Теорема менелая

Историческая справка

Теорема Менелая — это классическая теорема аффинной геометрии. Эта теорема доказывается в третьей книге «Сферики» древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского (ок. 100 г. н.э.). Менелай сначала доказывает теорему для плоского случая, а потом центральным проектированием переносит её на сферу. Возможно, что плоский случай теоремы рассматривался ранее в несохранившихся «Поризмах» Евклида.

Сферическая теорема Менелая была основным средством, с помощью которого решались разнообразные прикладные задачи позднеантичной и средневековой астрономии и геодезии. Ей посвящён ряд сочинений под названием «Книга о фигуре секущих», составленных такими математиками средневекового Востока, как Сабит ибн Кора (836 — 901, астроном, математик, механик и врач), ан-Насави (1010 — 1075, газневидский математик и астроном), ал-Магриби (1220 — 1283, математик и астроном государства Хулагу), Абу Саид ибн Мухаммад ибн Абд-ал-Джалил ас-Сиджизи (951 — 1024, газневидский математик и астроном), Хусам ад-Дин Али ибн Фадлаллах ас-Салар аш-Шами (ум. 1262, среднеазиатский математик и астроном Хорезшахов), Абу Мухаммад Джабир ибн Афлах ал-Ишбили (первая половина 12 в., западноарабский математик и астроном), Абу Джафар Мухаммад ибн Мухаммад Насир ад-Дин ат-Туси (1201 — 1274, персидский математик, механик и астроном).

В начале нашей исследовательской работы мы поставили проблему – Зачем нужна математика? В ходе изучения литературы и материалов сети интернет мы выяснили, что изначально математика возникла из повседневных нужд человека (подсчеты, измерения) и многие годы служила мощным инструментом познания окружающего мира. Значит, если бы математические знания не передавались из поколения в поколение люди бы надолго застряли на уровне пещерного человека. В ходе проведения экспериментов мы выяснили, что полученные в школе знания очень помогают при решении практических задач с которыми мы сталкиваемся постоянно. Проведенные нами статистические исследования помогли убедиться в правильности выдвинутой гипотезы: математические знания полученные в школе применимы в жизни. Теоретическая значимость нашей работы заключается в том, что познакомившись с нашим исследованием, многие ученики, на вопрос о необходимости изучать математику, ответят положительно. Практическая значимость ее в том, что она может быть использована школьниками для повышения своего образовательного уровня, а также научить применять полученные в школе знания на практике, что сегодня очень актуально.

Введение

Я хочу изучить треугольник Рёло , потому что мне стала интересна его история. Если в древние времена наиболее широко применялся прямоугольный треугольник Пифагора, то в настоящий момент людей больше интересуют необычные свойства треугольника Рёло.

Цель моей работы – выяснить, что такое треугольник Рёло, узнать его историю и где он применяется.

Для этого поставлены задачи:

1.Узнать что такое треугольник Рёло

2.Узнать историю Треугольника Рёло

3.Построить треугольник Рёло самостоятельно

4.Узнать где используется треугольник Рёло

Гипотеза

Мне кажется, что Треугольник Рёло является ненужным механизмом в истории человечества. В конце работы я узнаю, прав я или нет. Заключение.

Я рассмотрел применение треугольника Рело в некоторых архитектурных строениях, механических устройствах, в автомобильных двигателях.

Я считаю, что изобретенная крышка люка для рекуперированной воды в Сан-Франциско, является очень интересной для человечества. За счет своей формы, такая крышка никогда не перевернется. Если бы архитекторы пересмотрели наши канализационные люки, и взяли бы для примера такую крышку, то можно было бы избежать множество трагических ситуаций, когда люди падали в канализационные люки.

Поиски альтернативных видов топлива для автомобилей заставил вновь обратить внимание на роторно-поршневой двигатель Ванкеля. Разработчики Mazda уверяют, что по природе своей роторно-поршневой агрегат гораздо лучше приспособлен для работы на водороде, нежели традиционные моторы

По прогнозам специалистов, уже к 2025 году более четверти мирового автопарка будет использовать в качестве топлива водород. Сколько из этого количества придется на традиционные ДВС и как будет меняться пропорция по мере удешевления себестоимости производства компонентов привода на топливных элементах? Увидим в ближайшие годы.

