Таблица неопределенных интегралов выгодского

Интегрирование иррациональных функций

Введем обозначение. Пусть означает рациональную функцию от переменных . То есть, где – многочлены от переменных .

Дробно-линейная иррациональность

Рассмотрим интегралы вида:, где   – рациональные числа, – целые числа. Пусть – общий знаменатель чисел . Тогда интеграл сводится к интегралу от рациональных функций подстановкой:.

См. подробнее: Интегрирование дробно-линейной иррациональности >>>

Интегралы от дифференциальных биномов

Рассмотрим интеграл: , где – рациональные числа, – действительные числа. Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций в трех случаях.

  1)   Если – целое. Подстановка , где – общий знаменатель дробей и .   2)   Если – целое. Подстановка , где – знаменатель числа .   3)   Если – целое. Подстановка , где – знаменатель числа .

Если ни одно из трех чисел     не является целым числом, то по теореме Чебышева интегралы данного вида не могут быть выражены конечной комбинацией элементарных функций.

В ряде случаев, сначала бывает полезным привести интеграл к более удобным значениям и . Это можно сделать с помощью формул приведения: ;.

См. подробнее: Интегрирование дифференциального бинома >>>

Подстановки Эйлера

Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций одной из трех подстановок Эйлера:  , при ;  , при ;  , где – корень уравнения . Если это уравнение имеет действительные корни.

См. подробнее: Подстановки Эйлера >>>

Тригонометрические и гиперболические подстановки

Также эти интегралы можно вычислить с помощью тригонометрических и гиперболических подстановок. В некоторых случаях этот способ вычисления интеграла является самым простым. См. подробнее: Тригонометрические и гиперболические подстановки >>>

Прямые методы

В большинстве случаев, подстановки Эйлера приводят к более длинным вычислениям, чем прямые методы. С помощью прямых методов интеграл приводится к одному из перечисленных ниже видов.

I тип

Интеграл вида: , где – многочлен степени .

Такие интегралы находятся методом неопределенных коэффициентов, используя тождество: Дифференцируя это уравнение и приравнивая левую и правую части, находим коэффициенты .

См. подробнее: Вычисление интегралов от многочлена дробь квадратный корень из квадратного трехчлена >>>

II тип

Интеграл вида: , где – многочлен степени .

Подстановкой   этот интеграл приводится к предыдущему типу. Если , то у дроби     следует выделить целую часть.

См. подробнее: Вычисление интегралов от многочлена дробь степень от двучлена квадратный корень из квадратного трехчлена >>>

III тип

Третий и наиболее сложный тип:.

Здесь нужно сделать подстановку:. После чего интеграл примет вид:. Далее, постоянные нужно выбрать такими, чтобы коэффициенты при обратились в нуль:. Тогда интеграл распадается на сумму интегралов двух видов: ; , которые интегрируются, соответственно подстановками:;.

См. подробнее: Вычисление интегралов от двучлена дробь степень от трехчлена квадратный корень из квадратного трехчлена >>>

Общий случай

Самый общий интеграл вида: , сводится к интегралам трех предыдущих типов. Для этого достаточно, уничтожая иррациональность в знаменателе, преобразовать подынтегральную функцию к виду:, где – рациональные функции от , . Далее,, где – рациональная дробь. В последнем интеграле рациональную дробь можно преобразовать выделением целой части и разложением на простейшие дроби. После этого получаются интегралы трех рассмотренных типов. См. подробнее: Интегрирование рациональной функции от квадратного корня из квадратного трехчлена >>>

