(8°) 0.1392
Sin(9°) 0.1564
Sin(10°) 0.1736
Sin(11°) 0.1908
Sin(12°) 0.2079
Sin(13°) 0.225
Sin(14°) 0.2419
Sin(15°) 0.2588
Sin(16°) 0.2756
Sin(17°) 0.2924
Sin(18°) 0.309
Sin(19°) 0.3256
Sin(20°) 0.342
Sin(21°) 0.3584
Sin(22°) 0.3746
Sin(23°) 0.3907
Sin(24°) 0.4067
Sin(25°) 0.4226
Sin(26°) 0.4384
Sin(27°) 0.454
Sin(28°) 0.4695
Sin(29°) 0.4848
Sin(30°) 0.5
Sin(31°) 0.515
Sin(32°) 0.5299
Sin(33°) 0.5446
Sin(34°) 0.5592
Sin(35°) 0.5736
Sin(36°) 0.5878
Sin(37°) 0.6018
Sin(38°) 0.6157
Sin(39°) 0.6293
Sin(40°) 0.6428
Sin(41°) 0.6561
Sin(42°) 0.6691
Sin(43°) 0.682
Sin(44°) 0.6947
Sin(45°) 0.7071
Sin(46°) 0.7193
Sin(47°) 0.7314
Sin(48°) 0.7431
Sin(49°) 0.7547
Sin(50°) 0.766
Sin(51°) 0.7771
Sin(52°) 0.788
Sin(53°) 0.7986
Sin(54°) 0.809
Sin(55°) 0.8192
Sin(56°) 0.829
Sin(57°) 0.8387
Sin(58°) 0.848
Sin(59°) 0.8572
Sin(60°) 0.866
Sin(61°) 0.8746
Sin(62°) 0.8829
Sin(63°) 0.891
Sin(64°) 0.8988
Sin(65°) 0.9063
Sin(66°) 0.9135
Sin(67°) 0.9205
Sin(68°) 0.9272
Sin(69°) 0.9336
Sin(70°) 0.9397
Sin(71°) 0.9455
Sin(72°) 0.9511
Sin(73°) 0.9563
Sin(74°) 0.9613
Sin(75°) 0.9659
Sin(76°) 0.9703
Sin(77°) 0.9744
Sin(78°) 0.9781
Sin(79°) 0.9816
Sin(80°) 0.9848
Sin(81°) 0.9877
Sin(82°) 0.9903
Sin(83°) 0.9925
Sin(84°) 0.9945
Sin(85°) 0.9962
Sin(86°) 0.9976
Sin(87°) 0.9986
Sin(88°) 0.9994
Sin(89°) 0.9998
Sin(90°) 1
Sin(91°) 0.9998
Sin(92°) 0.9994
Sin(93°) 0.9986
Sin(94°) 0.9976
Sin(95°) 0.9962
Sin(96°) 0.9945
Sin(97°) 0.9925
Sin(98°) 0.9903
Sin(99°) 0.9877
Sin(100°) 0.9848
Sin(101°) 0.9816
Sin(102°) 0.9781
Sin(103°) 0.9744
Sin(104°) 0.9703
Sin(105°) 0.9659
Sin(106°) 0.9613
Sin(107°) 0.9563
Sin(108°) 0.9511
Sin(109°) 0.9455
Sin(110°) 0.9397
Sin(111°) 0.9336
Sin(112°) 0.9272
Sin(113°) 0.9205
Sin(114°) 0.9135
Sin(115°) 0.9063
Sin(116°) 0.8988
Sin(117°) 0.891
Sin(118°) 0.8829
Sin(119°) 0.8746
Sin(120°) 0.866
Sin(121°) 0.8572
Sin(122°) 0.848
Sin(123°) 0.8387
Sin(124°) 0.829
Sin(125°) 0.8192
Sin(126°) 0.809
Sin(127°) 0.7986
Sin(128°) 0.788
Sin(129°) 0.7771
Sin(130°) 0.766
Sin(131°) 0.7547
Sin(132°) 0.7431
Sin(133°) 0.7314
Sin(134°) 0.7193
Sin(135°) 0.7071
Sin(136°) 0.6947
Sin(137°) 0.682
Sin(138°) 0.6691
Sin(139°) 0.6561
Sin(140°) 0.6428
Sin(141°) 0.6293
Sin(142°) 0.6157
Sin(143°) 0.6018
Sin(144°) 0.5878
Sin(145°) 0.5736
Sin(146°) 0.5592
Sin(147°) 0.5446
Sin(148°) 0.5299
Sin(149°) 0.515
Sin(150°) 0.5
Sin(151°) 0.4848
Sin(152°) 0.4695
Sin(153°) 0.454
Sin(154°) 0.4384
Sin(155°) 0.4226
Sin(156°) 0.4067
Sin(157°) 0.3907
Sin(158°) 0.3746
Sin(159°) 0.3584
Sin(160°) 0.342
Sin(161°) 0.3256
Sin(162°) 0.309
Sin(163°) 0.2924
Sin(164°) 0.2756
Sin(165°) 0.2588
Sin(166°) 0.2419
Sin(167°) 0.225
Sin(168°) 0.2079
Sin(169°) 0.1908
Sin(170°) 0.1736
Sin(171°) 0.1564
Sin(172°) 0.1392
Sin(173°) 0.1219
Sin(174°) 0.1045
Sin(175°) 0.0872
Sin(176°) 0.0698
Sin(177°) 0.0523
Sin(178°) 0.0349
Sin(179°) 0.0175
Sin(180°)

