Теорема пифагора. разработка урока геометрии в 8 классе. план-конспект урока по геометрии (8 класс) на тему

Признак прямоугольного треугольника (медиана равна половине стороны, к которой проведена)

Итак, признак прямоугольного треугольника:

Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник является прямоугольным, причём медиана проведена из вершины прямого угла.

Примечание: напомним, что медиана – линия, соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны (см. Рис. 7).

Дано:

Рис. 7.

Доказать:

Доказательство: поскольку , то треугольники  – равнобедренные. Значит, углы при основаниях каждого из этих треугольников равны. То есть, ,  .  Тогда сумма углов треугольника  равна  Значит, . Но: , что и требовалось доказать.

Доказано.

В данном уроке мы рассмотрели основные свойства прямоугольных треугольников, изученные ранее в 7 классе. В частности, вспомнили признаки равенства, а также другие признаки и свойства прямоугольных треугольников.

Список литературы

  1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
  2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
  3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Фестиваль педагогических наук «Открытый урок» (Источник).
  2. Glavsprav.ru (Источник).
  3. Bymath.net (Источник).

Домашнее задание

  1. В прямоугольном треугольнике  ,  – биссектриса, . Найти длину катета , если  см.
  2. На гипотенузе  прямоугольного треугольника  обозначили точку  так, что . Докажите, что точка  равноудалена от точек ,  и .
  3. Найти острые углы прямоугольного треугольника, если они относятся как 5:13.
  4. Медиана , проведенная к гипотенузе, равняется  см. .
  5. В треугольнике  ,  – биссектриса, . Отрезок  на  см меньше отрезка . Найти биссектрису .

Примечания

  1. Кантор ссылается на папирус 6619 Берлинского музея
  2. , p. 351.
  3. , vol I, p. 144.
  4. Kurt Von Fritz. The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum (англ.) // The Annals of Mathematics, Second Series : journal. — Annals of Mathematics, 1945. — April (vol. 46, no. 2). — P. 242—264.: «Принадлежит ли эта формула лично перу Пифагора…, но мы можем уверенно считать, что она принадлежит древнейшему периоду пифагорейской математики».
  5. . — «…it is not until Euclid that we find a logical sequence of general theorems with proper proofs.».

  6. Elisha Scott Loomis. Pythagorean Proposition
  7. Euclid’s Elements: book VI, proposition VI 31: «In right-angled triangles the figure on the side subtending the right angle is equal to the similar and similarly described figures on the sides containing the right angle».
  8. Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматлит, 1961. — C. 194
  9. . — «The parallel postulate is equivalent to the Equidistance postulate, Playfair axiom, Proclus axiom, the Triangle postulate and the Pythagorean theorem.».
  10. . — «We could include… the parallel postulate and derive the Pythagorean theorem. Or we could instead make the Pythagorean theorem among the other axioms and derive the parallel postulate.».
  11. Микиша А. М., Орлов В. Б. Толковый математический словарь. Основные термины. — М. Русский язык, 1989 г.
  12. Siegel E.  (англ.). Forbes (6 March 2020). Дата обращения 28 апреля 2020.
  13. . LiveJournal (4 августа 2016).

Значения тригонометрических функций

Найдем значения тригонометрических функций нескольких самых распространенных острых углов (см. рис. 35).

Рис. 35. Прямоугольный треугольник с катетами  и , гипотенузой  и острыми углами  и

Решение этой задачи нам облегчит следующий факт: синус одного острого угла прямоугольного треугольника равен косинусу другого. Аналогично тангенс альфа равен котангенсу бета.

Или по-другому:

Доказать эти утверждения несложно, используя определения и тот факт, что катет, являющийся прилежащим для одного из острых углов, является противолежащим для другого и наоборот.

Начнем с угла . Рассмотрим соответствующий прямоугольный треугольник (см. рис. 36).