Интегралы, содержащие только косинус

∫cos⁡cxdx=1csin⁡cx{\displaystyle \int \cos cx\;dx={\frac {1}{c}}\sin cx}
∫cosn⁡cxdx=cosn−1⁡cxsin⁡cxnc+n−1n∫cosn−2⁡cxdx( n>){\displaystyle \int \cos ^{n}cx\;dx={\frac {\cos ^{n-1}cx\sin cx}{nc}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{( }}n>0{\mbox{)}}}
∫xcos⁡cxdx=cos⁡cxc2+xsin⁡cxc{\displaystyle \int x\cos cx\;dx={\frac {\cos cx}{c^{2}}}+{\frac {x\sin cx}{c}}}
∫xncos⁡cxdx=xnsin⁡cxc−nc∫xn−1sin⁡cxdx{\displaystyle \int x^{n}\cos cx\;dx={\frac {x^{n}\sin cx}{c}}-{\frac {n}{c}}\int x^{n-1}\sin cx\;dx}
∫cos⁡cxxdx=ln⁡|cx|+∑i=1∞(−1)i(cx)2i2i⋅(2i)!{\displaystyle \int {\frac {\cos cx}{x}}dx=\ln |cx|+\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i}{\frac {(cx)^{2i}}{2i\cdot (2i)!}}}
∫cos⁡cxxndx=−cos⁡cx(n−1)xn−1−cn−1∫sin⁡cxxn−1dx( n≠1){\displaystyle \int {\frac {\cos cx}{x^{n}}}dx=-{\frac {\cos cx}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {c}{n-1}}\int {\frac {\sin cx}{x^{n-1}}}dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫dxcos⁡cx=1cln⁡|tg⁡(cx2+π4)|{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|\operatorname {tg} \left({\frac {cx}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|}
∫dxcosn⁡cx=sin⁡cxc(n−1)cosn−1⁡cx+n−2n−1∫dxcosn−2⁡cx( n>1){\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{n}cx}}={\frac {\sin cx}{c(n-1)\cos ^{n-1}cx}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{( }}n>1{\mbox{)}}}
∫dx1+cos⁡cx=1ctg⁡cx2{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\cos cx}}={\frac {1}{c}}\operatorname {tg} {\frac {cx}{2}}}
∫dx1−cos⁡cx=−1cctg⁡cx2{\displaystyle \int {\frac {dx}{1-\cos cx}}=-{\frac {1}{c}}\operatorname {ctg} {\frac {cx}{2}}}
∫xdx1+cos⁡cx=xctg⁡cx2+2c2ln⁡|cos⁡cx2|{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1+\cos cx}}={\frac {x}{c}}\operatorname {tg} {\frac {cx}{2}}+{\frac {2}{c^{2}}}\ln \left|\cos {\frac {cx}{2}}\right|}
∫xdx1−cos⁡cx=−xcctg⁡cx2+2c2ln⁡|sin⁡cx2|{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1-\cos cx}}=-{\frac {x}{c}}\operatorname {ctg} {\frac {cx}{2}}+{\frac {2}{c^{2}}}\ln \left|\sin {\frac {cx}{2}}\right|}
∫cos⁡cxdx1+cos⁡cx=x−1ctg⁡cx2{\displaystyle \int {\frac {\cos cx\;dx}{1+\cos cx}}=x-{\frac {1}{c}}\operatorname {tg} {\frac {cx}{2}}}
∫cos⁡cxdx1−cos⁡cx=−x−1cctg⁡cx2{\displaystyle \int {\frac {\cos cx\;dx}{1-\cos cx}}=-x-{\frac {1}{c}}\operatorname {ctg} {\frac {cx}{2}}}
∫cos⁡c1xcos⁡c2xdx=sin⁡(c1−c2)x2(c1−c2)+sin⁡(c1+c2)x2(c1+c2)( |c1|≠|c2|){\displaystyle \int \cos c_{1}x\cos c_{2}x\;dx={\frac {\sin(c_{1}-c_{2})x}{2(c_{1}-c_{2})}}+{\frac {\sin(c_{1}+c_{2})x}{2(c_{1}+c_{2})}}\qquad {\mbox{( }}|c_{1}|\neq |c_{2}|{\mbox{)}}}

Свойства неопределённого интеграла

Факт 4. Теорема 1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал – подынтегральному выражению.

Факт 5. Теорема 2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции f(x) равен функции f(x) с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

                  (3)

Теоремы 1 и 2 показывают, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно-обратными операциями.

Факт 6. Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла, т.е.

  (4)

Факт 7. Теорема 4. Неопределённый интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций, т.е.

  (5)

Интеграл произведения степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента

Рассмотрим теперь интегралы от функций, представляющих собой произведение степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента, т.е.

 (7)

В частных случаях один из показателей (m или n) может равняться нулю.

