Урок по алгебре «применение формул сокращенного умножения» 7 класс

Примеры на комбинацию вынесения общего множителя и формулы квадрата разности

Пример 2:

;

Определим, что можно вынести за скобки. Для этого для начала найдем НОД:

;

Вынесем найденный общий множитель:

;

Определим, какие буквенные множители можно вынести. Обе переменные a и b есть во всех членах многочлена, значит, их можно выносить. Осталось определить только, в какой степени. Для этого найдем минимальную степень каждой из переменных. Это  и . Вынесем найденную буквенную часть:

;

Распишем полученную скобку более подробно, для этого определим, квадратами каких выражений являются первое и третье выражение, а затем проверим удвоенное произведение:

;

Очевидно, что в скобке стоит полный квадрат разности, так как мы помним его формулу: . Свернем его:

;

Решение примеров на разложение многочлена на множители

Пример 4 – разложить на множители:

Комментарий: для решения данного задания нужно разложить выражение на множители, пользуясь формулой разности квадратов. Полученные скобки необходимо упростить. Кроме того, можно избавиться от минусов. Для этого вынесем минус из одной скобки и внесем его во вторую.

Пример 5:

.

Данное выражение можно разложить двумя способами. Можно напрямую возводить в квадрат, но к упрощению это не приведет, а можно применить формулу разности квадратов:

Комментарий: после применения формулы в скобках нужно привести подобные члены и получить упрощенное выражение.

Пример 6 – представить выражение в виде квадрата двучлена:

;

.

Комментарий: для решения данного примера необходимо подробно разобрать заданный двучлен и свернуть его по формуле квадрата разности.

Пример 7:

Комментарий: при решении данного примера нужно внимательно разобрать заданное выражение и определить, квадраты каких выражений представлены, после этого проверить удвоенное произведение и свернуть выражение как квадрат разности.

Пример 8:

Комментарий: пример решается аналогично предыдущему, нужно правильно определить квадраты выражений, определить сами выражения, проверить удвоенное произведение и свернуть квадрат разности.

Пример 3:

; ;

;

 или .

Первое уравнение:

Второе уравнение:

.

Ответ:  или

Комментарий: пример решается аналогично предыдущим: левая часть расписывается по формуле разности квадратов, после этого решается уравнение. Правильность решения данного уравнения можно проверить. Поскольку переменная стоит в квадрате и больше ее в уравнении нет, то если уравнение имеет положительный корень, то оно обязательно имеет такой же отрицательный корень.

Решение вычислительных задач

Пример 6: упростить выражение и вычислить при :

;

Комментарий: для решения данного примера воспользуемся двумя формулами: для первой скобки квадрата суммы, а для следующей пары скобок – разности квадратов. После в полученном выражении приведем подобные члены и в конечный двучлен подставим значение .

Пример 7: упростить и вычислить:

; ;

Комментарий: в данном примере нужно было дважды применить формулу квадрата разности, потом в полученном выражении привести подобные члены. Заметить, что полученное выражение представляет собой квадрат разности, свернуть его и легко произвести вычисление.

Использование ФСУ для упрощения выражений

Использование ФСУ позволяет не только облегчить вычисления, но и упростить различные выражения.

Если посмотреть на правые части всех ФСУ, то можно увидеть, что в них во всех встречаются либо квадраты (), либо кубы переменных ().

Они могут встречаться в простом виде, например как  или , или в более сложном виде, например . Т. к. , то .

Еще один пример : , тогда .

Рассмотрим примеры использования ФСУ в таких случаях.

Пример 3.

Разложить на множители:

Решение:

Видим квадраты:

Тогда:

Введем обозначение :

Получили левую часть формулы .

Используем ее:

Ответ: .

Основная идея решения заданий с помощью ФСУ: сначала находим квадраты и кубы, определяем , а затем раскладываем оставшиеся слагаемые на множители, чтобы проверить, действительно ли можно использовать ФСУ.

Пример 4.

Разложить на множители:

Решение:

Сначала найдем квадраты выражений. Один из квадратов видно сразу: , а  – это второй квадрат.

Поэтому можно переписать изначальное выражение так:

Значит, предположительно, . Похоже на формулу квадрата суммы:

Осталось проверить:

В результате получаем:

Ответ: .

Пример 5.

Разложить на множители:

Решение:

1. Мы видим, что в выражении есть кубы:  – это первый куб, а  – это второй куб.

Значит, можно предположить, что: .

Напрашивается применение формулы:

Осталось проверить, являются ли оставшиеся слагаемые для предполагаемых  и  выражениями :

В результате получаем:

Ответ: .

2. Выражение содержит кубы, в нем всего два слагаемых, между которыми стоит знак минус.

Напрашивается применение формулы:

 – это первый куб.

 – это второй куб.

Значит, .

Получаем:

Ответ: .

Выделение полного квадрата

ФСУ применимы не ко всем выражениям.

Например,

Мы уже знаем, что

Видно, что части выражений, содержащие переменную, одинаковы: .

