Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями (продолжение)

Определение степени с целым показателем

В 7 классе мы уже изучили . Напомним, что запись anозначает произведение, состоящее из n множителей, каждый из которых равен a:

Число а именуется основанием степени, а n – это показатель степени. Отдельно напомним, что число в первой степени равно самому себе:

а1 = а

Любое число, кроме нуля, возведенное в нулевую степень, дает единицу:

а = 1

Сам же ноль в нулевую степень возводить нельзя (так же, как и нельзя делить на ноль).

Математики стремятся по возможности расширить используемые ими понятия. Можно ли сделать показатель степени отрицательным числом? Для этого надо дать новое определение степени

При этом важно, чтобы все уже известные нам правила действий со степенями (их умножение и деление) оставались справедливыми

При делении степеней их показатели вычитаются, например:

815:813 = 815 – 13 = 82 = 64

Теперь попробуем произвести деление в том случае, когда показатель делимого меньше показателя делителя:

815:817 = 815 – 17 = 8– 2

Получили отрицательную степень, смысл которой нам пока не понятен. Выполним это же деление с помощью дробей, при этом учтем, что 817 = 815•82:

Итак, мы получили, что

То есть 8– 2 – это число, обратное 82. Подобные рассуждения помогают сформулировать определение степени с отрицательным показателем:

Напомним, что обратными называются числа, которые при умножении друг на друга дают единицу. Примерами обратных чисел являются:

  • 5 и 1/5
  • 2 и 1/2
  • (– 15) и – 1/15

Вообще для каждой дроби обратной является «перевернутая дробь», поэтому следующие пары чисел являются обратными:

Теперь покажем, как вычислять отрицательную степень числа, пользуясь определением:

Вообще находить отрицательную степень дроби удобней с помощью формулы

Докажем ее справедливость:

Покажем применение этой формулы:

Заметим, что возвести ноль в отрицательную степень не получится. Действительно, если мы попробуем, например, вычислить 0– 2, то получим деление на ноль:

Вообще, при возведении нуля в любую отрицательную степень получается деление на ноль, а потому выражение 0n, где n–отрицательное число, не имеет смысла.

Отрицательные степени очень удобны при работе с некоторыми выражениями. В частности, любую дробь с их помощью можно записать в виде произведения:

Пример: Запишите в виде произведения дробь

Решение.

Ответ: а2b– 4

Отдельно заметим, формулу, определяющую отрицательную степень

можно и «перевернуть». В ней число 1 выступает в роли делимого, выражение аn – это делитель, а a– n – это частное. Известно, что делитель можно получить, поделив делимое на частное, то есть верна запись

Это значит, что справедливо не только равенство

но и

Тождественные преобразования

Все тождественные преобразования, которые мы рассматривали при изучении степени с натуральным показателем, сохраняются и для степеней с целыми отрицательными показателями.

Например, чтобы представить выражение 2−1 × 2−3 в виде степени, можно воспользоваться основным свойством степени:

2−1 × 2−3 = 2−1 + (−3) = 2−4

Пример 2. Найти значение выражения 5−15 × 516

Воспользуемся основным свойством степени:

5−15 × 516 = 5−15 + 16 = 51 = 5

или:

Видим, что первый вариант решения намного проще и удобнее.

Пример 3. Найти значение выражения (10−4)−1

Воспользуемся правилом возведения степени в степень:

(10−4)−1 = 10−4 × (−1) = 104 = 10000

Пример 4. Найти значение выражения 

Представим число основание 10 в виде произведения 2 × 5. Тогда числитель примет вид (2 × 5)−6

В числителе применим правило возведения в степень произведения:

Сократим получившуюся дробь на 5−6

Вычислим степень 2−6

Представление чисел 0,1, 0,01, 0,001 в виде степени с основанием 10

Чтобы представить числа 0,1, 0,01, 0,001 в виде степени с основанием 10, нужно записать основание 10, и в качестве показателя указать отрицательный показатель, модуль которого равен количеству нулей исходного числа.

Представим число 0,1 в виде степени с основанием 10. Видим, что в числе 0,1 один нуль. Значит, число 0,1 в виде степени с основанием 10 будет представлено как 10−1. Показатель степени 10−1 равен −1. Модуль этого показателя равен количеству нулей в числе 0,1

0,1 = 10−1

Число 0,1 это результат деления , а эта дробь есть значение степени 10−1.

Пример 2. Представить число 0,01 в виде степени с основанием 10.

В числе 0,01 два нуля. Значит, число 0,01 в виде степени с основанием 10 будет представлено как 10−2. Показатель степени 10−2 равен −2. Модуль этого показателя равен количеству нулей в числе 0,01

0,01 = 10−2

Число 0,01 это результат деления , то есть , а эта дробь есть значение степени 10−2.