При интегрировании таких функций используется то, что чётную степень косинуса можно выразить через синус, а дифференциал синуса равен (или чётную степень синуса можно выразить через косинус, а дифференциал косинуса равен ).

Следует различать два случая: 1) хотя бы один из показателей m и n нечётный; 2) оба показателя чётные.

Пусть имеет место первый случай, а именно показатель — нечётный. Тогда, учитывая, что

получим

Подынтегральное выражение представлено в таком виде, что одна его часть – функция только синуса, а другая – дифференциал синуса. Теперь с помощью замены переменной решение сводится к интегрированию многочлена относительно t. Если же только степень m нечётна, то поступают аналогично, выделяя множитель sinx, выражая остальную часть подынтегральной функции через cos x и
полагая . Этот приём можно использовать и
при интегрировании частного степеней синуса и косинуса, когда хотя бы один из показателей — нечётный.
Всё дело в том, что частное степеней синуса и косинуса — это частный случай их произведения: когда тригонометрическая
функция находится в знаменателе подынтегрального выражения, её степень — отрицательная. Но бывают и случаи частного
тригонометрических функций, когда их степени — только чётные. О них — следующем абзаце.

Если же оба показателя m и n – чётные, то, используя тригонометрические формулы

понижают показатели степени синуса и косинуса, после чего получится интеграл того же типа, что и выше.
Поэтому интегрирование следует продолжать по той же схеме. Если же один из чётных показателей — отрицательный,
то есть рассматривается частное чётных степеней синуса и косинуса, то данная схема не годится. Тогда используется
замена переменной в зависимости от того, как можно преобразовать подынтегральное выражение. Такой случай будет
рассмотрен в следующем параграфе.

Пример 4. Найти интеграл от тригонометрической функции

Решение. Показатель степени косинуса – нечётный. Поэтому представим

в виде

и произведём замену переменной (тогда ). Тогда получим

Возвращаясь к старой переменной, окончательно найдём

Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться
калькулятором неопределённых интегралов онлайн.

Пример 5. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Решение. Показатель степени косинуса, как и в предыдущем примере – нечётный, но больше. Представим

в виде

и произведём замену переменной (тогда ). Тогда получим

Раскроем скобки

и получим

Возвращаясь к старой переменной, получаем решение

Пример 6. Найти интеграл от тригонометрической функции

Решение. Показатели степени синуса и косинуса – чётные. Поэтому преобразуем подынтегральную функцию так:

Тогда получим

Во втором интеграле произведём замену переменной, полагая . Тогда . Следовательно,

а

Окончательно получаем

Стандартные методы интегрирования тригонометрических функций

Общий подход

Вначале, если это необходимо, подынтегральное выражение нужно преобразовать, чтобы тригонометрические функции зависели от одного аргумента, который совпадал бы с переменной интегрирования.

Например, если подынтегральное выражение зависит от и , то следует выполнить преобразование:. После чего сделать замену . В результате, тригонометрические функции будут зависеть только от переменной интегрирования .

Когда тригонометрические функции зависят от одного аргумента, совпадающим с переменной интегрирования (допустим это ), то есть подынтегральное выражение состоит только из функций типа , , , , то нужно сделать подстановку. Такая подстановка приводит к интегрированию рациональных или иррациональных функций (если есть корни) и позволяет вычислить интеграл, если он интегрируется в элементарных функциях.

Однако, часто можно найти другие методы, которые позволяют вычислить интеграл более коротким способом, основываясь на специфике подынтегрального выражения. Ниже дано изложение основных таких методов.

Методы интегрирования рациональных функций от sin x и cos x

Рациональные функции от и – это функции, образованные из , и любых постоянных с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целочисленную степень. Они обозначаются так: . Сюда также могут входить тангенсы и котангенсы, поскольку они образованы делением синуса на косинус и наоборот. Интегралы от рациональных функций имеют вид:.

Методы интегрировании рациональных тригонометрических функций следующие.   1)   Подстановка     всегда приводит к интегралу от рациональной дроби. Однако, в некоторых случаях, существуют подстановки (они представлены ниже), которые приводят к более коротким вычислениям.   2)   Если умножается на   –1 при замене , то выполняется подстановка .   3)   Если умножается на   –1 при замене , то выполняется подстановка .   4)   Если не меняется как при одновременной замене , и , то применяется подстановка или .