Я опровергнул свою гипотезу, так как Треугольник Рёло используется во многих механизмах. Я думаю, что он будет использоваться и в будущем.

.

1.3. Теорема Чевы

1.3.1. Исторические сведения о Джованни Чеве

Чева Джованни, (7 декабря 1647 — 15 июня 1734) — итальянский математик и инженер. Главными предметами его занятий были геометрия и механика. Он написал сочинения: «Delineisrectisseinvicemsecantibusstaticaconstructio» (Милан, 1678); «Opusculamathematicadepotentiisobliquis, dependulisetvasisetdefluminibus» (там же, 1682); «Triaproblematageometricaproposita» (Мантуя, 1710); «Hydrostaticaetc.» (там же, 1728) и несколько других. Самым замечательным из них было первое. В первой его части автор доказывает теорему Менелая и ряд сходных с нею теорем при помощи статического метода, основанного на свойствах центра тяжести системы точек. Прилагаемый к вопросам, в которых рассматриваются отношения между отрезками, образованными пересекающимися линиями друг на друге, он состоит в помещении в точках пересечения тяжестей, обратно пропорциональных соответствующим отрезкам, и в последующем за тем выводе отношения между тяжестями на основании принципа рычага в статике. Достаточно назвать известное в геометрии под именем теоремы Чевы предложение о произведениях отрезков, образованных на сторонах треугольника трансверсалями, проходящими через общую точку (произведение трех отрезков, не сходящихся попарно в одной общей точке, равно произведению трех других отрезков), и на подобное же предложение об отрезках, образованных на сторонах четырехугольника плоскостью, их пересекающею, если не все вершины четырехугольника лежат в одной плоскости. Во второй части идеи и теоремы, изложенные в 1-й, прилагаются к коническим сечениям. Наконец, прибавление занимается теоремами о площадях некоторых плоских фигур и об объемах и центрах тяжести тел вращения второго порядка.

1.2. Теорема Менелая

1.2.1. Исторические сведения о Менелае Александрийском

Менелай Александрийский, математик и астроном. Время его жизни и деятельности определяется приведенными в «Алмагесте» Птолемея двумя астрономическими наблюдениями, которые Менелай произвел в Риме в первом году царствования Траяна, т. е. в 98 г. после Р. Х.

Менелаем были написаны два сочинения: «О вычислении хорд», в 6 книгах, и «Сферика», в 3 книгах. Из них первое совсем не дошло до нас. Утрачен также и греческий оригинал второго, содержание которого известно современной науке по его латинским переводам, составленным по взаимно подтверждающим друг друга арабским и еврейским переводам того же сочинения. Главным предметом «Сферики» М. служит сферическая тригонометрия. Из числа многих предложений, для нас впервые встречающихся в этом сочинении, самым замечательным считается обыкновенно теорема Менелая, которая прежде называлась правилом шести количеств. Менелай, известен еще и как геометр, работавший в области изучения кривых высших порядков.

1.2.2. Формулировка и доказательство теоремы Менелая

Теорема Менелая

Эта теорема (вместе с обратной) показывает закономерность, наблюдающуюся для отношений отрезков, соединяющих вершины некоторого треугольника и точки пересечения секущей со сторонами (продолжениями сторон) треугольника.

На чертежах приведены два возможных случая расположения треугольника и секущей. В первом случае секущая пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей, во втором – продолжения всех трех сторон треугольника.

Теорема 1. (Менелая)Пусть пересечен прямой, не параллельной стороне АВ и пересекающей две его стороны АС и ВС соответственно в точках В1 и А1, а прямую АВ в точке С1 тогда

Теорема 2. (обратная теореме Менелая)Пусть в треугольнике АВС точки А1, В1, С1 принадлежит прямым ВС, АС, АВ соответственно, тогда, если

,

то точки А1, В1, С1 лежат на одной прямой.

Доказательство первой теоремы можно провести так: на секущую прямую опускают перпендикуляры из всех вершин треугольника. В результате получают три пары подобных прямоугольных треугольников. Фигурирующие в формулировке теоремы отношения отрезков заменяют на отношения перпендикуляров, соответствующих им по подобию. Оказывается, что каждый отрезок – перпендикуляр в дробях будет присутствовать дважды: один раз в одной дроби в числителе, второй раз, в другой дроби, в знаменателе. Таким образом, произведение всех этих отношений окажется равным единице.