Перепишем:

Выделение полного квадрата – это такое тождественное преобразование, при котором выражение представляется в виде квадрата суммы или разности и некоторого числового или буквенного выражения.

Рассмотрим алгоритм выделения полного квадрата на примере.

Пример 1.

Выделить полный квадрат:

Решение:

Для выделения полного квадрата мы используем ФСУ:

Будем выделять полный квадрат на основе слагаемых, содержащих переменную:

Воспользуемся формулой , которая в нашем случае принимает вид:

Обозначим: .

Теперь вычтем из одного равенства другое:

Откуда:

Можно получить этот же результат и по-другому.

Определим , добавим и вычтем его квадрат (вычитать необходимо для того, чтобы выражение не изменилось):

Чтобы получилось , неизвестное должно быть равно: .

Ответ: .

Пример 2.

Выделить полный квадрат:

Решение:

Для выделения полного квадрата мы используем ФСУ:

Ответ: .

Заключение

На этом уроке мы вывели и научились использовать ФСУ:

Их применение позволяет нам сократить количество выполняемых операций и упростить некоторые вычисления. Также они понадобятся нам для разложения многочленов на множители.

Список литературы

  1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 7 класс. Учебник. – ФГОС, издательство «Просвещение», 2017.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 7 класс. Учебник. – Издательство «Просвещение», 2014.
  3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 7 класс. Учебник. – Издательство «Просвещение», 2013.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
  2. Интернет-портал calcs.su (Источник)
  3. Интернет-портал youclever.org (Источник)

Домашнее задание

1. Представить в виде многочлена:

2. Разложить на множители:

3. Выделить полный квадрат:

Основные формулы сокращенного умножения

Такое название неслучайно: если использовать эту формулу для вычислений, то необходимо будет выполнить меньше действий. Чтобы найти значение выражения , нужно выполнить 6 операций, а для выражения  – всего 2.

Таких формул можно получить очень много (любое число тоже можно записать большим количеством способов:  и т. д.). Но нужны далеко не все.

Выпишем самые основные (те, которые встречаются и используются чаще всего):

В школе часто предлагают запомнить все эти формулы, хотя их легко можно получить: достаточно просто раскрыть скобки, используя распределительный закон. Поэтому помнить их в таком виде нам не нужно, мы всегда сможем их вывести. Полезнее помнить эти формулы справа налево.

Вообще, эти формулы при решении различных заданий будут встречаться так часто, что рано или поздно вы их запомните. Если не помните формулу точно, то всегда можете себя проверить и вывести ее, помня приблизительно внешний вид.

Раскроем скобки, используя распределительный закон :

Коэффициенты из треугольника Паскаля

Коэффициенты при возведении выражения  в натуральную степень можно записать в виде, который называется треугольником Паскаля (ученого, который первым об этом догадался):

Рис. 1. Треугольник Паскаля

В верхней строчке треугольника стоит единица. В остальных строках каждое число является суммой двух своих соседей этажом выше – слева и справа. Если какой-то из соседей отсутствует, он считается равным нулю:

Рис. 2. Схема образования треугольника Паскаля

Почему это так? Рассмотрим на примере выражения .

Зная разложение , получим коэффициенты для разложения :

Также мы знаем, что  и эти выражения можно получить единственным способом, поэтому у них будут коэффициенты .

 можно получить двумя способами: , поэтому коэффициент будет равен . Аналогично с .

также можно получить двумя способами: , поэтому коэффициент будет .

Мы рассмотрели идею доказательства, строго этот факт мы докажем в старших классах.

Связь коэфициентов с комбинаторикой

Рассмотрим выражение  – по определению степени оно равно:

Чтобы раскрыть скобки, необходимо перемножить слагаемые в каждой из скобок – все со всеми. Поскольку скобок 6, то в каждом слагаемом, которое получится после раскрытия скобок, будет 6 множителей. Выпишем все полученные выражения.

При перемножении из каждой скобки мы можем взять либо , либо . Если из всех скобок мы возьмем слагаемое , то получим , а если , то . Поскольку оба этих выбора можно сделать единственным способом, то и слагаемых такого вида будет по одному.

А вот для того чтобы получить выражение  надо взять из пяти скобок слагаемое , а из одной – слагаемое . Это можно сделать шестью способами (т. к. слагаемое  можно брать из любой из 6 скобок, а из остальных 5 – слагаемое ). Поэтому в разложении получится сумма 6 слагаемых : .

Для выражения  существует 15 способов выбрать две скобки со слагаемым  из 6 скобок (первую скобку можно выбрать 6 способами, вторую – 5 способами, всего получаем способов, но каждую пару выбранных скобок мы считали 2 раза, поэтому получаем  способов).

Получается, что коэффициент при слагаемом , которое получается при раскрытии скобок в выражении , равен количеству способов выбрать  предметов (скобок) из  возможных:

Такое количество обозначается .

Тогда получается, что .