Примеры:, , .Подробнее >>>

Произведение степенных функций от cos x и sin x

Интегралы вида являются интегралами от рациональных тригонометрических функций. Поэтому к ним можно применить методы, изложенные в предыдущем разделе. Ниже рассмотрены методы, основанные на специфике таких интегралов.

Если и – рациональные числа, то одной из подстановок или интеграл сводится к интегралу от дифференциального бинома.

Если и – целые числа, то интегрирование выполняется с помощью формул приведения:

;;;.

Пример:.Подробнее >>>

Интегралы от произведения многочлена и синуса или косинуса

Интегралы вида:,   , где – многочлен от , интегрируются по частям. При этом получаются следующие формулы:

;.

Примеры:, .Подробнее >>>

Интегралы от произведения многочлена, экспоненты и синуса или косинуса

Интегралы вида:,   , где – многочлен от , интегрируются с помощью формулы Эйлера (где ). Для этого методом, изложенном в предыдущем пункте, вычисляют интеграл. Выделив из результата действительную и мнимую часть, получают исходные интегралы.

Пример:.Подробнее >>>

Примеры

Пример 1

Решить интеграл:.

Делаем тригонометрическую подстановку;;.

.

Решение с помощью гиперболической подстановки

Делаем гиперболическую подстановку;;. Здесь и далее, верхний знак соответствует положительным . Нижний – отрицательным. Подставляем.

.

Выразим через . Из формулы подстановки , . Для гиперболического арккосинуса имеем формулу (см. Обратные гиперболические функции, их графики и формулы > > >): . Тогда;

Ответ

Пример 2

Решить интеграл:.

Решение с помощью гиперболической подстановки

Наиболее просто этот интеграл вычисляется с помощью гиперболической подстановки;;. Подставляем.

(См. Обратные гиперболические функции, их графики и формулы > > >).

Входящую под знаком логарифма дробь можно преобразовать: .

Ответ

.

Интегралы, содержащие только котангенс

∫ctg⁡cxdx=1cln⁡|sin⁡cx|{\displaystyle \int \operatorname {ctg} cx\;dx={\frac {1}{c}}\ln |\sin cx|}
∫ctgn⁡cxdx=−1c(n−1)ctgn−1⁡cx−∫ctgn−2⁡cxdx( n≠1){\displaystyle \int \operatorname {ctg} ^{n}cx\;dx=-{\frac {1}{c(n-1)}}\operatorname {ctg} ^{n-1}cx-\int \operatorname {ctg} ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫dx1+ctg⁡cx=∫tg⁡cxdxtg⁡cx+1{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\operatorname {ctg} cx}}=\int {\frac {\operatorname {tg} cx\;dx}{\operatorname {tg} cx+1}}}
∫dx1−ctg⁡cx=∫tg⁡cxdxtg⁡cx−1{\displaystyle \int {\frac {dx}{1-\operatorname {ctg} cx}}=\int {\frac {\operatorname {tg} cx\;dx}{\operatorname {tg} cx-1}}}

Методы интегрирования тригонометрических рациональных функций

Рассмотрим интегралы от тригонометрических рациональных функций:, где – рациональная функция, то есть функция, составленная из операций сложения, деления и возведения в целочисленную степень. Сюда также могут входить тангенсы и котангенсы (поскольку они получаются операциями деления синуса и косинуса). Их, чаще всего, стоит преобразовать через синусы и косинусы.

В зависимости от вида подынтегральной функции, применяют несколько методов интегрирования тригонометрических рациональных функций.

Подстановки t = sin x или t = cos x

Если умножается на   –1 при замене или , то полезно другую из них обозначить через .

Так, при подстановке,,.

При подстановке,,.

Если не меняется при одновременной замене и , то полезно положить или .

Пусть , тогда,,,.

Подстановка t = tg(x/2)

Подстановка во всех случаях приводит к интегралу от рациональной дроби.

При этом,,,,,.

Итак,.