Рис. 36. Прямоугольный треугольник с острым углом, равным

Мы знаем, что катет, лежащий против угла в  равен половине гипотенузы. Следовательно, по определению:

Чтобы найти значение остальных функций по определению, нам понадобится длина второго катета. Найдем ее, используя доказанную ранее теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Откуда:

Тогда:

Для угла  найти значения функций не составит труда, используя формулы, которые мы перед этим доказали:

Или же вы можете сами это сделать, используя определение и уже готовый рисунок (см. рис. 37).

Рис. 37. Прямоугольный треугольник с катетами  и , гипотенузой  и острыми углами  и

Итак:

Рассмотрим теперь угол . Т. к. один острый угол прямоугольного треугольника равен , то и второй тоже равен: . И прямоугольный треугольник является равнобедренным (см. рис. 38).

Рис. 38. Прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами, равными

Если катеты этого треугольника равны , то, по теореме Пифагора:

Получаем:

Подведем итог и посмотрим на все значения найденных нами тригонометрических функций (см. рис. 39).

Рис. 39. Значения тригонометрических углов

Понятно, что для нахождения тригонометрических функций углов  мы использовали свойства прямоугольных треугольников с такими острыми углами. А как найти, например, ?

Самый простой способ – нарисовать, используя транспортир, прямоугольный треугольник с таким углом, затем измерить линейкой длины сторон, поделить и получить значение искомой тригонометрической функции.

Однако понятно, что при таком способе измерения погрешность может оказаться достаточно большой (при построении угла, при измерении длин). И при расчете параметров каких-то технических изделий – например, размеров крыла самолета или арочных пролетов моста – погрешность даже в сотые или тысячные может привести к катастрофическим результатам. Поэтому были придуманы более точные способы вычисления значений тригонометрических функций. Подробнее об этом можно узнать ниже.

Как вычислили значения тригонометрических функций?

Для вычисления точных значений различных функций в математике используют приближение – как кривую можно сколь угодно точно приблизить ломаной, так и функции можно приближать другими функциями, с которыми у них совпадают значения, но которые легче вычислить (см. рис. 40). Обычно в качестве таких функций используют многочлены.

Рис. 40. Приближение функции другой функцией

Например, оказалось, что:

Чтобы доказать это утверждение, школьной математики недостаточно, поэтому примем его на веру, но попробуем проверить.

Только надо помнить, что  здесь измеряется не в градусах, а в радианах (Углы и отрезки. Измерения).

Рассмотрим, например, :

Получаем:

Чем больше слагаемых будем брать, тем точнее получится результат. Если остановимся на первом, получим:

Близко к , но погрешность довольно большая.

Если учтем второе слагаемое, получим:

Уже гораздо ближе.

Если третье, то:

Т. е. с точностью до десятитысячных приближенное значение совпадет с абсолютным.

Такое приближение функции бесконечным многочленом называется разложением в ряд. Использование рядов позволяет с любой точностью вычислять значения самых разных функций.

Для нас же важен результат: если мы знаем угол, то можем найти значение любой тригонометрической функции этого угла. И наоборот, зная значение тригонометрической функции, мы можем найти величину соответствующего острого угла. Раньше для этого использовали специальные таблицы – таблицы Брадиса (см. рис. 41) – или особые инженерные калькуляторы, а сейчас это можно сделать с помощью калькулятора почти в любом мобильном телефоне.

Рис. 41. Таблица Брадиса

Задача №2, доказательство Древней Индии

Рисовали 2 одинаковых квадрата. Один такой, как у нас уже был нарисован (№1). И второй тоже со стороной (а + b). Такой же квадрат, но разрезали его немного по-другому (№2) (рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к теореме

Сначала его разрезали на 4 фигуры: 2 квадрата. Один со стороной а, второй со стороной b. Соответственно, по углам оставались прямоугольники со сторонами а и b. А дальше каждый из этих прямоугольников со сторонами а и b разрезали пополам на 2 треугольника.