Пример 3. Представить число 0,001 в виде степени с основанием 10.

0,001 = 10−3

Пример 4. Представить число 0,0001 в виде степени с основанием 10.

0,0001 = 10−4

Пример 5. Представить число 0,00001 в виде степени с основанием 10.

0,00001 = 10−5

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Вычислите степень 3−2

Решение:

Задание 2. Вычислите степень (−3)−2

Решение:

Задание 3. Вычислите степень −3−2

Решение:

Задание 4. Вычислите степень (−1)−9

Решение:

Задание 5. Вычислите степень

Решение:

Задание 6. Вычислите степень

Решение:

Задание 7. Вычислите степень −(−2)−3

Решение:

Задание 8. Вычислите степень

Решение:

Задание 9. Найдите значение выражения 8 × 4−3

Решение:

Задание 10. Найдите значение выражения 18 × (−9)−1

Решение:

Задание 11. Найдите значение выражения 2−3 − (−2)−4

Решение:

Задание 12. Найдите значение выражения

Решение:

Задание 13. Представить произведение a−4b в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Решение:

Задание 14. Представить произведение 7xy−3 в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Решение:

Задание 15. Представить произведение 6(xy)−6 в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Решение:

Задание 16. Представить произведение x−1y−2 в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Решение:

Задание 17. Представить произведение 9a−1(a − b)−2 в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Решение:

Задание 18. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 19. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 20. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 21. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 22. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 23. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 24. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 25. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 26. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 27. Представьте число 3 000 000 в стандартном виде.

Решение:
3 000 000 = 3 × 106

Задание 28. Представьте число 0,35 в стандартном виде.

Решение:
0,35 = 3,5 × 10−1

Задание 29. Представьте число 21,56 в стандартном виде.

Решение:
21,56 = 2,156 × 101

Задание 30. Представьте число 0,000008 в стандартном виде.

Решение:
0,000008 = 8 × 10−6

Задание 31. Представьте число 0,000335 в стандартном виде.

Решение:
0,000335 = 3,35 × 10−4

Задание 32. Найдите значение выражения .

Решение:

Задание 33. Найдите значение выражения .

Решение:

Задание 34. Найдите значение выражения .

Решение:

Задание 35. Представьте в виде степени выражение .

Решение:

Задание 36. Представьте в виде степени выражение .

Решение:

Задание 37. Представьте в виде степени выражение .

Решение:

Задание 38. Представьте в виде степени выражение .

Решение:

Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Свойства степеней

Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

  • an * am = (a)(n+m);
  • an : am = (a)(n-m);
  • (ab ) m=(a)(b*m).

Проверим на примерах:

23 * 22 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Аналогично: 23 : 22 = 8 / 4 =2. Иначе 23-2 = 21 =2.

(23)2 = 82 = 64. А если по-другому? 26 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Как видим, правила работают.

А как же быть со сложением и вычитанием? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

Посмотрим на примерах:

33 + 24 = 27 + 16 = 43;
52 – 32 = 25 – 9 = 16

Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 — 3)2 = 22 = 4.. А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3)3 = 83 = 512

А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3)3 = 83 = 512.

Как производить вычисления в более сложных случаях? Порядок тот же:

  • при наличии скобок – начинать нужно с них;
  • затем возведение в степень;
  • потом выполнять действия умножения, деления;
  • после сложение, вычитание.

Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

  1. Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: amn.
  2. При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
  3. При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b)n = an * bn.
  4. При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
  5. Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
  6. Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.

Эти правила важны в отдельных случаях, их рассмотрим подробней ниже.

Степень с иррациональным показателем

Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.

Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:

  • А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице;
  • А˃1.

Аr1 ˂ Аα ˂ Аr2, r1 ˂ r2 – рациональные числа;

0˂А˂1.

В этом случае наоборот: Аr2 ˂ Аα ˂ Аr1 при тех же условиях, что и во втором пункте.

Например, показатель степени число π. Оно рациональное.

r1 – в этом случае равно 3;

r2 – будет равно 4.

Тогда, при А = 1, 1π = 1.

А = 2, то 23 ˂ 2π ˂ 24, 8 ˂ 2π ˂ 16.

А = 1/2, то (½)4 ˂ (½)π ˂ (½)3, 1/16 ˂ (½)π ˂ 1/8.

Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.

Преобразования арифметических корней

1. Корень k-й степени из произведения неотрицательных
чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей:
,
где
(правило извлечения корня из произведения).

2. Если ,
то
(правило извлечения корня из дроби).

3. Если ,
то
(правило извлечения корня из корня).