Эта подстановка является универсальной и позволяет во всех случаях привести интегралы от тригонометрических рациональных функций к интегралам от рациональных функций. К сожалению, эта подстановка приводит к более длинным вычислениям, чем предыдущие, если они применимы.

Интегралы с произведением степенных функций от cos x и sin x

Часто встречаются интегралы, в которых подынтегральная функция является произведением степенных функций от синуса и косинуса: При целых и подынтегральная функция является тригонометрической рациональной функцией и, для ее интегрирования, применимы перечисленные выше методы. Однако, в виду особенности, существует ряд дополнительных методов, которые, в некоторых случаях, позволяют упростить вычисление таких интегралов.Подробнее >>>

Специальные функции

∫Ci⁡(x)dx=xCi⁡(x)−sin⁡x{\displaystyle \int \operatorname {Ci} (x)\,dx=x\operatorname {Ci} (x)-\sin x}
∫Si⁡(x)dx=xSi⁡(x)+cos⁡x{\displaystyle \int \operatorname {Si} (x)\,dx=x\operatorname {Si} (x)+\cos x}
∫Ei⁡(x)dx=xEi⁡(x)−ex{\displaystyle \int \operatorname {Ei} (x)\,dx=x\operatorname {Ei} (x)-e^{x}}
∫li⁡(x)dx=xli⁡(x)−Ei⁡(2ln⁡x){\displaystyle \int \operatorname {li} (x)\,dx=x\operatorname {li} (x)-\operatorname {Ei} (2\ln x)}
∫li⁡(x)xdx=ln⁡xli⁡(x)−x{\displaystyle \int {\frac {\operatorname {li} (x)}{x}}\,dx=\ln x\,\operatorname {li} (x)-x}
∫erf⁡(x)dx=e−x2π+xerf⁡(x){\displaystyle \int \operatorname {erf} (x)\,dx={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+x\operatorname {erf} (x)}

Геометрический смысл неопределённого интеграла

Пусть требуется найти кривую y=F(x) и мы уже знаем,что тангенс угла наклона касательной
в каждой её точке есть заданная функция f(x) абсциссы этой точки.

Согласно геометрическому смыслу производной, тангенс угла наклона касательной в данной
точке кривой y=F(x) равен значению производной F'(x). Значит, нужно найти такую функцию
F(x), для которой
F'(x)=f(x). Требуемая в задаче функция F(x) является первообразной от f(x). Условию задачи удовлетворяет не одна
кривая, а семейство кривых. y=F(x) — одна из таких кривых, а всякая другая кривая может быть получена
из неё параллельным переносом вдоль оси Oy.

Назовём график первообразной функции от f(x) интегральной кривой. Если F'(x)=f(x),
то график функции y=F(x) есть интегральная кривая.

Факт 3. Неопределённый интеграл
геометрически представлен семеством всех интегральных кривых
, как на рисунке ниже. Удалённость
каждой кривой от начала координат определяется произвольной постоянной (константой)
интегрирования C.

Сводная таблица интегралов

∫Adx=Ax+C
∫xdx=x22+C
∫x2dx=x33+C
∫1xdx=2x+C
∫1xdx=ln|x|+C
∫1x2dx=−1x+C
∫xndx=xn+1n+1+C(n≠−1)
∫exdx=ex+C
∫axdx=axlna+C(a>0,a≠1)
∫shxdx=chx+C
∫chxdx=shx+C
∫sinxdx=−cosx+C
∫cosxdx=sinx+C

∫1cos2xdx=tgx+C

∫1sin2xdx=−ctgx+C
∫11+x2dx=arctgx+C=−arcctgx+C
∫1×2+a2=1aarctgxa+C(a≠)
∫11−x2dx=arcsinx+C=−arccosx+C
∫1a2−x2dx=arcsinxa+C=−arccosxa+C(a>)
∫1×2+a2dx=ln|x+x2+a2|+C
∫1×2−a2dx=ln|x+x2−a2|+C
∫a2−x2dx=x2a2−x2+a22arcsinxa+C(a>)
∫x2+a2dx=x2x2+a2+a22ln|x+x2+a2|+C(a>)
∫x2−a2dx=x2x2−a2−a22ln|x+x2−a2|+C(a>)

Скачайте таблицу интегралов (часть I) по этой ссылкеСкачайте таблицу интегралов (часть II) по этой ссылке

Если Вы учитесь в ВУЗе, если у Вас возникли сложности с высшей математикой (математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей, статистика), если Вам нужны услуги квалифицированного преподавателя, зайдите на страничку репетитора по высшей математике. Будем решать Ваши проблемы вместе!