Теперь получается 2 одинаковых квадрата, по-разному разрезанных. И в этих одинаковых квадратах есть одинаковые фигуры. Даже в одном и том же положении. Их равенство выделено одинаковыми цветами на рисунках (рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к теореме

Если у каждой картинке вырезать эти треугольники, то на одной картинке остается квадрат со стороной с и площадью с2; а на другой картинке остается 2 квадрата со сторонами а и b, сумма площадей этих квадратов – это а2 + b2.

Такое доказательство использовали в Древней Индии.

Доказательства теоремы Пифагора.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема

Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие

можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них:

доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например,

с помощью дифференциальных уравнений).

     1. Доказательство теоремы Пифагора через подобные треугольники.

Следующее доказательство алгебраической формулировки — наиболее простое из доказательств, строящихся

напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим

её основание через H.

Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC.

Введя обозначения:

получаем:

 ,

что соответствует —                 

Сложив a2 и b2, получаем:                         

или    ,     что и требовалось доказать.

     2. Доказательство теоремы Пифагора методом площадей.

Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они

используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

Доказательство через равнодополняемость.

Расположим четыре равных прямоугольных

треугольника так, как показано на рисунке

справа.

Четырёхугольник со сторонами c – квадратом,

так как сумма двух острых углов 90°, а

развёрнутый угол — 180°.

Площадь всей фигуры равна, с одной стороны,

площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и

Что и требовалось доказать.

     3. Доказательство теоремы Пифагора методом бесконечно малых.

Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и

наблюдая изменение стороны a, мы можем

записать следующее соотношение для бесконечно 

малых  приращений сторон с и a (используя подобие

треугольников):

Используя метод разделения переменных, находим:

Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов:

Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем:

Таким образом, мы приходим к желаемому ответу:

Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной

пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми

вкладами от приращения разных катетов.

Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения

(в данном случае катет b). Тогда для константы интегрирования получим:

Применение

Расстояние в двумерных прямоугольных системах

Важнейшее применение теоремы Пифагора — определение расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат: расстояние s{\displaystyle s} между точками с координатами (a,b){\displaystyle (a,b)} и (c,d){\displaystyle (c,d)} равно:

s=(a−c)2+(b−d)2{\displaystyle s={\sqrt {(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}}}.

Для комплексных чисел теорема Пифагора даёт естественную формулу для нахождения модуля комплексного числа — для z=x+yi{\displaystyle z=x+yi} он равен длине радиус-вектора на комплексной плоскости к точке (x,y){\displaystyle (x,y)}:

|z|=x2+y2{\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}.

Расстояние между комплексными числами z1=x1+y1i{\displaystyle z_{1}=x_{1}+y_{1}i} и z2=x2+y2i{\displaystyle z_{2}=x_{2}+y_{2}i} также представляется в форме теоремы Пифагора:

|z1−z2|=(x1−x2)2+(y1−y2)2{\displaystyle |z_{1}-z_{2}|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}}.

Евклидова метрика

Евклидова метрика — функция расстояния в евклидовых пространствах, определяемая по теореме Пифагора, непосредственным её применением в двумерном случае, и последовательным в многомерном; для точек n{\displaystyle n}-мерного пространства p=(p1,…,pn){\displaystyle p=(p_{1},\dots ,p_{n})} и q=(q1,…,qn){\displaystyle q=(q_{1},\dots ,q_{n})} расстояние d(p,q){\displaystyle d(p,q)} между ними определяется следующим образом:

d(p,q)=∑i=1n(pi−qi)2{\displaystyle d(p,q)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(p_{i}-q_{i})^{2}}}}}.

Теория чисел

Пифагорова тройка — набор из трёх натуральных чисел (x,y,z){\displaystyle (x,\;y,\;z)}, которые могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника, то есть натуральные числа, удовлетворяющие диофантову уравнению x2+y2=z2{\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}. Пифагоровы тройки играют важную роль в теории чисел, задача их эффективного нахождения породила широкий пласт работ начиная с древнейших времён вплоть до современности. Формулировка Великой теоремы Ферма аналогична задаче нахождения пифагоровых троек для степени более 2.