Обратная теорема доказывается методом «от противного». Предполагается, что при выполнении условий теоремы 2 точки А1, В1, С1 не лежат на одной прямой. Тогда прямая А1В1 пересечет сторону АВ в точке С2, отличной от точки С1. При этом, в силу теоремы 1, для точек А1, В1, С2 будет выполняться то же отношение, что и для точек А1, В1, С1. Из этого следует, что точки С1 и С2 поделят отрезок AB в одинаковых отношениях. Тогда эти точки совпадут – получили противоречие.

2.1. Применение теоремы Фалеса

Задача 1.

Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что AN = NC.

Решение

Через точку С проведем прямую, параллельную прямой АВ и обозначим буквой D точку пересечения этой прямой с прямой MN (рис. 2). Так как AM = МВ по условию, а MB = CD как противоположные стороны параллелограмма BCDM, то АМ = DC. Треугольники АМN и CDN равны по второму признаку равенства треугольников (АМ=CD,CD секущими АС и МD), поэтому AN = NC.

Задача 2.

Разделите данный отрезок АВ на n равных частей.

Решение

Проведен луч АХ, не лежащий на прямой АВ, и на нем от точки А отложим последовательно n равных отрезков АА1, А1А2, …, Аn-1Аn (рис.3), т.е. столько равных отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок АВ (на рис. 3 n=5). Проведем прямую АnВ (точка Аn – конец последнего отрезка) и построим прямые, проходящие через точки А1 , А2 , …, Аn-1 и параллельные прямой АnВ. Эти прямые пересекают отрезок АВ в точках В1 , В2 , …, Вn-1, которые по теореме Фалеса делят отрезок АВ на n равных частей.

Задача 3.

Разделите данный отрезок АВ на 8 равных частей.

Решение

Проведен луч АХ, не лежащий на прямой АВ, и на нем от точки А отложим последовательно 8 равных отрезков АА1, А1А2, …, А7А8 (рис.3), т.е. столько равных отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок АВ (рис. 4). Проведем прямую А8В (точка А8 – конец последнего отрезка) и построим прямые, проходящие через точки А1, А2, …, А7 и параллельные прямой А8В. Эти прямые пересекают отрезок АВ в точках В1, В2, …, В7, которые по теореме Фалеса делят отрезок АВ на 8 равных частей.

Задача 4.

Дан треугольник АВС. На стороне ВС взята точка Р так, что ВР=РС, а на стороне АС взята точка Q такая, что АQQС = 5 : 3. Найдите отношение АО : ОР, если точка О – точка пересечения прямых АР и ВQ.

Решение

Проведем прямые параллельные ВQ через точки А, Р и С. Точка D – это точка пересечения прямых АР и с.

По теореме Фалеса параллельные прямые ВQ, b и c, которые отсекают равные отрезки ВР и РС, отсекают равные отрезки ОР и РD на прямой АD.

По теореме Фалеса параллельные прямые a, BQ и с, которые отсекают на прямой АС отрезки в соотношении 5 : 3, отсекают и на прямой АD отрезки в соотношении 5 : 3.

То есть AQ : QC= 5:3 и AO : OD = 5:3, а отрезок OD=2OP. Следовательно, AO : OP = 10:3.

Ответ: 10 : 3.

Задача 5.

Разделите данный отрезок АВ на два отрезка АХ и ХВ, пропорциональные данным отрезкам P1Q1 и P2Q2.

Решение

Проведем какой-нибудь луч АМ, не лежащий на прямой АВ, и на этом луче отложим последовательно отрезки АС и CD, равные отрезкам P1Q1 и P2Q2. Затем проведем прямую BD и прямую, проходящую через точку С параллельно прямой BD. Она по теореме Фалеса пересечет отрезок АВ в искомой точке Х.

Применение теорем Чевы и Менелая при решении задач ЕГЭ

Теорема Менелая (как и обратная) применима и в первой части экзаменационного бланка, и в 16-м задании. Рассмотрим пару таких задач.