Таблица производных элементарных функций
или другие разделы онлайн — справочника по математике.Рекомендуемая литература для подготовки к экзамену по высшей математике.

Интегралы, содержащие только тангенс

∫tg⁡cxdx=−1cln⁡|cos⁡cx|{\displaystyle \int \operatorname {tg} cx\;dx=-{\frac {1}{c}}\ln |\cos cx|}
∫tgn⁡cxdx=1c(n−1)tgn−1⁡cx−∫tgn−2⁡cxdx( n≠1){\displaystyle \int \operatorname {tg} ^{n}cx\;dx={\frac {1}{c(n-1)}}\operatorname {tg} ^{n-1}cx-\int \operatorname {tg} ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫dxtg⁡cx+1=x2+12cln⁡|sin⁡cx+cos⁡cx|{\displaystyle \int {\frac {dx}{\operatorname {tg} cx+1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2c}}\ln |\sin cx+\cos cx|}
∫dxtg⁡cx−1=−x2+12cln⁡|sin⁡cx−cos⁡cx|{\displaystyle \int {\frac {dx}{\operatorname {tg} cx-1}}=-{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2c}}\ln |\sin cx-\cos cx|}
∫tg⁡cxdxtg⁡cx+1=x2−12cln⁡|sin⁡cx+cos⁡cx|{\displaystyle \int {\frac {\operatorname {tg} cx\;dx}{\operatorname {tg} cx+1}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2c}}\ln |\sin cx+\cos cx|}
∫tg⁡cxdxtg⁡cx−1=x2+12cln⁡|sin⁡cx−cos⁡cx|{\displaystyle \int {\frac {\operatorname {tg} cx\;dx}{\operatorname {tg} cx-1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2c}}\ln |\sin cx-\cos cx|}