Единственная пифагорова тройка, состоящая из трёх последовательных чисел — это 3, 4 и 5: 32+42=52{\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}.

Задача №1, доказательство теоремы Пифагора

Докажем теорему Пифагора.

Задача № 1. Дано: прямоугольный треугольник АВС, в котором угол С – прямой (90 °). Катет ВС = a, катет АС = b, гипотенуза АВ = с (рис. 3).

Доказать:

Рис. 3. Иллюстрация к теореме Пифагора

Решение.

В формуле, которую нам необходимо доказать, фигурируют квадраты трех величин: квадраты с, а и b. В геометрии мы сталкиваемся с квадратами длин отрезков, когда считаем площади фигур. Но и, наверное, самая простая фигура, площадь которого можем посчитать – квадрат. Соответсвенно, первая мысль – достроить эту картинку до квадратов. Достроим треугольник АВС до квадрата со стороной а+b.

Для этого продолжим катет АС на длину катета ВС (+ а), а ВС на длину катета АС (+ b) (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к теореме

Достроим получившуюся картинку до прямоугольника (рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к теореме

У этого прямоугольника смежные стоороны равны (а+b). Значит, этот прямоугольник обязательно является квадратом. Обозначим получившиеся точки буквами. Получим квадрат СDEF.

Все стороны этого квадарта равны (а + b). Соответственно, стороны DE и EF тоже можем разделить на отрезки а и b. Обозначим эти точки буквами G и H. Соединим точку А с точкой G, точку G с точкой Н, точку Н с точкой В (рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к теореме

Квадрат СDEF оказался разрезанным на 5 фигур: 4 треугольника по углам и 1 четырехугольник в центре. Если этот четырехугольник окажется квадратом, то это будет удобно для нас. Но это сначала нужно доказать.

Выясним, что мы знаем про получившуюся фигуру. Все 4 треугольника обязательно являются прямоугольными,потому что каждый из них содержит один из углов квадрата (Ð С = Ð D = Ð Е = Ð F = 90°). Катеты в этих треугольниках равны а и b. Значит, все эти треугольники равны друг другу (по двум сторонам и углу между ними). А если все эти треугольники равны друг другу, то равны все их соответсвенные элементы. Например, все гипотенузы у них обязательно равны с (рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к теореме

Значит, четырехугольник АGНВ – ромб. Четырехугольник, у которого все стороны равны, называется ромб. Мы доказали, что все стороны равны, АG = GН = НВ = ВА = с. АGНВ – ромб.

Гипотенуза не единственное, что равно у наших треугольников. Еще у них равны все острые углы. Отметим это на картинке. Во-первых, равны Ð САВ = Ð DGA = Ð EHG = Ð FBH. Зеленым цветом обозначим эти углы, величиной α. И такие углы тоже равны: Ð СВА = Ð DAG = Ð EGH = Ð FHB. Красным цветом обозначим углы величиной b (рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация к теореме

На нашей картинке отмечено очень много углов, но не все. Остался, например, не отмеченным Ð GАВ. Вычислим его.

Эти три угла вместе, Ð DAG, ÐGAB, Ð CAB, составляют развернутый угол. Соответственно:

Ð GАВ = 180° — Ð CAB — Ð DAG = 180 ° — α — b.

Преобразуем эту формулу следующим образом:

Ð GАВ = 180° — (α + b).

У нас получилась сумма (α + b). Что такое сумма (α + b)? Это сумма острых углов прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Поэтому получается:

Ð GАВ = 180° — (α + b) = 180° — 90° = 90°. То есть Ð GАВ – прямой. А значит наш ромб АGНВ является квадратом. Если в ромбе один из углов прямой, то этот ромб обязательно квадрат.

Мы получили: большой квадрат СDEF, квадрат меньше АGНВ. Можно начинать записывать площади.