Задача 1

Дан треугольник ABC (см. рисунок ниже) с продолжением стороны CA. Также проведены медианы BM и AN. Точку их пересечения обозначим за O.

Возьмём точку K на стороне AB, такую, что AK относится к AB, как 1/3.

AC = 4 см, AM = 2 см.

Проведём прямую OK до пересечения со стороной AC. Точку их пересечения обозначим за P.

Сторону AP обозначим за y.

Найти: чему равен отрезок AP. 

Решение:

Так как отношение сторон AB и AK равно 1/3, следовательно, AK = x, а KB = 3x.

Рассмотрим треугольник ABM. Для него берём прямую OP.

Таким образом мы нашли искомые точки P, A, M, O, K и B.

Запишем теорему Менелая к данному рисунку.

Подставляем в это соотношение известные данные:

В итоге мы получаем, что y = 4. 

Ответ: отрезок AP = 4 см. 

Задача 2

Задача, связанная со свойствами теоремы Чевы. 

Рассмотрим рисунок:

Дано:

  • сумма AB и BC равна 13;

  •  AC = 8 см. 

Найти: отношение BO и OB1. 

Итак, запишем отношение: 

Подставляем:

Конечным результатом является дробь 13/8.

Ответ:

Предыдущая
ГеометрияПлощадь прямоугольника — формула и примеры нахождения через диагонали
Следующая
ГеометрияТочка пересечения высот треугольника — свойства, координаты и расположение ортоцентра

Транскрипт

1 Московский физико-технический институт Использование теорем Менелая и Чевы при решении геометрических задач. Методическое пособие по подготовке к олимпиадам. Составитель: Паркевич Егор Вадимович Москва 014

2 Теоретический материал. Теорема Менелая: Пусть на прямых BC, CA, AB, содержащих стороны треугольника ABC, даны соответственно точки M, N, K. Для того, чтобы эти точки лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство: AM MB BN NC CK KA 1. Из теоремы, в частности, следует соотношение для длин: AM MB BN NC CK KA 1. Доказательство : 1) Сделаем дополнительное построение CE AB. Видим, что AMK подобен CEK ( 1 и 3 4) EK MK CK AK EC AM. ) 5 6 (вертикальные), 7 8 (внутренние накрест лежащие). Следовательно NBM NEC, откуда имеем: 3) Далее EC Ч.т.д. NE MN EC MB NC BN. CK AM AK, CK AK AM MB NC BN AM MB BN NC CK KA 1. Теорема Чевы: Пусть на сторонах треугольника ABC даны точки A 1, B 1, C 1. Отрезки AA 1, BB 1, CC 1 тогда и только тогда пересекаются в одной точке, когда: A 1 C CB 1 B 1 A AC 1 C 1 B 1. 1

3 Доказательство: 1) Дополнительное построение MN BC и CC 1 MN M, BB 1 MN N. ) Заметим, что BB 1 C подобен ANB 1 ( 1, 3 4). Имеем: B 1 C AN BC. Из подобия AC 1 M и BC 1 C MA BC AC 1 C 1 B и из подобия F AN и BF A 1 получим: (1) AN AF F A 1 NF BF. Также из подобия MF A и F CA 1 () AF A 1 F MA A 1 C MF F C и из подобия MF N и BF C MF F C NF BF. Из (1) и () следует, что AN AF F A 1 MF F C AN MA A 1 C AN MA A 1 C. Получаем систему: Ч.т.д. BC AN B 1C BC MA C 1B AC 1 AN MA A 1 C AN MA B1C AC 1 C 1 B 1 BA 1 A 1 C B1C AC 1 C 1 B 1 A 1 C CB 1 B 1 A AC 1 C 1 B 1. Примеры решения задач. Задача 1 Точки D и K лежат на сторонах AC, BC, ABC, при этом BD DC 5, AK KC 3. В каком отношении прямая BK делит AD? Пусть AD BK O, тогда по теореме Менелая получим: CD DB BO OK KC CA 1 и CK KA AO OD DB BC 1. Имеем: CK KA BD. Так как 3 DC 5 BD DC, BD + DC BC, то 5 есть BC 7 5 DC DC 5 7 BC, получим, что 3 AO OD 5 DC BC 1 (где DC 5 7 BC). Имеем: 3 AO OD 7 1 AO OD 1 4.