Интегралы, содержащие только синус

∫sin⁡cxdx=−1ccos⁡cx{\displaystyle \int \sin cx\;dx=-{\frac {1}{c}}\cos cx}
∫sinn⁡cxdx=−sinn−1⁡cxcos⁡cxnc+n−1n∫sinn−2⁡cxdx( n>){\displaystyle \int \sin ^{n}cx\;dx=-{\frac {\sin ^{n-1}cx\cos cx}{nc}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{( }}n>0{\mbox{)}}}
∫xsin⁡cxdx=sin⁡cxc2−xcos⁡cxc{\displaystyle \int x\sin cx\;dx={\frac {\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x\cos cx}{c}}}
∫x2sin⁡cxdx=2cos⁡cxc3+2xsin⁡cxc2−x2cos⁡cxc{\displaystyle \int x^{2}\sin cx\;dx={\frac {2\cos cx}{c^{3}}}+{\frac {2x\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x^{2}\cos cx}{c}}}
∫x3sin⁡cxdx=−6sin⁡cxc4+6xcos⁡cxc3+3x2sin⁡cxc2−x3cos⁡cxc{\displaystyle \int x^{3}\sin cx\;dx=-{\frac {6\sin cx}{c^{4}}}+{\frac {6x\cos cx}{c^{3}}}+{\frac {3x^{2}\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x^{3}\cos cx}{c}}}
∫x4sin⁡cxdx=−24cos⁡cxc5−24xsin⁡cxc4+12x2cos⁡cxc3+4x3sin⁡cxc2−x4cos⁡cxc{\displaystyle \int x^{4}\sin cx\;dx=-{\frac {24\cos cx}{c^{5}}}-{\frac {24x\sin cx}{c^{4}}}+{\frac {12x^{2}\cos cx}{c^{3}}}+{\frac {4x^{3}\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x^{4}\cos cx}{c}}}
∫x5sin⁡cxdx=120sin⁡cxc6−120xcos⁡cxc5−60x2sin⁡cxc4+20x3cos⁡cxc3+5x4sin⁡cxc2−x5cos⁡cxc{\displaystyle \int x^{5}\sin cx\;dx={\frac {120\sin cx}{c^{6}}}-{\frac {120x\cos cx}{c^{5}}}-{\frac {60x^{2}\sin cx}{c^{4}}}+{\frac {20x^{3}\cos cx}{c^{3}}}+{\frac {5x^{4}\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x^{5}\cos cx}{c}}}
∫xnsin⁡cxdx=n!⋅sin⁡cxxn−1c2⋅(n−1)!−xn−3c4⋅(n−3)!+xn−5c6⋅(n−5)!−…−−n!⋅cos⁡cxxnc⋅n!−xn−2c3⋅(n−2)!+xn−4c5⋅(n−4)!−…{\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{n}\sin cx\;dx&=n!\cdot \sin cx\left-\\&-n!\cdot \cos cx\left\end{aligned}}}
∫xnsin⁡cxdx=−xnccos⁡cx+nc∫xn−1cos⁡cxdx( n≥){\displaystyle \int x^{n}\sin cx\;dx=-{\frac {x^{n}}{c}}\cos cx+{\frac {n}{c}}\int x^{n-1}\cos cx\;dx\qquad {\mbox{( }}n\geq 0{\mbox{)}}}
∫sin⁡cxxdx=∑i=∞(−1)i(cx)2i+1(2i+1)⋅(2i+1)!{\displaystyle \int {\frac {\sin cx}{x}}dx=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\frac {(cx)^{2i+1}}{(2i+1)\cdot (2i+1)!}}}
∫sin⁡cxxndx=−sin⁡cx(n−1)xn−1+cn−1∫cos⁡cxxn−1dx{\displaystyle \int {\frac {\sin cx}{x^{n}}}dx=-{\frac {\sin cx}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {c}{n-1}}\int {\frac {\cos cx}{x^{n-1}}}dx}
∫dxsin⁡cx=1cln⁡|tg⁡cx2|{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|\operatorname {tg} {\frac {cx}{2}}\right|}
∫dxsinn⁡cx=cos⁡cxc(1−n)sinn−1⁡cx+n−2n−1∫dxsinn−2⁡cx( n>1){\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{n}cx}}={\frac {\cos cx}{c(1-n)\sin ^{n-1}cx}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{( }}n>1{\mbox{)}}}
∫dx1±sin⁡cx=1ctg⁡(cx2∓π4){\displaystyle \int {\frac {dx}{1\pm \sin cx}}={\frac {1}{c}}\operatorname {tg} \left({\frac {cx}{2}}\mp {\frac {\pi }{4}}\right)}
∫xdx1+sin⁡cx=xctg⁡(cx2−π4)+2c2ln⁡|cos⁡(cx2−π4)|{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1+\sin cx}}={\frac {x}{c}}\operatorname {tg} \left({\frac {cx}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {2}{c^{2}}}\ln \left|\cos \left({\frac {cx}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right|}
∫xdx1−sin⁡cx=xcctg⁡(π4−cx2)+2c2ln⁡|sin⁡(π4−cx2)|{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1-\sin cx}}={\frac {x}{c}}\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {cx}{2}}\right)+{\frac {2}{c^{2}}}\ln \left|\sin \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {cx}{2}}\right)\right|}
∫sin⁡cxdx1±sin⁡cx=±x+1ctg⁡(π4∓cx2){\displaystyle \int {\frac {\sin cx\;dx}{1\pm \sin cx}}=\pm x+{\frac {1}{c}}\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}\mp {\frac {cx}{2}}\right)}
∫sin⁡c1xsin⁡c2xdx=sin⁡((c1−c2)x)2(c1−c2)−sin⁡((c1+c2)x)2(c1+c2)( |c1|≠|c2|){\displaystyle \int \sin c_{1}x\sin c_{2}x\;dx={\frac {\sin((c_{1}-c_{2})x)}{2(c_{1}-c_{2})}}-{\frac {\sin((c_{1}+c_{2})x)}{2(c_{1}+c_{2})}}\qquad {\mbox{( }}|c_{1}|\neq |c_{2}|{\mbox{)}}}
Ссылка на основную публикацию