С одной стороны, СDEF – квадрат и его площадь можно посчитать как квадрат стороны:

С другой стороны, этот квадрат состоит из 5 фигур: 4 треугольников и квадрата в центре. Площадь квадрата в центре равна с2, а четыре треугольника равны друг другу и площадь каждого из них – половина произведения катетов.

Площадь четырехугольника СDEF не зависит от того, каким образом мы с вами ее считаем. Она всегда одна и та же. Соответственно, мы можем приравнять наши равенства, но сначала их надо преобразовать.

В первом равенстве раскрываем квадрат суммы:

Во втором случае:

Первое выражение равно второму.

И там, и там есть 2аb. От них легко отказаться – сократим их. И получим:

То есть в нашем прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Что и требовалось доказать.

Это доказательство – не единственное доказательство теоремы Пифагора. У нее очень много доказательств. Теорема Пифагора занесена даже в Книгу рекордов Гиннеса за счет того, что у нее так много доказательств. Интересным является тот факт, что многие из них почти не требуют алгебры. Вот, например, в Древней Индии использовали такой способ доказательства.

История

По мнению историка математики Морица Кантора, в Древнем Египте во времена царя Аменемхета I (около XXIII век до н. э.) было известно о прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4, 5 — его использовали гарпедонапты — «натягиватели верёвок». В древневавилонском тексте, относимом ко временам Хаммурапи (XX век до н. э.), приведено приближённое вычисление гипотенузы. По мнению Ван-дер-Вардена, очень вероятно, что соотношение в общем виде было известно в Вавилоне уже около XVIII века до н. э.

Рисунок из книги Чжоу би суань цзин (500—200 лет до нашей эры)

В древнекитайской книге «Чжоу би суань цзин», относимой к периоду V—III веков до н. э., приводится треугольник со сторонами 3, 4 и 5, притом изображение можно трактовать как графическое обоснование соотношения теоремы. В китайском сборнике задач «Математика в девяти книгах» (X—II веков до н. э.) применению теоремы посвящена отдельная книга.

Общепринято, что доказательство соотношения дано древнегреческим философом Пифагором (570—490 до н. э.). Имеется свидетельство Прокла (412—485 н. э.), что Пифагор использовал алгебраические методы, чтобы находить пифагоровы тройки, но при этом в течение пяти веков после смерти Пифагора прямых упоминаний о доказательстве его авторства не находится. Однако когда Плутарх и Цицерон пишут о теореме Пифагора, из содержания следует, будто авторство Пифагора общеизвестно и несомненно. Существует предание, сообщённое Диогеном Лаэртским, согласно которому Пифагор якобы отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков.

Приблизительно в 400 году до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Около 300 года до н. э. в «Началах» Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора.

Свойство катета, лежащего против угла в

Стоит отметить, что верно и обратное утверждение: если в прямоугольном треугольнике гипотенуза в два раза больше одного из катетов, то острый угол, лежащий напротив этого катета, равен .

Сформулируем ещё один важный признак прямоугольного треугольника.

Примечание: признак означает, что если какое-то утверждение верно, то треугольник является прямоугольным. То есть признак позволяет идентифицировать прямоугольный треугольник.

Важно не путать признак со свойством – то есть, если треугольник прямоугольный, то у него есть такие свойства… Часто признаки и свойства являются взаимно обратными, но далеко не всегда. Например, свойство равностороннего треугольника: в равностороннем треугольнике есть угол

Но это не будет признаком равностороннего треугольника, так как не любой треугольник, у которого есть угол , является равносторонним.

Можно привести и более жизненный пример: свойство слова «хлеб» – в слове «хлеб» 4 буквы. Но наличие 4 букв не является признаком слова «хлеб», так как существует множество слов из 4 букв.

Раздел 5. Векторы

Абсолютная величина и направление вектора

Вектор — это направленный отрезок. Направление вектора определяется указанием его начала и конца. На чертеже направление вектора отмечается стрелкой. Для обозначения векторов будем пользоваться строчными латинскими буквами а, b, с, … . Можно также обозначать вектор указанием его начала и конца. При этом начало вектора ставится на первом месте. Вместо слова «вектор» над буквенным обозначением вектора иногда ставится стрелка или черта.

