Урок по геометрии «теорема о сумме углов треугольника» (7 класс)

Решение задач

Пример 1: Сравните углы треугольника и выясните, может ли быть угол А тупым, если АВ=АС<ВС.

Рис. 6. Чертёж к примеру 1

АВ=АС  ∠С=∠В. АС<ВС ÐВ<ÐА. Мы получили соотношение между углами: ∠С=∠В  ∠А=180-(∠В+∠С).

Пример: ∠В=∠С=10, тогда ∠А=180-(10+10)=160.

Ответ: 1) ∠В=∠С<∠А 2) ∠А может быть тупым.

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели теорему об отношении между сторонами и углами треугольника. На следующем уроке мы рассмотрим тему о неравенстве треугольников.

Список рекомендованной литературы

  1. Александров  А.Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. и др. Геометрия 7. Издание М.: Просвещение.
  2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5 издание. М.: Просвещение.
  3. Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

  1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
  2. Kaknauchit.ru (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

  1. №50. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.
  2. Отрезок АК – медиана треугольника АВС с прямым углом С. Докажите, что ∠ВАК<∠АВС<∠АКС<∠АСВ.
  3. Докажите, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.
  4. Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС, пересекаются в точке О. Найдите угол ВОС, если угол А равен a. 

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Вернемся к изучению нашего нового инструмента – прямоугольных треугольников. Мы знаем три признака равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними; по двум углам и стороне между ними; по трем сторонам). Но у всех прямоугольных треугольников есть один равный элемент – у них один из углов равен .

Поэтому признаки равенства прямоугольных треугольников можно переформулировать:

  • по двум катетам;
  • по катету и острому углу.

Признак «по трем сторонам» для прямоугольных треугольников не формулируют, т. к. в нем требуется избыточное равенство сразу четырех элементов: трех сторон и прямого угла.

Но для прямоугольных треугольников иногда формулируют «уникальный» признак:

по гипотенузе и катету.

Это самостоятельный признак, не являющийся новой формулировкой одного из прежних признаков. Доказательство его совсем не сложно. Выполните его самостоятельно и проверьте себя, ознакомившись с ним ниже.

Доказательство

Теорема

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Пусть в прямоугольных треугольниках  и : , катеты  и гипотенузы  (см. рис. 37).

Рис. 37. Прямоугольные треугольники  с равными катетами  и гипотенузами

Докажем, что треугольники равны. Приставим один к другому равными катетами (см. рис. 38).

Рис. 38. Прямоугольные треугольники  и  приставили равными катетами друг к другу

Тогда  и  образуют развернутый угол, т. е.  – это отрезок прямой. Тогда  – равнобедренный треугольник . Откуда следует, что  ( – высота и биссектриса в равнобедренном треугольнике) и треугольники  и  равны по первому признаку равенства (катет, гипотенуза и угол между ними).

Теорема доказана.

На самом деле, иногда формулируют и доказывают более общий признак: два треугольника равны, если у них равны две стороны и больший из углов (важное отличие от первого признака: не требуется, чтобы этот угол лежал между равными сторонами). Несложно убедиться, что только что доказанный признак равенства для прямоугольных треугольников – это частный случай данного признака

Заключение

Итак, мы рассмотрели два важных инструмента – равнобедренные и прямоугольные треугольники – и посмотрели, как их можно использовать для доказательства различных утверждений. В дальнейшем мы изучим использование этих и других известных нам инструментов для решения задач.

Список литературы

  1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2017.
  2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2017.
  3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
  2. Интернет-портал school-assistant.ru (Источник)
  3. Интернет-портал treugolniki.ru (Источник)

Домашнее задание

1. Прямые  и  параллельны. Чему равны углы при основании  равнобедренного треугольника , если ?

2. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна . Найти градусные меры этих углов.

3. Площадь равнобедренного треугольника , в котором проведена биссектриса  см, равна . Найти площадь треугольника , если .

Геометрия7-9 классы

Теорема о сумме углов треугольника

В этой главе мы снова обращаемся к треугольникам и будем обсуждать различные их свойства, при этом большое внимание уделим прямоугольным треугольникам, т. е

таким треугольникам, у которых один угол прямой. Некоторые свойства прямоугольных треугольников находят практическое применение, например, в конструкциях уголковых отражателей, которые широко используются в различных устройствах — от велосипедов до космических аппаратов. Об этом также будет рассказано в данной главе.

Докажем одну из важнейших теорем геометрии — теорему о сумме углов треугольника.

Теорема

Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что

∠A+∠B+∠C= 180°.

Проведём через вершину В прямую а, параллельную стороне АС (рис. 125, а). Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 — накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому

∠4 = ∠1, ∠5 = ∠3.                 (1)

Рис. 125

Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развёрнутому углу с вершиной В, т. е. ∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°. Отсюда, учитывая равенства (1), получаем: ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°, или ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Теорема доказана.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника. Докажем, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Обратимся к рисунку 125, б, на котором угол 4 — внешний угол, смежный с углом 3 данного треугольника. Так как ∠4 + ∠3 = 180°, а по теореме о сумме углов треугольника (∠1+ ∠2) + ∠3 = 180°, то ∠4 = ∠1 + ∠2, что и требовалось доказать.