4. Если ,
то
(правило возведения корня в степень).

5. Если ,
то ,
где ,
т. е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и
то же число.

6. Если ,
то ,
т. е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение
корня.

7. Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке
(т. е. справа налево). Например:

(правило умножения корней),

(правило деления корней),

.

8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При
.

9. Обратная задача — внесение множителя под знак корня. Например,

10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим
некоторые типичные случаи.

а) ,
так как .

Например, .

б)

Например,

в)

и т. д.

11. Применение тождеств сокращённого умножения к действиям с
арифметическими корнями:

1) ;

2) ;

3)

Другие темы в блоке «Школьная математика»

Действия с числами в стандартном виде

Стандартный вид чисел удобен тогда, когда есть необходимость сравнивать физические величины, а также перемножать их и делить. Рассмотрим правила сравнения умножения и деления чисел в стандартном виде.

Из двух чисел больше то, у которого больше порядок стандартного вида числа. Так, масса Солнца больше масса Земли, так как у нее порядок равен 30, а у нашей планеты – только 24. Если же порядки одинаковы, то больше то число, у которого больше значащая часть.

Пример. Радиус ядра Солнца оценивается в 1,73•108 м, а радиус Юпитера составляет 6,99•107 м. Какая из этих величин больше?

Решение. Порядок у радиуса ядра Солнца равен 8, а у Юпитера только 7, поэтому радиус ядра Солнца больше радиуса Юпитера.

Пример. Масса протона составляет 1,673•10– 27 кг, а масса нейтрона равна 1,675•10– 27 кг. Какая из этих двух частиц тяжелее?

Решение. У обоих величин одинаковый порядок, равный (– 27). Однако значащая часть у массы нейтрона больше:

1,675 > 1,673

Следовательно, нейтрон тяжелее.

Ответ: Нейтрон тяжелее.

Посмотрим, как перемножать числа, находящиеся в стандартном виде. Переставляя множители местами, можно получить:

(a•10n)•(b•10m) = a•b•10n•10m = (ab)•10n+m

В итоге можно сформулировать правило:

Пример. Земля двигается по своей орбите со средней скоростью 3•104 м/с. Какое расстояние она проходит в течение одного невисокосного календарного года (в каждом таком году 31536000 секунд)?

Решение. Переведем количество секунд в году в стандартный вид

31536000 = 3,1536 •107

Расстояние (обозначим его как S) равно произведению средней скорости на время:

S = 3•104 м/с • 3,1536•107c = 3•3,1536•104 + 7 = 9,4608•1011м.

Ответ: 9,4608•1011м.

Пример. Представьте в стандартном виде произведение чисел 9,5•108 и 1,38•10– 2.

Решение.

(9,5•108)•(1,38•10– 2) = (9,5•1,38)•108 + (– 2) = 13,11•106

Получили число НЕ в стандартном виде, так как 13,11 > 10. Поэтому следует произвести замену 13,11 = 1,311•10:

13,11•106 = 1,311•10•106 = 1,311•107

Ответ:1,311•107

Теперь попытаемся поделить два числа, находящихся в стандартном виде:

Видно, что справедливо следующее правило:

Пример. Во сколько раз масса Солнца больше массы Земли?

Решение. Выше мы приводили данные, что масса Солнца оценивается в 1,9885•1030 кг, а масса нашей планеты составляет 5,97•1024 кг. Поделим массу звезды на массу планеты:

(1,9885•1030):(5,97•1024) = (1,9885:5,97)•1030 – 24≈0,333•106 = 333000

Получили, что Солнце примерно в 333 тысячи раз тяжелее Земли.

Ответ: В 333000 раз.

Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.

Что представляют собой степенные выражения?

В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.

Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

  • Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 32, 75+1, (2+1)5, (−0,1)4, 2233, 3·a2−a+a2, x3−1, (a2)3.
  • А также степени с нулевым показателем: 50, (a+1)0, 3+52−3,20. И степени с целыми отрицательными степенями: (0,5)2+(0,5)-22.
  • Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный  и иррациональный показатели: 26414-3·3·312, 23,5·2-22-1,5, 1a14·a12-2·a-16·b12, xπ·x1-π, 233+5.
  • В качестве показателя может выступать переменная 3x-54-7·3x-58 или логарифм x2·lgx−5·xlgx.

С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

Основные виды преобразований степенных выражений

В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

Вычислите значение степенного выражения 23·(42−12).

Решение

Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 23·(42−12)=23·(16−12)=23·4.

Нам остается заменить степень 23 ее значением 8 и вычислить произведение 8·4=32. Вот наш ответ.

Ответ: 23·(42−12)=32.