Векторы АВ и CD называются одинаково направленными, если полупрямые АВ и CD одинаково направлены. Векторы АВ и CD называются противоположно направленными, если полупрямые АВ и CD противоположно направлены.

Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор.

Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор будем называть нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается нулём с чёрточкой (0). О направлении нулевого вектора не говорят. Абсолютная величина нулевого вектора считается равной нулю.

Равенство векторов

Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора. Из данного определения равенства векторов следует, что

равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. Обратно: если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны.

Координаты вектора

Пусть вектор а имеет началом точку А1 (х1; у1), а концом точку А2 (х2; у2). Координатами вектора а будем называть числа а1 = х2 – х1, а2 = у2 – у1. Координаты нулевого вектора равны нулю.

Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. И обратно: если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.

Сложение векторов

Суммой векторов а и b с координатами а1, а2 и b1, b2 называется вектор с с координатами a1 +b1, a2 + b2.

Теорема 10.1. Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное равенство АВ + ВС = АС.

Сложение сил

Силу, приложенную к телу, удобно изображать вектором, направление которого совпадает с направлением действия силы, а абсолютная величина пропорциональна величине силы. Как показывает опыт, при таком способе изображения сил равнодействующая двух или нескольких сил, приложенных к телу в одной точке, изображается суммой соответствующих им векторов.

Представление силы в виде суммы сил, действующих в двух заданных направлениях, называется разложением силы по этим направлениям. Удобно производить разложение вектора по двум перпендикулярным осям. В этом случае составляющие вектора называются проекциями вектора на оси.

Умножение вектора на число

Произведением вектора (а1; а2) на число λ называется вектор (λа1; λа2).

Теорема 10.2. Абсолютная величина вектора λа равна |λ| |a|. Направление вектора λа при а ≠ 0 совпадает с направлением вектора а, если λ > 0, и противоположно направлению вектора а, если λ

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы направлены либо одинаково, либо противоположно.

Пусть а и b — отличные от нулевого неколлинеарные векторы, тогда любой вектор с можно представить в виде с = λа + ɳb.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов a(a1; a2) и b(b1; b2) называется число а1b1 + а2b2. Скалярное произведение а • а обозначается а2 и называется скалярным квадратом.

Для любых векторов а(а1; а2), b(b1; b2), с(с1; с2)(а + b) • с = ас + bс.

Теорема 10.3. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Из теоремы 10.3 следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нулевого векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Разложение вектора по координатным осям

Вектор называется единичным, если его абсолютная величина равна единице. Единичные векторы, имеющие направления положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами.

Для любого вектора a (a1; а2) получается разложение а = а1е1 + а2е2.

Вы смотрели «Геометрия 8 Погорелов: все теоремы и определения» — краткое повторение геометрии за 8 класс (основные понятия, определения и теоремы без доказательств).

Литература

  • Ван-дер-Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. — М., 1959
  • Глейзер Г. И. История математики в школе. — М., 1982
  • Еленьский Щ. По следам Пифагора. — М., 1961
  • Клауди Альсина. Секта чисел. Теорема Пифагора. — М.: Де Агостини, 2014. — 152 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 5). — ISBN 978-5-9774-0633-8.
  • Скопец З. А. Геометрические миниатюры. — М., 1990
  • Euclid. The Elements (3 vols.) / Translated by Johan Ludvig Heiberg with an introduction and commentary by Thomas L. Heath. — Reprint of 1908. — Dover, 1956. — Vol. 1 (Books I and II). — ISBN 0-486-60088-2.
  • Heath S. A History of Greek Mathematics (2 Vols.). — Edition of Dover Publications, Inc. (1981). — Clarendon Press, Oxford, 1921. — ISBN 0-486-24073-8.
Ссылка на основную публикацию