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что если в треугольнике один из углов прямой или тупой, то сумма двух других углов не превосходит 90°, и поэтому каждый из них острый. Таким образом, в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным (рис. 126, а). Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным (рис. 126, б). Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами. На рисунке 126, в изображён прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С.

Рис. 126

Задачи

223. Найдите угол С треугольника АВС, если:

a) ∠A = 65°, ∠B = 57°; б) ∠A = 24°, ∠B = 130°; в) ∠A = α, ∠B = 2α;
г) ∠A = 60° + α, ∠B = 60° — α.

224. Найдите углы треугольника АВС, если ∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 4.

225. Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

226. Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника острые.

227. Найдите углы равнобедренного треугольника, если: а) угол при основании в два раза больше угла, противолежащего основанию; б) угол при основании в три раза меньше внешнего угла, смежного с ним.

228. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен: а) 40°; б) 60°; в) 100°.

229. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите ∠ADC, если ∠C = 50°.

230. Биссектрисы углов А и В треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите ∠AMB, если ∠A = 58°, ∠B = 96°.

231. Медиана AM треугольника АВС равна половине стороны ВС. Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

232. Верно ли утверждение: если треугольник равнобедренный, то один из его внешних углов в два раза больше угла треугольника, не смежного с этим внешним углом?

233. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.

234. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115°. Найдите углы треугольника.

235 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите углы этого треугольника, если ∠ADB = 110°.

Ответы к задачам

223. а) 58°; б) 26°; в) 180° — 3α; г) 60°.

224. ∠A = 40°, ∠B = 60°, ∠C = 80°.

227. a) 36°, 72° и 72°; б) 45°, 45° и 90°.

228. a) 40°, 40° и 100° или 40°, 70° и 70°; б) 60°, 60° и 60°; в) 100°, 40° и 40°.

229. 105°.

230. 103°.

231. Указание. Воспользоваться свойством углов при основании равнобедренного треугольника.

232. Да.

233. Указание. Учесть, что внешний угол при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, в два раза больше угла при основании.

234. 57°30′, 57°30′, 65° или 65°, 65°, 50°.

235. 73°20′, 73°20′ и 33°20′.

Задача 4

Найти сумму углов при всех вершинах пятиконечной звезды (см. Рис. 9).

Дано:  – звезда.

Найти: .

Решение

Рис. 9. Иллюстрация к задаче 4

Рассмотрим треугольник . В этом треугольнике угол при вершине  равен , так как угол  в этом треугольнике – внешний для треугольника .

 по той же теореме для треугольника .

При сложении всех трех углов треугольника получим:

Значит искомая сумма равняется .

Ответ: .

Примечание: данная сумма верна для пятиконечной звезды любой формы, с любыми углами.

Список литературы

1. Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 7-9 классов. – 2-е изд. – М.: 2014 – 240 с.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. – 5-е изд. – М.: Просвещение.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «Школьный помощник» (Источник)

2. Интернет портал «Гипермаркет знаний» (Источник)

3. Интернет портал «Фестиваль педагогических идей» (Источник)

Домашнее задание

1. Чему равен угол при основании равнобедренного треугольника, если угол при его вершине на  больше угла при основании?

2. Определите величины углов равнобедренного треугольника , если внешний угол угла  при основании  равен .

3. Определите величины углов треугольника , если .

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

Теорема: В треугольнике

1. Против большей стороны лежит больший угол

2. Обратно, против большего угла лежит большая сторона.

1. Дано: АВ>АС

Доказать: ∠С>∠В.

Доказательство: Отложим отрезок AD равный отрезку АС и тогда точка D будет лежать между точек А и В. Луч CD рассечёт угол АСВ на два угла, при этом ∠1=∠2.  ΔАСВ состоит из углов ∠1 и ∠3. ∠2 – внешний для треугольника CDB, значит он больше угла В.

Рис. 1. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

AD=AC<AB

∠1=∠2<∠ACB

∠2=∠B+∠3>∠B

∠1>∠B

∠ACB>∠B, что и требовалось доказать.

2. Дано: ∠С>∠В

Доказать: ∠АВ>∠AC

Доказательство: Докажем методом от противного.

Рис. 2. Обратная теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника , но ∠С>∠В по условию, следовательно, остается только случай, если АВ>АС, что и требовалось доказать.

Ещё раз сформулируем теорему и распространим её на все углы треугольника.

Теорема: В треугольнике

1. Против большей стороны лежит больший угол

2. Обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Рис. 3. Чертёж к теореме

Если АВ>AC>BC, то ∠C>∠B>∠A.

Если ∠C>∠B>∠A, то АВ>AC>BC.

Ссылка на основную публикацию