Котангенс угла

Помимо тангенса в тригонометрии выделяют ещё одну производную ф-цию – котангенс. Он представляет отношение косинуса к синусу:

Видно, что определение котангенса очень похоже определение тангенса. В принципе, удобней использовать несколько другую формулу:

Почти во всех задачах с помощью формулы

можно избавиться от котангенса, заменив его дробью 1/tgα. Поэтому мы вкратце расскажем об основных особенностях котангенса, ведь он очень редко используется на практике.

Значения этой ф-ции рассчитываются так:

При х = 0 значение котангенса не определено, так как в этой точке косинус становится равным нулю, а деление на ноль невозможно.

График котангенса – это тангенсоида, которая отображена симметрично относительно оси Ох и смещена на π/2:

Можно заметить, что вертикальные штриховые линии (асимптоты) графика проходят через точки, кратные π: –2π, – π, 0, π, 2π… Они разбивают координатную прямую на интервалы (– 2π; – π), (– π; 0), (0; π), (π; 2π), на каждом из которых ф-ция у = ctgx убывает. Видно, что котангенс – это периодическая ф-ция с периодом π.

Для сравнения покажем на одной плоскости графики тангенса и котангенса:

Котангенс, как и тангенс – нечетная ф-ция, то есть

ctg (– x) = – ctgx

Теперь у нас есть представление об основных тригонометрических ф-циях. Важнейшими из них являются синус и косинус. Тангенс является производной ф-цией от них и рассчитывается как отношение синуса к косинусу. Редко используемый котангенс, наоборот, представляет собой отношение косинуса к синусу.

Впервые элементы тригонометрии стали использовать ещё древние греки, которые производили с их помощью астрономические расчеты. В XVIII веке Эйлер сформулировал определения тригонометрических функций с помощью единичной окружности, благодаря которым стало возможным вычислять их значение для любых углов. Изначально тригонометрия использовалась для географических расчетов и навигации, однако со временем область ее применения расширилась. Оказалось, что без неё не обойтись в анализе финансовых рынков и биологических процессов, архитектуре, акустике и оптике, теории вероятностей.

Только усвоенная информация становится знанием. В этом вам помогут онлайн-курсы

Принятые обозначения

\( \sin^2 x \equiv (\sin x)^2; \)\( \quad \sin^3 x \equiv (\sin x)^3; \)\( \quad \sin^n x \equiv (\sin x)^n \)\( \sin^{-1} x \equiv \arcsin x \)\( (\sin x )^{-1} \equiv \dfrac1{\sin x} \equiv \cosec x \).

\( \cos^2 x \equiv (\cos x)^2; \)\( \quad \cos^3 x \equiv (\cos x)^3; \)\( \quad \cos^n x \equiv (\cos x)^n \)\( \cos^{-1} x \equiv \arccos x \)\( (\cos x )^{-1} \equiv \dfrac1{\cos x} \equiv \sec x \).

Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2π.

\( \sin(x + 2\pi) = \sin x; \quad \)\( \cos(x + 2\pi) = \cos x \)

Функция синус – нечетная. Функция косинус – четная.

\( \sin( -x ) = — \sin x; \quad \)\( \cos( -x ) = \cos x \)

Области определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

Основные свойства синуса и косинуса представлены в таблице (n — целое).

\( \small -\dfrac{\pi}2 + 2\pi n \)\( \small \( \small \dfrac{\pi}2 + 2\pi n \) \( \small -\pi + 2\pi n \)\( \small \( \small 2\pi n \)
Убывание \( \small \dfrac{\pi}2 + 2\pi n \)\( \small \( \small \dfrac{3\pi}2 + 2\pi n \) \( \small 2\pi n \)\( \small \( \pi + \small 2\pi n \)
Максимумы, \( \small x = \)\( \small \dfrac{\pi}2 + 2\pi n \) \( \small x = 2\pi n \)
Минимумы, \( \small x = \)\( \small -\dfrac{\pi}2 + 2\pi n \) \( \small x = \)\( \small \pi + 2\pi n \)
Нули, \( \small x = \pi n \) \( \small x = \dfrac{\pi}2 + \pi n \)
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 y = 1

Функция косинуса

График косинуса получается из графика синуса с помощью параллельного переноса на расстояние влево.

Основные свойства функции y=cosx:

1) функции — множество всех

2) функции является промежуток

3) Функция является , график симметричен относительно оси Оу.

4) Функция . Наименьший положительный период равен

5) График функции пересекает ось Ох () в точках

6) График функции пересекает ось Оy в точке (0; 1).

7) Функция принимает на промежутках

8) Функция принимает на промежутках

9) Функция на промежутках

10) Функция на промежутках

11) Точки минимума:

12) Точки максимума:

13) Графиком функции является косинусоида

Ссылка на основную публикацию