Упростите выражение со степенями 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7.

Решение

Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Ответ: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Поднятие степени из знаменателя в числитель и наоборот

Если знаменатель дробного выражения содержит степень, то данную степень можно поднять в числитель, изменив знак показателя этой степени на противоположный. Значение выражения при этом не меняется. Данное преобразование иногда используется при упрощении выражений.

Рассмотрим следующее равенство:

Данное равенство является верным, поскольку выражение  равно 2, а любое число в нулевой степени есть единица.

Попробуем поднять степень 22 из знаменателя в числитель, изменив знак показателя этой степени на противоположный. При этом, поднятую степень и ту степень, которая располагалась в числителе, соединим знаком умножения:

Получили выражение 22 × 2−2. Чтобы его вычислить, воспользуемся основным свойством степени:

22 × 2−2 = 22 + (−2) = 2 = 1

Получился тот же результат, что и раньше. Значит значение выражения не изменилось. Как это работает?

Если в равенстве  поменять местами левую и правую часть, то получим равенство . Это позволяет заменять в выражениях дробь вида  на тождественно равное ей выражение a−n.

Теперь представим выражение  в виде произведения . То есть . Напомним, что при замене деления умножением, делимое умножают на число, обратное делителю. А обратное делителю число в данном случае это дробь 

Теперь воспользуемся правилом . В произведении  заменим дробь  на тождественно равное ей выражение 2−2

Далее, как и раньше применяем основное свойство степени:

Получился тот же результат 1.

Таким же образом можно опустить степень из числителя в знаменатель, изменив знак показателя этой степени на противоположный.

Рассмотрим выражение . Чтобы найти его значение, воспользуемся правилом деления степеней с одинаковыми основаниями. В результате получим

Теперь попробуем решить этот пример, опустив степень 2−2 из числителя в знаменатель, изменив знак показателя этой степени на противоположный. При этом, опущенную степень 2−2 и ту степень, которая располагалась в знаменателе, соединим знаком умножения. А в числителе останется единица:

Дальнейшее вычисление не составит особого труда:

Как и в прошлом примере выражение  представимо в виде произведения 

Этим и объясняется появление единицы в числителе, после того как степень 2−2 была опущена в знаменатель.

Переносимых в знаменатель либо в числитель степеней может быть несколько. Например, знаменатель дроби  содержит степени 32, a3, b4. Перенесём эти степени в числитель, изменив знаки их показателей на противоположные. В результате получим выражение 3−2a−3b−4.

Пример 2. Поднять степени из знаменателя дроби  в числитель

Пример 3. Поднять степени из знаменателя дроби  в числитель

Пример 4. Поднять степень из знаменателя дроби  в числитель

Пример 5. Опустить степень из числителя дроби  в знаменатель

Пример 6. Степень из числителя дроби  опустить в знаменатель, а степень из знаменателя поднять в числитель

Представлять дробь  в виде произведения  вовсе не обязательно. Если пропустить эту запись, то данный пример можно решить короче:

Пример 7. В дроби  перенести из знаменателя в числитель только те степени, которые имеют отрицательные показатели:

Пример 8. Представить произведение 3x−5 в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Перепишем произведение 3x−5 с помощью знака умножения:

3 × x−5

Сомножитель 3 оставим без изменений, а сомножитель x−5 заменим на тождественно равную ему дробь 

Теперь согласно правилу , умножим множитель 3 на числитель дроби . В результате образуется дробь 

Пример 9. Представить произведение 3(x + y)−4 в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Выражение состоит из сомножителей 3 и (x + y)−4. Сомножитель 3 оставим без изменений, а сомножитель (x + y)−4 заменим на тождественно равную ему дробь 

Теперь умножим множитель 3 на числитель дроби . В результате образуется дробь 

Пример 10. Представить дробь  в виде произведения.

Чтобы решить этот пример, достаточно поднять степень x2 в числитель, изменив знак показателя этой степени на противоположный:

Как и в прошлых примерах дробь  можно было представить в виде произведения . Затем воспользовавшись правилом , заменить сомножитель  на тождественно равный ему сомножитель x−2.

Пример 11. Представить дробь  в виде произведения.

Пример 12. Найти значение выражения 

Поднимем степень 2−3 из знаменателя в числитель, а степень 10−2 из числителя опустим в знаменатель:

Вычислим значения степеней, содержащихся в числителе и в знаменателе:

Сократим полученную дробь на 25. Тогда останется дробь , значение которой равно 2.

А если бы мы не подняли степень 2−3 в числитель, и степень 10−2 не опустили в знаменатель, а стали вычислять каждую степень по отдельности, то получили бы не очень компактное решение:

Ссылка на основную публикацию