Несложно убедиться, что количество способов выбрать 0 предметов из , как и количество способов выбрать  предметов из  (т. е. все предметы), равно .

Таким образом, числа в треугольнике Паскаля являются не только коэффициентами при разложении выражения , но и значениями выражений . Подробнее о них и их свойствах мы поговорим в старших классах.

Квадрат разности двух выражений

Формула квадрата разности двух выражений выглядит следующим образом:

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Эту формулу можно прочитать так:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Формула квадрата разности двух выражений выводится таким же образом, как и формула квадрата суммы двух выражений. Выражение (a − b)2 представляет собой произведение двух многочленов, каждый из которых равен (a − b)

(a − b)2 = (a − b)(a − b)

Если выполнить это умножение, то получится многочлен a2 − 2ab + b2

(a − b)2 = (a − b)(a − b) = a2 − ab − ab + b2 = a2 − 2ab + b2

Пример 1. Преобразовать выражение (7x − 5)2 в многочлен.

Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

(7x − 5)2 = (7x)2 − 2 × 7x × 5 + 52 = 49×2 − 70x + 25

Значит, (7x − 5)2 = 49×2 − 70x + 25.

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата разности. У нас должен получиться тот же результат:

(7x − 5)2 = (7x − 5)(7x − 5) = 49×2 − 35x − 35x + 25 = 49×2 − 70x + 25.

Формула квадрата разности двух выражений тоже имеет геометрический смысл. Если площадь квадрата со стороной a равна a2, то площадь квадрата, сторона которого уменьшена на b, будет равна (a − b)2

Рассмотрим следующий рисунок:

Представим, что сторону квадрата, изображённого на данном рисунке уменьшили на b. У квадрата все стороны равны. Если одну сторону уменьшить на b, то остальные стороны тоже уменьшатся на b

Получился новый квадрат, который меньше предыдущего. На рисунке он выделен жёлтым. Сторона его равна a − b, поскольку старая сторона a уменьшилась на b. Чтобы вычислить площадь этого квадрата, можно из первоначальной площади квадрата a2 вычесть площади прямоугольников, которые получились в процессе уменьшения сторон старого квадрата. Покажем эти прямоугольники:

Тогда можно написать следующее выражение: старая площадь a2 минус площадь ab минус площадь (a − b)b

a2 − ab − (a − b)b

Раскроем скобки в выражении (a − b)b

a2 − ab − ab + b2

Приведем подобные слагаемые:

a2 − 2ab + b2

В результате получается выражение a2 − 2ab + b2, которое является правой частью формулы квадрата разности двух выражений:

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Формулы квадрата суммы и квадрата разности в общем называют формулами сокращённого умножения. Эти формулы позволяют значительно упростить и ускорить процесс перемножения многочленов.

Ранее мы говорили, что рассматривая член многочлена по отдельности, его нужно рассматривать вместе со знаком, который перед ним располагается.

Но применяя формулы сокращённого умножения, знак исходного многочлена не следует рассматривать в качестве знака самого этого члена.

Например, если дано выражение (5x − 2y)2, и мы хотим воспользоваться формулой (a − b)2 = a2 − 2ab + b2, то вместо b нужно подставлять 2y, а не −2y. Это особенность работы с формулами, которую не следует забывать.

(5x − 2y)2a = 5xb = 2y(5x − 2y)2 = (5x)2 − 2 × 5x × 2y + (2y)2 = 25×2 − 20xy + 4y2

Если подставлять −2y, то это будет означать, что разность в скобках исходного выражения была заменена на сумму:

(5x − 2y)2 = (5x + (−2y))2

и в таком случае нужно применять не формулу квадрата разности, а формулу квадрата суммы:

(5x + (−2y)2a = 5xb = −2y(5x + (−2y))2 = (5x)2 + 2 × 5x × (−2y) + (−2y)2 = 25×2 − 20xy + 4y2

Исключением могут быть выражения вида (x − (−y))2. В данном случае, применяя формулу (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 вместо b следует подставить (−y)

(x − (−y))2 = x2 − 2 × x × (−y) + (−y)2 = x2 + 2xy + y2

Но возводя в квадрат выражения вида x − (−y), удобнее будет заменять вычитание на сложение x + y. Тогда первоначальное выражение примет вид (x + y)2 и можно будет воспользоваться формулой квадрата суммы, а не разности:

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

Выводы

Вывод: в данном уроке мы разобрали много различных задач на совместное применение разных формул или использование одной формулы несколько раз. Мы научились решать различные типовые задачи, например вычислительные, на упрощение, уравнения и другие.

Список литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. – 6 изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ. 

3. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение. 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт UzTest.ru (Источник)

2. Интернет-сайт «Школьная математика» (Источник)

Домашнее задание

Задание 1: упростить выражение: а) ; б) .Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 571(8 10), с. 116.

Задание 2: решить уравнение: . Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 573(2), с. 116, № 574(3), с. 116.

Задание 3: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 583, с. 117.

Ссылка на основную публикацию