4 Ответ: AO OD 1 4. Задача Медиана AD и высота CE равнобедренного треугольника ABC (AB BC) пересекаются в точке P. Найти S ABC, если CP 5, P E. Известно CE + 5 7, найдём EA. По теореме Менелая получим: AB BD DC CP P E EA AB 1 и BE EA AP P D DC CB 1. Получим систему уравнений: BE EA AP P D DC CB 1 BD DC CP P E EA AB 1 AB BC, BD DC CP 5, P E Имеем: BD DC 1 и CP P E 5 EA, откуда AB 5, то есть EA 5 AB. EB AB 5 AB 3 5 AB. В BEC (EC EB) и EC 7 по теореме Пифагора: AB +AB (так как BC AB) AB Получаем: S ABC 1 45 AB CE 8. Ответ: S ABC 45 8 Задача 3 В остроугольном треугольнике S ABC через вершину B и середину CK проведена прямая. В каком отношении делит эта прямая S ABC, если A α, B β и CK высота. Имеем: S ABB 1 S BCB1 B 1 C Ответ: S ABB 1 S BCB1 B 1 C sin β cos α sin α cos β + 1. sin β cos α sin α cos β + 1. Из отношения площадей имеем: S ABB 1 S BCB1 B 1 C. По теореме Менелая: B 1 C AB KB B 1 C AK KB + 1 По теореме синусов: (AB AK + KB) 3 B 1 C CP P K KB AB 1 AK sin( π KC α) sin α KB sin( π KC α) sin β π AK sin β sin( KB α) sin α sin( π β)

5 Задача 4 В треугольнике ABC : BD медиана, AE биссектриса, K их точка пересечения. Прямая, проходящая через вершину C и K, пересекает AB в точке F. Известно, что AB c, AC b. Найти AF и F B. По теореме Чевы будем иметь: По теореме о биссектрисе: AD DC CE EB BF 1 (AD BC). F A CE EB CA AB b c BF F A c b, BF c b F A; BF + AF c, получаем: Ответ: AF c b + 1 cb c + b, BF c c + b. AF c; c + b AF c AF b cb c + b и BF c c + b. Упражнения. 1) В ABC даны стороны: AB c, BC a, CA b. Биссектриса AM пересекает биссектрису BN в точке K. Отрезки MN и CK пересекаются в точке L. Найти ML/LN. Ответ: ML LN c + a c + b. ) В ABC на стороне BC выбрана точка D так, что BD : DC 1 :. Медиана CE треугольника ABC пересекает отрезок AD в точке F. Какую часть площади треугольника ABC составляет площадь треугольника AEF? Ответ: 0,1. 3) Через точку P, лежащую на медиане CC 1 треугольника ABC 1 проведены прямые AA 1 и BB 1 (точки A 1 и B 1 лежат на стороне BC и CA соответственно). Докажите, что A 1 B 1 AB. Указание: применить теорему Чевы. 4) Прямая, соединяющая точку P пересечения диагоналей четырех-угольника ABCD с точкой Q пересечения прямых AB и CD, делит сторону AD пополам. Докажите, что она делит пополам и сторону DC. Указание: применить теорему Чевы. 5) Медиана AM и биссектриса CD прямоугольного треугольника ABC ( B 90 ) пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника ABC, если CO 9, OD 5. Ответ: 66,15. 4

6 Литература Иркутский государственный университет, Лаборатория педагогического творчества, Лицей ИГУ, Л.А. Осипенко, Е.Э. Стацевичуте, Опорные задачи планиметрии, Методическое пособие. [] Зив Б.Г. Задачи по геометрии для 7 11 классов./ Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.П. Баханский. М.: Просвещение, с. Куланин Е.Д конкурсных задач по математике. / Е.Д. Куланин, В.П. Норин, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко. Изд. 5- е испр. М.: Айрис-пресс, с. Понарин Я. П. Элементарная геометрия: В т. Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости./ Я.П. Понарин. М.: МЦНМО, с. Шарыгин И.Ф. Математика. 00 задач по геометрии для школьников и поступающих в вузы, И.Ф. Шарыгин. М.: Дрофа, с. 5

Ссылка на основную публикацию